最新微分中值定理教案

微分中值定理教案

第二章一元函数微分学

§2.6 微分中值定理

【课程名称】《高等数学》

【授课题目】微分中值定理

【授课时间】2011年11月18日

【授课对象】2011级电子信息专业

【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。

微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。

微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。

【教学目标】

1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；

2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；

3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。

【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。

【教学方法及手段】以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。

§2.6.2 拉格朗日中值定理

一、内容回顾

定理1（Rolle）若函数«Skip Record If...»满足条件（1）在闭区间«Skip

Record If...»上连续；

（2）在开区间«Skip

Record If...»内可导；

（3）«Skip Record If...»。

则至少存在一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»。几何意义：在定理的条件下，区间

«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，使得曲线在点«Skip Record If...»处具有水平切线。

二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange）设函数«Skip Record If...»满足条件：（1）在闭区间«Skip Record If...»上连续；（2）在开区间«Skip Record If...»内可导；则在«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»，

使得

«Skip Record If...»。

或写成«Skip Record If...»。上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于«Skip Record If...»也成立。

几何意义：如果连续曲线«Skip Record If...»上除端点外处处具有不垂直于«Skip Record If...»轴的切线，则在曲线弧«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，在该点处曲线的切线平行于弦«Skip Record If...»。

（幻灯片1）

板书标题

（幻灯片2）

首先回顾前面所

学习的内容，然

后通过提问引入

新课的内容:微

分中值定理的核

心内容---拉格

朗日（Lagrange）中值定理。

（幻灯片3）【本节重点】板书定理内容

解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。

（幻灯片4为

Lagrange生平简

介。）

（幻灯片5）

借助于多媒体，

图文并茂地解释

定理几何意义。

由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足

«Skip Record If...»时，此时弦«Skip Record If...»的斜率等于零。即«Skip Record If...»。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。

即

Lagrange中值定理«Skip Record If...»Rolle定理证明分析：若记«Skip Record If...»，要证（1）式，即证«Skip Record If...»«Sk ip Record

If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»

«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»

也就是是否存在«Skip Record If...»，使函数

«

Sk

ip

Re

co

rd

If

..

.»在«Skip Record If...»处的导数为零？即«Skip Record

If...»。

证明：作辅助

函数«Skip Record

If...»，«Skip Record

If...»。

容易验证«Skip Record If...»

在闭区间«Skip Record If...»上连续，在开区间«Skip

Record If...»内可导，且

«Skip Record If...»«Skip Record

If...»«Skip Record If...»。

从而«Skip Record If...»满足罗尔定理的条件，即至少存在一点

«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»。即«Skip Record If...»证毕。

（幻灯片6）

引导学生通过观

察图形的区别引

导学生思考拉格

朗日中值定理与

罗尔定理的关系【本节难点】板书分析证明的思路

引导学生采用逆向思维的方式，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。

（幻灯片7）此定理的证明关键是构造辅助函数满足罗尔定理条件，然后利用罗尔定理的结论证明。