2007年高考文科数学试题及参考答案(山东卷)

目录

第Ⅰ卷（共60分） ..........................................................................................................................1 第Ⅱ卷（共90分） ..........................................................................................................................3 文科数学参考答案 . (5)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择

一个符合题目要求的选项. （1）复数i

i

2134++的实部是 （ ）

（A ）－2

（B ）2

（C ）3

（D ）4

（2）已知集合∈<<=-=+x x N M x ,422

1

|

{},1,1{1Z }，则N M = （A ）{－1，1} （B ）{0} （C ）{－1}

（D ）{－1，0}

（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

（A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④

（4）要得到函数x y sin =的图象，只需将函数)3

cos(π

-

=x y 的图象

（A ）向右平移6π

个单位 （B ）向右平移3π

个单位

（C ）向左平移3

π

个单位

（D ）向左平移6

π

个单位

（5）已知向量a =（1，n ），b =（－1，n ），若2a －b 与b 垂直，则| a |=

（A ）1

（B ）2

（C ）2

（D ）4

（6）给出下列三个等式，=+=++=)(),()()(),()()(y x f y f x f y x f y f x f xy f

.)

()(1)

()(y f x f y f x f -+下列函数中不．

满足其中任何一个等式的是 （A ）x x f 3)(= （B ）x x f sin )(=

（C ）x x f 2log )(=

（D ）x x t tan )(=

（7）命题“对任意的”∈x R ，n

x x 1012

3

≤+-的否定是

（A ）不存在∈x R ，012

3

≤+-x x （B ）存在∈x R ，012

3

≤+-x x

（C ）存在∈x R ，0123

>+-x x

（D ）对任意的∈x R ，012

3

>+-x x

（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组;第 一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成 绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大 于等于18秒且小于等于19秒。右图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人 数占全班总人数的百分比为x ，成绩小于等于15秒且 小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可 分析出x 和y 分别为 （A ）0.9，35 （B ）0.9，45 （C ）0.1，35

（D ）0.1，45

（9）设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与

x 轴正向的夹角为60°，则||为

（A ）

p 4

21

（B ）

221p

（C ）

p 6

13 （D ）

p 36

13 （10）阅读右边的程序框图,若输入的n 是100,则输出

的变量S 和T 的值依次是

（A ）2550，2500 （B ）2550，2550 （C ）2500，2500 （D ）2500，2550

（11）设函数 2

2

)

2

1(-==x y x y 与 的图象的交点为

（A ）（0，1） （B ）（1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4）

（12）设集合A={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平

面上的一个点P （a ，b ）,记P （a ，b ）落在直线n y x =+上”为事件C ，

（N n n ∈≤≤,52），若事析n C 的概率最大，则n 的所有可能值为

（A ）3

（B ）4

（C ）2和5

（D ）3和4

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上. （13）设函数====-)))2007(((,)(,)(,)(3212122

1

1f f f x x f x x f x x f 则 . （14）函数)1,0(1≠>=-a a a y x 的图象恒过定点A ，若点A 在直线0(01>=-+mn ny mx ）

上，则

n

m 1

1+的最小值为 . （15）当04,)2,1(2<++mx x x 不等式时恒成立，则m 的取值范围 . （16）与直线05412120222=+--+=-+y x y x y x 和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C .

（Ⅰ）求cos C ；

（Ⅱ）若..9,2

5

c b a 求且=+=

? （18）（本小题满分12分）

设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和. 已知S 3=7，且a 1+3,

3a 1, a 3+4构成等差数列.

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项；

（Ⅱ）令,,2,1,ln 13 ==+n a b n n 求数列{n b }的前n 项和T .

（19）（本小题满分12分） 某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告

总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟. 假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

（20）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DC =DD 1=2AD=2AB ，AD ⊥DC ， AB//DC .

（Ⅰ）求证：D 1C ⊥AC 1；

（Ⅱ）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置， 使D 1E //平面A 1BD ，并说明理由.

21．（本小题满分12分）

设函数.0,ln )(2

≠+=ab x b ax x f 其中

证明：当)(,0x f ab 函数时>没有极值点；当)(,0x f ab 函数时<有且只有一个极值点，并求出极值.

22．（本小题满分14分）

已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值

为3，最小值为1.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点）

，且以

AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证: 直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择

一个符合题目要求的选项.

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）B （7）C （8）A （9）B （10）A （11）B （12）D

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上. （13）

2007

1 （14）4 （15）5-≤m （16）2)2()2(2

2=-+-y x 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

解：（I ）73cos sin ,73tan =∴

=C

C

C .

8

1

cos ,

,0tan .

81

cos ,

1cos sin 22=∴>±==+C C C C C 是锐角解得又

（II ）,2

5=

?CA CB

.

6.36cos 2.

41.812,

9.20,2

5cos 2222222=∴=-+=∴=+∴=++∴=+=∴=

∴c C ab b a c b a b ab a b a ab C ab 又

（18）（本小题满分12分）

解：（I ）由已知得：??

?

??=+++=++.32)4()3(,

7131321a a a a a a

解得.21=a

设数列}{n a 的公比为q ,由,2,2

,2111q a q

a a ==

=可得 .

2}{.

1,2,1,

2

1

,2.

0252,

7222

,7112121-==∴=∴>===+-=++=n n n a a a q q q q q q q q S 的通项为故数列由题意得解得即可知又

（II ）由于,,2,1,ln 3 ==n a b n n 由（I ）得n n a 21=+，

n

n n n n n k b b b T b b b n b +++=∴∴=-==∴+ 2113.}{,2ln 3,

2ln 32ln 是等差数列又

,

2ln 2

)1(32

)

2ln 32ln 3(2

)

(21+=+=+=

n n n n b b n

故.2ln 2

)

1(3+=

n n T n （19）（本小题满分12分） 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z

元. 由题意得

.

20003000.0,0,90000200500,300y x z y x y x

y x +=??

?

??≥≥≤+≤+目标函数为

二元一次不等式组等价于

??

?

??≥≥≤+≤+.0,0,90025,300y x y x y x 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作直线,020003000:=+y x l

即.023=+x

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值.

联立??

?=+=+.

90025,

300y x y x

解得x =100，,200=y ∴点M 的坐标为（100，200）

)(70000020003000max 元=+=∴y x z

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元. （20）（本小题满分12分） 解：（I ）证明：在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 连结C 1D ， ∵DC =DD 1， ∴四边形DCC 1D 1是正方形. ∴DC 1⊥D 1C . 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1=D ， ∴AD ⊥平面DCC 1D 1，

D 1C ?平面DCC 1D 1， ∴AD ⊥D 1C .

∵AD ,DC 1?平面ADC 1， 且AD ∩DC 1=D ∴D 1C ⊥平面ADC 1， 又AC 1?平面ADC 1, ∴D 1C ⊥AC 1

（Ⅱ）连结AD 1，连结AE ， 设AD 1∩A 1D = M ，

BD ∩AE = N ，连结MN ，

∵平面AD 1E ∩平面A 1BD = MN ， 要使D 1E ∥平面A 1BD ， 须使MN ∥D 1E ， 又M 是AD 1的中点， ∴N 是AE 的中点.

又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB = DE.

即E 是DC 的中点.

综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD . 21．（本小题满分12分）

证明：因为).,0()(,0,ln )(2

+∞≠+=的定义域为所以x f ab x b ax x f

.22)(2x

b ax x b ax x f +=+='

当),0()(,0)(,0,0,0+∞>'>>>在如果时x f x f b a ab 上单调递增； 如果),0()(,0)(,0,0+∞<'<<在x f x f b a 上单调递增

.

所以当)(,0x f ab 函数时>没有极值点.

当x

a b x a b x a x f ab )2)(2(2)(,0---

+=

'<时， ),,0(2),)(,0(2,0)(21+∞∈-=+∞?-

-=='a

b x a b x x f 舍去得令 当)(,0,0x f b a '<>时、)(x f 随x 的变化情况如下表：

从上表可看出，

函数)(x f 有且只有一个极小值点，极小值为)]2ln(1[2)2(a

b

b a b f ---=-

， 当)(,0,0x f b a '><时、)(x f 随x 的变化情况如下表：

函数)(x f 有且只一个极大值点，极大值为)]2ln(1[2)2(a

b

b a b f ---=-， 综上所述，

当)(,0x f ab 函数时>没有极值点； 当0

)(,0,0x f b a 函数时若<>有且只有一个极小值点，极大值为)].2ln(1[2a b

b ---

)(,0,0x f b a 函数时若><有且只有一个极大值点，极大值为)].2ln(1[2a

b

b ---

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为).0(122

22>>=+b a b

y a x

由已知得：,1,3=-=+c a c a

.

13

4.

3,1,22

2222=+∴=-=∴==∴y x c a b c a 椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，

联立?????=++=.134

,

2

2y x m kx y 得0)3(48)43(2

2

2

=-+++m mkx x k ，则

???

?

?

?

???

+-=+-=+>-+>-+-=?.43)

3(4,438,043,0)3)(43(16642

2212

21222222k m x x k m k x x m k m k k m 即 又2

222

21212

212143)

4(3)())((k

k m m x x mk x x k m kx m kx y y +-=+++=++=， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0），

.

043,7

2,2:.

04167.

04431643)3(443)4(3.

04)(2.12

2,12221222

2222221212122

11>-+-=-==++∴=++++-++-∴=++-+∴-=-?--=∴m k k

m k m k m k m k m k

k m k k m x x x x y y x y x y k k BD AD 且均满足解得即

当)2(,21-=-=x k y l k m 的方程为时，直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当).0,7

2

(),72(,722直线过定点的方程为时-=-=x k y l k m 所以，直线l 过定点，定点坐标为).0,7

2

(