高中物理教科版选修3-4教学案全集(共32份)

第1节简_谐_运_动

1.回复力是使物体回到平衡位置的力，其方向指向平

衡位置，简谐运动的回复力满足关系式：F＝－kx。

2．由平衡位置指向物体所在位置的有向线段为物体

的位移，振动物体离开平衡位置的最大距离为振幅，物

体在一个周期内的路程为四个振幅，但四分之一周期内

的路程不一定为一个振幅。

3．振子做简谐运动时，振动能量不变，振子远离平

衡位置时，动能减小，势能增大。

[自读教材·抓基础]

1．机械振动

(1)机械振动：

物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，简称振动。

(2)平衡位置：

物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置)。

2．简谐运动

(1)回复力：

①概念：当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。

②效果：总是要把振动物体拉回至平衡位置。

(2)简谐运动：

①定义：如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动。

②公式描述：F ＝－kx (其中F 表示回复力，x 表示相对平衡位置的位移，k 为比例系数，“－”号表示F 与x 方向相反)。

[跟随名师·解疑难]

1．弹簧振子应满足的条件

(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上。 (2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点。 (3)阻力：在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力。 (4)弹性限度：振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。 2．简谐运动的位移

(1)定义：振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

(2)位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

3．简谐运动的回复力

(1)由F ＝－kx 知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。

(2)公式F ＝－kx 中的k 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k 由振动系统自身决定。

4．简谐运动的速度

(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

(2)特点：如图1－1－1所示为一简谐运动的模型，振子在O 点速度最大，在A 、B 两点速度为零。

图1－1－1

5．简谐运动的加速度

(1)计算方法：a ＝－kx

m ，式中m 表示振子的质量，k 表示比例系数，x 表示振子距平衡

位置的位移。

(2)特点：加速度大小随位移呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

下列说法正确的是()

A．弹簧振子的运动是简谐运动

B．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种

C．做简谐运动的物体每次经过同一位置时，其速度、位移都相同

D．做简谐运动的物体在平衡位置两侧对称的位置上，其速度、位移都反向

解析：选A弹簧振子是简谐运动中的一个理想模型，其运动是简谐运动，选项A正确；机械运动中最基本、最简单的运动形式是匀速直线运动，选项B错误；根据简谐运动中位移的概念，物体每次经过同一位置时，位移都相同，但在同一位置，既可能向平衡位置运动，也可能远离平衡位置，因此速度方向不确定，选项C错误；同理，在平衡位置两侧对称的位置上，位移方向相反，速度方向可能相同，也可能相反，选项D错误。

[自读教材·抓基础]

1．振幅(A)

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。

(2)物理意义：表示振动强弱，是标量。

2．全振动

简谐运动的物体完成一个完整的振动过程。

3．周期(T)和频率(f)

[跟随名师·解疑难]

1．对全振动的理解

(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫做一次全振动。

(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。

①物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。 ②时间特征：历时一个周期。 ③路程特征：振幅的4倍。 ④相位特征：增加2π。

2．振幅与振动中几个常见量的关系 (1)振幅与位移的关系：

振动中的位移是矢量，振幅是标量；在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等；同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(2)振幅与路程的关系：

振动中的路程是标量，是随时间不断增加的。其中常用的定量关系是： ①一个周期内的路程为振幅的4倍； ②半个周期内的路程为振幅的2倍；

③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，1

4周期内的路程等于振幅；

④若从一般位置开始计时，1

4周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等

于或小于振幅。

(3)振幅与周期(或频率)的关系：

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )

A ．1∶1 1∶1

B ．1∶1 1∶2

C ．1∶4 1∶4

D ．1∶2 1∶2

解析：选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1。

[自读教材·抓基础]

1．弹簧振子振动过程中的能量转化

如图1－1－2所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则

图1－1－2

在从B到O过程中，动能增加，弹性势能减小，当运动到O时，动能最大，弹性势能为零。

2．简谐运动的能量

简谐运动的能量是指振动系统的机械能，振动的过程就是动能和势能相互转化的过程，在简谐运动中，振动系统的机械能守恒。

[跟随名师·解疑难]

1．若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力做功，故在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒。

2．简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，因此简谐运动又称等幅振动，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去。

3．在一个振动周期内，动能和势能完成两次周期性变化。经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小。

振子经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体()

A．在A点和A′点的位移相同

B．在两点处的速度可能相同

C．在两点处的加速度可能相同

D．在两点处的动能一定相同

解析：选BD根据简谐运动的特点可知关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，选项A错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项B 正确；物体的加速度大小相等方向相反，选项C错误；由于速度大小相等，动能自然相同，选项D正确。

对应学生用书P3

[典题例析]

1．一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是( ) A ．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值 B ．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大

C ．振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同

D ．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同 [思路点拨]

(1)振子加速度的方向与速度方向、位移方向有什么关系？

提示：加速度的方向始终与位移方向相反，与速度的方向可能相同，也可能相反。 (2)振子由最大位移处向平衡位置运动时，做什么运动？ 提示：加速度逐渐减小的变加速运动。 解析：如图所示。

设弹簧振子在A 、B 之间振动，O 是它的平衡位置，并设向右为正。在振子由O 向A 运行过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A 错。振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B 错。当振子每次通过同一位置时，速度大小一样，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C 错，D 正确。

答案：D

[探规寻律]

简谐运动中各物理量动态变化的判断方法：

(1)方向：位移x ?F ＝－kx

相反回复力F ?F ＝ma

相同加速度a (由回复力产生)；速度方向为振动物体运动方向，与以上各量无必然联系，“＋”“－”与正方向选取有关。

(2)大小：远离平衡位置?位移x ↑?回复力F ↑?加速度a (由回复力产生)↑?速度v ↓；

反之：靠近平衡位置?位移x ↓?回复力F ↓?加速度a (由回复力产生的)↓?速度v ↑。

说明：以上为判断主线，用符号“?”表示各物理量间可以进行互判，而不要理解为相互的决定关系。

[跟踪演练]

如图1－1－3所示，水平方向上有一弹簧振子，O 点是其平衡位置，振子在a 和b 之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是( )

图1－1－3

A ．在a 点时加速度最大，速度最大

B ．在O 点时速度最大，位移最大

C ．在b 点时位移最大，速度最小

D ．在b 点时加速度最大，速度最大

解析：选C O 为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B 错误；振子在a 、b 两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A 、D 错误，C 正确。

[典题例析]

2．如图1－1－4所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm 的A 、B 两点，历时0.5 s ，过B 点后再经过t ＝0.5 s ，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B 点，则质点从离开O 点到再次回到O 点历时(O 点为AB 的中点)( )

图1－1－4

A ．0.5 s

B ．1.0 s

C ．2.0 s

D ．4.0 s

[思路点拨]

以同样的速度通过A 、B

―――――→

速度对称性

O 为A 、B 中点，即平衡位置

―――――→

时间对称性

t AO ＝t OB ，t BD ＝t DB t OB ＝t BO

―→t OD ＝t OB ＋t BD

解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点为平衡位置，A 、B 两点对称分布在O 点两侧，质点从平衡位置O 点向右运动到B 点的时间应为t OB ＝1

2×0.5 s ＝0.25 s 。质点从

B 点向右到达右方极端位置(D 点)的时间t BD ＝1

2×0.5 s ＝0.25 s 。所以质点从离开O 点到再次

回到O 点的时间t ＝2t OD ＝2×(0.25＋0.25) s ＝1.0 s ，故正确选项为B 。

答案：B

[探规寻律]

(1)速度、加速度、位移、动能、势能的对称特点：

①振子经过关于平衡位置O 对称(OP ＝OP ′，如图1－1－5所示)的两点P 、P ′时，速度的大小、加速度的大小、位移的大小、动能、势能相等。

图1－1－5

②振子在对称点速度的方向可以相同，也可以相反，加速度的方向一定相反。 (2)时间的对称：振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间；振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等。

[跟踪演练]

一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M 、N 两点时速度v (v ≠0)相同，那么，下列说法正确的是( )

A ．振子在M 、N 两点受力相同

B ．振子在M 、N 两点相对平衡位置的位移相同

C ．振子在M 、N 两点加速度大小相等

D ．从M 点到N 点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 解析：选C 建立弹簧振子模型如图所示。因位移、速度、加速

度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M 、N

两点关于O 点对称，振子受力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反。由此可知，A 、B 选项错误。振子在M 、N 两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C 选项正确。振子由M 到O 速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由O 到N 速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀

减速运动，故D选项错误。

对应学生用书P4

[课堂双基落实]

1．关于振幅的概念，下列叙述中正确的是()

A．振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量

B．振幅是表示振动强弱的物理量

C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率是固定的，与振幅无关

解析：选BD振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，振幅越大，表明物体振动越强。周期与振幅无关。

2．如图1－1－6所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是()

图1－1－6

A．钢球运动的最高处为平衡位置

B．钢球运动的最低处为平衡位置

C．钢球速度为零处为平衡位置

D．钢球原来静止时的位置为平衡位置

解析：选D钢球以平衡位置为中心做往复运动，在平衡位置处速度最大，故A、B、C不正确，D选项正确。

3．对于弹簧振子的回复力与位移的关系图像，下列图像中正确的是()

图1－1－7

解析：选C根据公式F＝－kx，可判断回复力与位移的关系图线是一条直线，斜率为负值，故选项C正确。

4．关于简谐运动的频率，下列说法正确的是()

A．频率越高，振动质点运动的速度越大

B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多

C．频率是50 Hz时，1 s内振动物体速度方向改变100次

D．弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关

解析：选BC简谐运动的频率与物体运动的快慢没有关系，描述物体运动的快慢用速度，假如说物体振动过程中最大速度越大，也不能说明它的频率越大。振动的越快和运动得越快意义是不同的，故A错误；简谐运动的物体在一个周期内速度的方向改变两次，频率越高，单位时间内所包含的周期个数越多，速度方向变化的次数就越多，故B、C正确；弹簧振子的固有频率与物体通过平衡位置的速度没有关系，它由振动系统的固有量振子的质量m和弹簧的劲度系数k决定，故D错误。

[课下综合检测]

1．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是()

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

解析：选B平衡位置是物体原来静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的平衡位置在球台面上，A错误；振动位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的振动位移最大，所以B正确，C、D错误。

2．如图1所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是()

图1

A．重力、支持力、弹簧的弹力

B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力

C．重力、支持力、回复力、摩擦力

D．重力、支持力、摩擦力

解析：选A回复力是振子沿振动方向的合力，是效果力而不是物体实际受到的力，B、C错误；弹簧振子做简谐运动，不受摩擦力，D错误。

3．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内()

A．振子的位移越来越大

B．振子正向平衡位置运动

C．振子速度与位移同向

D．振子速度与位移方向相反

解析：选BD弹簧振子在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错误，B正确；位移方向是从平衡位置指向振子，故振子速度与位移方向相反，C错误，D正确。

4．如图2所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为()

图2

A．0.2 s B．0.4 s

C．0.1 s D. 0.3 s

解析：选A简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下

振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的1

4，它们相等。

5．如图3所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B 到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是()

图3

A ．振子从

B 经O 到

C 完成一次全振动 B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cm

C ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm

解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半个全振动，所以周期T ＝2×1 s ＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动中通过的路程为40 cm 。从B 开始经过3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm 。

6．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( ) A ．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等 B ．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功 C ．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供 D ．振子在运动过程中，系统的机械能守恒

解析：选CD 振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A 错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B 错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故C 、D 对。

7.如图4所示，试证明光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动。

图4

解析：小球静止时弹簧的伸长量为x 0＝mg sin θ

k ，再住下拉后弹簧相对于静止位置伸长x

时，物体的回复力F ＝－k (x 0＋x )＋mg sin θ＝－kx 。由此可判定物体是做简谐运动。

答案：见解析

8．如图5所示，弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点之间做简谐运动，B 、C 相距20 cm ，当振子经过B 点时开始计时，经过0.5 s ，振子首次到达C 点。求：

图5

(1)振子的振幅和频率；

(2)振子在5 s内通过的路程。

解析：(1)B、C关于O点对称，B、C之间的距离为2A，由于2A＝20 cm，故振幅A＝

10 cm。振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×0.5 s＝1 s，频率f＝1

T＝1 Hz。

(2)振子在一次全振动中通过的路程为4A＝40 cm,5 s内完成5次全振动，故振子在5 s 内通过的路程为5×40 cm＝200 cm。

答案：(1)10 cm 1 Hz(2)200 cm

第2节单__摆

1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向

的分力，只有在摆角较小时，才满足F＝－kx，才可看

做简谐运动。

2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，但

对应学生用书P5

[自读教材·抓基础]

1．单摆

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg

l

x 或F ＝－kx 。

3．单摆做简谐运动的条件

在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动。

[跟随名师·解疑难]

1．单摆的运动特点

(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v ≠0，沿半径方向都受向心力。

(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征 (1)任意位置：

图1－2－1

如图1－2－1所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1＝G sin θ的作用是提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力。

(2)平衡位置：

摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符。

(3)单摆做简谐运动的推证： 在θ很小时，sin θ≈tan θ＝x

l ，

G 1＝G sin θ＝mg

l

x ，

G 1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力 F 回＝G 1＝－mg

l

x ＝－kx 。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一般不超过5°)

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( ) A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用

B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大

C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

解析：选B 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A 错。重力垂直

于摆线的分力提供回复力。当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，拉力等于重力沿摆线的分力大小，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对。

[自读教材·抓基础]

1．影响单摆周期的因素

实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。

2．单摆的周期公式

(1)探究单摆周期与摆长的关系：

①制作单摆：

②测量：用停表测出单摆做30～50次全振动的时间，计算周期T；用游标卡尺测量摆球直径，用米尺测出摆线长度，求出单摆摆长l；改变摆长，得到多组数据。

③数据处理：猜测T与l的关系可能，作出T2－l图像，确定关系。

(2)周期公式：

荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的

二次方根成反比，他确定为：T＝2πl g。

(3)影响单摆周期的相关因素：

由单摆的周期公式可知，单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫做单摆的固有周期。

[跟随名师·解疑难]

1．摆长l

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝l′＋d

2，l′为摆线长，d为摆球直径。

(2)等效摆长：图1－2－2(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的

摆长为l·sin α，这就是等效摆长。其周期T＝2π l sin α

g，图(b)中，乙在垂直纸面方向摆

动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

图1－2－2

2．重力加速度g

(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM

R 2

，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图1－2－3所示，此场景中的等效重力加速度g ′＝g sin θ。

图1－2－3

球静止在O 时，F T ＝mg sin θ， 等效加速度g ′＝F T

m ＝g sin θ。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v 1、v 2(v 1>v 2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f 1、f 2和A 1、A 2，则( )

A ．f 1>f 2，A 1＝A 2

B ．f 1

C ．f 1＝f 2，A 1>A 2

D ．f 1＝f 2，A 1

解析：选C 单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A 、B 错误；由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C 正确，D 错误。

对应学生用书P6

[典题例析]

1．下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C ．单摆经过平衡位置时合力为零

D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

[思路点拨] 单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供，在平衡位置处，摆球位移为零，水平加速度为零。

解析：单摆是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B 正确，A 、D 错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C 错误。

答案：B

[探规寻律]

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。 (3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

[跟踪演练]

对于单摆的运动，以下说法中正确的是( ) A ．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B ．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C ．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D ．摆球经过平衡位置时所受加速度为零

解析：选C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m v 2l

，

可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大有向心加速度，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故只有C 项正确。

[典题例析]

2．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30 次用的时间t ＝60.8 s ，试求：

(1)当地的重力加速度是多大？

(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？ [思路点拨]

(1)如何由周期公式求重力加速度。 提示：由T ＝2πl g

可得g ＝4π2l

T

2

(2)秒摆的周期为多少？要改变单摆的周期，可以采取什么措施？

提示：秒摆的周期为2 s ，由于同一地点的重力加速度不变，要改变单摆的周期可以改变单摆的摆长。

解析：(1)当单摆做简谐运动时， 其周期公式T ＝2π

l g ， 由此可知g ＝4π2l

T 2，只要求出T 值代入即可。

因为T ＝t n ＝60.8

30

s ＝2.027 s

所以g ＝4π2l T 2＝4×3.142

×1.02

2.027

2

m/s 2 ＝9.79 m/s 2。

(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0， 由于在同一地点重力加速度是不变的，

根据单摆的振动规律有：T T 0＝l

l 0

，

故有：l 0＝T 02l T 2＝22

×1.02

2.0272

m ＝0.993 m 。

所以其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m 。 答案：(1)9.79 m/s 2 (2)缩短 0.027 m

[探规寻律]

有关单摆周期问题的处理方法：

(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。 (2)在运用T ＝2πl

g

时，要注意l 和g 是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l 和g 时的运动时间。

(3)改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。

[跟踪演练]

已知单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，则两摆长l a 与l b 分别为( )

A ．l a ＝2.5 m ，l b ＝0.9 m

B ．l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 m

C ．l a ＝2.4 m ，l b ＝4.0 m

D ．l a ＝4.0 m ，l b ＝2.4 m

解析：选B 设两个单摆的周期分别为T a 和T b ，由题意知10T a ＝6T b ，即T a ∶T b ＝3∶5。根据单摆周期公式T ＝2π

l g ，得l ＝g 4π

2T 2，由此可得l a ∶l b ＝T a 2∶T b 2＝9∶25，且l b －l a ＝1.6 m ，解得l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 m 。

对应学生用书P7

[课堂双基落实]