3.2空间向量与平行关系 课件(人教A版选修2-1)
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人教A版选修2-1第三章3.2.1空间向量与平行关系复习课件
6．如右图所示，O 是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面中心，P 是 DD1 的中点，Q 点在 CC1 上，问： 当点 Q 在 CC1 的什么位置时，平面 BD1Q∥平面 APO?
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
x2＋x，－x)，若 l∥α，则 x 的值是( )
A． 2
B．－ 2
C．2
D．± 2
解析：∵l∥α，∴v⊥n，∴(－1,1,1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即 －2＋x2＋x－x＝0，∴x＝± 2.
答案：D
4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为 2，则 O(1,1,0)，P(0，0,1)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， D1(0,0,2)．
设 Q(0,2，z)(0≤z≤2)， 那么O→P＝(－1，－1,1)， B→D1＝(－2，－2,2)， ∴O→P∥B→D1.又 B∉OP，∴OP∥BD1.
解析：A→B＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)＝313，23，1.
答案：A
2．已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的一个法向
量可以表示为( )
A．a＝(－1,2,2)
B．a＝(1，－2,2)
C．a＝(1,2,2)
D．a＝(－1，－2,2)
人教版数学高二选修2-1课件空间向量与平行关系
B.l⊂α
C.l⊥α
D.l⊂α或l∥α
解析 ∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
解析答案
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是 _②__③__.(填序号) ①A→B；②A—A→1；③B—1→B；④A—1—C→1. 解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴A—A→1与B—1→B可以作为平面 ABC 的法向量.
12345
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标
平面( C )
A.xOy平行
B.xOz平行为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.
解析答案
12345
3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A )
解析答案
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当堂检测
12345
1.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2， 则( D )
A.x＝6，y＝15 C.x＝3，y＝15
B.x＝3，y＝125 D.x＝6，y＝125
解析 由 l1∥l2 得，23＝4x＝5y，解得 x＝6，y＝125.
解析答案
第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
学习 目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行 问题. 2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.
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知识梳理
知识点一 直线的方向向量和平面的法向量
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件人教A版选修2_1.ppt
知识点二 空间平行关系的向量表示
[填一填] 1．线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔ a＝λb ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈ R)．
2．线面平行
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 平面的法向量 [填一填]
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
[答一答] 1．如何确定直线的方向向量？
解：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， ∵AS⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面 SAB，即 A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量， 设平面 SCD 的一个法向量为 n＝(1，λ，u)， 则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝12＋λ＝0，
提示：a∥u 时，l⊥α；a⊥u 时，l∥α 或 l⊂α.
4．若 u，v 分别是平面 α，β 的法向量，则 u∥v，u⊥v 时， α，β 是什么位置关系？
提示：u∥v 时，α∥β；u⊥v 时，α⊥β.
1．对平面的法向量的理解 所谓平面的法向量，就是指与平面垂直的直线的方向向量， 显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．在实际应 用中，根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法 向量． 在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法 向量且经过点 A 的平面是唯一确定的．
高中数学选修2-1课件《3.2.1 空间向量与平行关系》
B.(3,6,9)
C.(-1,-2,3)
D.(3,6,8)
【解析】选B.因为a=(1,2,3),(3,6,9)=3(1,2,3)=3a,所以向量
(3,6,9)能作为平面α的法向量.
知识点2 用向量法解决空间中的平行问题 空间中平行问题确实定策略 (1)直线与直线平行:关键看直线的方向向量是否共线. (2)直线与平面平行:关键看直线的方向向量与平面的法向量是 否垂直;或者看直线的方向向量与平面内的直线的方向向量是 否共线.特别要强调直线在平面外. (3)平面与平面平行:关键看两平面的法向量是否共线.
【要点探究】 知识点1 点、直线、平面位置的向量表示 1.点、直线、平面位置确定的关键 (1)确定点:用向量确定空间中的任意一个点,关键是确定一个 基点. (2)确定直线:用向量确定一条直线,关键是确定一个点和一个 方向向量.
(3)确定平面: ①一个定点两个向量:用向量确定一个平面,关键是理解平面向 量根本定理,即存在有序实数对(x,y)使得 O P =xa+yb,这样点O 与向量a,b不仅能确定一个平面,而且还能具体表示出平面内的 一个点. ②一个点一个向量:给定一个点和一个向量,过这个点,以这个 向量为法向量的平面惟一确定.
位置关系 向量关系 向量运算关系
l∥m
_a_∥__b_ _a_=_k_b_,_k_∈__R_
l∥α
_a_⊥__u_
__a_·u_=_0__
α∥β _u_∥__v_ u=kv,k∈R
坐标关系 a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3
_a_1_u_1+_a_2_u_2_+_a_3u_3_=_0_ u1=k探究】1.题(1)中两条直线平行,两条直线对应的方向向 量关系如何? 2.题(2)中直线AD与平面SAB是否垂直,其方向向量能否作为平 面SAB的法向量,平面SCD的法向量所在的直线与直线DC,DS 是否垂直?
2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.2.1空间向量与平行关系
个法向量为n=(1,y,z),
则n·DuuCur=(1,y,z)·(1,2,0)=1+2y=0,所以y=-
1.
2
又n·DuuuSr=(1,y,z)·(-1,0,2)=-1+2z=0,所以z=
1.
2
所以n= (1, 1 ,即1)为平面SCD的法向量.
22
【内化·悟】 (1)两直线平行的条件是什么? 提示:方向向量平行.
uuur DA,
DuuCur ,的DuuDuur1
方向分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角
坐标系,如图.
设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1), C1(0,1,2),F(1,1,1),E1 (1, 12设, 2平)，面C1E1F的法向量
为n=(x,y,z).因为
uuuuur C1 E1
22
⊥n.
uuuur MN
又MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.
方法二:因为
uuuur uuuur uuuur MN＝C1N－C1M＝
1 2
uuuur C1B1－
1 2
uuur C1C＝
1 2
uuuuur uuuur (D1A1－D1D)
＝
1 2
Duu所Auur1，以
∥ MuuuNu,r而MDuuAuNur1 ⊄平面A1BD,DA1⊂平面
一个法向量为n=(1,1,1).
【加练·固】
已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为
u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于
()
A.3
B.6
C.-9
D.9
【解析】选C.因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即 u·v=0,所以1×3+(-3)×(-2)+z×1=0,所以z=-9.
2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件新人教A版选修2_1
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 0⇔_______________________ ．
(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R) λu⇔_______________________________________ ． (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，
＝0.
(3)面面平行 设平面 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，
u＝λv c2) ，则 α∥β⇔u∥v⇔__________ ⇔a1 ＝ λa2 ， b1 ＝ λb2 ， c1 ＝
λc2(λ∈R)． 3．空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量 为 b ＝ (b1 ， b2 ， b3) ， 则 l⊥m⇔a⊥b⇔a· b ＝
－1 → 解析：选 B.由题意，得AB＝(－1，－2－y，z－3)，则 ＝ 2 －2－y z－3 3 3 ＝ ，解得 y＝－ ，z＝ ，所以 y＋z＝0，故选 B. 1 3 2 2
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)， 设 M(x，y，z)是平面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
4 u1＝2，3，1，平面的法向量为
u2
＝(3，2，z)，则当直线与平面垂直时 z＝________． 3 答案： 2
设平面 α 的法向量为(1， 3， －2)， 平面 β 的法向量为(－2， －6，k)，若 α∥β，则 k＝__________．
人教版2017高中数学(选修2-1)3.2 第1课时 空间向量与平行关系 探究导学课型PPT课件
平行，那么这条直线和这个平面平行 3.面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，那么这两个平面平行
主题一：用空间向量表示点、线、面 【自主认知】 1.若O为一定点，则哪一个向量可表示空间点P相对于O的位置？
提示：定点O作为基点，空间任一点P的位置可用向量
故向量 可表示点P相对于O的位置.
2.空间两平面α ，β 的法向量分别为u=(1，3，6)，v=(-2，-6，
表示，
OP
OP
2.我们知道倾斜角与一个点可以确定一条直线，那么如果要用向量表 示空间一条直线应该确定哪些量？
提示：用向量表示空间一条直线首先应知直线所过的定点，然后再明
确直线的方向(即确定直线的方向向量)，就可确定一条直线.
3.一个点与一个垂直于平面的向量能否确定一个平面.
②直线l___平面α . 方向向量
⊥
【合作探究】 1.一条直线的方向向量大小是否一定相等，方向是否一定相同？ 提示：直线的方向向量有无数多条，它们只要与直线平行就可作为方 向向量，它们的长度可以任意，方向既可能相同也可能相反 .
2.一个平面的法向量可以有几条？它们的方向是否一定相同？
提示：一个平面的法向量有无数多个，只要与平面垂直的非零向量都
实数t，使得_________. AB
AP tAB
(3)空间直线的向量表达式的两点作用： ①点A和向量a可以确定直线的_____； 位置 ②点A和向量a可以具体的表示出l上的任意_____. 一点 3.平面的法向量 向量a为平面α 的法向量应满足的两个条件： ①向量a表示直线l的_________.
【解析】选C.显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z), 则有
主题一：用空间向量表示点、线、面 【自主认知】 1.若O为一定点，则哪一个向量可表示空间点P相对于O的位置？
提示：定点O作为基点，空间任一点P的位置可用向量
故向量 可表示点P相对于O的位置.
2.空间两平面α ，β 的法向量分别为u=(1，3，6)，v=(-2，-6，
表示，
OP
OP
2.我们知道倾斜角与一个点可以确定一条直线，那么如果要用向量表 示空间一条直线应该确定哪些量？
提示：用向量表示空间一条直线首先应知直线所过的定点，然后再明
确直线的方向(即确定直线的方向向量)，就可确定一条直线.
3.一个点与一个垂直于平面的向量能否确定一个平面.
②直线l___平面α . 方向向量
⊥
【合作探究】 1.一条直线的方向向量大小是否一定相等，方向是否一定相同？ 提示：直线的方向向量有无数多条，它们只要与直线平行就可作为方 向向量，它们的长度可以任意，方向既可能相同也可能相反 .
2.一个平面的法向量可以有几条？它们的方向是否一定相同？
提示：一个平面的法向量有无数多个，只要与平面垂直的非零向量都
实数t，使得_________. AB
AP tAB
(3)空间直线的向量表达式的两点作用： ①点A和向量a可以确定直线的_____； 位置 ②点A和向量a可以具体的表示出l上的任意_____. 一点 3.平面的法向量 向量a为平面α 的法向量应满足的两个条件： ①向量a表示直线l的_________.
【解析】选C.显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z), 则有
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
新人教A版数学选修2-1课件：3.2 第一课时 空间向量与平行、垂直关系
3.空间平面的向量表示
空间中平面α 的位置可以由α 内两条相交直线来确定.如图所示,设这两条直线 相交于点 O,它们的方向向量分别为 a 和 b,P 为平面α 上任意一点,由平面向量基 本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得 OP =xa+yb.这样,点 O 与向量 a,b 不仅 可以确定平面α 的位置,还可以具体表示出α 内的任意一点.
法三
因为 MN
= C1N
- C1M
=
1 2
D1
A1
-
1 2
D1D
=
1 2
(
DB +
BA )-
1 2
(
D1 A1
+
A1D
)=
1 2
DB
+
1 2
BA
-
1 2
D1 A1
-
1 2
A1D
=
1 2
DB
+
1 2
DA1
+
1 2
(
BA
-
DA
)=
解析:问题即求与n共线的一个向量.即n=(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
3.已知直线l与平面α 垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量 v=(3,-2,1)与平面α 平行,则z等于( C ) (A)3 (B)6 (C)-9 (D)9
解析:因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以 1×3+3×2+z×1=0, 所以z=-9.
x xz
y
0, 0,
解得
x x
y, z.
令
x=1,则
y=z=1.
数学第三章3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系课件(人教A版选修2-1)
3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
学习导航 学习目标
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________方，向向量a 则向量a叫做平面α的_________，法给向定量一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)，
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
学习导航 学习目标
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的___________方，向向量a 则向量a叫做平面α的_________，法给向定量一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、 N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)，
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
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课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
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菜
单
新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
【提示】
→ → AB∥CD.
2．如图直线 l⊥平面 α，直线 l∥m，在直线 m 上 取向量 n，则向量 n 与平面 α 有怎样的关系？
当 堂 双 基 达 标
系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三 个平面的法向量在求解时方法是否相同？
课 时 作 业
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新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 → → A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量AB与CD有怎样 的关系？
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧
课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量、平面的法向 量的概念及求法．(重点) 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 线线、线面、面面间的平行关系．(重 点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
无数 向量，一条直线的方向向量有____________ 个． 方向向量 直线 l⊥α，取直线 l 的_______________ a，则向量
a 叫做平面 α 的法向量.
课 时 作 业
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新课标· 数学 选修 2-1
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
【自主解答】
以点 A 为原点，AD、
AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)， 1 B(0,1,0)，C(1,1,0)，D( ，0,0)，S(0,0,1)． 2 → (1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴AS＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． ∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， 1 → ∴AD＝( ，0,0)是平面 SAB 的一个法向量． 2
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兴趣．
教 师 备 课 资 源 单
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧
●重点难点 重点： 用向量方法判断有关直线和平面平行关系问 题． 难点： 空间直角坐标系的正确建立， 空间向量的运 算及其坐标表示； 用向量语言证明立体几何中有关平行 关系的问题．
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的 垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量， 步骤如下： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
x＝－2y z＝－y，
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1 x＋y＝0 得 方 程 组 2 x＋y－z＝0.
∴
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令 y＝－1 得 x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．
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图 3－2－3 (1)平面 BDD1B1 的一个法向量． (2)平面 BDEF 的一个法向量．
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●教学流程设计
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(3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组
a＝0， n· b＝0. n·
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线面 平行
设 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，α 的法
a· u 向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔________
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ＝0⇔______________________
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并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效 率． 本节课难点在于用向量证明平行关系， 所以利用多 媒体帮助分散难点， 更符合学生的认知规律． 同时在教 学中注意关注整个过程和全体学生，“以学生发展为核 心”，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．
设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v
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面面 平行
u∥v ＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔__________ ⇔ (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) ____________________________
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●教学建议 在“以生为本”理念的指导下， 充分体现课堂教学中 “教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本， 以学定教 ” 的教学理念，构建学生主动的学习活动过 程．在教学策略上宜采用“复习引入——推进新课—— 归纳与总结——反思”组成的探究式教学策略，
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【提示】 n⊥α.
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直线的方向向量是指和这条直线 _______________ 平行或共线的非零
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3.2
立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系
教师用书独具演示
第 1 课时
●三维目标 1.知识与技能 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面 与平面的平行关系， 能用向量方法判断有关直线和平面 平行关系的立体几何问题．
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(1)求平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量． (2)求平面 SCD 的一个法向量． 【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标
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2．过程与方法 通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过 程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题， 体验在探索 问题的过程中的受挫感和成功感， 培养合作意识和创新 精神， 同时感受数学的形式美与简洁美， 从而激发学习
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【提示】
→ → AB∥CD.
2．如图直线 l⊥平面 α，直线 l∥m，在直线 m 上 取向量 n，则向量 n 与平面 α 有怎样的关系？
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系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三 个平面的法向量在求解时方法是否相同？
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直线的方向向量与平面的法向量
【问题导思】
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图 3－2－1 1．如图 3－2－1，直线 l∥m，在直线 l 上取两点 → → A、B，在直线 m 上取两点 C、D，向量AB与CD有怎样 的关系？
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课 标 解 读
1.掌握直线的方向向量、平面的法向 量的概念及求法．(重点) 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 线线、线面、面面间的平行关系．(重 点、难点)
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无数 向量，一条直线的方向向量有____________ 个． 方向向量 直线 l⊥α，取直线 l 的_______________ a，则向量
a 叫做平面 α 的法向量.
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【自主解答】
以点 A 为原点，AD、
AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0,0,0)， 1 B(0,1,0)，C(1,1,0)，D( ，0,0)，S(0,0,1)． 2 → (1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴AS＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量． ∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB， 1 → ∴AD＝( ，0,0)是平面 SAB 的一个法向量． 2
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兴趣．
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1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的 垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量， 步骤如下： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
x＝－2y z＝－y，
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1 x＋y＝0 得 方 程 组 2 x＋y－z＝0.
∴
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(3)根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组
a＝0， n· b＝0. n·
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设 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，α 的法
a· u 向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔________
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ＝0⇔______________________
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设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v
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u∥v ＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔__________ ⇔ (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) ____________________________
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(1)求平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量． (2)求平面 SCD 的一个法向量． 【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标
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2．过程与方法 通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过 程，体会向量运算的几何意义． 3．情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题， 体验在探索 问题的过程中的受挫感和成功感， 培养合作意识和创新 精神， 同时感受数学的形式美与简洁美， 从而激发学习