高三数学上学期第二次阶段性(期中)试题 文
山东省新泰二中2020届高三上学期第二次阶段性考试数学试卷含答案
新泰二中高三阶段性测试二数学试题一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分,共52分.前10题为单选，后三题为多选题，选对而不全得2分。
1.已知集合{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|02x x <≤D ．{}|12x x <≤2.下列命题中假命题的是（ ）A ．x R ∃∈，lg 0x =B ．,x R ∃∈tan 0x =C ．x R ∀∈，20x >D ．x R ∀∈，20x >3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2xy -=4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703S π=，则4sin a =（ ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．25.已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =（ ）ABC ．2D ．36.要得到函数()cos(2)6f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s C =（ ）A ．14-B ．-C ．14D 8.函数331x x y =-的大致图象是（ ）9.我国数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则时，12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2(1)n -B ．(1)n n -C ．2nD ．(1)n n +10.函数223,0,()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ） A ． B ． C ． D ． 12.（多选题）设是等比数列，下列命题正确的是（ ）A.是等比数列； B. 是等比数列；C.是等比数列； D. 是等差数列.13．（多选题）已知函数，则下列命题正确的是（ ） A.函数的最大值为4； B.函数的图象关于点对称； C.函数的图像关于直线对称； D.函数在上单调递减 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的___条件．2n ≥(0,)+∞3y x =1ln ||y x =sin y x =1y 2x⎛⎫= ⎪⎝⎭{}*()n a n N ∈{}2*()na n N ∈*1()n n a an N +∈*1()n n a a n N ++∈()sin f x x x =()f x ()f x ,03π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 6x π=()f x ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.计算：cos102sin 20sin10︒-︒=︒________．16.函数()()22ln 0f x x x =-++∞在，上的极大值为___________．17.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是_______．三、解答题 （本大题共6小题，共82分.）18.（本小题10分）已知函数22()cos ()sin 6f x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19.（本小题14分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-． (I)证明{}2n S n -+为等比数列； (II)设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T20.（本小题4分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=．（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围．21.（本小题14分）已知定义域为R 的函数()22x x bf x a-+=+是奇函数.(I)求,a b 的值；(1I)若不等式()()2210f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．22.（本小题15分）．已知数列}{n a 满足：2,121==a a ，正项数列}{n b 满足1+=n n n a a b ()*Nn ∈，若}{nb是公比为2的等比数列 （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n S 为{}n a 的前n 项和，求n S ．23.（本小题15分）已知函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+（a ，b R ∈）． （1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．新泰二中高三阶段性测试二数学试题答案一、选择题1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、BD 12、AB 13、CD二、填空题14.充要条件 15.3 16.17.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题18.解：（1）2211()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦132cos 2)22x x =+)3x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)123x π-≤+≤，所以3()4f x ≥-， 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为34-． 19.解：（Ⅰ）当时，；时原式转化为： ，即，所以，所以为首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（1）知：，所以.于是，20.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA=． （2）由题意可知23A B π+=．21sin sin sin sin()sin sin )322A B A A A A A π=-=+11sin 2cos 2444A A =-+11sin(2)264A π=-+． 因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126A π-<-≤，所以sin sin A B 的取值范围是3(0,]4．21.解：(Ⅰ)因为在定义域为的奇函数，所以，即.又由，即，检验知，当时函数为奇函数.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故函数在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式：，等价于，即因为减函数，由上式可得．即有：恒成立，当时不成立； 当时需解得. 综上k 的取值范围为.22.解：(1)因为所以，数列奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2因为，所以(2)当n 是偶数时＝当n 是奇数时综上得23.解：（1）∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+， 又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-，∴2210a a -+=，解得1a =，83b =． ∴3218()33f x x x =-+，2'()2f x x x =-， 由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =，4(2)3f =，(2)4f -=-，(4)8f =， 112212n n n n n n n n b a a a b a a a +++++==={}n a 121,2a a ==1,n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数，为正偶数()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2323n ∙-11122213232423n n n n n n S S a ----=+=∙-+=∙-212323,423nn n n S n -⎧∙-⎪=⎨⎪∙-⎩为偶数，为奇数∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -，1a +，若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间(1,1)-上，则111a -<+<或111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．。
2021-2022年高三数学上学期第二阶段(期中)试题 文
2021-2022年高三数学上学期第二阶段（期中）试题文一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
()()若复数Z满足Z求1.=i1,i Z-=A． B． C． D．2.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（）B为（）A.{2，4，5}B.{1，3，4}C.{1，2，4}D.{2，3，4，5}3.下图可表示函数图像的是（ D ）4.函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.已知等差数列中，，则的值是（）A．12 B．8 C．6 D．46.已知向量，且，则x＝（）A．2 B．C．1 D．07.已知错误！未找到引用源。
是第二象限角，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ． 错误！未找到引用源。
B ． 错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ．8．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位 D ．向左平移π12个单位9．等比数列的各项为正数，且5631323109,log log log a a a a a =+++=则（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+ 10.若都是锐角，且，，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或11.已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]12.已知函数，若，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（ ）A ．个B . 个C . 个D . 个二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题(解析版)
2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =≤<，{}3C x a x a =-<≤+，若CA C =，则a 的取值范围为（ ）A ．312a -<≤-B ．32a ≤-C ．1a ≤-D ．32a >-【答案】C 【分析】由C A C =得出C A ⊆，再分类集合C 是空集和不是空集求解a 的取值范围即可. 【详解】C A C =，C A ∴⊆，{}3C x a x a =-<≤+，当3a a -≥+时，即32a ≤-时，C =∅，满足C A ⊆，当C ≠∅时，有3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-，综上，a 的取值范围为1a ≤-， 故选：C.2．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤， 又[]2,0- (],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立， 由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立， 所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件. 故选：B3．函数y 2222x xx x--+=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，奇偶性，单调性进行判断即可. 【详解】因为函数()2222x xx x f x --+=-的定义域为{|0}x x ≠，故排除C ；因为()()222202222x x x xxx x xf x f x ----+++-=+=--，且定义域关于原点对称， 则其为奇函数，故排除B ； 又()2222112221x x x x f x --⨯=+=+--，当0x >时，是单调减函数，故排除A . 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数单调性，奇偶性的判断以及指数函数的单调性，属基础题.4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示，其中阅读时间是810-小时的组频数和组频率分别是（ ）A ．15和0.125B ．15和0.25C ．30和0.125D ．30和0.25【答案】D【分析】由频率分布直方图求解.【详解】解：由频率分布直方图知：阅读时间是810-小时的组频率是0.12520.25⨯=， 阅读时间是810-小时的组频数是1200.2530⨯=， 故选：D5．已知7log 5a =，9log 7b =，0.11.11c =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c<a<b B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】B【分析】先分析得到1,,1c a b ><，再利用作差法结合基本不等式判断,a b 大小即得解.【详解】解：0.1077991.11 1.111,log 5log 71,log 7log 91,c a b =>==<==<=2lg5lg7lg9lg5(lg7)lg7lg9lg7lg9a b ⋅--=-=⋅，因为2222222lg9lg5lg45lg49lg9lg5(lg7)(lg7)(lg7)(lg7)0222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--=-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.6．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）A ．34B 5C ．45D 5【答案】B【分析】以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出BC 和BP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,0C 所以()0,1,0AB =，()1,0,0AD =-，()0,0,1AE =， 231,,323214324AP AB AD AE =++⎛=⎫- ⎪⎝⎭，131,,342P ∴⎛⎫ ⎪⎝⎭211,,342P B ⎛⎫=--∴ ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，23BP BC BC⋅∴=，2222211109342144BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=所以点P 到BC 的距离221094514494BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪ ⎪-=⎝⎭． 故选：B.7．已知函数()sin 3f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【答案】C【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.【详解】()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性， 所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π. 故选：C.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A ．22172x y -=B ．2262511x y -=C ．22154x y -=D ．22145x y -=【答案】C【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程. 【详解】圆22:650C x y x +-+=的圆心为()3,0C ，半径为2r =.由题意双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=2=；因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以3c =，2229b a c +==， 所以2b =；又2225c a b =-=，所以双曲线的方程为22154x y -=.故选：C.9．已知函数()2x x f x e=，若关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．11,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．241,1e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用导数研究()f x 的单调性和最值，画出函数图像，数形结合，即可求得. 【详解】因为()2x x f x e=，故可得()()2x x x f x e '-=，令()0f x '=，解得0x =或2x =，故可得()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞单调递减，在区间()0,2单调递增. 且()()2400,2f f e ==，当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 故其函数图像如下所示：令()t f x =，故关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡， 即为210t mt m ++-= 解得1t =-或1t m =-.当1t =-时，()1f x =-没有实数根；故要满足题意，只需()1f x m =-有三个实数根即可. 数形结合可知，只需()24012m f e <-<=， 解得m ∈241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及方程与函数之间的相互转化，属综合中档题.二、填空题10．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________． 5【详解】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长. 详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．11．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.【答案】1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.12．5(12)x -展开式中3x 的系数为__________. 【答案】-80【解析】求出5(12)x -的展开式的通项即得解.【详解】5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，令3r =，所以3x 的系数为335(2)80C -=-.故答案为：80-【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数，一般利用二项展开式的通项求解.13．一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则条件概率()|P B A 的值为______. 【答案】23【分析】根据条件概率的公式解题. 【详解】由已知可得，()34P A =，()321432P AB ⨯==⨯， ()()()122|334P AB P B A P A ===.故答案为：23.三、双空题14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则()()22411a b +⋅+的最小值为___________.22242214a b b a a b -+--+++的最小值为___________.【答案】 412+【分析】空1先把22a b +=两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值，（或根据柯西不等式直接求解）；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解. 【详解】空1方法一，由22a b +=得22444a ab b ++=，22444a b ab +=-，()()2222222221411441445442a b a b a b a b ab ab ⎛⎫+⋅+=+++=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12ab =且22a b +=时，即112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.空1方法二，由柯西不等式得()()()()()222224114112 4.ab a b a b +⋅+=+⋅+≥+=当112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.故答案为：4.空2，22242214a b b a a b -+--+++22222414a a b b a b +++-=+++22(1)2148146a a b b a b ++++=++-++ 28282311414a b a b a b =++-+=-++++++()1212(1)(48184a b a b ⎛⎫=-+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 12(4)14881146(1)a b a b +⎛⎫=-++++ ⎪++⎝⎭+12(4)11281146(1)a b a b +⎛⎫=-+++ ⎪++⎝⎭+(11128≥-++ 12=当5,12a b ==-.故答案为：12+15．在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，E ，F 分别为线段BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，点M 在线段EF 上，且满足5()6AM xAB AD x R =+∈，则x =___________；若点N 为线段BD 上一动点，则AN MN ⋅的取值范围为___________. 【答案】12； 373[,]164-【分析】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出,,AM AB AD →→→，根据它们的关系求得x 的值及M 的坐标；设(0,)N t ，表示出AN MN →→⋅的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，如图所示：则33(A ，3(0,)2B ，3(0,)2D -，333()2AB →=，333()2AD →=-，由题知，EF AC ⊥，且13BE BC =，设3()M y ，则3,)AM y →=，由56AM x AB AD →→→=+， 则33533236353()262x y x ⎧+⎪⎪⎨⎪=+⋅-⎪⎩，解得12x =，12y =-，设(0,)N t ，33[,]22t ∈-，33()AN t →=，31()2MN t →=+则233193(()2224t AN MN t t t →→⋅=++=+-，33[,]22t ∈-则29373[,]24164t AN MN t →→⋅=+-∈-故答案为：12；373[,]164-.四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若3,2c a b +=，求ABC 的面积． 【答案】（1）6π； （23【分析】（13sin cos A A B =，求得3cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为3cos 2b A ac +=， 由正弦定理可得3sin cos sin sin 2B A AC +=， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以3sin sin cos 2A AB =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以3cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，3c =，由余弦定理可得2233cos 223a b B a +-==⨯，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==， 所以1113sin 132224ABCSac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．如图，在三掕台111ABC A B C 中,90,4BAC AB AC ︒∠===,111112A A A B AC ===,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.(1)证明:1BB ⊥平面1AB C (2)求点1B 到平面ABD 的距离;(3)求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 31030【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得11AB BB ⊥,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得1AC BB ⊥,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱雉1B ABD -的体积等于三棱雉1D ABB -,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面11ABB A 内,过1B 作1B E AB ⊥,且1B E AB E ⋂=，则11112,2B E AA A B AE ====,在1ABB 中,112,B E AE BE B E AB ===⊥,易知190AB B ︒∠=,即11AB BB ⊥,1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面1,ABC AA AC ∴⊥,AC AB ⊥,且11,,AA AB A AB AA ⋂=⊂平面11,ABB A AC ∴⊥平面11ABB A ,1BB ⊂平面11111,,,ABB A AC BB AC AB A ACAB ∴⊥⋂=⊂平面1ACB ,1BB ∴⊥平面1ACB .（2）取1AA 的中点F ，连接1,DF DB ，则//DF AC ,即()111||||32DF AC AC =+=,且DF ⊥平面11ABB A , 在Rt DFA 中,222DF AF AD +=,则10AD =, 1AA ⊥平面ABC ,且AB ⊂平面1,ABC AA AB ∴⊥,1,AB AC AA AC A ⊥⋂=,且1,AC AA ⊂平面11,ACC A AB ∴⊥平面11ACC A ,AD ⊂平面11,ACC A AB AD ∴⊥,故a 1||||2102ABD S AB AD =⋅⋅=,由（1）易得11||42ABQSAB B E =⋅⋅=, 设1B 到平面ABD 的距离为h ,由三棱雉1B ABD -的体积等于二棱雉1D ABB -, 则111||33ABDABB h S DF S ⋅⋅=⋅⋅,即1||343105210ABB ABDDF S h S⋅⋅===.（3）以点A 为原点,分别以1,,AB AC AA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直线坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(0,2,2)A B C C ,由点D 为1CC 的中点,则(0,3,1)D 在平面BCD 中,取(4,4,0),(4,3,1)BC BD =-=-,设该平面的法向量()111,,n x y z =, 则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111111111440,430x y y x x y z z x ⎧-+==⎧⎪⎨⎨-++==⎪⎩⎩,今11x =,解得111,1==y z , 故平面BCD 的一个法向量(1,1,1)n =,在平面ABD 中,取(4,0,0),(0,3,1)AB AD ==,设该平面的法向量()222,,m x y z =, 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222400,303x x y z z y ⎧==⎧⎪⎨⎨+==-⎪⎩⎩,今21y =,解得220,3x z ==-, 故平面ABD 的一个法向量(0,1,3)m =-,则cos ,||||11n m n m n m ⋅<>===⋅+, 故平面BCD 与平面ABD 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()112n n n S S a =-+， (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n n a c a a ++=++，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)12n na = (2)(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案； （2）变形得到1112121n n n c +=-++，利用裂项相消法求和得到11113213nn T +=-<+，结合223n T λλ<+恒成立，从而得到22133λλ+≥，求出实数λ的取值范围.【详解】（1）()112n n n S S a =-+整理为1n n S a =-+， 当1n =时，111S a =-+，即111a a =-+，解得：112a =， 当2n ≥时，111n n S a --=-+，1n n S a =-+与111n n S a --=-+相减得：1n n n a a a -=-+，即112n n a a -=， 故{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，所以1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭； （2）()()111111112111*********n n nn n n n n n a c a a +++++===-++++⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故12223113111111212121212121nn n n T c c c c +=-+-++-++=++++++++1111111121213213n n ++=-=-<+++， 因为对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，故只需22133λλ+≥，解得：13λ≥或1λ≤-， 故实数λ的取值范围是(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭.19．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ， 又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值. 20．设函数()212x f x =-(1)若函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，求k 的最小值.(2)证明：当0x ≥时，()cos f x x ≥-；(3)若对于任意的0x ≥，不等式e sin cos 2ax x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)[)1,+∞【分析】（1）根据题意，得到()e 10x g x k x '=--≥，转化为1e x x k +≥，通过导数求出1e xx +的最大值，进而得到k ；（2）问题转化为转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，分两次求导，讨论()g x 的单调性，进而得到()(0)0g x g ≥=，从而题目得证；（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，构造2()e 12xx G x x =---，通过讨论()G x 的导数，得到()(0)0G x G ≥=，进而得到2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+，再分类讨论1a <与1a ≥，即可得到满足题意时，a 的取值范围.【详解】（1）()()e xg x k x f x =--21e 2xk x x =-+-，函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，()e 10x g x k x '=--≥，故1e x x k +≥，令1()ex x h x +=，2e (1)e ()(e )e x x x x x x h x -+'==- 当(,0)x ∈-∞，()0h x '>，()h x 单调递增； 当,()0x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单调递减； ()(0)1h x h ≤=，得[]max ()1h x =，则max11e x x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故1k ≥时，满足函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，故k 的最小值为1（2）若0x ≥时，()cos f x x ≥-，则()21cos 2x f x x =-≥-，转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x -'=，设()sin x x x ϕ=-，则()1cos x x ϕ'=-，当0x ≥时，()1cos 0x x ϕ'=-≥，即()sin x x x ϕ=-为增函数，所以()(0)0g x g ''≥=，()g x ∴在(0,)+∞时为增函数，所以，()(0)0g x g ≥=，得2cos 102x x +-≥，()21cos 2x f x x =-≥-，故当0x ≥时，()cos f x x ≥-成立.（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，设2()e 12xx G x x =---，则()e 1x G x x '=--，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x ≥时，()e 10x h x '=-≥，所以()e 1x h x x =--为增函数，所以，()()(0)0G x h x h '=≥=，所以()G x 为增函数，所以，()(0)0G x G ≥=，所以2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+对任意的0x ≥恒成立，又0x ≥，1a ≥时，e e ax x ≥，所以1a ≥时，e sin cos 2ax x x ≥-+对任意的0x ≥恒成立；当1a <时，设()e sin cos 2ax m x x x =-+-，则()e cos sin ax m x a x x '=--，(0)10m a '=-<，所以存在实数00x >，使得任意()00,x x ∈，均有()0m x '<，所以()m x 为减函数，所以在()00,x x ∈时，()(0)0m x m <=，此时，e sin cos 20ax x x -+-<，e sin cos 2ax x x ≤-+，与题意不符，所以1a <时不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
山东省新泰二中2020届高三上学期第二次阶段性考试数学试卷含答案
新泰二中高三阶段性测试二数学试题一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分,共52分.前10题为单选，后三题为多选题，选对而不全得2分。
1.已知集合{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|02x x <≤D ．{}|12x x <≤2.下列命题中假命题的是（ ）A ．x R ∃∈，lg 0x =B ．,x R ∃∈tan 0x =C ．x R ∀∈，20x >D ．x R ∀∈，20x >3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2xy -=4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703S π=，则4sin a =（ ）A ．2-B ．12-C ．12 D ．25.已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =（ ）AB C ．2D ．36.要得到函数()cos(2)6f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos C =（ ）A ．14-B ．C ．14D 8.函数331x x y =-的大致图象是（ ）9.我国数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则2n ≥时，12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2(1)n -B ．(1)n n -C ．2nD ．(1)n n +10.函数223,0,()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x = B ．1ln ||y x = C ．sin y x = D ．1y 2x⎛⎫= ⎪⎝⎭12.（多选题）设{}*()n a n N ∈是等比数列，下列命题正确的是（ ）A.{}2*()na n N ∈是等比数列； B. *1()n n a an N +∈是等比数列；C.*1()n n a a n N ++∈是等比数列； D. 是等差数列.13．（多选题）已知函数()sin f x x x =，则下列命题正确的是（ ） A.函数()f x 的最大值为4； B.函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； C.函数()f x 的图像关于直线6x π=对称； D.函数()f x 在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的___条件．15.计算：cos102sin 20sin10︒-︒=︒________．16.函数()()22ln 0f x x x =-++∞在，上的极大值为___________．17.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是_______．三、解答题 （本大题共6小题，共82分.）18.（本小题10分）已知函数22()cos ()sin 6f x x x π=--．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19.（本小题14分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-． (I)证明{}2n S n -+为等比数列； (II)设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T20.（本小题4分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=．（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围．21.（本小题14分）已知定义域为R 的函数()22x x bf x a-+=+是奇函数.(I)求,a b 的值；(1I)若不等式()()2210f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．22.（本小题15分）．已知数列}{n a 满足：2,121==a a ，正项数列}{n b 满足1+=n n n a a b ()*N n ∈，若}{n b 是公比为2的等比数列（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n S 为{}n a 的前n 项和，求n S ．23.（本小题15分）已知函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+（a ，b R ∈）． （1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．新泰二中高三阶段性测试二数学试题答案一、选择题1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、BD 12、AB 13、CD二、填空题14.充要条件 16.17.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题18.解：（1）2211()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦132cos 2)22x x =+)3x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)123x π-≤+≤，所以3()4f x ≥-， 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为34-． 19.解：（Ⅰ）当时，；时原式转化为：，即，所以，所以为首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（1）知：，所以.于是，20.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA=． （2）由题意可知23A B π+=．21sin sin sin sin()sin sin )32A B A A A A A π=-=+112cos 244A A =-+11sin(2)264A π=-+． 因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126A π-<-≤，所以sin sin A B 的取值范围是3(0,]4．21.解：(Ⅰ)因为在定义域为的奇函数，所以，即.又由，即，检验知，当时函数为奇函数.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故函数在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式：，等价于，即因为减函数，由上式可得．即有：恒成立，当时不成立； 当时需解得.综上k 的取值范围为.22.解：(1)因为112212n n n n n n n nb a a a b a a a +++++===所以，数列{}n a 奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2因为121,2a a ==，所以1,n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数，为正偶数(2)当n 是偶数时()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++＝2323n ∙-当n 是奇数时11122213232423n n n n n n S S a ----=+=∙-+=∙-综上得212323,423nn n n S n -⎧∙-⎪=⎨⎪∙-⎩为偶数，为奇数23.解：（1）∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+， 又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-， ∴2210a a -+=，解得1a =，83b =． ∴3218()33f x x x =-+，2'()2f x x x =-， 由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =，4(2)3f =，(2)4f -=-，(4)8f =， ∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -，1a +，若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；若有一个根在区间(1,1)-上，则111a -<+<或111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．。
2021-2022年高三数学上学期第二阶段(期中)试题 理
2021-2022年高三数学上学期第二阶段（期中）试题理一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，2．已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x>-1} B．{x|x<1} C．{x|-1<x<1} D．3．设方程实根为，则所在区间是（）A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)4．过两点，的直线方程为（） A． B．C． D．5．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．6．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（）A．6 B．7 C． 8 D．9 7．在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知, . 则角为（）A .B . C． D．8．数列1111 ,,,,133557(21)(21)n n⨯⨯⨯-+，的前n项和为（）A．B．C．D．9．函数的图像的大致形状是( )10．定义在上的函数满足：1()(),(1)()f x f x f xf x-=-+=，当时，，则( )A. B. C. D.11．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是 ( )A．1， B．1，- C．2，D．2，-12.已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若()1111,22,ln ln2222a fb fc f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的大小关系正确的是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分） 13．直线的倾斜角为14．已知31)6tan(,21)6tan(-=-=++πβπβα，则=__________15．设等比数列{ }的前n 项和为，若=3 ，则16.已知数列中，*11n )0(3,3N b b a a a n n n ∈=+=+＞，① b=1时，=12;②存在，数列成等比数列； ③当时，数列是递增数列； ④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）。
江西省上饶市民校考试联盟2023届高三上学期阶段测试(二)数学(文)试题(含答案解析)
江西省上饶市民校考试联盟2023届高三上学期阶段测试（二）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设i 为虚数单位，复数z 满足(1i)13i z +=-，则z =（）A ．12i--B ．12i-+C ．12i-D ．12i +2．设集合{}2log 2M x x =<，{}2340N x x x =--≤，则M N ⋂=（）A ．{}04x x <<B ．{}14x x -≤≤C ．{}13x x -≤<D ．{}04x x <≤3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈>R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨4．设偶函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则（）A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭5．已知x ，y 满足不等式组240326020x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．325B ．52-C ．6-D ．4-6．设4,0,,sin )25παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭，则cos β=（）A．25-BCD．5-7．在区间(0，1)中随机地取出两个数，则这两数之和大于1的概率是（）A ．18B ．14C ．23D ．128．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．13x -<<9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，112AB BC AA ==，则异面直线AB 与1AC 所成角的余弦值为（）A B C ．3D 10．若第一象限内的点(),m n 关于直线20x y +-=的对称点在直线230x y ++=上，则18m n+的最小值是（）A ．25B ．259C ．17D ．17911．三角形ABC 的三边,,a b c 所对的角为,,A B C ，221(sin sin )sin sin cos A B A B C --=+，则下列说法不正确的是（）A ．π3C =B ．若ABC 面积为则ABC 周长的最小值为12C ．当5b =，7c =时，9a =D ．若4b =，π4B =，则ABC 面积为6+12．已知11.19.1a =e ，10.110.1b =e ，9.111.1c =e ，则（）A ．a c b>>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a b c>>二、填空题13．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，满足210PF PF ⋅=，若12PF F △的面积为9，则b =_____________14．若平面向量,,a b c两两的夹角相等且不为0，且1==a b r r ，4c = ，则a b c ++=____________15．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为_____________16．已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为_____________三、解答题17．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a 的值；(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)当PA ＝AB ＝2，∠ABC ＝π3时，求三棱锥C PBD -的体积.19．已知数列{}n a 的首项()*112,322,N n n a a a n n -==+≥∈.(1)求n a ；(2)记()3log 1n n n b a a =⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .20．已知函数()()ln 1f x x x a x =+-，R a ∈．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()1,0P 的直线l 与椭圆有两个交点A ，B ，当l x ⊥轴时，AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在一点(),0Q t ，1t ≠，使得AP AQ BPBQ=，若存在，求出Q 点坐标，若不存在请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos ,3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为πcos ,3π6sin3x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．(1)判断直线l 和圆C 的位置关系，并说明理由；(2)设P 是圆C 上一动点，()4,0A ，若点P 到直线lCA CP ⋅ 的值．23．已知函数()13f x x x =-+-．(1)解不等式()4f x >；(2)若()2f x x m ≥+的解集非空，求实数m 的取值范围．参考答案：1．B【分析】利用复数的代数运算法则，即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求得答案.【详解】()()()13i (1i)13i 1i 13i,12i 1i 1i (1i)z z ---+=-∴===--++- ，则z =12i -+.故选：B 2．A【分析】先求出集M 、N ，再求两集合的交集即可.【详解】由22log 2log 4x <=，得04x <<，所以{}04M x x =<<，由2340x x --≤，得14x -≤≤，所以{}14N x x =-≤≤，所以{}04M N x x ⋂=<<.故选：A.3．B【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为假命题；由于e x y =在R 上为增函数，0x ≥，所以||0e e 1x ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：B ．4．D【分析】由单调性及偶函数对称性可得结果【详解】偶函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则()()()3311222f f f f f ⎛⎫⎛⎫-=<-=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭.故选：D 5．C【分析】由题意，作出可行域，根据截距式目标函数的几何意义，可得答案.【详解】由题意，可作可行域，如下图所示：联立可得20240x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=-⎩，即交点为()0,2-，当动直线23+=x y z 过点()0,2-时，z 取得最小值，即()20326z =⨯+⨯-=-.故选：C.6．C【分析】先根据范围计算cos α=，3sin()5αβ+=，再直接利用和差公式计算得到答案.【详解】4,0,,sin ,cos()255παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭，故cos 5α=，()0,παβ+∈，3sin()5αβ+=，故()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++43555525=-⨯+.故选：C 7．D【分析】根据已知条件及画出图形，再利用几何概型与面积有关的公式即可求解.【详解】如图所示设取出的两个数为,x y ，(),x y 可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为()}{,01,01x y x y Ω=<<<<，这是一个正方形区域，面积为111SΩ=⨯=.事件A 表示这两数之和大于1，所构成的区域为(){},1,01,01A x y x y x y =+><<<<，即图中的阴影部分，面积为111122S Ω=⨯⨯=,由几何概型的计算公式知，所以()11212A S P A S Ω===.故选：D.8．C【分析】由不等式101x<<，得1x >，根据充分不必要条件的定义可判断出答案.【详解】由不等式101x<<，得1x >，102x <<是1x >成立的既不充分也不必要条件，故A 不正确；1x >是1x >成立的充要条件，故B 不正确；2x >是1x >成立的一个充分不必要条件，故C 正确；13x -<<是1x >成立的一个既不充分也不必要条件，故D 不正确.故选：C 9．A【分析】连接1B C ，分析可知异面直线AB 与1AC 所成角为11B A C ∠或其补角，设1AB BC ==，计算出1AC ，可求得11cos B A C ∠，即可得解.【详解】连接1B C ，设1AB BC ==，则12AA =，则1B C ==，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//A B AB 且111A B AB ==，所以，异面直线AB 与1AC 所成角为11B A C ∠或其补角，11A B ⊥ 平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，111A B B C ∴⊥，所以，1AC =11111cos A B B A C A C ∠==因此，异面直线AB 与1AC所成角的余弦值为6.故选：A.10．B【分析】首先利用对称点的求法，表示出对称点坐标，再代入230x y ++=中，得到29n m +=，再利用基本不等式中的乘1“”法，即可求得.【详解】设(),m n 关于直线20x y +-=的对称点为()11,x y ，依据题意可得：111112022n y nx m y x m +-=-++-=⎧⎪⎨⎪⎩，解方程组得{1122x ny m =-=-，又 对称点在直线230x y ++=上，代入可得29n m +=，且(),m n 在第一象限，则0,0m n >>，则182281161725()()299999999n m n m m n m n ++=++≥=，当且仅当2899n m m n =时，即91855m n ==时，等号成立.故选：B 11．C【分析】对于A ，根据正弦定理和余弦定理可求出π3C =；对于B ，由ABC面积为求出16ab =，由余弦定理得到c =，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C ，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出c =公式可求出结果.【详解】对于A ，由221(sin sin )sin sin cos A B A B C --=+，得221(sin sin )sin sin 1sin A B A B C --=+-，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0πC <<，所以π3C =，故A 说法正确；对于B ，因为ABC面积为1sin 2ab C =12ab =，所以16ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-222216a b ab a b =+-=+-，所以c ==，所以a b c a b ++=+≥24=⨯+12=，当且仅当4a b ==时，等号成立，故ABC 的周长的最小值为12.故B 说法正确；对于C ，当5b =，7c =时，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，所以214925102a a =+-⋅，得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍），故C 说法不正确；对于D ，若4b =，π4B =，由正弦定理得sin sin c bC B=，得4sin 2sin 2b Cc B⨯===所以ABC面积为11ππsin 4sin(π2234bc A =⨯⨯--5πsin 12=，因为5πππsinsin()1246=+ππππsin cos cos sin 4646=+122224=⨯，所以ABC 面积为6=+故D 说法正确.故选：C 12．D【分析】在已知等式中取对数得到11.1ln 9.1,10.1ln10.1,9.1ln11.1a b c ===，根据三数的结构形式，令()()()10.1ln 10.1f x x x =+-，则()()()1,0,1a f b f c f ===-,利用导数研究函数()f x 的单调性，然后可以得到答案.【详解】11.1ln 9.1,10.1ln10.1,9.1ln11.1a b c ===，令()()()10.1ln 10.1f x x x =+-，()()()10.120.2ln 10.1ln 10.1110.110.1x f x x x x x +=-+=-++--'，在[]1,1x ∈-上单调递减，()20.211.11ln 9.11ln 9.109.19.1f =+-='->,所以()0f x ¢>在[]1,1-上恒成立，所以()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()()()101f f f >>-,即a b c >>.故选：D 13．3【分析】利用210PF PF ⋅=化简得到,,a b c 之间的关系，即可求得b .【详解】解：122PF PF a += ，222121224PF PF PF PF a ∴++⋅=；①又12PF PF ⊥ ，222212124PF PF F F c ∴+==，②∴①-②得：()22212244PF PF a c b ⋅=-=，21212PF PF b ∴⋅=，12PF F △的面积为9，12212192PF F S PF PF b ∴=⋅== ，0b >，3b ∴=.故答案为：314．3【分析】首先确定,,a b c两两的夹角为2π3，根据平面向量数量积的定义和运算律可求得2a b c ++ ，进而可得a b c ++ .【详解】,,a b c 两两的夹角相等且不为0，,,a b c ∴两两的夹角为2π3，2π111cos 32a b ∴⋅=⨯⨯=-，2π14cos 23a cbc ⋅=⋅=⨯⨯=- ，222222211161449a b c a b c a b b c a c ∴++=+++⋅+⋅+⋅=++---=，3a b c ∴++= .故答案为：3.15．12π【分析】根据三视图还原几何体，可知其为正方体切割所得，且正方体的外接球即为所求外接球；根据正方体外接球半径为其体对角线长的一半可求得R ，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】由三视图可还原几何体为如下图所示的棱长为2的正方体切割所得的四棱锥P ABCD -，由图形可知：该正方体的外接球即为四棱锥P ABCD -的外接球，正方体外接球半径2R ==，∴所求外接球表面积24π12πS R ==.故答案为：12π.16．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】用整体法处理，由ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦求出π3x ω-范围，同理由ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎣⎦求出π3x ω-范围，由余弦函数单增区间和()0f x ≥区间求出ω范围，进而得解.【详解】当ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πππππ,36343x ωωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以[]ππππ,π2π,2π,6343k k k ωω⎡⎤--⊆-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得412483kk ωω≥-+⎧⎪⎨≤+⎪⎩，k ∈Z ，即4412,8,3k k k ω⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为4412834803k k k ⎧-+≤+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，k ∈Z ，所以24,33k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，k ∈Z ，故0k =或1，当0k =时，44,3ω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当1k =时288,3ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππππ,34333x ωωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()0f x ≥恒成立，所以111ππππππ,2π,2π,433322k k k ωω⎡⎤⎡⎤--⊆-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z ，解得11283562k kωω⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，1k ∈Z ，即111258,6,32k k k ω⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为1112586325602k k k ⎧-+≤+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，1k ∈Z ，所以1519,1212k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，1k ∈Z ，故10k =或1，当10k =时，25,32ω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当11k =时2217,32ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上所述，又因为0ω>，当0k =，10k =时，40,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当1k =，11k =时，178,2ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4170,8,32ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎝⎦⎣⎦故答案为：4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎢⎥⎝⎦⎣⎦17．(1)0.005a =(2)73(3)82.5【分析】（1）由频率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线在[80,90]之间，由此即可求出答案.【详解】（1）由题意得，(20.020.030.04)101a +++⨯=，解得：0.005a =；（2）估计该校此次期中考试平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知，区间[90,100]占5%，区间[80,90)占20%，估计“优秀”档次的分数线为：0.05801082.50.2+⨯=.18．(1)答案见解析(2)3【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，由底面ABCD 为菱形得BD AC ⊥，由直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ，从而得到平面PAC ⊥平面PBD ；（2）由C PBD P BCD V V --=，结合棱锥体积公式求解即可．【详解】（1）PA ⊥ 平面ABCD ，PA BD ∴⊥，底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，又PA AC A = ，BD ∴⊥平面PAC ，而BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2） 2PA AB ==，π3ABC ∠=，底面ABCD 为菱形，∴2BC CD ==，2π3BCD ∠=，又PA ⊥平面ABCD ，1112π22sin 233233C PBD P BCD BCD V V S PA --∴==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=△．∴三棱锥C PBD -19．(1)31nn a =-(2)1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-【分析】（1）由1(),(0)n n a k a k λλ-+=+≠可得数列{}n a k +等比，利用{}n a k +的通项公式即可得到n a ；（2）利用错位相减和分组求和求解即可.【详解】（1）由题意可得111333(1)n n n a a a --+=+=+，()*2,N n n ≥∈，113a +=，所以数列1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，故31n n a =-.（2）由（1）得3(31)log (311)3n n nn b n n =-⋅-+=⨯-，所以1211323(1)33(12)n nn S n n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯-++⋅⋅⋅+令1211323(1)33n nn T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①，则(1)2n n n n S T +=-，因为23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②，①-②得123113(13)233333313n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-，所以1(21)334n n n T +-⨯+=，所以1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=.20．(1)210x y --=(2)见解析.【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；（2）分类讨论，结合导数得出函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；【详解】（1）当2a =时，()ln f x x x x =+，∴()ln 2f x x '=+，∴()11f =，()12f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()121y x -=-，即210x y --=（2）由()()ln 1f x x x a x =+-，可得()ln f x x a '=+，由()ln 0f x x a '=+=，可得e a x -=，当e 1a -≤，即0a ≥时，[]1,e x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()11f a =-；当e e a -≥，即1a ≤-时，[]1,e x ∈时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()e e f a =；当1e e a -<<，即10a -<<时，)e1,ax -⎡∈⎣时，()0f x '<，()f x 单调递减，(e ,e a x -⎤∈⎦时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()e e a af --=-；综上，当0a ≥时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为1a -；当10a -<<时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为e a --；当1a ≤-时，函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为e a ；21．(1)2214x y +=；(2)答案见解析.【分析】（1）由题得c a，列方程组解方程组即得解；（2）当直线l 的斜率为0时，求出(4,0)Q ；当直线l 的斜率不等于0时，设1122(,),(,)A x y B x y ，设其方程为1x my =+，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由题得0AQ BQ k k +=，再把韦达定理代入化简得4t =，即得解.【详解】（1）由题得2c a =，所以222222234,344,4a c a a b a b =∴=-∴=.当l x ⊥轴时，AB =所以椭圆经过点，2222223311441,1,1,44b a a b b b ∴+=∴+=∴==.所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，(2,0),(2,0)A B -,由AP AQBPBQ =得1,|22|4||3t t t -+=∴=或1t =（舍去）.所以(4,0)Q .当直线l 的斜率不等于0时，设1122(,),(,)A x y B x y ，设其方程为1x my =+，联立椭圆方程得22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，化简得22(4)230m x my ++-=.所以222412(4)16480m m m ∆=++=+>，12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++.由AP AQ BPBQ=得AQP BQP ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=,所以111211120,011y y y y x t x t my t my t+=∴+=--+-+-，所以1212(1)()02y y t y m y +-+=，所以22322(1)044mm t m m --⨯+-⨯++，所以4t =.所以直线l 的方程为4x my =+，所以存在一点()4,0Q ，使得AP AQ BPBQ=.综上所述，存在一点()4,0Q ，使得AP AQ BPBQ=.22．(1)直线l 和圆C 相离；理由见解析(2)CA CP ⋅=【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.（2）用参数方程表示P 点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.【详解】（1）圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），消参得圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=，圆心C 坐标为()3,0，半径为3．直线l 的参数方程为πcos ,3π6sin3x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消参得直线l60y -+=．∵圆心C 到直线l的距离3d =，∴直线l 和圆C 相离．（2）设[)()π33cos 3s )0,2in Pθθθ+∈（，，由点P 到直线l=∴2cos()26θ+++πcos 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π．∴6θ+=ππ，则5π6θ=，∴332P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，()1,0CA =，32CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴CA CP ⋅=．23．(1)()(),04,-∞⋃+∞；(2)(],5-∞【分析】（1）分类讨论解不等式即可；（2）首先将题意转化为()2max m f x x ⎡⎤≤-⎣⎦，设()()2g x f x x =-，再分类讨论求出()g x 的最大值即可得到答案.【详解】（1）因为()4f x >，所以①1134x x x ≤⎧⎨-+->⎩，解得0x <，②13134x x x <<⎧⎨-+->⎩，解得∅，③3134x x x ≥⎧⎨-+->⎩，解得4x >，综上不等式的解集为：()(),04,-∞⋃+∞.（2）因为()2f x x m ≥+的解集非空，所以()2m f x x ≤-解集非空，即()2max m f x x ⎡⎤≤-⎣⎦.设()()2222224,1132,1324,3x x x g x f x x x x x x x x x x ⎧--+≤⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-+-≥⎩，当1x ≤时，()224g x x x =--+，对称轴为=1x -，开口向下，所以()()15≤-=g x g .当13x <<时，()22g x x =-+，对称轴为0x =，开口向下，所以()()11g x g <=.当3x >时，()224g x x x =-+-，对称轴为1x =，开口向下，所以()()37≤=-g x g .综上()max 5g x =，即5m ≤.所以实数m 的取值范围为(],5-∞.。
高三数学上学期第二次阶段考试试题 文含解析 试题
安一中2021～2021学年上学期高三年第二次阶段考数学科〔文科〕试卷考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、准考证号填写上在答题纸上。
2．考生答题时，请将答案答在答题纸上，在套本套试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚〔选择题答案使需要用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号〕。
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷自行保存，答题纸交回。
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1. 设集合，，那么∩=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】集合A={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1}=[-2，1]，B={x|0≤x≤4}=[0，4]，那么A∩B={x|0≤x≤1}=[0，1]，应选B．2. △是边长为2的正三角形,那么=〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由于△ABC是边长为2的正三角形，应选C3. 等比数列的前项和为，假设，，那么〔〕A. B. 126 C. 147 D. 511【答案】C【解析】①，②，得，所以，应选C4. 直线被圆截得的弦长等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，,根据〔x+2〕2+〔y-2〕2=2得到圆心坐标为〔-2，2〕，半径为，圆心O到直线AB的间隔 OD=而半径OB=，那么在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD=，所以AB=2BD=应选D5. 假设复数，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】复数z=应选C6. 函数，假设，那么实数等于〔〕A. B. C. 2 D. 9【答案】C【解析】由题知f〔0〕=2，f〔2〕=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．应选C．7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象〔〕A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】将函数=cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y=cos2〔x-〕=sin2x=2sinxcosx，x∈R的图象，应选D．8. 如下图，长方体中，AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，那么的最小值为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】把对角面及面展开，使矩形，直角三角形在一个平面上，那么的最小值为B，在三角形中，由余弦定理得应选A9. 设函数，那么“是偶函数〞是“的图象关于原点对称〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设是偶函数,而不一定是奇函数,故的图象不一定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,那么是偶函数,因此“是偶函数〞是“的图象关于原点对称〞的必要不充分条件.应选B.10. 假设，那么的取值范围〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】当时取等应选A点睛:此题考察了均值不等式的应用,指数的运算性质,属于根底题.11. 当时，函数的最小值为〔〕A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】，，当且仅当时取等号，函数的最小值为4，选C.12. 在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，且平面平面，那么该三棱锥外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF＝易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得R2＝，所以其外表积为应选A点睛：本小题主要考察球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象才能与运算求解才能以及数形结合思想都提出很高要求，综合性强.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13. 实数满足，那么目的函数的最大值为__________．【答案】5【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C时取最大值1.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.14. 假设函数的最小正周期是，那么实数=__________．【答案】±2【解析】函数f〔x〕=sinωx+cosωx= sin〔ωx+〕最小正周期是,即所以±2故答案为±215. 抛物线与圆有公一共点，假设抛物线在点处的切线与圆也相切，那么_________．【答案】故答案为16. 数列{}的通项公式为，前项和为，那么__________．【答案】1011【解析】可得n为奇数时，，n为偶数时，所以，所以故答案为1011点睛：此题考察了数列求和，先要分析清楚通项的特征，再利用并项求和，平方差公式，等差数列求和公式求解，分析清楚项数也是关键.三、解答题〔本大题一一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17. 设等差数列的前项和为，且．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列的前项和．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由条件建立方程组，解出与；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，，由裂项求和法求.解得，所以；〔Ⅱ〕∵，∴考点：等差数列、〔裂项〕求和．18. 在平面四边形ABCD中，AB=8，AD=5，CD=，∠A=，∠D=．〔Ⅰ〕求△ABD的内切圆的半径；〔Ⅱ〕求BC的长．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕在△ABD中，由余弦定理，得，设△ABD的内切圆的半径为r，由可求得〔Ⅱ〕连接BD，由，利用余弦定理可求BD的值，进而可求cos∠ADB的值，利用两角差的余弦函数公式可求cos∠BDC的值，进而利用余弦定理即可得解BC的值．试题解析：〔Ⅰ〕在△ABD中，AB=8，AD=5，∠A=，由余弦定理，得设△ABD的内切圆的半径为r，由，得，解得．〔Ⅱ〕设∠ADB=，∠BDC=，那么．在△ABD中，由余弦定理，得又，∴∴，在△BDC中，CD=，由余弦定理，得19. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．〔Ⅰ〕假设∥平面，求；〔Ⅱ〕平面将三棱柱分成两个局部，求较小局部与较大局部的体积之比．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕较小局部的体积与较大局部体积之比为：．【解析】试题分析：〔I〕借助题设条件运用线面的位置关系求解；〔II〕借助题设运用体积割补的方法探求．试题解析：〔I〕取中点为，连接，，………………1分∵分别，为中点，∴，∴四点一共面，………………3分且平面平面．又平面，且平面，∴．∵为的中点，∴是的中点，∴．………………6分〔II〕因为三棱柱为直三棱柱，∴平面，又，那么平面，设，又三角形是等腰三角形，所以．如图，将几何体补成三棱柱．∴几何体的体积为：． (9)分又直三棱柱体积为：，………………11分故剩余的几何体棱台的体积为．∴较小局部的体积与较大局部体积之比为：．………………12分考点：空间线面的位置关系及几何体的体积的处理方法等有关知识的综合运用．20. 点，圆：，过的动直线与⊙交两点，线段中点为，为坐标原点。
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试(二)数学试题含答案
河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】 曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时， ， 在()0,e 上单调递增，当e x >时， ， 在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与 的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与 的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测(数学试题文)试题
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测（数学试题文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．22．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．733．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BCD6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．459．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10511．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，E ，F分别为AC ，PB 的中点，32EF =，则球O 的体积为______. 14．已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______.三、解答题：共70分。
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广东省揭阳市第一中学2017届高三数学上学期第二次阶段性（期中）试题 文本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（ ）A.{}2,1B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A.23B.23-C.21D.21-4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B. 32C. 34D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个 11.已知函数数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为 ．()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x yx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。
） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设1(1)n n a b n =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若不等式n S t <对于任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n ∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当300n ≥时，拥挤等级为“严重拥挤”。
该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人天到该景区游玩天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．（19）（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==． （1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ；（2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．20.（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222＞＞b a by a x =+短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线0643=++y x 与圆222)(a b y x =-+相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆C 的左顶点A 的两条直线1l ，2l 分别交椭圆C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下求△AMN 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数))(1()(a e x a x f x--=(常数R a ∈且0≠a ). （1）证明：当0＞a 时，函数)(x f 有且只有一个极值点； （2）若函数)(x f 存在两个极值点21,x x ，证明：214)(0e x f ＜＜且224)(0e x f ＜＜.请考生在第22、23题中任意选一题作答。
如果多做，则按所做第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cos θ． （Ⅰ）写出C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求|PQ |值．23.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲已知函数322)(++-=x a x x f ,21)(+-=x x g . （Ⅰ）解不等式5)(＜x g ；（Ⅱ）若对任意的R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围.2016—2017学年度高三级阶段联考 数学（文科）参考答案及评分标准一、 选择题：每小题5分，共60分.ADCBB DCDDC DB 二、 填空题：每题5分，共20分.13. 12 14. 415. 14 16.1e 21k -≥三、解答题 17．（本小题满分12分）(18)解：（Ⅰ）游客人数在)100,0[范围内的天数共有15天，故15=a ，213015==b ……………………3分 游客人数的平均数为120301350152250311502150=⨯+⨯+⨯+⨯（百人）…………6分 （Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：),5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1( )5,4(，共10种，……………9分其中游客等级均为“优”的有)5,4(),5,1(),4,1(，共3种，故所求概率为103.…………12分（19）解：【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ． 又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ．又∵EF CD ，∴EF GH ⊥………2分由题意，得14BH a =，34CH a =，12BG a =，∴2222516GH BG BH a =+=， 22225()4FG CF BG BC a =-+=，22222516FH CF CH a =+=，则222FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．…………………4分 又∵EF FG F =，GH ⊥平面EFG ．…………………5分 ∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．………6分20．解：（1）由题意224615a ba b b a =⎧=⎧⎪∴+⎨⎨==⎩⎪⎩ 即22:14x C y +=……………… 4分 （2）(2,0)A -设1:2l x my =-，21:2l x y m=--由222440x my x y =-⎧⎨+-=⎩得22(4)40m y my +-=222284(,)44m m M m m -∴++ 同理222284(,)4141m mN m m -∴-++ 6分 i) 1m ≠±时，254(1)MN m k m =-256:()4(1)5MN m l y x m =+-过定点6(,0)5- ii) 1m =±时6:5MN l x =-过点6(,0)5-MN l ∴过定点6(,0)5-（3）由（2）知32242244854414174AMN m m m mS m m m m ∆+=+=++++ 21881194()941m mm m mmm m+==+++++8分令121t m m m=+≥=±且时取等号16125S m ∆∴≤=±且时去等号，max 1625S ∆∴=12分21．本题满分12分解：依题意，()[(1)()(1)()](),xxxf x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅-令()()x h x a x e a =⋅-，则()(1)x h x a x e '=+⋅. 1分 （1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点； 2分 ②当0x ≥时，由()(1)0xh x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点. 3分 又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点.综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. 4分 （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <），所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0xh x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， 6分 又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<.令()()0tf t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅， 8分 此时22232()(1)()(1)()(1)(2)ttttttf t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+. 因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)tg t e t t t =--+， 则22()(1)(21)tg t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0tt t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e=<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e <<. 当10t -<<时，因为2210,210,0tt t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=.综上知，1240()f x e <<且2240()f x e<<． 12分22.本题满分10分解：(1)∵ρ＝4cos θ.∴ρ2＝4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得x 2＋y 2＝4x ， 3分所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋32t y ＝12t 消去t 解得：+10x =.所以直线l 的普通方程为+10x =. 5分(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t代入x 2＋y 2＝4x .整理得t 2－33t ＋5＝0.设其两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝33，t 1t 2＝5. 所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝7. 10分 23、本题满分10分解析：（1）由125x -+<得5125x -<-+<，13x ∴-<，解得24x -<<． 所以原不等式的解集为{}24x x -<< 5分（2）因为对任意，都有，使得=成立所以，有3322)(+≥++-=a x a x x f ，所以23≥+a 从而1-≥a 或5-≤a 10分。