1.4素因数与分解素因数(2) Frederick

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分解素因数的概念

分解素因数的概念分解素因数是指将一个正整数分解为若干个素数的乘积的过程。

在数论中，分解素因数是一个重要的概念，拥有广泛的应用背景。

本文将从数的分解、素数的定义与特性以及分解素因数的方法和应用等方面进行介绍。

首先，我们先了解一下数的分解。

在十进制数系统中，任意一个正整数可以表示为各个位上数字的乘积的和。

例如，123可以分解为1×100+2×10+3。

同样地，在素因数分解中，我们更关注的是将一个数分解为若干个素数的乘积。

那么，什么是素数呢？素数又被称为质数，是只能被1和自身整除的正整数。

最小的素数是2，后续的素数依次为3、5、7、11等等。

素数具有以下几个重要的特性：首先，任意一个整数可以被素数进行分解；其次，一个大于1的整数，如果其不是素数，那么它一定可以被分解为两个比它小的正整数的乘积。

接下来，我们讨论一下分解素因数的方法。

常用的分解方法有试除法和筛法。

试除法是最常见的一种方法，其步骤为：首先，用最小的素数2去试除待分解的数，如果可以整除，则将结果继续进行素因数分解，否则，用下一个素数进行试除；其次，重复上一步骤，直到待分解的数不能再被任何素数整除为止。

筛法则是根据素数的特性，将一个数列中的素数及其倍数筛去，筛选出一系列素数，再用这些素数进行分解。

分解素因数的方法还有其他的变种，比如质因数树和素因数分解定理等。

质因数树是一种图形化的分解方法，通过树的形式展示每一步的分解过程，方便理解和计算。

而素因数分解定理则是一个数论中的重要定理，它表明任意一个大于1的正整数都可以被唯一地分解成若干个素数的乘积。

分解素因数在数论中具有重要的应用，如最大公约数和最小公倍数的求解。

最大公约数是指两个或多个数中能够整除它们的最大正整数，而最小公倍数则是指两个或多个数中能够被它们整除的最小正整数。

通过分解素因数，可以将最大公约数和最小公倍数的求解转化为对待分解数的素因数的求解，从而简化计算的复杂度。

1.4-素数、合数和分解素因数

1.4 素数、合数与分解素因数（2）班级姓名学号【学习目标/难点重点】1.理解因数和分解素因数的意义，2.初步掌握分解素因素的方法．【学习过程】一、课前预习：1.素因数、分解素因数：素因数：．分解素因数：．2.分解素因数的方法有：．3.短除法分解素因数的步骤：1），2），3） .二、新课学习：1.把21，48，60，105分解素因数.2.小结：分解素因数的方法及步骤方法1：方法2：3.练习：填空1）63的因数有（）。

2）84分解素因数是（）。

3）A＝2×2×3×3×5，B＝2×3×3×5×7。

A和B公有的素因数有（）。

4.拓展1）如果a＝2×3×5，那么a的因数共有（）个，其中素数有（）。

2）把85、51、33、91、65、77这六个数分成两组，每组三个数，使每组中三个数的乘积相等，这两组数应分别是（）和（）三、课堂小结分解素因数方法四、课堂检测：数学习题册习题1.4课课精练一、填空题2.18的因数有，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有.3.24和32公有的素因数有，公有的因数有.4.写出二种分解素因数的方法 .二、选择题6.下列分解素因数正确的是（）A.42＝2×21B.48＝1×2×2×2×2×3C.24＝4×6D.62＝2×317.A=2×2×3×5，B=2×2×3×7，A与B相同的素因数是（）A.2B.2和3C.2，3，5，7D.2，2和38.下列说法中，正确的是（）A.1是素数；B.1是合数；C.1即是素数又是合数；D.1即不是素数也不是合数.三、分解素因数9.用“短除法”分解素因数：1）28 2）42 3）364）68 5）54 6）108提高题：1.如果732⨯⨯=a ，那么a 的所有的因数中合数有 .2.把144分解成两个因数相乘的形式，并且使这两个因数的和是25，则这两个因数分别是和 .3.一个数分解素因数后，它的素因数各不相同，并且正好是10以内的所有素数，则这个数是 .4.有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们的年龄的乘积是210，求这三个小朋友的年龄。

1.4素因数与分解素因数(2)

1、分解素因数: 分解素因数: 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式, 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式, 其中每个素数都是这个合数的因数, 其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。式表示出来,叫做分解素因数。(每一个合数都可以分解素因数) 可以分解素因数) 注意因数，素数，素因数的差异) (注意因数，素数，素因数的差异) 分解素因数的方法有: 2、分解素因数的方法有: 树枝分解法” 口算法” 短除法” “树枝分解法”,“口算法”,“短除法”,“机算法”。（而短除法比较直观而短除法比较直观）算法”。（而短除法比较直观）
分解素因数的方法
树枝分解法短除法
口算法
6× 60 = 6×10 2× = 2 ×3 ×2 ×5
机算法
试一试用树枝分解法把 48分解素因数
Back
试一试用口算法把 48分解素因数
Back
短除法
试一试用短除法把 48分解素因数
用短除法把35,90,84 练一练用短除法把35,90,84 分解素因数
2，3，5，7，11，13，17，19 ，，，，，，， 2、在1～20中,_______________________是素数； 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，，，，，，，，，，， ___________________________________是合数。 20
知识改变命运学习成就未来
注意：别忘了检验一下每个因数是否为素数别忘了检验一下每个因数是否为素数？注意：(1)别忘了检验一下每个因数是否为素数？ (2)分解素因数的表达形式有没有写？分解素因数的表达形式有没有写？分解素因数的表达形式有没有写

素数、合数与分解素因数

1.4素数、合数与分解素因数（1）教学目标：1、理解素因数和分解素因数的意义。

2、初步掌握分解素因数的方法。

3、经历概念的形成过程，培养分析与推理能力。

知识目标：初步掌握分解素因数的方法并能熟练的对简单的整数分解素因数。

能力目标：初步掌握分解素因数的方法并能熟练的对简单的整数分解素因数。

教学重点：分解素因数。

教学难点：分解素因数。

教学过程：前面请同学们回家思考了一个题目，现在请一位同学来说一说他的结论。

6=2×328=2×2×740=2×2×2×5从这些结论我们可以发现：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

练习1：1、选择题：（1）在等式4×6=n=2×2×2×3中，4和6都是n的（）2和3都是n的（）A、素因数B、素数C、因数D、合数（2）把24分解素因数的正确算式是（）A、24=2×3×4B、24=2×2×2×3C、24=1×2×2×2×3D、24=2×2×62、将下列各数分解素因数。

14、18、21怎样分解素因数最快呢？介绍利用短除法分解素因数。

例把48、35、60分解素因数。

解：2|_48_ 5|_35_ 2|_60__2|_24_ 7 2|_30__2|_12__ 3|_15__2|__6_ 5348=2×2×2×2×3；35=5×7；60=2×2×3×5。

用短除法分解素因数的步骤如下：1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

沪教版六年级数学 1.4素数、合数与分解素因数①_课后练习

在自然数 1 到 10 中：（1）奇数有____________________________；（2）偶数有____________________________；（3）素数有____________________________；（4）合数有____________________________．
【学习任务二】归纳：素数：______________________________. 合数：______________________________. 这样，正整数又可以分为_______、________和________三类. 【学习任务三】练习：判断 27，29，35 和 37 是素数还是合数.
把下列各数填入适当的圈内.11，21，31，41，51，61，71，81，91.
素数
合数
【学习任务四】小结：
回顾本堂课的学习内容，归纳学习要点推荐的学习资源
学习任务单
学科
数学
课程基本信息年级来自六年级学期秋季
课题 1.4 素数、合数与分解素因数①
教科书姓名
书名：九年义务教育课本数学六年级第一学期（试用本）
出版社：上海教育出版社学校
学生信息
出版日期：2019 年 7 月
班级
学号
学习目标 1.理解素数、合数的意义，并掌握正整数可以分为 1、素数、合数三类. 2.能判断一个正整数是否为素数；熟记 20 以内的全部素数. 3.进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法，体会分类思想.
课前学习任务
预习 1.4 素数、合数与分解素因数①
课上学习任务
【学习任务一】
思考：
我们会求一个正整数的因数，那么一个正整数有几个因数呢？想一想，下列每个正整数各含

上海市六年级(上)数学同步讲义第3讲 (难)分解素因数(二)(解析版)

分解素因数（二）内容分析分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；2/ 15（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________．【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数．【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60．【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，．则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105．【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．4 / 15【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a ，4b (a 、b 互素)，则44144a b ⨯=．所以9ab =．因为a 、b 互素，所以a =1×4=4，b =9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【难度】★★★ 【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．1、两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例10】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144；（2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81．【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合6 / 15【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例11】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24；（2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450．【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例12】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________，最小公倍数是_________．【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例13】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【答案】15【解析】设另一个数是x ，则：6 x =3×30 解得：x =15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例14】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的． ( ) （2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例15】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例16】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例17】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．8 / 15∴ab =35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数 ∴a =5，b =7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60．所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3；（2）b =5，这三个数是4，60，3；（3）c =5，这三个数是4，12，151；答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【习题1】如果数a 能被数b 整除，则a 和b 的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★ 【答案】b ， a ．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b 的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）随堂检测【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．10/ 15【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：12 / 151与299（） 12与36（） 12与13（） 13与52（） 10与14（） 21与49（） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175；【解析】略【作业2】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值．【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42，解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业3】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数．【答案】20【解析】设这两个数的最小公倍数是x ，则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业4】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业5】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业6】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业7】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业8】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．14/ 15。

素数合数与分解素因数

素数合数与分解素因数素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和研究。

本文将从素数和合数的定义开始，介绍它们的性质和特点，并探讨分解素因数的方法。

我们来定义素数和合数。

素数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，没有其他因数。

合数是指大于1的整数，除了1和它本身之外，还有其他因数。

素数和合数是互补的概念。

素数具有以下特点：首先，素数只有两个因数，即1和它本身。

其次，素数不能被其他整数整除，也就是说，不能被合数整除。

例如，2、3、5、7等都是素数。

素数的个数是无穷的，我们无法列举出所有的素数。

合数具有以下特点：首先，合数有多个因数，不仅有1和它本身，还有其他因数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

其次，合数可以分解成多个素数的乘积。

这就是我们接下来要介绍的分解素因数的方法。

分解素因数是将一个合数分解成多个素数的乘积的过程。

我们可以使用试除法来进行分解。

首先，我们从最小的素数2开始，将合数不断除以素数，直到无法整除为止。

这样，我们得到了合数的素因数。

例如，将12分解成素因数的过程如下：首先，12可以被2整除，得到2和6；然后，6可以被2整除，得到2和3；最后，2和2、3就是12的素因数。

可以看出，12=2×2×3。

分解素因数的方法在数学和密码学中有着重要的应用。

在数学中，我们可以通过分解素因数来求解最大公约数和最小公倍数，解决一些数论问题。

在密码学中，分解素因数是破解RSA加密算法的关键步骤之一。

在实际应用中，分解素因数有时是一项非常困难的任务。

由于素数的个数是无穷的，所以分解素因数需要耗费大量的计算资源和时间。

为了加强密码的安全性，人们通常使用非常大的素数进行加密，以增加被破解的难度。

总结起来，素数和合数是数论中的重要概念，它们在数学和密码学中有着广泛的应用。

素数具有两个因数和不能被其他整数整除的特点，而合数具有多个因数和可以分解成素数乘积的特点。

分解素因数是将合数分解成多个素数乘积的过程，它在数学和密码学中有着重要的应用。

分解素因数定义

分解素因数定义是指一个数字除以它的倒数就可以得到相应的化学式。

这个公式也称为‘PRT'方程’，因为这个函数反映了分子中原子或离子之间相互作用的相对强度和能量。

1：分解素因数的定义
分解素因数是指在化学反应中，当物质通过化学反应生成另外一种化学结构时，该化学物质的分子个数。

一个典型的分解素因数包括1、2和3三个数字组成：分解素因数 =第一个数字=第二个数字=第三个数字例如,葡萄糖分解为两个组成部分:A-6-磷酸(A-P)及Ca2+K4-Mg2+Glu+RuNiO5如例图所示:分解素因数通常被认为是判断物质是否溶解或成离子态沉淀的重要依据之一.分解素因数有很多来源,但是最常见的是根据其对数比例来表示
2：分解素因数在化学中的应用
分解素因数(As from complex, theory)是研究分子结构的化学工具。

它能够帮助我们判断一个化合物是否属于同一个或同一类，也可以用于识别未知物。

在生物领域，分解素因数已经被广泛应用于细胞信号转导和凋亡通路中。

例如，多肽药物伊波酰胺是否是通过激活线粒体来发挥作用的？通过对蛋白质磷酸化进行控制，代谢酶负责将氨基酸带入循环系统并利用其提供能量。

此外，分解素因数还能用来预测化学反应过程中每个步骤发生的概率。

沪教版1.4素数导学案

第二讲素数、合数与分解素因数【素数、合数与分解素因数（一）】一．基本知识：1．理解素数、合数的意义：素数——一个正整数||，假如只有 1 和它自己两个因数||，这样的数叫做素数||。

合数——一个正整数||，假如除了 1 和它自己之外还有其他要素||，这样的数叫合数||。

素数2．正整数合数13．会用求因数的方法或用整除的特点来判断一个正整数能否为素数||。

4．熟记 20 之内的所有素数||。

100 之内的素数： 2||，3||，5||，7||，11||，13||，17||，19||，23||，29||， 31||， 37||， 43||， 47||， 53||，59||， 61||， 67||， 71||， 79||， 83||， 89||， 97二．易错点：1．“ 1”既不是素数也不是合数||。

2．学会划分奇数和素数、偶数和合数的意义||。

三．例题解说：例 1：判断 18||， 29||， 51 和 91 是素数仍是合数 ||。

解法一： 18 的因数有： 1||， 2||， 3||， 6||， 9||，18 29 的因数有： 1||， 1945 的因数有： 1||， 3||， 5||， 9||， 15||，4591 的因数有： 1||， 7||， 13||， 91第1页/共7页经过检查每个数的因数的个数||，能够知道： 18||， 45||， 91 是合数 ||， 29 是素数 ||。

解法二： 18 能被 3 整除 ||，所以除了 1 和 18 之外 ||， 18 还有因数3||，所以 18 是合数 ||。

相同 ||， 45 能被 5 整除 ||，91 能被 7 整除 ||，所以 45、91 也是合数 ||。

例 2：小于 30 的既是素数 ||，又是偶数的数是哪几个？解：小于30 的素数有： 2||， 3||， 5||， 7||， 11||， 13||， 17||，19||， 23||， 29而此中又是偶数的数只有2||。

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怎样的数能够写成几个素数相乘的形式？ 3．判断8，13，17，25，30，36，37，42，45是素数还是合数。思考：上述哪些数能够写成几个素数相乘的形式？
8 13 17 25 30 36 37 42 45
是素数还是合数能否写成几个素数相乘的形式合素数数素合数数合数合素合合数数数数
还可使用计算器分解素因数（简称为“机算”）。
分析:由于数字比较大,首先我们可以判别它能被 2整除。用计算器计算得：1334÷2 = 667 再把667依次除以素数7,11,13,17,19,都有余数，说明它们都不是667的素因数。为什么不用除以2,3,5这几个素数？再把667除以素数23，得：667÷23 = 29，所以 1334 =2 ×23的素因数。 ×29。因此23,29 也是 1334 29是素数，
(1)练习册 P4、5 习题1.4剩余习题 (2)辅导书 P12、13 习题1.4(2)（A、B卷）
(3)预习1.5
知识改变命运学习成就未来
3．在等式6×8=n=2×2×2×2×3中， 6和8都是n的（ C ） 2和3都是n的（A、C）（B）素数注（A）素因数意（C）因数（D）合数 2和3既是n的因数，也是n的素因数。 4．A=2×2×3×5， B=2×2×3×7，A 与B相同的素因数是______________ 。 2，2，3
1.4素因数与分解素因数(2)
1、在24,75,40和60这四个数中， (1)能被2整除的数有20 ______________ 、40、60 。
(2)能被5整除的数有75 ______________ 、40、60 。
(3)能被3整除的数有24 ______________ 、75、60 。
怎样的整数能被 2整除？能被5整除？能被3整除？能同时被2、5整除？
商
除号
这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”。
短除法数字要对齐，特别例题1 把48分解素因数。是数位。注意格式！解： 2 48 短除 2 24 号依 2 12 次向 2 6 里缩 3 一些。 48=2×2×2×2×3 用短除法分解素因数的步骤： 1. 先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。中间不要留间隙。 2. 得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续出下去，直到得出的商是素数为止。从小到大写，重复的也要 1、别忘了检验一下每个 3. 然后把各个除数和最后的写，最后得到的商也要写。因数是否为素数！商按从小到大的顺序写成 2、别漏写分解素因数连乘的形式。（P13、14）的表达形式！
口算法
60 = 6×10 = 2×3×2×5 = 2×2×3×5
机算法
例题1 用口算法把48分解素因数。解： 48=6×8 =2×3×2×4 =2×3×2×2×2 =2×2×2×2×3 48=2×2×2×2×3 你还有其他的方法吗？
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短除法例题1 把48分解素因数。解：除数被除数
60 = 2×3×2×5 = 2×2×3×5 多像树枝啊！俗称“树枝分解法”。从以上的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数
28 = 2×2×7
都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。把一个合数
用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。（P13）
分解素因数的方法
树枝分解法短除法
有1,2,3,4,5,6,7,8,9九张牌,甲，乙，丙各拿三张。甲说:“我的三张牌的积是48。” 乙说:“我的三张牌的和是16。” 丙说:“我的三张牌的积是63。” 问他们各拿哪三张牌？
1、分解素因数: 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。(每一个合数都可以分解素因数) (注意因数，素数，素因数的差异) 2、分解素因数的方法有: “树枝分解法”,“口算法”,“短除法”,“机算法”。（而短除法比较直观） 3、用短除法分解素因数的步骤
(4)能同时被2，5整除的数有_____________ 。 40、60
2、在1～20中, ____________________________________ 2，3，5，7，11，13，17，19 是素数； _____________________________________________________ 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20 是合数。
例题2 用短除法把35、90、84分解素因数。
35 7 2 90 3 45 3 15 5 2 84 2 42 1、别忘了检验一下每个 3 21 因数是否为素数！ 7 2、别漏写分解素因数的表达形式！
解：
5
35=5×7； 90=2×3×3×5；
90=2×2×3×7；
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机算法例：将1334分解素因数
能不能
不能能
能
能不能能能
合数总可以写成几个素数相乘的形式。
1.4素因数与分解素因数(2)
尝试辨析把6,28,60写成几个素数相乘的形式。判断：下列写法正确吗？正确的打“√”，错误的打“×”。 6=1×6 , 28 = 4×7
×
6 = 2×3 ,
×
28 = 2×2×7
√
6= 1×2×3
1．判断7，9，12，19，21，27，32，35， 40， 48 ， 56 能否分解素因数。因数：正整数a能被正整数b整除，b就叫做 a 的因数。 1，2，3，6，9，18 2 ．18的因数有_______________________ 。讨素数：只有1和它本身两个因数的正论！ 18的素因数有_____________________ 2，2，3 。整数。请注意因数，素数，素因数的差异！素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
×
为什么？
√
60 = 4×15
×
60 = 2×5×6
×
60 = 2×2×3×5
√
因此，6,28,60 可以写成 6= 2×3， 28 = 2×2×7， 60 = 2×2×3×5，几个素数相乘的形式。
6
2 × 3
28 4 × 2 × 2 7 × 7ຫໍສະໝຸດ 60 6 × 2 × 10 5
6 = 2×3
3 ×2 ×
判断下列说法是否正确： (1)15=15 1，15和1都是15的素因数。 × 对于一个数有哪些素因数，必须说出它的每 × (2)偶数都能分解素因数。一个素因数。如24的素因数有4个：2，2， 2和3，而不能只说2和3；而对于哪些数是某 7 ， 5 和 7 都是 35 的素因数。 √(3)35=5 一个数的素因数，则可以根据要求来说。如 2 3 ，2和3都是12的素因数。 √(4)12=2 2和 3都是 24 的素因数。 × (5)12的素因数有2个，分别是2和3。 × (6)18分解素因数是18=2 3 3 1。 (7)2 3 5=30，这种形式叫做分解素因数。 × √(8)24有4个素因数，分别是2，2，2，3。