浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为（）A．﹣1B．C．1D．22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．3．计算的值是（）A．B．C．D．+14．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a9＝7，则{a n}的前10项和S10＝（）A．B．C．100D．505．若实数x，y满足条件，则2x+y的最小值是（）A．0B．1C．2D．46．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣3，（n∈N*），则S6＝（）A．192B．189C．96D．937．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足c＝a cos B﹣b cos A，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．若对任意x≠0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≤3C．a≤1或a≥3D．1≤a≤39．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosα，sinα）到直线mx+y﹣2＝0的距离，当α，m 变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．410．对于数列{a n}，若存在常数M，使对任意n∈N*，都有|a n|≤M成立，则称数列{a n}是有界的．若有数列{a n}满足a1＝1，则下列条件中，能使{a n}有界的是（）A．a n+a n+1＝1+n B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知等差数列{a n}的前3项依次是﹣1，a﹣1，1，则a；通项公式a n＝．12．直线l1：x﹣y﹣m＝0与直线l2：mx﹣y+3＝0平行，则m＝；l1与l2之间的距离为．13．已知α∈（π，2π），若，则＝；＝．14．已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为；的最小值为．15．在△ABC中，AB＝4，BC＝10，点D是BC中点，且，＝．16．数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且（n∈N*），则a2020＝．17．如图，已知矩形ABCD的对角线长为1，其中AB＞AD，将△ABC沿着AC折叠，点B 落在点B′处，且边AB′与边CD相交，则△ADB′面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知点A（1，2）和直线l1：2x﹣y+a＝0．（Ⅰ）若点A在直线l1上，求a的值；（Ⅱ）若直线l2过点A且与直线l1垂直，求直线l2的方程．19．已知α，β都是锐角，且．（Ⅰ）求sin2α，cos2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．20．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且满足d＝﹣2，S4＝76．等比数列{b n}满足b1+b3＝10，b2+b4＝20．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝（23﹣a n）b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．在△ABC中，已知，且sin C﹣cos A sin B+sin C cos B＝sin2B，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；（Ⅱ）若，求sin A+sin C的值．22．已知数列{a n}满足a1＝1，且（n∈N*）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求证：．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线y＝2x﹣1在y轴上的截距为（）A．﹣1B．C．1D．2【分析】利用斜截式的意义即可得出．解：直线y＝2x﹣1在y轴上的截距是﹣1．故选：A．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．【分析】直接利用三角形的面积公式，求△ABC的面积．解：在△ABC中，∵A＝60°，b＝2，c＝1，∴．故选：B．3．计算的值是（）A．B．C．D．+1【分析】直接利用二倍角的正切化简求值．解：＝tan60°＝．故选：C．4．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a9＝7，则{a n}的前10项和S10＝（）A．B．C．100D．50【分析】{a n}的前10项和S10＝（a1+a10）＝（a2+a9），由此能求出结果．解：∵等差数列{a n}中，a2＝3，a9＝7，∴{a n}的前10项和S10＝（a1+a10）＝（a2+a9）＝5×10＝50．故选：D．5．若实数x，y满足条件，则2x+y的最小值是（）A．0B．1C．2D．4【分析】由约束条件作出可行域，令z＝2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，令z＝2x+y，化为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：B．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣3，（n∈N*），则S6＝（）A．192B．189C．96D．93【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．解：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣3﹣（2a n﹣1﹣3），可得a n＝2a n﹣1．n＝1时，可得a1＝S1＝2a1﹣3，解得a1＝3．∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为3．∴s6＝＝189．故选：B．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足c＝a cos B﹣b cos A，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由已知等式结合正弦定理可得sin C＝sin（A﹣B），进一步得到A＝B+C，结合三角形内角和定理可得A＝B+C＝，则答案可求．解：由c＝a cos B﹣b cos A，结合正弦定理可得：sin C＝sin A cos B﹣sin B cos A，即sin C＝sin（A﹣B）．∵0＜C＜π，0＜A＜π，0＜B＜π，∴﹣π＜A﹣B＜π，则C＝A﹣B，即A＝B+C，又A+B+C＝π，∴A＝B+C＝．∴△ABC一定是直角三角形，故选：B．8．若对任意x≠0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≤3C．a≤1或a≥3D．1≤a≤3【分析】利用绝对值三角不等式，可得，然后根据条件可得|2﹣a|≥1，再求出a的范围．解：由不等式恒成立，得恒成立，而，∴|2﹣a|≥1，则2﹣a≤﹣1或2﹣a≥1．解得a≥3或a≤1．故选：C．9．在平面直角坐标系中，记d为点P（cosα，sinα）到直线mx+y﹣2＝0的距离，当α，m 变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由d＝＝≤＝1+，能求出d的最大值．解：记d为点P（cosθ，sinθ）到直线mx+y﹣2＝0的距离，则d＝＝≤＝1+，∴当且仅当sin（θ+γ）＝﹣1，m＝0时，d取最大值3．故选：C．10．对于数列{a n}，若存在常数M，使对任意n∈N*，都有|a n|≤M成立，则称数列{a n}是有界的．若有数列{a n}满足a1＝1，则下列条件中，能使{a n}有界的是（）A．a n+a n+1＝1+n B．C．D．【分析】通过定义逐项分析真假即可．解：对于A选项，假设{a n}有界，即存在常数M，对任意n∈N*，都有a n+1≤M，a n≤M，则1+n＝a n+1+a n≤M+M＝2M．由于左边1+n递增到无穷大，而右边为常数，从而A项错误；同理，C项a n+1a n＝1+2n≤M2，错误；对于B项，n≥2时，a n+1﹣a n＝1﹣，累加可得，a n+1﹣a2≥（n﹣2），a2＝1，a n≥，显然不是有界的；对于D选项，a2＝2，＝＝，累乘可得，，从而a n＜4，D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知等差数列{a n}的前3项依次是﹣1，a﹣1，1，则a＝1；通项公式a n＝n﹣2，n∈N*．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a值，进一步求得公差，则通项公式可求．解：由﹣1，a﹣1，1是等差数列{a n}的前3项，得﹣1+1＝2（a﹣1），即a＝1．∴a﹣1＝0，则公差d＝0﹣（﹣1）＝1．∴a n＝﹣1+（n﹣1）×1＝n﹣2，n∈N*．故答案为：＝1；n﹣2，n∈N*．12．直线l1：x﹣y﹣m＝0与直线l2：mx﹣y+3＝0平行，则m＝1；l1与l2之间的距离为2．【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．解：∵直线l1：x﹣y﹣m＝0与直线l2：mx﹣y+3＝0平行，∴m≠0，＝≠，则m＝1．且它们之间的距离为＝2，故答案为：1；2．13．已知α∈（π，2π），若，则＝7；＝．【分析】利用两角和差的正切公式，以及弦化切进行计算即可．解：∵，∴＝＝＝7，∵α∈（π，2π），若，∴α∈（π，），∵cos2α＝＝＝＝，∴cosα＝，∴＝＝＝，故答案为：7；．14．已知a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab的最大值为2；的最小值为3．【分析】由ab＝（a•2b）可求最大值；由＝（+）（a﹣1+2b）×＝（5++），结合基本不等式可求．解：因为a＞1，b＞0，且a+2b＝4，则ab＝（a•2b）＝2，当且仅当a＝2b＝2即a＝2，b＝1时取等号，＝（+）（a﹣1+2b）×＝（5++）＝3，当且仅当且a+2b＝4即a＝2，b＝1时取等号．故答案为：2，315．在△ABC中，AB＝4，BC＝10，点D是BC中点，且，＝．【分析】由题意画出图形，利用余弦定理求得cos B，然后由余弦定理求出AC，再利用正弦定理求出的值．解：如图，在△ABD中，由AB＝4，AD＝，BD＝，得cos B＝，在△ABC中，AC＝．∴＝．故答案为：．16．数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且（n∈N*），则a2020＝2020．【分析】取n为偶数时，sin2＝0，cos2＝1，化简递推式，可得数列{a n}中的偶数项成等差数列，由等差数列的通项公式即可求解．解：当n为偶数时，由递推式（n∈N*）可得：a n+2＝a n+2，即可得数列{a n}中的偶数项成等差数列，a2＝2，公差d＝2，∴a2020＝2+2（1010﹣1）＝2020，故答案为：2020．17．如图，已知矩形ABCD的对角线长为1，其中AB＞AD，将△ABC沿着AC折叠，点B 落在点B′处，且边AB′与边CD相交，则△ADB′面积的最大值为．【分析】设，根据条件求出S△ADB′，再由正弦函数的值域，得到△ADB′面积的最大值．解：设，则折叠后，所以S△ADB′＝＝＝，取最大值时．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知点A（1，2）和直线l1：2x﹣y+a＝0．（Ⅰ）若点A在直线l1上，求a的值；（Ⅱ）若直线l2过点A且与直线l1垂直，求直线l2的方程．【分析】（Ⅰ）把点A的坐标代入直线的方程，可得a的值．（Ⅱ）先求出直线l2的斜率，再用点斜式求直线l2的方程．解：（Ⅰ）把点A（1，2）代入直线l1：2x﹣y+a＝0，得l1：2﹣2+a＝0，解得a＝0，故直线l1：2x﹣y＝0．（Ⅱ）直线l1的斜率为2，直线l2过点A且与直线l1垂直，所以l2的斜率为，从而l2的方程为y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．19．已知α，β都是锐角，且．（Ⅰ）求sin2α，cos2α的值；（Ⅱ）求sinβ的值．【分析】（Ⅰ）由已知求得cosα，再由倍角公式求sin2α，cos2α的值；（Ⅱ）由已知求出sin（α+β）的值，再由sinβ＝sin[（α+β）﹣α]，展开两角差的正弦求解．解：（Ⅰ）由α是锐角，且，得．∴，；（Ⅱ）由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α+β＜π，又，∴，故sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝．20．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且满足d＝﹣2，S4＝76．等比数列{b n}满足b1+b3＝10，b2+b4＝20．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝（23﹣a n）b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用等差和等比数列的定义求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的应用，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，且满足d＝﹣2，S4＝76．所以，解得a1＝22，从而a n＝24﹣2n．设公比为q的等比数列{b n}满足b1+b3＝10，b2+b4＝20．，整理得q＝2，b1＝2，所以．（Ⅱ）．所以①，2②，①﹣②＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，整理得．21．在△ABC中，已知，且sin C﹣cos A sin B+sin C cos B＝sin2B，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；（Ⅱ）若，求sin A+sin C的值．【分析】（Ⅰ）将条件整理成sin A cos B+sin C cos B＝2sin B cos B，即sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理可得a+c＝2b，得证；（Ⅱ）利用正弦定理将条件转化成＝3，结合余弦定理可求cos B，进而得到sin B，再次利用正弦定理以及（Ⅰ）中结论可得所求．解：（Ⅰ）证明：sin（A+B）﹣cos A sin B+sin C cos B＝2sin B cos B．即sin A cos B+sin C cos B ＝2sin B cos B，因为B≠，从而sin A+sin C＝2sin B，即a+c＝2b，故a，b，c成等差数列；（Ⅱ）由正弦定理可得＝3，即有a2+c2＝3ac，由（Ⅰ）值a+c＝2b，故b2＝（a+c）2＝（a2+c2+2ac）＝ac．则cos B＝＝＝，解得sin B＝．即sin A+sin C＝2sin B＝．22．已知数列{a n}满足a1＝1，且（n∈N*）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求证：．【分析】（Ⅰ）递推式两边取倒数，构造{}为等差数列，即可得，再求a．（Ⅱ）利用均值不等式放缩＝≤＝1+，（n≥2）．累加即可证明S n﹣n又b﹣a n＝＝1，即可证明S n﹣n≥0．解：（Ⅰ）由题设得＝+1（n∈N*），从而{}是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即a＝．（Ⅱ）证明：＝﹣＝≤＝1+，（n≥2）．故S n﹣n＝（b1﹣1）+（b2﹣1）+…+（b n﹣1）＝，另一方面b﹣a n＝＝﹣＝1+﹣＝1．从而S n≥n，即S n﹣n≥0．综上得：求证：．。
浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019学年绍兴市高一上期末试卷试题一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3D.{}1,2,3,4【答案】D 【解析】 【分析】直接利用并集运算得到答案.【详解】{}1,2,3A =，{}2,4B =，则{}1,2,3,4A B =故选：D【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题. 2.下列说法正确的是（ ） A. 若MN ，则22log log M N =B. 若22M N =，则MNC. 2222log log M N =，则MND. 若22M N =，则1122M N --= 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项：当0M N =≤时不成立，A 错误；B 正确；M N 也成立，C 错误；当MN 不成立，D 错误；得到答案.【详解】A. 若MN ，则22log log M N =，当0M N =≤时不成立，错误；B. 若22M N =，则MN ，正确；C. 2222log log M N =，则MN ，MN 也成立，错误； D. 若22M N =，则1122MN--=，当MN 不成立，错误；故选：B【点睛】本题考查了对数指数和幂运算，意在考查学生对于基本函数运算的理解. 3.值域为[)0,+∞的函数是（ ） A. 12y x =B. 3xy =C. 2log y x =D.y =【答案】A 【解析】 【分析】依次计算值域：A 值域为[)0,+∞；B 值域为()0,∞+；C 值域为R ；D 值域为()0,∞+；得到答案.【详解】A. 12y x =，值域为[)0,+∞，满足；B. 3xy =值域为()0,∞+；C.2log y x =值域为R ；D. y =值域为()0,∞+； 故选：A【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力. 4.下列关系式中正确的是（ ） A. sin11cos10sin78︒<︒<︒ B. sin78sin11cos10︒<︒<︒ C. sin11sin78cos10︒<︒<︒ D. cos10sin78sin11︒<︒<︒【答案】C 【解析】 【分析】化简得到cos10sin80︒=︒，利用函数sin y x =的单调性得到答案.【详解】cos10sin80︒=︒，sin y x =在锐角范围内单调递增，故sin11sin78sin80︒<︒<︒ 故选：C【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.5.若2sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A.5 B. 25-C.25D. 25±【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到5cos α3，根据sin tan cos ααα=得到答案.【详解】2sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos α，sin 25tan cos ααα==故选：C【点睛】本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力. 6.若()324log218xf x =+，则()3f =（ ）A. 22B. 312log 218+C. 30D. 332log 218+【答案】A 【解析】 【分析】取23x =，则2log 3x =，代入计算得到答案. 【详解】()324log218xf x =+，取23x =，则2log 3x =，()2334log 3log 21841822f =⋅+=+= 故选：A【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7.函数()cos xf x x=的图象为（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】确定函数为偶函数，排除CD ，当0x →时，()0f x >，排除A ，得到答案. 【详解】()cos xf x x =，()()cos cos x x f x f x x x--===-，偶函数，排除CD ； 当0x →时，()0f x >，排除A ； 故选：B【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键. 8.存在函数()f x 满足：对任意的x ∈R 都有（ ） A. ()sin sin 2f x x = B. ()sin 1f x x =+ C. ()2cos cos 1f x x =+D. ()cos 2cos 1fx x =+【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值得到矛盾排除ABD ，存在()21f x x =+，验证满足条件得到答案.【详解】A. ()sin sin 2f x x =，取4x π=和34x π=得到21f =⎝⎭，21f =-⎝⎭，矛盾； B. ()sin 1f x x =+，取0x =和x π=得到()01f =，()01f π=+，矛盾； C. 存在函数()21f x x =+，则对任意的x ∈R ，()2cos cos 1f x x =+；D. ()cos 2cos 1fx x =+，取0x =和x π=得到()13f =，()11f =-，矛盾；故选：C【点睛】本题考查了函数的存在性问题，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.9.如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕着点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ，则下列说法错误的是（ ）A. 142f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B. ()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 C. ()()4f x fx π+-=D. ()f x 图象的对称轴是2x π=【答案】D 【解析】 【分析】计算得到142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确；根据单调性得到B 正确，D 错误；根据对称性得到C 正确；得到答案. 【详解】当4x π=时，111122S =⨯⨯=，即142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确； 根据图像知：[]0,x π∈时，()f x 单调递增，故B 正确，D 错误； 正方形的面积为4，根据对称性得到()()4f x f x π+-=，C 正确；故选：D【点睛】本题考查了函数的应用，函数的单调性，对称性，意在考查学生对于函数性质的应用能力.10.设()()22212,0lg ,0x a x a x f x x x ⎧+++-≤=⎨->⎩，若函数()y f x =与函数()3y a x =-的图像有且只有3个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()[),10,-∞-⋃+∞ B. (]1,0- C. (][),10,-∞-+∞D. []0,1 【答案】A 【解析】 【分析】讨论0,0,0a a a =><三种情况，画出图像根据()lg 3x a x -=-的解的情况，得到方程()2410x a x a ++++=的解的情况，计算得到答案.【详解】当0a =时，易知()241,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩和0y =有三个交点，满足；当0a >时，()lg 3x a x -=-有一个解，如图所示；故()()222123x a x a a x +++-=-，即()2410x a x a ++++=在(],0-∞上有两个解.满足：()()()244101040a a a a ⎧∆=+-+>⎪+>⎨⎪-+<⎩解得1a >-，故0a >；当0a <时，()lg 3x a x -=-有两个解，如图所示；故()()222123x a x a a x +++-=-，即()2410x a x a ++++=在()0,∞+上有一个解.()()()22441280a a a ∆=+-+=++>恒成立.故10a +<，故1a <- ，或1a =-，验证不成立，舍去，故1a <- 综上所述：()[),10,a ∈-∞-⋃+∞ 故选：A【点睛】本题考查了根据函数零点求参数范围，分类讨论是常有的方法，需要熟练掌握. 二、填空题11.若2log 3a =2a =______. 3【解析】 【分析】利用对数指数运算法则计算得到答案. 【详解】log 3a =log 3223a ==3【点睛】本题考查了数值的计算，意在考查学生的计算能力. 12.已知4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】35【解析】 【分析】计算得到3cos 5α=，化简得到sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得到答案.【详解】4sin 5α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5α=，3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故答案为：35【点睛】本题考查了三角函数化简，意在考查学生的计算能力. 13.已知扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的面积是______. 【答案】32π 【解析】 【分析】直接利用扇形的面积公式得到答案. 【详解】211392232S r ππα==⨯⨯= 故答案为：32π 【点睛】本题考查了扇形的面积，意在考查学生的计算能力.14.已知0a >，且1a ≠，函数()()221log 11x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =______.【解析】 【分析】直接代入数据计算得到答案.【详解】()()221log 11xa x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，故a =【点睛】本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力. 15.设函数()sin 44f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若关于x 的方程()f x a =恰好有三个根()123123,,x x x x x x <<，则12323x x x ++=______.【答案】78π 【解析】 【分析】 根据90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如图所示，根据对称性得到 128x x π+=，2358x x π+=，代入计算得到答案. 【详解】90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如图所示：则12t t π+=，233t t π+= 即121244,448x x x x ππππ+++=∴+=；23235443,448x x x x ππππ+++=∴+=()()123122372328x x x x x x x π++=+++=故答案为：78π【点睛】本题考查了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考查学生的综合应用能力. 16.设关于x三个方程210x ax --=，220x x a --=，10a xe -=的实根分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，若13524x x x x x <<<<，则实数a 的取值范围是______.【答案】33⎛- ⎝⎭【解析】 【分析】画出函数1y x x =-，222x xy =-和ln y x =-的图像，计算交点3313,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3313,2B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0C ，根据图像得到答案. 【详解】210x ax --=，则1a x x =-；220x x a --=，则222x x a =-；10a xe -=，则ln a x =-.画出函数1y x x =-，222x xy =-和ln y x =-的图像，如图所示：当2122x x x x -=-时，即()()21220x x x ---=，故12313,1,13x x x =-==+计算知：3313,A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3313,B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0C 根据图像知：要满足13524x x x x x <<<<，则330,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：330,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了方程解的大小关系求参数，画出函数图像是解题的关键. 三、解答题17.已知集合(){}2|220A x x a x a =-++=，{}22,5,512B a a =+-.（1）若3A ∈，求实数a 的值； （2）若{}5B C A =，求实数a 的值.【答案】（1）3a =（2）6a =-【解析】【分析】（1）化简得到()(){}|20A x x x a =--=和3A ∈，代入计算得到答案.（2）根据题意得到2512a a a +-=，计算得到2a =或6a =-，再验证互异性得到答案. 【详解】（1）因为3A ∈，()(){}|20A x x x a =--=，所以3a =.（2）因为{}5B C A =，所以A 中有两个元素，即{}2,A a =，所以2512a a a +-=， 解得2a =或6a =-，由元素的互异性排除2a =可得6a =-.【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.18.已知函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<的图象经过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求ϕ的值以及函数()f x 的单调递增区间；（2）若()35f θ=，求cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）23πϕ=-, ()54,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）35【解析】【分析】 （1）代入计算得到23πϕ=-，再计算单调性得到答案. （2）()23cos 235f πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，化简得到2cos 2cos 233ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到答案. 【详解】（1）函数图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，所以1cos 632f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又因为0πϕ-<<，2333πππϕ-<+<，所以33ππϕ+=-，即23πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由222223k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，整理得5463k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为()54,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为()23cos 235f πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以223cos 2cos 2cos 23335πππθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，单调性和三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数知识 的综合应用.19.已知集合1,02x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}2lg B x y ax x ==-. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,+∞（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）计算得到(]0,1A =，(){}0B x x a =-<，讨论0a =，0a <和0a >三种情况计算得到答案.（2）根据（1）中讨论计算得到答案.【详解】（1）(]1,00,12x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}(){}2lg 0B x y ax x x x a ==-=-<. ① 0,a B =∴=∅；② ()0,,0a B a <∴=；③ ()0,0,a B a >∴=.∵ A B ⊆，∴ ()1,a ∈+∞.（2）根据（1）中讨论知：∵ A B =∅，∴ (],0a ∈-∞.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系和运行结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.20.已知函数()()21ax f x a R x+=∈. （1）求()f x 的单调减区间；（2）设0a >，函数()22sin cos 1a x g x x =+，若对任意123,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，单调减区间为(),0-∞，()0,∞+.当0a >时，单调减区间为( ，.（2）36a ≥ 【解析】【分析】（1）讨论0a ≤和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到()13,35g x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据()g x 的值域是()f x 的值域的子集计算得到答案. 【详解】（1）()211ax f x ax x x+==+， 当0a ≤时，()1f x ax x=+的单调减区间(),0-∞，()0,∞+.当0a >时，()1f x ax x =+是对勾函数，单调减区间⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，2111cos ,cos ,2242x x ⎡⎤⎡⎤∈--∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()222sin 2cos 1cos 1a x a a x x g x ==-+++故()13,35g x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()1f x ax x =+是对勾函数，值域((),2,a -∞-+∞. ()22sin cos 1a x g x x =+，对任意123,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立.所以()g x 的值域是()f x的值域的子集，所以1,363a a ≤∴≥. 【点睛】本题考查了函数的单调性和根据函数值域求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.21.已知函数()()2,f x x ax a b a b R =+-+∈. （1）若2b =，()lg y f x =⎡⎤⎣⎦在71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有意义且不单调，求a 的取值范围； （2）若集合(){}0A x f x =≤，(){}11B x f f x ⎡⎤=+≤⎣⎦，且A B =≠∅，求a 的取值范围.【答案】（1）22a --<<-（2）0a ≤≤【解析】【分析】（1）根据题意得到二次函数()f x 的对称轴在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭之间，且()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为正， ，计算得到答案. （2）设(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，计算(){}|11B x m f x n =-≤≤-，得到()min2424a a a f x --=≥--，计算得到答案. 【详解】（1）当2b =时，()22f x x ax a =+-+，二次函数()f x 的对称轴在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭之间，且()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为正， ∴ 271222024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得22a --<<-； （2）因为B ≠∅，设(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，∴ (){}(){}|11|1B x f f x x m f x n =+≤=≤+≤⎡⎤⎣⎦(){}|11x m f x n =-≤≤-， 由A B =≠∅，得10n -=且()min 1f x m ≥-，由()()11f n f ==得0b =，所以()2f x x ax a =+-， 因为(){}0A f x =≤≠∅，∴240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-，又(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，所以1m a =--，∴()min 2424a a a f x --=≥--，解得a -≤≤综上所述0a ≤≤【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，单调性，根据集合相等求参数，意在考查学生的综合应用能力.。
2019-2020学年浙江省嘉兴一中高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省嘉兴一中高一上学期10月月考数学试题一、单选题 1．方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（ ）A ．{1}B ．(1,1)C ．{}(1,1)D ．{}1,1【答案】C【解析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来. 【详解】 ∵2{0x y x y +=-=∴1{1x y ==∴方程组2{x y x y +=-=的解构成的集合是{（1，1）}故选：C ． 【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．2．如图，I 是全集，集合A 、B 是集合I 的两个子集，则阴影部分所表示的集合的是（ ）A ．()I A CB ∩ B ．()IC A B ⋂C ．()()I I C A C B ∩D ．()I C A B ∩【答案】B【解析】根据集合运算的定义判断． 【详解】阴影部分元素属于集合B ，但不属于集合A ，应表示为()I C A B ．故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合运算的图形表示，属于基础题． 3．下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（ ）A ．()1f x x =-，()211x g x x -=+B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥⎧=⎨--<-⎩C ．()1f x =，()()01g x x =+D ．()f x =()2g x =【答案】B【解析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案. 【详解】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，A 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以二者不是同一函数，所以A 错误；B 选项中，1,1()11,1x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，与()g x 定义域相同，都是R ，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B 正确；C 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以二者不是同一函数， 所以C 错误；D 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，所以二者不是同一函数，所以D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查两个函数为同一函数的判断，属于基础题.4．烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回，设t 为出发后某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图像能大致表示()S f t =的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】汽艇开始远离码头，S 增加，到达小岛后绕行两周，S 先增加后减小，再增加，又减小，然后汽艇停靠岸边，S 不变，最后再从来时的停靠点回码头，S 减小，而且减小的幅度比来时要大即陡峭些． 【详解】根据汽艇行进路线想象它与码头的距离，一开始，汽艇远离码头，距离越来越大，由于是匀速直线，图象是一条直线，到了小岛时，可假设小岛是一个圆，汽艇绕小岛环行两周，则距离先增加，然后减小，再回到停靠点，再增加，减小，再回到停靠点（注意有两个来回），然后汽艇停靠岸边，S 不变，最后汽艇回码头，距离又开始减小．只有C 与描述相似． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的应用，从实际问题中抽象出函数的图象，掌握日常生活中的基本关系如速度时间关系，距离时间关系，路程时间关系等）是解题基础． 5．三个数20.3a =，0.32b =，2log 0.3c =之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B【解析】由指数函数与对数函数性质结合中间值0和1比较可得． 【详解】由指数函数性质得200.31<<，0.321>，由对数函数性质知2log 0.30<，∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键，对于不同类型的数比较大小可常常借助中间值如0，1等进行比较． 6．若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．15 C ．16D ．1【答案】D【解析】先将指数式化成对数式，求出,a b ，再利用换底公式的推论log log 1a b b a ⋅=以及对数的运算法则即可求出． 【详解】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用以及对数的运算法则的应用． 7．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数的区间是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【答案】C【解析】由指数函数与复合函数的单调性求解． 【详解】∵13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，222(1)1u x x x =-+=--+在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减，∴函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的增区间是[1,)+∞．故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，掌握复合函数单调性的结论是解题关键．复合函数的单调性（在函数定义域内）：8．2:f x x −−→是集合A 到集合B 的映射，如果{}1,2B =，那么A B 只可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1C ．{}2D ．{}1或∅【答案】D【解析】根据映射的定义求出A 中的可能元素．然后求A B ．【详解】若21x =，则1x =±，若22x =，则x =1和－1中至少有一个属于A 和中至少有一个属于A ，若1A ∈，则{1}A B ⋂=，若1A ∉，则1A -∈，A B =∅． 故选：D ． 【点睛】本题考查映射的概念，考查集合的交集运算，属于基础题型．9．集合{}3M x x k k Z ==∈，，{}31P x x k k Z ==+∈，，{}31Q x x k k Z ==-∈，，若a M ∈， b P ∈，c Q ∈，则a b c +-（ ）A ．M P ⋃B ．PC ．QD ．M【答案】C【解析】设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），计算a b c +-可得． 【详解】由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-（123,,k k k Z ∈），则123123331(31)3(1)1a b c k k k k k k +-=++--=+-+-，而1231k k k Z +-+∈，∴a b c Q +-∈． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，题中在设,,a b c 时，不能设成3a k =，31b k =+，31c k =-（k Z ∈），这样设，,,c a b 是相邻的三个整数，但,,a b c 不一定相邻．10．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2 D ．[1][2,2]-【答案】A【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,则当0x <,有0x ->,2()()f x x -=-,可得22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,即()f x 在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =,结合已知,即可得求答案. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =∴ 当0x <,有0x ->,2()()f x x -=-2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩()f x ∴在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立,x a ∴+≥,[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤+解得:a ≥∴则实数a 的取值范围是:)+∞.故选:A. 【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题11．已知()2212f x x x +=-，则()9f =______________.【答案】8【解析】先用换元法求出函数解析式，再计算函数值． 【详解】21x t +=，则12t x -=，代入()2212f x x x +=-得： 22111()()2(65)224t t f t t t --=-⨯=-+，∴2135()424f x x x =-+， ∴2135(9)998424f =⨯-⨯+=． 故答案为：8． 【点睛】本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令219x +=，则4x =，∴2(9)4248f =-⨯=．12．设集合{}{}|32,|2121A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：依题意可得13211{{1121222k k k k k ≥--≤-⇒⇒-≤≤+≤≤． 【考点】集合的运算．13．函数211327x y -=-的定义域是_____． 【答案】[)1,-+∞【解析】利用开偶次方，被开方数非负，得到指数不等式，求解即可得到函数的定义域． 【详解】解：要使函数有意义，必须2113027x --， 即211327x -，由指数函数的单调性可得213x --，解得1x -． 所以函数的定义域为：[)1,-+∞． 故答案为：[)1,-+∞． 【点睛】本题考查函数的定义域的求法，指数不等式的求法，考查计算能力．14． 设函数f (x )＝为奇函数，则a ＝________.【答案】【解析】【详解】 因为函数f (x )＝为奇函数，经检验符合题意.故答案为.15．已知()()()21020x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()10f f a =，则a =______________. 【答案】32【解析】先解()10f x =，设其解为0x ，再解0()f x x =． 【详解】0x >时，()20f x x =-<，∴由()10f x =知0x ≤，∴2110x +=，3x =-，而2()11f x x =+≥，因此由()3f a =-知0a >，即23a -=-，32a =． 故答案为：32． 【点睛】本题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值．解题时可根据函数解析式确定函数的值域，以确定在已知函数值时的函数表达式．16．函数2()45f x x x =-+在区间 [0,m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是 【答案】[2,4] 【解析】【详解】 函数2()45f x x x =-+则对称轴为x ＝2，f （2）＝1，f （0）＝f （4）＝5又∵函数2()45f x x x =-+在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1 ∴m 的取值为[2，4]；17．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2yx ，[]1,2x ∈与函数2yx ，[]2,1x ∈--就是“同族函数”.下列有四个函数：①2xy =；②12y x =；③2y x x ；④1y x=；可用来构造同族函数的有______________. 【答案】①③【解析】依次确定各函数的单调性与对称性，在定义域内单调函数一定不可构造“同族函数”． 【详解】2x y =是偶函数，可构造“同族函数”，如函数2,[0,1]xy x =∈与函数2,[1,0]xy x =∈-是“同族函数”；12y x =在定义域[0,)+∞上单调递增，不可构造“同族函数”；2yx x 的对称轴是12x =，可构造“同族函数”，如函数21,[,1]2y x x x =-∈与函数21,[0,]2y x x x =-∈是“同族函数”；1y x=在(0,)+∞上递减且0y >，在(,0)-∞上也递减且0y <，不可构造“同族函数”； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查新定义问题，考查函数的值域．根据“同族函数”的定义，只要函数在定义域内存在不同的x 对应于同一个y ，就可构造“同族函数”．三、解答题18．计算下列各式的值.（1）22.531050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）71log 23loglg 25lg 47++【答案】（1）0；（2）4．【解析】（1）根据幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式＝15211()35233364274355()()1[()]101000810222⨯-⨯---=--=-=；（2）原式＝323131log 3lg(254)24222+⨯+=++=． 【点睛】本题考查幂的运算法则和对数的运算法则．掌握幂的运算法则和对数的运算法则是解题基础．19．设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若A B A ⋃=，求实数a 的值.【答案】0或1-【解析】由A B A ⋃=得B A ⊆，则22a a -=或2a a a -=，注意检验． 【详解】∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，若22a a -=，则1a =-或2a =（舍去）， 或2a a a -=，则0a =或2a =（舍去）． ∴0a =或1-． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系．在求出参数值时要检验，使之符合集合的定义，特别集合中元素的互异性．20．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G(x )（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本 = 固定成本 + 生产成本）；销售收入R(x )（万元）满足：20.4 4.20.8(05)()10.2(5)x x x R x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:（Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围？（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？【答案】 (Ⅰ)产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．(Ⅱ)当工厂生产400台产品时，赢利最多【解析】(Ⅰ)当05x ≤≤时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->；当5x >时，解不等式8.20x ->，两种情况求并集即可得结果；(Ⅱ) 05x ≤≤时，()()20.44 3.6f x x =--+，故当4x =时，()f x 有最大值3.6，而当5x >时，()8.25 3.2f x <-=，由此可知当工厂生产400台产品时，贏利最多.【详解】依题意，()2G x x =+.设利润函数为()f x ，则()()()()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩(Ⅰ) 要使工厂有赢利，即解不等式()0f x >，当05x ≤≤时，解不等式20.4 3.2 2.80x x -+->．即2870x x -+<.∴17x << ∴15x <≤，当x>5时，解不等式8.20x ->，得8.2x <， ∴58.2x <<，综上所述，要使工厂赢利，x 应满足18.2x <<，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．(Ⅱ) 05x ≤≤ 时，()()20.44 3.6f x x =--+故当4x =时，()f x 有最大值3.6. 而当5x >时，()8.25 3.2f x <-=所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).21．已知函数()2421x xf x a =⋅--． （1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；（2）若关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围．【答案】（1）9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）0a > 【解析】（1）当1a =时，函数()2()2221xx f x =--，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】（1）当1a =时，()2()24212221x x xx f x =⋅--=--， 令2x t =，[3,0]x ∈-，则1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故221921248y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）关于x 的方程()222210x x a --=有解，等价于方程2210ax x --=在(0,)+∞上有解，记2()21g x ax x =--当0a =时，解为10x =-<，不成立；当0a <时，开口向下，对称轴104x a=<，过点(0,1)-，不成立； 当0a >时，开口向上，对称轴104x a =>，过点(0,1)-，必有一个根为正， 所以，0a >.【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数与方程的关系，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及分类讨论思想.22．设二次函数()()2ax bx c a f x b R ++=∈，满足我们的： ①当x ∈R 时，()f x 的最大值为0，且()()13f x f x -=-成立；②二次函数()f x 的图象与直线2y =-交于A B 、两点，且AB 4=.（1）求()f x 的解析式；（2）求最小的实数()1n n <-，使得存在实数t ，只要当[],1x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立．【答案】（1）21()(1)2f x x =--；（2）n 最小值是9-，使得存在实数4t =，只要当[,1]x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立．【解析】（1）根据条件得对称轴为1x =，由最大值可设函数解析式为2()(1)(0)f x a x a =-<，然后由AB 4=可求得a ，得解析式；（2）不等式()2f x t x +≥的解集包含区间[,1]n -，由其中一个不等式求得t 的范围，再由不等式1t n ---≤求得n 的范围，注意题中存在实数t 不是任意实数t ，使不等式成立，故要求()1g t t =---【详解】（1）由(1)(3)f x f x -=-得，函数()f x 的图象的对称轴是1x =，又()f x 的最大值是0，可设2()(1)(0)f x a x a =-<，令2(1)2a x -=-，得1x =4AB ==，12a =-． ∴21()(1)2f x x =--； （2）由()2f x t x +≥，得21(1)22x t x --+≥，即222(1)(1)0x t x t +++-≤，解得11t x t ---≤≤--+（0t ≥，否则不等式无解），又()2f x t x +≥在[,1]x n ∈-上恒成立，∴1(1)11(2)t n t ⎧---≤⎪⎨--+-⎪⎩，由（2）得04t ≤≤，令()1g t t =---()1g t t =---()(4)9g t g ≥=-， 由于只需存在实数t ，故9n ≥-，则n 的最小值是9-，此时存在实数4t =，只要当[,1]x n ∈-时，就有()2f x t x +≥成立．【点睛】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式，考查不等式恒成立问题．二次函数解析式有三种形式，2()f x ax bx c =++，2()()f x a x h m =-+，12()()()f x a x x x x =--，可根据已知条件选用不同形式求解．不等式恒成立问题中要注意问题转化时是求函数的最大值还是求最小值．。
浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2019学年绍兴市高一上期末试卷试题一、选择题1.已知集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B =U （ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,4【答案】D【解析】【分析】直接利用并集运算得到答案.【详解】{}1,2,3A =，{}2,4B =，则{}1,2,3,4A B =U故选：D【点睛】本题考查了并集运算，属于简单题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若M N =，则22log log M N =B. 若22M N =，则M N =C. 2222log log M N =，则M N =D. 若22M N =，则1122M N --=【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当0M N =≤时不成立，A 错误；B 正确；M N =-也成立，C 错误；当M N =-不成立，D 错误；得到答案.【详解】A. 若M N =，则22log log M N =，当0M N =≤时不成立，错误；B. 若22M N =，则M N =，正确；C. 2222log log M N =，则M N =，M N =-也成立，错误；D. 若22M N =，则1122M N --=，当M N =-不成立，错误；故选：B【点睛】本题考查了对数指数和幂运算，意在考查学生对于基本函数运算的理解.3.值域为[)0,+∞的函数是（ ） A. 12y x = B. 3x y = C.2log y x = D. y =【答案】A【解析】【分析】依次计算值域：A 值域为[)0,+∞；B 值域为()0,∞+；C 值域为R ；D 值域为()0,∞+；得到答案.【详解】A. 12y x =，值域为[)0,+∞，满足；B. 3x y =值域为()0,∞+；C.2log y x =值域为R ；D. y =()0,∞+；故选：A【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力.4.下列关系式中正确的是（ ）A. sin11cos10sin78︒<︒<︒B. sin78sin11cos10︒<︒<︒C. sin11sin78cos10︒<︒<︒D. cos10sin78sin11︒<︒<︒【答案】C【解析】【分析】化简得到cos10sin80︒=︒，利用函数sin y x =的单调性得到答案.【详解】cos10sin80︒=︒，sin y x =在锐角范围内单调递增，故sin11sin78sin80︒<︒<︒故选：C【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.5.若2sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A. 3B.C.D. 5±【答案】C【解析】【分析】计算得到cos α，根据sin tan cos ααα=得到答案.【详解】2sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α3=，sintan cos 5ααα==故选：C【点睛】本题考查了同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.6.若()324log 218x f x =+，则()3f =（ ）A. 22B. 312log 218+C. 30D. 332log 218+【答案】A【解析】【分析】取23x =，则2log 3x =，代入计算得到答案.【详解】()324log 218x f x =+，取23x =，则2log 3x =，()2334log 3log 21841822f =⋅+=+=故选：A【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.函数()cos xf x x =的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数为偶函数，排除CD ，当0x →时，()0f x >，排除A ，得到答案.【详解】()cos xf x x =，()()cos cos xxf x f x x x --===-，偶函数，排除CD ；当0x →时，()0f x >，排除A ；故选：B【点睛】本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.8.存在函数()f x 满足：对任意的x ∈R 都有（ ）A. ()sin sin 2f x x =B. ()sin 1f x x =+C. ()2cos cos 1f x x =+D. ()cos 2cos 1f x x =+【答案】C【解析】【分析】取特殊值得到矛盾排除ABD ，存在()21f x x =+，验证满足条件得到答案.【详解】A. ()sin sin 2f x x =，取4x π=和34x π=得到1f =⎝⎭，1f =-⎝⎭，矛盾；B. ()sin 1f x x =+，取0x =和x π=得到()01f =，()01f π=+，矛盾；C. 存在函数()21f x x =+，则对任意的x ∈R ，()2cos cos 1f x x =+； D. ()cos 2cos 1f x x =+，取0x =和x π=得到()13f =，()11f =-，矛盾；故选：C【点睛】本题考查了函数的存在性问题，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.9.如图，正方形ABCD 边长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕着点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为()f x ，则下列说法错误的是（ ）A. 142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ B. ()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 C. ()()4f x f x π+-=D. ()f x 图象的对称轴是2x π=【答案】D【解析】【分析】 计算得到142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确；根据单调性得到B 正确，D 错误；根据对称性得到C 正确；得到答案. 的【详解】当4x π=时，111122S =⨯⨯=，即142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确； 根据图像知：[]0,x π∈时，()f x 单调递增，故B 正确，D 错误；正方形的面积为4，根据对称性得到()()4f x fx π+-=，C 正确；故选：D【点睛】本题考查了函数的应用，函数的单调性，对称性，意在考查学生对于函数性质的应用能力. 10.设()()22212,0lg ,0x a x a x f x x x ⎧+++-≤=⎨->⎩，若函数()y f x =与函数()3y a x =-的图像有且只有3个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()[),10,-∞-⋃+∞B. (]1,0-C. (][),10,-∞-+∞UD. []0,1【答案】A【解析】【分析】讨论0,0,0a a a =><三种情况，画出图像根据()lg 3x a x -=-解的情况，得到方程()2410x a x a ++++=的解的情况，计算得到答案.【详解】当0a =时，易知()241,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩和0y =有三个交点，满足；当0a >时，()lg 3x a x -=-有一个解，如图所示；故()()222123x a x a a x +++-=-，即()2410x a x a ++++=在(],0-∞上有两个解.满足：()()()244101040a a a a ⎧∆=+-+>⎪+>⎨⎪-+<⎩解得1a >-，故0a >；当0a <时，()lg 3x a x -=-有两个解，如图所示；故()()222123x a x a a x +++-=-，即()2410x a x a ++++=在()0,∞+上有一个解.()()()22441280a a a ∆=+-+=++>恒成立.故10a +<，故1a <- ，或1a =-，验证不成立，舍去，故1a <-综上所述：()[),10,a ∈-∞-⋃+∞故选：A【点睛】本题考查了根据函数零点求参数范围，分类讨论是常有的方法，需要熟练掌握.二、填空题11.若log a =，则2a =______.【解析】【分析】利用对数指数运算法则计算得到答案.【详解】2log a =，则log 22a ==【点睛】本题考查了数值的计算，意在考查学生的计算能力.12.已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】35【解析】【分析】 计算得到3cos 5α=，化简得到sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得到答案. 【详解】4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5α=，3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 故答案为：35【点睛】本题考查了三角函数化简，意在考查学生的计算能力.13.已知扇形的圆心角为3π，半径为3，则该扇形的面积是______. 【答案】32π【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式得到答案. 【详解】211392232S r ππα==⨯⨯= 故答案为：32π【点睛】本题考查了扇形的面积，意在考查学生的计算能力.14.已知0a >，且1a ≠，函数()()221log 11xa x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =______.【解析】【分析】直接代入数据计算得到答案.【详解】()()221log 11x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，故a =【点睛】本题考查了分段函数的计算，意在考查学生的计算能力.15.设函数()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若关于x 的方程()f x a =恰好有三个根()123123,,x x x x x x <<，则12323x x x ++=______. 【答案】78π 【解析】【分析】 根据90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如图所示，根据对称性得到 128x x π+=，2358x x π+=，代入计算得到答案. 【详解】90,16x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则54,442t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，如图所示：则12t t π+=，233t t π+= 即121244,448x x x x ππππ+++=∴+=；23235443,448x x x x ππππ+++=∴+= ()()123122372328x x x x x x x π++=+++=故答案为：78π【点睛】本题考查了函数零点问题，三角形函数对称性，意在考查学生的综合应用能力. 16.设关于x 三个方程210x ax --=，220x x a --=，10a xe -=的实根分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，若13524x x x x x <<<<，则实数a 的取值范围是______. 【答案】⎛ ⎝⎭【解析】【分析】 画出函数1y x x =-，222x x y =-和ln y x =-的图像，计算交点1A ⎛ ⎝⎭，1B ⎛+ ⎝⎭，()1,0C ，根据图像得到答案.【详解】210x ax --=，则1a x x =-；220x x a --=，则222x x a =-；10a xe -=，则ln a x =-. 画出函数1y x x =-，222x x y =-和ln y x =-的图像，如图所示： 当2122x x x x -=-时，即()()21220x x x ---=，故12311,1x x x ===计算知：312A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，312B ⎛+ ⎝⎭ ，()1,0C 根据图像知：要满足13524x x x x x <<<<，则a ⎛∈ ⎝⎭的故答案为：⎛ ⎝⎭【点睛】本题考查了方程解的大小关系求参数，画出函数图像是解题的关键.三、解答题17.已知集合(){}2|220A x x a x a =-++=，{}22,5,512B a a =+-.（1）若3A ∈，求实数a 的值； （2）若{}5B C A =，求实数a 的值. 【答案】（1）3a =（2）6a =- 【解析】 【分析】（1）化简得到()(){}|20A x x x a =--=和3A ∈，代入计算得到答案.（2）根据题意得到2512a a a +-=，计算得到2a =或6a =-，再验证互异性得到答案. 【详解】（1）因为3A ∈，()(){}|20A x x x a =--=，所以3a =.（2）因为{}5B C A =，所以A 中有两个元素，即{}2,A a =，所以2512a a a +-=，解得2a =或6a =-，由元素的互异性排除2a =可得6a =-.【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.18.已知函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<的图象经过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求ϕ的值以及函数()f x 的单调递增区间； （2）若()35fθ=，求cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）23πϕ=-, ()54,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）35- 【解析】 【分析】（1）代入计算得到23πϕ=-，再计算单调性得到答案. （2）()23cos 235f πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，化简得到2cos 2cos 233ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到答案. 【详解】（1）函数图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，所以1cos 632f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又因为0πϕ-<<，2333πππϕ-<+<，所以33ππϕ+=-，即23πϕ=-， 所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由222223k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，整理得5463k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为()54,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为()23cos 235f πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以223cos 2cos 2cos 23335πππθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，单调性和三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数知识 的综合应用.的19.已知集合1,02xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}2lg B x y ax x ==-.（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()1,+∞（2）(],0-∞ 【解析】 【分析】（1）计算得到(]0,1A =，(){}0B x x a =-<，讨论0a =，0a <和0a >三种情况计算得到答案. （2）根据（1）中讨论计算得到答案.【详解】（1）(]1,00,12xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}(){}2lg 0B x y ax x x x a ==-=-<.① 0,a B =∴=∅；② ()0,,0a B a <∴=；③ ()0,0,a B a >∴=. ∵ A B ⊆，∴ ()1,a ∈+∞.（2）根据（1）中讨论知：∵ A B =∅I ，∴ (],0a ∈-∞.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系和运行结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.20.已知函数()()21ax f x a R x+=∈.（1）求()f x 的单调减区间；（2）设0a >，函数()22sin cos 1a xg x x =+，若对任意123,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，单调减区间为(),0-∞，()0,∞+.当0a >时，单调减区间为(a -，(0,a.（2）36a ≥ 【解析】【分析】（1）讨论0a ≤和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到()13,35g x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据()g x 的值域是()f x 的值域的子集计算得到答案.【详解】（1）()211ax f x ax x x+==+，当0a ≤时，()1f x ax x=+的单调减区间(),0-∞，()0,∞+.当0a >时，()1f x ax x =+是对勾函数，单调减区间a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,a ⎛ ⎝⎭.（2）23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，2111cos ,cos ,242x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()222sin 2cos 1cos 1a x a a x x g x ==-+++故()13,35g x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()1f x ax x=+是对勾函数，值域((),-∞-+∞U .()22sin cos 1a xg x x =+，对任意123,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立.所以()g x 的值域是()f x 的值域的子集，所以1,363a a ≤∴≥. 【点睛】本题考查了函数的单调性和根据函数值域求参数，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 21.已知函数()()2,f x x ax a b a b R =+-+∈.（1）若2b =，()lg y f x =⎡⎤⎣⎦在71,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有意义且不单调，求a 的取值范围；（2）若集合(){}0A x f x =≤，(){}11B x f f x ⎡⎤=+≤⎣⎦，且A B =≠∅，求a 的取值范围.【答案】（1）22a --<<-（2）0a ≤≤ 【解析】 分析】（1）根据题意得到二次函数()f x 的对称轴在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭之间，且()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为正， ，计算得到答案.（2）设(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，计算(){}|11B x m f x n =-≤≤-，得到()min2424a a a f x --=≥--，计算得到答案.【详解】（1）当2b =时，()22f x x ax a =+-+， 二次函数()f x 的对称轴在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭之间，且()f x 在71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒为正， ∴ 271222024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得22a --<<-； （2）因为B ≠∅，设(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，∴ (){}(){}|11|1B x f f x x m f x n =+≤=≤+≤⎡⎤⎣⎦(){}|11x m f x n =-≤≤-，由A B =≠∅，得10n -=且()min 1f x m ≥-，由()()11f n f ==得0b =， 所以()2f x x ax a =+-，因为(){}0A f x =≤≠∅，∴240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-， 又(),m n m n ≤为方程()1f x =的两个根，所以1m a =--， ∴()min2424a a a f x --=≥--，解得a -≤≤综上所述0a ≤≤【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，单调性，根据集合相等求参数，意在考查学生的综合应用能力.。
2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省嘉兴市七校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ） A ．0A ⊆ B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{}0,1,2A ⊂≠【答案】B【解析】根据元素与集合之间用∈或∉、及集合与集合之间的关系. 【详解】因为集合{0,1,2}A =所以0A ∈选项A 不正确；选项B 正确；选项C 是集合与集合之间的关系，错用元素与集合关系；选项D 两个集合相等，所以D 错误． 【点睛】元素与集合之间只能用∈或∉，而集合间的基本关系主要有相等关系、子集关系、真子集关系.2．下列各组表示同一函数的是（ ）A ．()()21,1x f x x g x x=-=-B ．()1f x =,()0g x x =C ．()()f x g x ==D ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩【答案】D【解析】若两个函数是同一个函数,则两个函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系,由此依次判断选项即可 【详解】解： 函数()1f x x =-的定义域为R ,而函数()21x g x x=-的定义域为{}|0x x ≠,故它们不是同一个函数,故排除A ；函数()1f x =的定义域为R ,()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠,故它们不是同一个函数，故排除B ；函数()f x =[)0,+∞,函数()g x =R ,故它们不是同一个函数,故排除C ； 函数()f x x =,0,0x x x x ≥⎧=⎨-<⎩ 与函数(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩,具有相同的定义域、值域、对应关系,故它们是同一个函数, 故选：D 【点睛】本题考查同一函数问题,应用函数的三要素即为解题关键 3．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B 。
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合P={x|x2=1}，Q={x|x2-x=0}，那么P∪Q=（）A. B. C. 0, D.2.函数f（x）=-的定义域是（）A. RB.C. D.3.函数f（x）=log（2-x）的单调递增区间是（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，则f（x）的最大值是（）A. B. C. D. 15.函数y=x+a与y=a x，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A. B.C. D.6.若实数a，b满足log a（a-b）＞1，其中a＞0，且a≠1，则（）A. B. C. D.7.已知实数x0是函数f（x）=-的一个零点，若0＜x1＜x0＜x2，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,8.设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=（）x+2x+b（其中b为实数），则f（1）的值为（）A. B. C. 1 D. 39.若函数f（x）=在区间[2019，2020]上的最大值是M，最小值是m，则M-m（）A. 与a无关,但与b有关B. 与a无关,且与b无关C. 与a有关,但与b无关D. 与a有关,且与b有关10.已知函数f（x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1，则关于x的不等式f（2x-1）+f（2x）＞2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题）11.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B=______，（∁U A）∪B=______．12.已知f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，则实数b=______，此函数f（x）的单调增区间为______．13.已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则函数f（x）=______，若f（2-a）＞f（a-1），则实数a的取值范围是______．14.设函数f（x）=，则f（f（0））=______，使得f（a）≥4a的实数a的取值范围是______．15.已知函数f（x）=|lg x|+2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是______．16.已知实数a，b满足log a b-3log b a=2，且a a=b b，则a+b=______．17.已知集合P={1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知A={x|＞0}，B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}．（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；（Ⅱ）当a＞0时，若A∪B=B，求实数a的取值范围．19.已知函数f（x）=（x-a）（2x+3）-6（Ⅰ）若a=-1，求f（x）在[-3，0]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．20.已知实数a＞0，定义域为R的函数是偶函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求实数a值；（Ⅱ）判断该函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=log3．（Ⅰ）若m=4，n=4，求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值．222.已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求f（f（））的值；（Ⅱ）写出函数F（x）=|f（x）-1|的单调递减区间（无需证明）；（Ⅲ）若实数x0满足f（f（x0））=x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f （x）的二阶不动点的个数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P={-1，1}，Q={0，1}，∴P∪Q={-1，0，1}．故选：C．可以求出集合P，Q，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=-中，令，解得，所以函数f（x）的定义域是[-1，0）∪（0，+∞）．故选：D．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：2-x＞0，得到x＜2，且t=2-x在（-∞，2）上递减，而在（0，+∞）上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在（-∞，2）上递增，故选：A．求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：当x＜0时，，当x≥0时，f（x）max=f（0）=-1，而，所以，故选：B．利用否定函数，分段求解函数的最值然后推出结果．本题考查分段函数的最值的求法，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：①0＜a＜1，则，y=a x为减函数，y=x+a为增函数且与y轴交点位于y正半轴交点纵坐标小于1，所以A、B、C错；②a＞1则，y=a x为增函数，y=x+a与y轴交点位于y正半轴，D正确；故选：D．分0＜a＜1和a＞1两种情况进而求解．考查指数函数，一次函数的图象的增减性，与坐标轴的关系．6.【答案】C【解析】解：当a＞1时，a-b＞a，得到b＜0，所以（a-1）b＜0．当0＜a＜1时，0＜a-b＜a，得到b＞0，所以（a-1）b＜0，故选：C．分类讨论底数的范围，得出结论．4本题主要考查对数的运算性质，解对数不等式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f（x）=-在（0，+∞）上递增，且f（x0）=0，由图象可知，当0＜x1＜x0＜x2时，有f（x1）＜0，f（x2）＞0，故选：B．由题意利用函数的单调性和零点，得出结论．本题主要考查函数的单调性和零点，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：f（x）为定义在R上的奇函数，且x≤0时，，则：f（0）=1+b=0，得到b=-1，则f（1）=-f（-1）=-（2-2-1）=1．故选：C．根据f（x）是定义在R上的奇函数可得出f（0）=0，从而求出b=-1，即得出x≤0时，，从而根据f（1）=-f（-1）即可求出f（1）．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及已知函数求值的方法．9.【答案】A【解析】解：，令，则y=2019t2+bt+a的最大值是M，最小值是m，而a是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故M-m与a无关，而b是影响图象的左右平移，故M-m与b有关，故选：A．令，则y=2019t2+bt+a，进而求解．考查转化思想，二次函数图象的理解．10.【答案】C【解析】解：可证明f（x）+f（-x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1+2019-x+ln（-x）-2019x+1=2，且f（x）在R上递增，原不等式等价于f（2x-1）＞2-f（2x）=f（-2x），则2x-1＞-2x，得到，故选：C．利用函数的单调性以及函数的奇偶性通过f（x）+f（-x）=2，转化求解即可．本题考查函数的单调性的应用，函数的奇偶性的判断与应用，是基本知识的考查．11.【答案】{1} {1，2，4，5}【解析】解：全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}，∁U A={2，4，5}，∴（∁U A）∪B={1，2，4，5}．故答案为：{1}，{1，2，4，5}．利用交集、补集、并集定义直接求解．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】2 （0，+∞）【解析】解：f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，则b=2，于是f（x）=x2，单调增区间为（0，+∞）．故答案为：2，（0，+∞）f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，进而求解．考查二次函数图象的理解，偶函数的性质．13.【答案】1≤a＜【解析】解：设幂函数f（x）=xα，由f（4）=4α=2，得到α=，于是．若f（2-a）＞f（a-1），则，即2-a＞a-1≥0，所以，1≤a＜，故答案为：1≤a＜．设幂函数f（x）=xα，由f（4）=2，得到α的值，可得函数的解析式，再根据f（2-a）＞f（a-1）以及单调性，求得实数a的取值范围．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．14.【答案】4 （-∞，4]【解析】解：函数f（x）=，∴f（f（0））=f（1）=4；当a＜1时，f（a）=（a+1）2≥4a，得到a＜1；当a≥1时，，得到a=1，所以a≤1．故答案为：4；（-∞，4]．直接利用分段函数的解析式求解f（f（0）），通过a的范围，列出不等式求解实数a 的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数值的求法以及不等式的解法，考查计算能力．15.【答案】（3，+∞）【解析】解：由已知可知0＜a＜1＜b，且|lg a|=|lg b|，于是lg a=-lg b，则，所以，所以a+2b的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．由已知可知0＜a＜1＜b，且|lg a|=|lg b|，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数函数图象的变换的应用及对数的运算的简单应用，属于基础试题．16.【答案】【解析】解：由log a b-3log b a=2得，，解得log a b=3或-1，则b=a3或，①当b=a3时，，则a=3a3，而a＞0，解得，∴；②当时，，则，而a＞0，解得a无解，∴．故答案为：．可由log a b-3log b a=2解出log a b=3或-1，从而得出b=a3或，从而得出：b=a3时，得出a=3a3，根据a＞0即可解出a，b，从而求出a+b=；时，得出，显然此时a无解，最后便得出a+b的值．考查对数的换底公式，指数的运算，以及指数函数是单调函数．17.【答案】496【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：当A中的最大数为1，即A={1}时，B={2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，即{2，3，4，5}的非空子集的个数为24-1=15个；当A中的最大数为2，即A={2}，{1，2}时，B={3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，即2×（23-1）=14个；当A中的最大数为3，即A={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B={4}，{5}，{4，5}，即4×3=12个；当A中的最大数为4，即A={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}时，B={5}，即{1，2，3}的子集的个数为23=8个；所以总共个数为15+14+12+8=49个；故答案为：49．根据题意，按集合A的情况分4种情况讨论，分析集合B的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理的应用，涉及集合的子集关系，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜6}，当a=2时，B={x|（x-3）（x+1）≤0}={x|-1≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊆B，∵a＞0，∴B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}={x|1-a≤x≤a+1}，则，得到a≥5，∴实数a的取值范围为[5，+∞）．【解析】（Ⅰ）可以求出A={x|2＜x＜6}，a=2时可以求出集合B，然后进行交集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B=B即可得出A⊆B，由a＞0即可得出B={x|1-a≤x≤a+1}，从而得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，并集的定义及运算，子集的定义．19.【答案】解析：（Ⅰ）若a=-1，，其中x∈[-3，0]，则由图象可知函数f（x）在[-3，-]上单调递减，在（-，0]上单调递增，∴f（x）max=f（-3）=0，；函数f（x）的最大值0、最小值为-；（Ⅱ）关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，转化为2x2+（3-2a）x-3a+8=0有两个不相等实根，则，∴得到．故实数a的取值范围（）．【解析】（Ⅰ）将a的值代入，对二次函数f（x）配方，找到对称轴，结合所给区间，求出函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）化简方程f（x）+14=0，根据方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，列出关于a的不等式组，求出实数a的取值范围．本题考查了二次函数的图象和最值的性质，考查了配方法、韦达定理根与系数的关系，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）定义域为R的函数是偶函数，则f（-x）=f（x）恒成立，即，故恒成立，因为e x-e-x不可能恒为0，所以，而a＞0，所以a=1．（Ⅱ）该函数在（0，+∞）上递增，证明如下：设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则=，因为0＜x1＜x2，所以，且，所以，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数在（0，+∞）上递增．（III）由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，+∞）上递增，而函数f（x）是偶函数，则函数f（x）在（-∞，0）上递减．若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．则|t-2|＜|2t-m|恒成立，即|t-2|2＜|2t-m|2，即3t2-（4m-4）t+m2-4＞0对任意的t∈R恒成立，则△=（4m-4）2-12（m2-4）＜0，得到（m-4）2＜0，m∈∅，所以不存在．【解析】（Ⅰ）由偶函数的定义得到关于x恒成立的表达式进而求解；（Ⅱ）根据函数单调性的定义，对函数值作差，将其分子分母化成因式乘积的形式，判断每一个因式的正负即可；（Ⅲ）根据函数的单调性和奇偶性，将函数符号f去掉，得到关于t的不等式，由恒成立问题求解即可．本题很好地考查了函数的奇偶性、单调性的基本定义及应用，应用这些性质求解抽象不等式及其恒成立问题是重点题型，有一定的难度．21.【答案】解析：（Ⅰ）若m=4，n=4，则，由，得到x2+2x+1＞0，得到x≠-1，故定义域为{x|x≠-1}，因为，下面求f（x）的值域，当x=0时，f（x）=log34，当x≠0且x≠-1时，当，而，所以，令t=，f（x）=log3t的值域为（-∞，log34）∪（log34，log38]，所以f（x）的值域为（-∞，log38]．（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为R，则恒成立，则，即m＞0，mn＞16，令，化简得（t-m）x2-8x+t-n=0，由于f（x）的值域为[0，2]，则t∈[1，9]，由函数f（x）的定义域为R，所以△=64-4（t-m）（t-n）≥0，即t2-（m+n）t+mn-16≤0的解集为[1，9]，故t=1和t=9是方程t2-（m+n）t+mn-16=0的两个根，由韦达定理m+n=10，mn-16=9，又m＞0，mn＞16，所以．【解析】（I）考察求函数的定义域和值域；（II）函数的恒成立问题，转化为不等式，根据韦达定理求出m，n（I）注意换元法和复合函数求定义域和值域；（II）用到函数的恒成立问题，不等式求解，韦达定理的应用，中档题22.【答案】解：（Ⅰ）因为＞1，所以，所以．（Ⅱ）F（x）=|f（x）-1|，递减区间为，[1，e]．（III）根据题意，，f（f（x））=ln（2-2x），当＜x＜1，f（f（x））=4x-2，当1≤x≤e，f（f（x））=2-2ln x，当时，由f（f（x））=ln（2-2x）=x，记g（x）=ln（2-2x）-x，则g（x）在上单调递减，且g（0）=ln2＞0，，故g（x）在上有唯一零点x1，即函数f（x）在上有唯一的二阶不动点x1．当时，由f（f（x））=4x-2=x，得到方程的根为，即函数f（x）在上有唯一的二阶不动点．当1≤x≤e时，由f（f（x））=2-2ln x=x，记h（x）=2-2ln x-x，则h（x）在[1，e]上单调递减，且h（1）=1＞0，h（e）=-e＜0，8故h（x）在[1，e]上有唯一零点x3，即函数f（x）在[1，e]上有唯一的二阶不动点x3．综上所述，函数f（x）的二阶不动点有3个．【解析】（I）分段函数求值，根据x的范围代入即可；（II）考察函数单调性；（III）写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数（I）这是分段函数求值，基础题；（II）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（III）这道题难点是要写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数，一定注意x的范围．。
浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省绍兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知集合A ={−1,1，3，5}，B ={0,1，3，4，6}，则A ∪B =( )A. {1,3}B. {1}C. {−1,0，1，1，3，4，5，6}D. {−1,0，1，3，4，5，6}2. 已知a =(12)b =log 0.30.2<32，则( )A. 1<2a −b <2B. 2<2a −b <4C. 4<2a −b <5D. 5<2a −b <63. 若函数f (x )=5 x +4的值域是[9,+∞)，则函数f (x )的定义域为( )A. RB. [9,+∞)C. [1,+∞)D. (−∞,1)4. 下列三角函数值大小比较正确的是( )A. sin19π8<cos14π9B. sin(−54π7)<sin(−63π8)C. tan(−13π4)>tan(−17π5)D. tan138°>tan143°5. 若α∈(π2,π)，sinα=√33，则tanα=( )A. −√2B. −√32C. −√22D. √26. 函数f (x )={(12)x,x ≤0log 2x,x >0，则f (f (18))=( )A. 14B. 4C. 18D. 87. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.8. 若f(x)对任意x ∈R,都有f(2x −1)=f(3−2x)则下列说法正确的是:( )．A. f(x)关于x =1对称.B. f(2x)关于x =1对称.C. f(x)关于x =12对称.D. f(2x)关于x =2对称9. 如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记∠AOP =x(0<x <π)，OP 所经过的单位圆O 内区域(阴影部分)的面积为S ，记S =f(x)，则下列选项判断正确的是( )A. 当x =π2时，S =3π4−12B. 当任意x 1，x 2∈(0,π)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0C. 对任意x ∈(0,π2)，都有f(π2−x)+f(π2+x)=π D. 对任x ∈(0,π2)，都有f(x +π2)=f(x)+π210. 已知函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，且函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 若x =log 43，则4x +4−x = ______ ．12. 若sin(π2+α)=−35，α∈(0,π)，则sinα=______．13. 一扇形的圆心角为600，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积为_________． 14. 已知函数f(x)={log 4x,x >0,2x ,x ≤0,则f (f (116))=________．15. 已知函数f(x)=(x 2−4x)cosx,x ∈[−π2,π2]，该函数零点的个数为_____________． 16. 若关于x 的不等式x 2+kx +1<0的解集为(12,2)，则实数k =_________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设全集U ={a 2−2，2，1}，A ={a,1}，求∁ U A .18. 若函数f(x)=cos(3π2+x+φ3)(φ∈[0,2π])的图象关于y 轴对称，则φ= ．19. 已知集合A ={x|2≤2x ≤32}，B ={x|y =log 2(3−x)}．(Ⅰ)求A ∩B ；(Ⅱ)若C ={x|x ≥a +1}且(A ∩B)⊆C ，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a,b 为实数)，设F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0．(1)若f(−1)=0，且对任意实数x 均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下，当x∈[−2,2]时，g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围．21.已知函数f(x)=x2+ax−1(a∈R)的两个零点为x1，x2．(Ⅰ)当a=1时，求|x1，−x2|的值；(Ⅱ)若x∈[0,2]，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 利用并集的定义进行求解即可得到答案．解：∵集合A ={−1,1，3，5}，集合B ={0,1，3，4，6}， ∴A ∪B ={−1,0,1,3,4,5,6}， 故选D ．2.答案：B解析：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质的应用；考查数学运算能力与转化化归的思想． 根据指数函数的性质，对数函数的性质，对数运算求解即可． 解：，∴a =(12)b∈(1,32)，，，而，，∴2<2a −b <4． 故选B3.答案：C解析：主要考查定义域和值域． 解：∵函数f (x )的值域为[9,+∞)， ∴5x +4≥9，∴x ≥1． 即函数f (x )的定义域为[1,+∞)．4.答案：C解析：本题考查的知识点是三角函数值大小比较，正弦函数和正切函数的单调性，诱导公式，属于基础题． 根据诱导公式，结合正弦函数和正切函数的单调性，可得答案． 解：sin 19π8=sin3π8>cos14π9=cos4π9=sin π18，故A 错误；sin(−54π7)=sin2π7>sin(−63π8)=sin π8，故B 错误； tan(−13π4)=tan 3π4>tan(−17π5)=tan3π5，故C 正确；tan138°<tan143°，故D 错误； 故选C ．5.答案：C解析：解：∵α∈(π2,π)，且sinα=√33，∴cosα=−√1−sin 2α=−√63， 则tanα=sinαcosα=√33−√63=−√22． 故选：C ．由已知求得cosα，再由商的关系求解tanα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.答案：D解析：本题主要考查分段函数的解析式，是基础题．根据f(x)的解析式，先求出f (18)的值，进而得到f (f (18))的值．解：∵函数f (x )={(12)x,x ≤0log 2x,x >0，∴f (18)=log 218=−3， f (f (18))=f (−3)=(12)−3=8，故选D ．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可． 解：函数f(x)=sinx +cosx x，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx −cosx x=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A 、C ， 因为x ∈(0,π2)时，sinx >0，cosx x>0，此时f(x)>0，所以排除D ，故选：B ．8.答案：A解析：本题考查函数对称性，属于基础题．对任意的x ，都有f(2x −1)=f(3−2x)，可得f(x)的对称轴为x =2x−1+3−2x2=1．解：对任意的x ，都有f(2x −1)=f(3−2x)， f(x)的对称轴为x =2x−1+3−2x2=1，故选A ．9.答案：C解析：A，由题意当x=π2时，OP所经过的在单位圆O内区域(阴影部分)的面积为S为半个单位圆；B，对任意x∈(0,π2)，依题意可得函数S=f(x)单调增，即可判定；C，根据图形可得f(x)+f(π−x)刚好为单位圆的面积π；D，当x=π4时，f(3π4)≠f(π4)+π2，即可判定．本题考查了函数的性质与实际问题的结合，通过几何图形得到函数的对称性、单调性是关键．属于中档题．解：对于A，由题意当x=π2时，OP所经过的在单位圆O内区域(阴影部分)的面积为S为半个单位圆．圆O的半径为1，故S=12×π×12=π2，故错；对于B，依题意可得函数S=f(x)单调增，所以对任意x1，x2∈(0,π)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故错；对于C，对任意x∈(0,π2)，根据图形可得f(x)+f(π−x)刚好为单位圆的面积π，∴都有f(π2−x)+f(π2+x)=π，故正确；对于D，当x=π4时，f(3π4)≠f(π4)+π2，故错；故选：C．10.答案：B解析：解：函数ℎ(x)=f(x)+x−a有且只有一个零点，就是y=f(x)的图象与y=a−x的图象有且只有一个交点，如图：显然当a>1时，两个函数有且只有一个交点，故选：B．利用数形结合画出函数y=f(x)的图象，通过函数ℎ(x)=f(x)+x−a有且只有一个零点，求出a的范围．本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力．11.答案：103解析：解：x =log 43⇒4x =3所以4x +4−x =3+13=103．故答案为：103．直接利用对数与指数互化的运算法则化简求值即可．本题考查指数与对数的互化，表达式的值的求法，考查计算能力．12.答案：45解析：由已知利用诱导公式可求cosα的值，结合角α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值． 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 解：∵sin(π2+α)=cosα=−35，α∈(0,π)， ∴sinα=√1−cos 2α=√1−(−35)2=45． 故答案为：45．13.答案：50π3解析：本题考查了扇形面积的计算，注意掌握扇形的面积公式： 直接利用扇的形面积公式S 扇形=nπR 2360直接计算．解：根据题意得：S 扇形=nπR 2360=60π×102360=50π3(cm 2).故答案为50π3．14.答案：14解析：本题考查了分段函数求值，属于基础题． 解：因为f(116)=log 4116=−2， 所以f(f(116))=f(−2)=2−2=14． 故答案为14．15.答案：3解析：本题考查函数的零点与方程的根的关系，属于基础题． 通过函数值为0，转化求解函数的零点即可． 解：由函数f(x)=(x 2−4x)cosx,x ∈[−π2,π2]， 可得(x 2−4x )cosx =0，即x 2−4x =0， 解得x =0或，舍去，cosx =0，x ∈[−π2,π2]， 可得或，故函数零点个数有3个． 故答案为3．16.答案：−52解析：本题考查一元二次不等式的解法．注意问题的等价转化，由一元二次不等式和一元二次方程的关系知，只需满足相应的一元二次方程有两个不同的根即可，属于基础题． 解：∵关于x 的不等式x 2+kx +1<0的解集为(12,2)， ∴一元二次方程x 2+kx +1<0有两个不同的根12,2， ∴k =−(12+2)=−52， 故答案为−52．17.答案：解：由补集的定义可知A ⊆U ．若a=2；则a2−2=2，集合U中的元素不满足互异性，所以a≠2．若a2−2=a，则a=2或a=−1，因为a≠2，所以a=−1．此时，U={−1,2，1}，A={−1,1}，所以∁U A={2}．解析：本题主要考查集合中元素的性质以及补集及其运算，属于基础题．根据集合中元素的性质得到a≠2，a=−1再进行求解即可．18.答案：3π2解析：【分析】本题考查了三角函数的性质，利用函数的图像关于y轴对称进行求解即可得，属基础题．【解答】解：∵函数f(x)=cos(3π2+x+φ3)=sin x+φ3的图象关于y轴对称，∴φ3=π2+kπ，k∈Z，又φ∈[0,2π]，∴φ=3π2．19.答案：解：(Ⅰ)由集合A中的不等式2≤2x≤32，变形得：21≤2x≤25，解得：1≤x≤5，即A={x|1≤x≤5}，令3−x>0，得x<3，得到B={x|x<3}，则A∩B={x|1≤x<3}；(Ⅱ)∵A∩B={x|1≤x<3}，C={x|x≥a+1}，若(A∩B)⊆C，∴a+1≤1，解得：a≤0．解析：此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于简单题．(Ⅰ)求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A∩B即可；(Ⅱ)由A 与B 交集是C 的子集，由A 与B 的交集及C 求出a 的范围即可．20.答案：解：(1)∵f(−1)=0，∴a −b +1=0，①∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，∴a >0且判别式Δ=0，即b 2−4a =0，②由①②得a =1，b =2．∴f(x)=ax 2+bx +1=x 2+2x +1．∴F(x)={x 2+2x +1, x >0−x 2−2x −1, x <0， (2)g(x)=f(x)−kx =x 2+(2−k)x +1，函数的对称轴为x =−2−k 2=k−22，要使函数g(x)=f(x)−kx 在x ∈[−2,2]上是单调函数，则区间[−2,2]必在对称轴的一侧，即k−22≥2或k−22≤−2，解得k ≥6或k ≤−2．即实数k 的取值范围是k ≥6或k ≤−2．故k 的取值范围为(−∞,−2]∪[6,+∞)．解析：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．(1)利用f(−1)=0和函数f(x)的值域为[0,+∞)，建立方程关系，即可求出a ，b ，从而确定F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[−2,2]时，利用g(x)=f(x)−kx 的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=x 2+x −1，令f(x)=0，得x 2+x −1=0，不妨设x 1<x 2.解得x 1=−1−√52，x 2=−1+√52，所|x 1−x 2|=√5．(Ⅱ)f(x)图象是开口向上，对称轴为x =−a 2为抛物线，⩾1即a≤−2时，f(x)max=f(0)=−1≤0，符合题意；(1)当−a2<1，即a>−2时，(2)当−a2f(x)max=f(2)=2a+3≤0，故−2<a⩽−3；2综合(1)(2)得a⩽−3．2解析：(Ⅰ)令f(x)=0解出函数的两个零点，就得到|x1，−x2|的值；(Ⅱ)利用一元二次函数图象的对称轴，确定函数在[0,2]上的单调性，求出f(x)的最大值，可解得a 的取值范围．。
浙江省嘉兴市2019-2020学年高一下期末复习检测数学试题含解析
浙江省嘉兴市2019-2020学年高一下期末复习检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．a b ab +< B ．2b a a b +> C ．2ab b > D ．22a b <【答案】C【解析】【分析】 110a b<<，可得0b a <<，则根据不等式的性质逐一分析选项，A ：0a b +<，0ab >，所以a b ab +<成立；B ：0b a <<，则0,0b a a b>>，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C ：b a <且0b <，根据可乘性可知结果；D ：0b a <<，根据乘方性可判断结果.【详解】A ：由题意，不等式110a b<<，可得0b a <<， 则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<成立，所以A 是正确的；B ：由0b a <<，则0,0b a a b >>，所以2b a a b +≥=，因为a b ，所以等号不成立，所以2b a a b+>成立，所以B 是正确的； C ：由b a <且0b <，根据不等式的性质，可得2ab b <，所以C 不正确；D ：由0b a <<，可得22a b <，所以D 是正确的，故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题. 2．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ）A ．35100x y +-=B ．3560x y ++=C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=【答案】C【解析】【分析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【详解】由两点式直线方程可得：2(3)03y y x x ---=-- 化简得：5360x y +-=故选：C【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43πC ．223π+D ．243π+ 【答案】A【解析】【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
2019-2020学年浙江省嘉兴市一中、湖州中学2019级高一上学期期中联考数学试卷及解析
2019-2020学年嘉兴市一中、湖州中学2019级高一上学期期中联考数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合P={x|x2=1}，Q={x|x2-x=0}，那么P∪Q=（）A. B. C. 0, D.2.函数f（x）=-的定义域是（）A. RB.C. D.3.函数f（x）=log（2-x）的单调递增区间是（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，则f（x）的最大值是（）A. B. C. D. 15.函数y=x+a与y=a x，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A. B.C. D.6.若实数a，b满足log a（a-b）＞1，其中a＞0，且a≠1，则（）A. B. C. D.7.已知实数x0是函数f（x）=-的一个零点，若0＜x1＜x0＜x2，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,8.设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=（）x+2x+b（其中b为实数），则f（1）的值为（）A. B. C. 1 D. 39.若函数f（x）=在区间[2019，2020]上的最大值是M，最小值是m，则M-m（）A. 与a无关,但与b有关B. 与a无关,且与b无关C. 与a有关,但与b无关D. 与a有关,且与b有关10.已知函数f（x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1，则关于x的不等式f（2x-1）+f（2x）＞2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题）11.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B=______，A）∪B=______．（∁U12.已知f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，则实数b=______，此函数f（x）的单调增区间为______．13.已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则函数f（x）=______，若f（2-a）＞f（a-1），则实数a的取值范围是______．14.设函数f（x）=，则f（f（0））=______，使得f（a）≥4a的实数a的取值范围是______．15.已知函数f（x）=|lg x|+2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是______．16.已知实数a，b满足log a b-3log b a=2，且a a=b b，则a+b=______．17.已知集合P={1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知A={x|＞0}，B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}．（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；（Ⅱ）当a＞0时，若A∪B=B，求实数a的取值范围．19.已知函数f（x）=（x-a）（2x+3）-6（Ⅰ）若a=-1，求f（x）在[-3，0]上的最大值和最小值；。
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019_2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合P={x|x2=1}，Q={x|x2-x=0}，那么P∪Q=（）A. B. C. 0, D.2.函数f（x）=-的定义域是（）A. RB.C. D.3.函数f（x）=log（2-x）的单调递增区间是（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，则f（x）的最大值是（）A. B. C. D. 15.函数y=x+a与y=a x，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A. B.C. D.6.若实数a，b满足log a（a-b）＞1，其中a＞0，且a≠1，则（）A. B. C. D.7.已知实数x0是函数f（x）=-的一个零点，若0＜x1＜x0＜x2，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,8.设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=（）x+2x+b（其中b为实数），则f（1）的值为（）A. B. C. 1 D. 39.若函数f（x）=在区间[2019，2020]上的最大值是M，最小值是m，则M-m（）A. 与a无关,但与b有关B. 与a无关,且与b无关C. 与a有关,但与b无关D. 与a有关,且与b有关10.已知函数f（x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1，则关于x的不等式f（2x-1）+f（2x）＞2的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题）11.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B=______，（∁U A）∪B=______．12.已知f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，则实数b=______，此函数f（x）13.已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则函数f（x）=______，若f（2-a）＞f（a-1），则实数a的取值范围是______．14.设函数f（x）=，则f（f（0））=______，使得f（a）≥4a的实数a的取值范围是______．15.已知函数f（x）=|lg x|+2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是______．16.已知实数a，b满足log a b-3log b a=2，且a a=b b，则a+b=______．17.已知集合P={1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为______．三、解答题（本大题共5小题）18.已知A={x|＞0}，B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}．（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；（Ⅱ）当a＞0时，若A∪B=B，求实数a的取值范围．19.已知函数f（x）=（x-a）（2x+3）-6（Ⅰ）若a=-1，求f（x）在[-3，0]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围．20.已知实数a＞0，定义域为R的函数是偶函数，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求实数a值；（Ⅱ）判断该函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=log3．（Ⅰ）若m=4，n=4，求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值．22.已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求f（f（））的值；（Ⅱ）写出函数F（x）=|f（x）-1|的单调递减区间（无需证明）；（Ⅲ）若实数x0满足f（f（x0））=x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f （x）的二阶不动点的个数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P={-1，1}，Q={0，1}，∴P∪Q={-1，0，1}．故选：C．可以求出集合P，Q，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=-中，令，解得，所以函数f（x）的定义域是[-1，0）∪（0，+∞）．故选：D．根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：2-x＞0，得到x＜2，且t=2-x在（-∞，2）上递减，而在（0，+∞）上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在（-∞，2）上递增，故选：A．求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：当x＜0时，，当x≥0时，f（x）max=f（0）=-1，而，所以，故选：B．利用否定函数，分段求解函数的最值然后推出结果．本题考查分段函数的最值的求法，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：①0＜a＜1，则，y=a x为减函数，y=x+a为增函数且与y轴交点位于y正半轴交点纵坐标小于1，所以A、B、C错；②a＞1则，y=a x为增函数，y=x+a与y轴交点位于y正半轴，D正确；故选：D．分0＜a＜1和a＞1两种情况进而求解．考查指数函数，一次函数的图象的增减性，与坐标轴的关系．6.【答案】C【解析】解：当a＞1时，a-b＞a，得到b＜0，所以（a-1）b＜0．当0＜a＜1时，0＜a-b＜a，得到b＞0，所以（a-1）b＜0，本题主要考查对数的运算性质，解对数不等式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f（x）=-在（0，+∞）上递增，且f（x0）=0，由图象可知，当0＜x1＜x0＜x2时，有f（x1）＜0，f（x2）＞0，故选：B．由题意利用函数的单调性和零点，得出结论．本题主要考查函数的单调性和零点，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：f（x）为定义在R上的奇函数，且x≤0时，，则：f（0）=1+b=0，得到b=-1，则f（1）=-f（-1）=-（2-2-1）=1．故选：C．根据f（x）是定义在R上的奇函数可得出f（0）=0，从而求出b=-1，即得出x≤0时，，从而根据f（1）=-f（-1）即可求出f（1）．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及已知函数求值的方法．9.【答案】A【解析】解：，令，则y=2019t2+bt+a的最大值是M，最小值是m，而a是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故M-m与a无关，而b是影响图象的左右平移，故M-m与b有关，故选：A．令，则y=2019t2+bt+a，进而求解．考查转化思想，二次函数图象的理解．10.【答案】C【解析】解：可证明f（x）+f（-x）=2019x+ln（+x）-2019-x+1+2019-x+ln（-x）-2019x+1=2，且f（x）在R上递增，原不等式等价于f（2x-1）＞2-f（2x）=f（-2x），则2x-1＞-2x，得到，故选：C．利用函数的单调性以及函数的奇偶性通过f（x）+f（-x）=2，转化求解即可．本题考查函数的单调性的应用，函数的奇偶性的判断与应用，是基本知识的考查．11.【答案】{1} {1，2，4，5}【解析】解：全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，5}，则A∩B={1}，∁U A={2，4，5}，∴（∁U A）∪B={1，2，4，5}．故答案为：{1}，{1，2，4，5}．利用交集、补集、并集定义直接求解．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】2 （0，+∞）【解析】解：f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，则b=2，于是f（x）=x2，单调增区间为（0，+∞）．故答案为：2，（0，+∞）f（x）=x2+（b-2）x是定义在R上的偶函数，对称轴为y轴，进而求解．考查二次函数图象的理解，偶函数的性质．13.【答案】1≤a＜【解析】解：设幂函数f（x）=xα，由f（4）=4α=2，得到α=，于是．若f（2-a）＞f（a-1），则，即2-a＞a-1≥0，所以，1≤a＜，故答案为：1≤a＜．设幂函数f（x）=xα，由f（4）=2，得到α的值，可得函数的解析式，再根据f（2-a）＞f（a-1）以及单调性，求得实数a的取值范围．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．14.【答案】4 （-∞，4]【解析】解：函数f（x）=，∴f（f（0））=f（1）=4；当a＜1时，f（a）=（a+1）2≥4a，得到a＜1；当a≥1时，，得到a=1，所以a≤1．故答案为：4；（-∞，4]．直接利用分段函数的解析式求解f（f（0）），通过a的范围，列出不等式求解实数a 的取值范围．本题考查分段函数的应用，函数值的求法以及不等式的解法，考查计算能力．15.【答案】（3，+∞）【解析】解：由已知可知0＜a＜1＜b，且|lg a|=|lg b|，于是lg a=-lg b，则，所以，所以a+2b的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．由已知可知0＜a＜1＜b，且|lg a|=|lg b|，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数函数图象的变换的应用及对数的运算的简单应用，属于基础试题．16.【答案】【解析】解：由log a b-3log b a=2得，，解得log a b=3或-1，则b=a3或，①当b=a3时，，则a=3a3，而a＞0，解得，∴；②当时，，则，而a＞0，解得a无解，∴．故答案为：．可由log a b-3log b a=2解出log a b=3或-1，从而得出b=a3或，从而得出：b=a3时，得出a=3a3，根据a＞0即可解出a，b，从而求出a+b=；时，得出，显然此时a无解，最后便得出a+b的值．考查对数的换底公式，指数的运算，以及指数函数是单调函数．17.【答案】49【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：当A中的最大数为1，即A={1}时，B={2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，即{2，3，4，5}的非空子集的个数为24-1=15个；当A中的最大数为2，即A={2}，{1，2}时，B={3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，即2×（23-1）=14个；当A中的最大数为3，即A={3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B={4}，{5}，{4，5}，即4×3=12个；当A中的最大数为4，即A={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}时，B={5}，即{1，2，3}的子集的个数为23=8个；所以总共个数为15+14+12+8=49个；故答案为：49．根据题意，按集合A的情况分4种情况讨论，分析集合B的个数，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理的应用，涉及集合的子集关系，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜6}，当a=2时，B={x|（x-3）（x+1）≤0}={x|-1≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊆B，∵a＞0，∴B={x|（x-1-a）（x-1+a）≤0}={x|1-a≤x≤a+1}，则，得到a≥5，∴实数a的取值范围为[5，+∞）．【解析】（Ⅰ）可以求出A={x|2＜x＜6}，a=2时可以求出集合B，然后进行交集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B=B即可得出A⊆B，由a＞0即可得出B={x|1-a≤x≤a+1}，从而得出，解出a的范围即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，并集的定义及运算，子集的定义．19.【答案】解析：（Ⅰ）若a=-1，，其中x∈[-3，0]，则由图象可知函数f（x）在[-3，-]上单调递减，在（-，0]上单调递增，∴f（x）max=f（-3）=0，；函数f（x）的最大值0、最小值为-；（Ⅱ）关于x的方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，转化为2x2+（3-2a）x-3a+8=0有两个不相等实根，则，∴得到．故实数a的取值范围（）．【解析】（Ⅰ）将a的值代入，对二次函数f（x）配方，找到对称轴，结合所给区间，求出函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）化简方程f（x）+14=0，根据方程f（x）+14=0在（0，+∞）上有两个不相等实根，列出关于a的不等式组，求出实数a的取值范围．本题考查了二次函数的图象和最值的性质，考查了配方法、韦达定理根与系数的关系，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）定义域为R的函数是偶函数，则f（-x）=f（x）恒成立，设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则=，因为0＜x1＜x2，所以，且，所以，即f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数在（0，+∞）上递增．（III）由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，+∞）上递增，而函数f（x）是偶函数，则函数f（x）在（-∞，0）上递减．若存在实数m，使得对任意的t∈R，不等式f（t-2）＜f（2t-m）恒成立．则|t-2|＜|2t-m|恒成立，即|t-2|2＜|2t-m|2，即3t2-（4m-4）t+m2-4＞0对任意的t∈R恒成立，则△=（4m-4）2-12（m2-4）＜0，得到（m-4）2＜0，m∈∅，所以不存在．【解析】（Ⅰ）由偶函数的定义得到关于x恒成立的表达式进而求解；（Ⅱ）根据函数单调性的定义，对函数值作差，将其分子分母化成因式乘积的形式，判断每一个因式的正负即可；（Ⅲ）根据函数的单调性和奇偶性，将函数符号f去掉，得到关于t的不等式，由恒成立问题求解即可．本题很好地考查了函数的奇偶性、单调性的基本定义及应用，应用这些性质求解抽象不等式及其恒成立问题是重点题型，有一定的难度．21.【答案】解析：（Ⅰ）若m=4，n=4，则，由，得到x2+2x+1＞0，得到x≠-1，故定义域为{x|x≠-1}，因为，下面求f（x）的值域，当x=0时，f（x）=log34，当x≠0且x≠-1时，当，而，所以，令t=，f（x）=log3t的值域为（-∞，log34）∪（log34，log38]，所以f（x）的值域为（-∞，log38]．（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为R，则恒成立，则，即m＞0，mn＞16，令，化简得（t-m）x2-8x+t-n=0，由于f（x）的值域为[0，2]，则t∈[1，9]，由函数f（x）的定义域为R，所以△=64-4（t-m）（t-n）≥0，即t2-（m+n）t+mn-16≤0的解集为[1，9]，故t=1和t=9是方程t2-（m+n）t+mn-16=0的两个根，由韦达定理m+n=10，mn-16=9，又m＞0，mn＞16，所以．【解析】（I）考察求函数的定义域和值域；（II）函数的恒成立问题，转化为不等式，根据韦达定理求出m，n（I）注意换元法和复合函数求定义域和值域；（II）用到函数的恒成立问题，不等式求解，韦达定理的应用，中档题22.【答案】解：（Ⅰ）因为＞1，所以，所以．（Ⅱ）F（x）=|f（x）-1|，递减区间为，[1，e]．（III）根据题意，，f（f（x））=ln（2-2x），当＜x＜1，f（f（x））=4x-2，当1≤x≤e，f（f（x））=2-2ln x，当时，由f（f（x））=ln（2-2x）=x，记g（x）=ln（2-2x）-x，则g（x）在上单调递减，且g（0）=ln2＞0，，故g（x）在上有唯一零点x1，即函数f（x）在上有唯一的二阶不动点x1．当时，由f（f（x））=4x-2=x，得到方程的根为，即函数f（x）在上有唯一的二阶不动点．故h（x）在[1，e]上有唯一零点x3，即函数f（x）在[1，e]上有唯一的二阶不动点x3．综上所述，函数f（x）的二阶不动点有3个．【解析】（I）分段函数求值，根据x的范围代入即可；（II）考察函数单调性；（III）写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数（I）这是分段函数求值，基础题；（II）含绝对值的函数单调性的判断，比较容易；（III）这道题难点是要写出f（f（x））分段函数，根据f（f（x））=x，求出解的个数，一定注意x的范围．。
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浙江省嘉兴市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 若A ⊆B ，A ⊆C ，B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}，则这样的A 的个数为( )A. 4B. 15C. 16D. 322. 如图，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，，⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=30∘，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =( )A. 1B. 2C. 3D.43. 已知α是第二限角，则下列结论正确的是( )A. sinα⋅cosα>0B. sinα⋅tanα<0C. cosα⋅tanα<0D. 以上都有可能4. 函数y =1−2x 的值域为( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,1)5. 已知a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a ⃗ ·b ⃗ 的值是( )A. 7B. 12C. 5D. 256. 已知函数f(x)=2sin(π4−2x)，则函数f(x)的单调递减区间为( )A. [3π8+2kπ,7π8+2kπ](k ∈Z)B. [−π8+2kπ,3π8+2kπ](k ∈Z)C. [3π8+kπ,7π8+kπ](k ∈Z)D. [−π8+kπ,3π8+kπ](k ∈Z)7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A. f(x)=ln|x|e xB. f(x)=e x ln|x|C. f(x)=ln|x|xD. f(x)=(x −1)ln|x|8. 为了得到函数y =3sin(2x +π5)的图象，只需把y =3sin2x 上的所有的点( )A. 向左平行移动π10长度单位 B. 向右平行移动π10长度单位 C. 向右平行移动π5长度单位D. 向左平行移动π5长度单位9. 在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点A,B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则点集|P |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R|所表示的区域的面积是( ) A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 4√310. 已知cos x =−12，且x ∈[0,2π]，则角x 等于( )．A. 2π3或4π3B. π3或2π3C. π6或5π6D. 5π6或11π6二、填空题（本大题共7小题，共39.0分） 11. 计算log 83⋅log 932=______．12. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________．13. 已知点A(1,−2)，若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与a =(2,3)同向，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，则点B 的坐标为________． 14. 若tanα=13，则sinαcosα=________．15. 已知函数f(x)={2x ,x >0−x 2−2x +1,x ⩽0，若f(f(a))=4，则a =________．16. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 17. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0)，若关于x 的方程f(x)=ax(a >0)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共5小题，共61.0分）18. 已知集合A ={x|a ≤x ≤a +8}，B ={x|x <−1或x >5}，(1)当a =0时，求A ∩B ，A ∪(C R B)； (2)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．19. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(3,1)，c ⃗ =b ⃗ −k a ⃗ ，且a⃗ ⊥c ⃗ ． (1)求向量b ⃗ 在向量a ⃗ 的方向上的投影； (2)求实数k 的值及向量c ⃗ 的坐标．20. 已知函数f(x)=a⋅2x −2+a 2x +1,a ∈R ．(1)试判断f (x)的单调性，并证明你的结论； (2)若f (x)为定义域上的奇函数，求函数f (x)的值域．21. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =3π8对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．(1)求函数f(x)的解析式以及它的单调递增区间； (2)是否存在实数m ，满足不等式f(√m+18)>f(√−m+48)？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22.求函数f(x)=x3−x2−x−2的零点．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ⊆B ，A ⊆C ， ∴A ⊆(B ∩C)，∵B ={0,1，2，3，4，5，6}，C ={0,2，4，6，8，10}， ∴B ∩C ={0,2，4，6}， ∴A 的个数为16， 故选C ．利用A ⊆B ，A ⊆C ，可得A ⊆(B ∩C)，求出B ∩C ，即可得出结论． 本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：本题考查平面向量的模，平面向量的数量积，属于中档题．根据OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，等式左右两端点乘OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而建立方程组，即可求解． 解：由题意可知，， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，．∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即3=32x ，①∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即32=x −12y ，②联立①②可得：{x =2y =1，故x +y =3．故选C ．3.答案：B解析：直接利用角的象限，判断正弦函数与余弦函数、正切函数的值的符号，然后判断选项．本题考查角的象限与三角函数值的符号的判断，考查计算能力．解：因为α是第二限角，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0，所以sinα⋅tanα<0．故选B．4.答案：D解析：解：函数y=1−2x，其定义域为R．∵2x的值域为(0,+∞)，∴函数y=1−2x的值域为(−∞,1)，故选：D．利用指数函数的图象及性质求解即可．本题考查了值域的求法，利用了指数函数值域求解．比较基础．5.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题．利用数量积的定义即可得出．解：∵a⃗=(3,4)，∴|a⃗|=5．又|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，=5．则a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=5×2×12故选C．6.答案：D解析：本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于基础题．利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递减区间．解：∵函数f(x)=2sin(π4−2x)=−2sin(2x −π4)， 令2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，可得函数的减区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k ∈Z ，故选：D ．7.答案：A解析：解：由图象可知，当x →+∞时，f(x)→0，当x →−∞时，f(x)→+∞ 对于A ：满足要求，对于B ：当x →+∞时，f(x)=e x ln|x|→+∞，不满足， 对于C ：当x →−∞时，f(x)=e x ln|x|→0，不满足， 对于D ：当x →−∞时，f(x)=(x −1)ln|x|→−∞，不满足， 故选：A ．通过函数的变化趋势即可判断．本题考查了函数图象的判断，函数值的变换趋势，零点等方面来判断．8.答案：A解析：解：把y =3sin2x 上的所有的点向左平行移动π10长度单位， 可得函数y =3sin(2x +π5)的图象， 故选：A ．利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：D解析：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域，两定点A ，B 满足∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积，属中档题．解：由两定点A ，B 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2|−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形． 不妨设A(√3,−1)，B(√3,1).再设P(x,y).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：(x,y)=(√3λ,−λ)+(√3μ,μ)=(√3(λ+μ),μ−λ). 所以{λ+μ=√33xμ−λ=y，解得{λ=√36x −12y μ=√36x +12y ①. 由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y <0y ≥−1或{ √36x −12y <0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y <0√36x +12y <0x ≥−√3. 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3. 故选D .10.答案：A解析：本题主要考查三角函数的求值问题，根据诱导公式以及余弦函数的图象和性质是解决本题的关键，根据余弦函数的图象和性质进行求解即可． 比较基础，属中档题． 解：∵cosx =−12<0， ∴x 在第二象限或第三象限． ∵cos(π−π3)=−cos π3=−12， ∴x =π−π3=2π3．∵cos(π+π3)=−cos π3=−12， ∴x =π+π3=4π3，∴满足条件的角x =2π3或4π3． 故选A ．11.答案：56解析：本题考查对数式的计算，属于基础题．根据对数的换底公式以及运算性质计算，即可得到答案． 解：．故答案为56．12.答案：1解析：本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案． 解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0 可得f(1)+f(−1)=2−1=1， 故答案为1．13.答案：(5,4)解析：本题主要考查两向量间的共线问题，属基础题．先假设A 、B 点的坐标，表示出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ =(2,3)同向且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√13，可确定点B 的坐标．解：设A 点坐标为(x A ,y A )，B 点坐标为(x B ,y B )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a⃗ 同向， ∴可设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa ⃗ =(2λ,3λ)(λ>0)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2λ)2+(3λ)2=2√13，∴λ=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,y B −y A )=(4,6)， ∴{x B −x A =4y B −y A =6，∵{x A =1y A =−2，解得{x B =5y B =4， ∴B 点坐标为(5,4)． 故答案为(5,4)．14.答案：310解析：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值． 解：∵tanα=13，∴sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=1319+1=310，故答案为310．15.答案：1或−1解析：本题考查了分段函数的解析式，令m =f(a) ，则f(m)=4，分m >0，m <0可得m =2，即可得f(a)=2，分a >0和a ⩽0讨论，可得a 的值． 解：令m =f(a) ，则f(m)=4， 当m >0时，由2m =4，解得m =2； 当m ⩽0时，由−m 2−2m +1=4，无解． 故f(a)=2，当a >0时，由2a =2，解得a =1;当a ⩽0时，由−a 2−2a +1=2，解得a =−1． 综上：a =1或a =−1． 故答案为1或−1．16.答案：−4解析：解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。