2017_2018学年高中数学课时跟踪训练二量词新人教B版选修1_1

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2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1 课时跟踪训练二

课时跟踪训练(二) 量词1.下列全称命题是真命题的是( )A ．所有的质数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数D ．所有的平行向量均相等2．下列命题为存在性命题的是( )A ．偶函数的图像关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．有很多实数不小于33．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 34．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x ∈N ，x 2≤x ；④∃x ∈N ＋，x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．6．下列语句是真命题的是________(填序号)．①所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立；②存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立；③存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＝0.7．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x 、y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．8．确定m 的范围，使下列命题为真命题．(1)∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m ；(2)∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m .答案1．选B 判断全称命题是假命题，只需举一个反例即可．A ，C ，D 都是假命题．2．选D A 、B 、C 都是全称命题，D 命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．3．选A sin 2x 2＋cos 2x 2＝1恒成立，p 1错；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，p 2对；当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴ 1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，p 3对；当x ＝23π，y ＝π6时，sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ≠π2，p 4错． 4．选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x ＝0或x ＝1时，有x 2≤x 成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以④为真命题．5．解析：①②③为全称命题，④为存在性命题．答案：①②③ ④6．解析：∵x 2－3x ＋6中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，∴x 2－3x ＋6＝0无解，x 2－3x ＋6>0恒成立．∴①正确，②③错误．答案：①7．解：(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题；(2)∀a 、b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题；(3)∃x 、y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题；(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数，真命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]．又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。

高中数学人教b版高二选修1-1学业测评：1-1-2_量词_word版含解析

高中数学人教b 版高二选修1-1学业测评：1-1-2_量词_word 版含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( )A ．奇函数的图象关于原点对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，cos x <2B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0C ．∀x >0,3x >3D ．∃x ∈Q ，方程2x －2＝0有解【解析】 A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∉Q ，所以D 是假命题．故选A.【答案】 A3．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中为假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4 C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________. 【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】 ①②④7．已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______________．【解析】当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.【答案】 [－8，＋∞)8．下列命题：①存在x <0，使|x |>x ；②对于一切x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b n ＝3n ，对于任意n ∈N *，都有a n ≠b n ；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N *，都有A ∩B ＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．【解析】命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于∀n ∈N *，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题．【答案】 ①②③三、解答题9．判断下列全称命题或存在性命题的真假．(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(2)有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0；(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．【解】 (1)∀x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1，所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使得x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在性命题“有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．【解】设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增， f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73. 又因为a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2. 又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )A ．a ≥0B ．a <0C ．b ≤0D ．b >1【解析】函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.【答案】 B2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x ，使sin x ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，但为假命题，D 为全称命题且为假命题．【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )min ＝m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )min ≤m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围. 【解】若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．。

人教新课标版数学高二B版选修1-1课时作业 1.3.2命题的四种形式

一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是() A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是() A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题，∴B正确．C中的逆命题“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，故C 不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】若A∪B≠B，则A B7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.。

2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第一单元 1.1-2

1．1.2量词学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理 (1)至少能找到一个x ＝x 0，使q (x 0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一全称命题与存在性命题的识别例1 判断下列语句是全称命题，还是存在性命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有些实数a ，b 能使|a －b |＝|a |＋|b |； (3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则1a <1b ；(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．反思与感悟 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零； (2)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二全称命题与存在性命题的真假的判断例2判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.反思与感悟要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判定存在性命题“∃x∈M，q(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数，其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4类型三全称命题与存在性命题的应用例3已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．反思与感悟(1)一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.(2)有关一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为解不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．跟踪训练3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．1．下列命题中，不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数 C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数 2．下列命题是真命题的是( ) A ．a >b 是ac 2>bc 2的充要条件 B ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 C ．∀x ∈R,2x >x 2 D ．∃x ∈R ，e x <03．下列存在性命题是假命题的是( ) A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0 B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C ．有的素数是偶数 D ．有的有理数没有倒数4．若∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m 是真命题，则实数m 的最小值为________．5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有的实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立； (2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解； (3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立； (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假．答案精析问题导学知识点一思考命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题①③是真命题，命题②是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．梳理(1)全称量词∀x∈M，p(x)知识点二思考命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．梳理(1)存在量词∃x∈M，q(x)题型探究例1解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，是存在性命题．跟踪训练1解(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．(3)是存在性命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n∈N＋，|a n－1|＜0.01，其中a n＝nn＋1.例2解(1)真命题．(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．(6)真命题，x＝2或x＝1，都使得等式x2－3x＋2＝0成立．跟踪训练2 C例3解方法一(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m >－4. (2)不等式m －f (x )>0，可化为m >f (x )，若至少存在一个实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min . 又f (x )＝(x －1)2＋4，所以f (x )min ＝4，所以m >4. 所以实数m 的取值范围是(4，＋∞)．方法二 (1)要使不等式m ＋f (x )>0对∀x ∈R 恒成立，即x 2－2x ＋5＋m >0对∀x ∈R 恒成立．所以Δ＝(－2)2－4(5＋m )<0，解得m >－4，所以当m >－4时，m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立． (2)若至少存在一个实数x ，使m －f (x )>0成立，即x 2－2x ＋5－m <0成立．只需Δ＝(－2)2－4(5－m )>0即可，解得m >4.所以实数m 的取值范围是(4，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)∵关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.当堂训练1．D 2.B 3.B 4.15．解 (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题． (2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题． (3)∃x ，y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数，真命题．。

高中数学新人教B版选修1-2 课时跟踪训练(十二) 结构图

课时跟踪训练(十二)结构图
1．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是()
A.
B.
C.整数指数幂—有理数指数幂—无理数指数幂
D.
2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是()
①平行②垂直③相交④斜交
A．①②③④B．①④②③
C．①③②④D．②①③④
3．如图表示的是“概率”知识的()
A．流程图B．结构图
C．程序框图D．直方图
4．某自动化仪表公司组织结构图如图，其中采购部的直接领导是()
A．副总经理(甲) B．副总经理(乙)
C．总经理D．董事会
5．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
6．我国是华南虎的故乡，且华南虎是所有老虎的祖先，现在我国野生华南虎的数量已不足20只，弥足珍贵．老虎属于猫科动物，为进一步满足同学们的好奇心，下面介绍一下猫科
动物的分类．据图回答：华南虎属于________科，________属．
7．画出选修1—2中第二章“推理与证明”的知识结构图．
8．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．画出该公司的组织结构图．
答案
1．选C
2．选C平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.
3．选B
4．选B由组织结构图可知：采购部由副总经理(乙)直接领导．
5．解析：由框图的结构知共4个部分．
答案：4
6．答案：豹亚豹
7．解：
8．解：经过分析，该公司的组织结构图如图所示．。

人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(五)全称量词与存在量词

课时追踪检测（五）全称量词与存在量词层级一学业水平达标1．以下命题中的假命题是 ()A．? x∈ R,2x －1>0B．? x∈ N*， (x－ 1)2>0C．? x0∈ R， lg x0<1D．? x0∈ R， tan x0＝ 2分析：选B当 x＝ 1 时， (x－ 1)2＝ 0，因此 B 为假命题．2．以下四个命题中的真命题为()A．若 sin A＝ sin B，则 A＝ BB．? x∈ R，都有 x2＋ 1>0C．若 lg x2＝0，则 x＝ 1D．? x0∈ Z ，使 1<4x0<3分析：选B A 中，若 sin A＝ sin B，不必定有 A＝ B，故 A 为假命题， B 明显是真命题； C 中，若 lg x2＝ 0，则 x2＝ 1，解得 x＝±1，故 C 为假命题； D 中，解 1<4x<3 得1<x<3，44故不存在这样的x∈ Z ，故 D 为假命题．3．有以下四个命题：①? x∈R,2x2－3x＋4>0；②? x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③ ? x0∈N，使x20≤x0；④ ? x0∈N*，使x0为29的约数．此中真命题的个数为()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：选 C关于①，这是全称命题，因为＝(－3)2－4×2×4<0，因此2x2－ 3x＋ 4>0恒建立，故①为真命题；关于②，这是全称命题，因为当x＝－ 1 时， 2x＋1>0 不建立，故②为假命题；关于③，这是特称命题，当x0＝ 0 或 x0＝ 1 时，有 x20≤x0建立，故③为真命题；关于④，这是特称命题，当x0＝ 1 时， x0为29 的约数建立，因此④为真命题．4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是A．锐角三角形的内角是锐角或钝角2B．起码有一个实数x，使 x ≤0()C．两个无理数的和必是无理数1D．存在一个负数x，使x>2分析：选B A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中 x ＝ 0 时， x 2＝0，因此 B 既是特称命题又是真命题； C 中因为3＋ (－3)＝ 0，因此 C 是假命题； D 中关于任一个负数 x ，都有1<0，因此 D 是假命题．x5． (浙江高考 )命题 “? n ∈N * ， f(n)∈ N * 且 f (n) ≤n ”的否认形式是 () A ． ? n ∈ N * ， f( n)?N * 且 f(n)>n B ．? n ∈ N * ， f( n)?N * 或 f(n)>nC ． ? n 0∈ N * ， f (n 0)?N * 且 f(n 0)>n 0D ． ? n 0∈ N * ， f (n 0)?N * 或 f(n 0)>n 0分析：选 D写全称命题的否认时，要把量词? 改为 ? ，而且否认结论，注意把“且 ”改为 “或 ”．6．命题 “? x ∈ R,3x 2－ 2x ＋ 1>0”的否认是 ________．分析： “? x ∈ M ， p(x)”的否认为 “? x 0∈ M ，綈 p(x 0)”． ∴其否认为 ? x ∈ R,3x 2－ 2x ＋ 1≤0.答案： ? x 0∈ R,3x 02－ 2x 0＋ 1≤07．以下命题中，是全称命题的是 ________；是特称命题的是________． (填序号 )①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④起码有一个正整数是偶数．分析： ①可表述为 “每一个正方形的四条边相等 ”，是全称命题；②是全称命题，即 “凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形 ”；③可表述为 “全部正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案： ①②③④．山东高考 ) 若 “ ∈ 0， π， tan x ≤m ”是真命题，则实数 m 的最小值为 ________． 8 ( ? x 4分析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间，π上恒建立，即 y ＝ tan x 在， π 上44的最大值小于或等于m ，又 y ＝ tan x 在，π上的最大值为 1，因此 m ≥1，即 m 的最小值0 4为 1.答案：19．用 “? ”“? ”写出以下命题的否认，并判断真假．(1) 二次函数的图象是抛物线；(2) 在直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)? a， b∈R ，方程 ax＋ b＝ 0 无解．解： (1)? f(x)∈ {二次函数 }， f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中， ? l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)? x∈ {四边形 }， x 不存在外接圆．它是假命题．(4)? a， b∈R ，方程 ax＋ b＝ 0 起码有一解．它是假命题．10．已知命题p：“起码存在一个实数x0∈ [1,2]，使不等式x2＋ 2ax＋2－ a>0 建立”为真，试求参数 a 的取值范围．解：法一：由题意知， x2＋ 2ax＋ 2－a>0 在 [1,2]上有解，令f(x)＝ x2＋ 2ax＋ 2－ a，则只需 f(1)>0 或 f(2)>0 ，即 1＋2a＋ 2－ a>0，或 4＋4a＋ 2－ a>0.整理得 a>－ 3 或 a>－ 2.即 a>－ 3.故参数 a 的取值范围为 (－ 3，＋∞)．法二：綈 p：? x∈ [1,2]， x2＋ 2ax＋ 2－ a>0 无解，令 f( x)＝ x2＋2ax＋ 2－ a，f≤0，1＋ 2a＋ 2－ a≤0，则即f≤0，4＋ 4a＋ 2－ a≤0.解得 a≤－ 3.故命题 p 中， a>－ 3.即参数 a 的取值范围为 ( －3，＋∞)．层级二应试能力达标1．已知命题 p：? x∈ R,2x21；命题 q：? x0∈ R， sin x0－ cos x0＝ 2.则以下＋ 2x＋ <02判断正确的选项是 ()A． p 是真命题B． q 是假命题C．綈 p 是假命题D．綈 q 是假命题分析：选 D p： 2x2＋ 2x＋12＝2 x2＋ x＋14＝ 2x＋122≥0，∴ p 为假命题，綈 p 为真命题．：－ cos x ＝ 2sin0－π，q sin x4∴ x ＝30π时建立．4故 q 为真，而綈 q 为假命题．2．以下命题中是假命题的是()A．? m∈ R，使 f(x)＝ (m－ 1)xm2－ 4m＋ 3 是幂函数，且在 (0，＋∞)上单一递减B．? a>0，函数 f (x)＝ (ln x)2＋ ln x－ a 有零点C．?α，β∈ R ，使 cos(α＋β)＝ cos α＋ sin βD．?φ∈ R，函数 f(x)＝ sin(2x＋φ)都不是偶函数分析：选 D ∵ f(x)为幂函数，∴m－ 1＝ 1，∴ m＝ 2，∴ f (x)＝ x － 1，∴ f (x)在 (0，＋∞)上单一递减，故 A 中的命题为真命题；∵ y＝ (ln x)2＋ ln x 的值域为1－4，＋∞，∴?a>0，方程 (ln x)2＋ ln x－ a＝ 0 有解，即函数 f(x)有零点，故 B 中的命题为真命题；π当α＝，β＝ 2π时， cos(α＋β)＝ cos α＋ sin β建立，故 C 中的命题为真命题；6ππ＝ cos 2x 为偶函数，故 D 中的命题为假命题．当φ＝时， f(x)＝ sin 2x＋223．若命题22p：? x∈ R， sin x＋ cos x＝ 1，命题 q：? a∈ R，数列 {an}是等差数列，则綈( p∧ q)是 ()A．? x∈ R， sin2x＋ cos2 x≠1或? a∈R ，数列 { an}不是等差数列B．? x∈ R， sin2x＋ cos2x≠1且? a∈ R，数列 {an}不是等差数列C．? x0∈ R， sin2x0＋ cos2x0≠1或? a0∈ R，数列 {a0n}不是等差数列D．? x0∈ R， sin2x0＋ cos2x0≠1且? a0∈ R，数列 {a0n}不是等差数列分析：选C綈 (p∧q)＝ (綈 p)∨ (綈 q)，应选 C.．命题：? x1， x ∈R ， [f(x2)－－ x) ≥0，则綈 p 是 ()4p2f(x1)]( x2 1A．? x1， x2∈ R， [f (x2)－ f(x1)]( x2－ x1) ≤0B．? x1， x2∈ R， [f(x2)－ f(x1)](x2－ x1) ≤0C．? x1， x2∈ R， [f (x2)－ f(x1)]( x2－ x1)<0D．? x1， x2∈ R， [f (x2)－ f(x1)]( x2－ x1)<0分析：选 C依据全称命题的否认是特称命题，知綈p：?x1，x2∈ R，[f(x2)－f(x1)]( x2－x1)<0.应选 C.5．命题“起码有一个正实数x 知足方程 x2＋ 2(a－ 1)x＋ 2a＋ 6＝ 0”的否认是 ________．答案： ? x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠06．已知命题p：? c>0， y＝ (3－ c) x在 R 上为减函数，命题q：? x∈ R ，x2＋ 2c－ 3>0.若 p∧ q 为真命题，则实数 c 的取值范围为 ________．分析：因为 p∧ q 为真命题，0<3－ c<1，因此 p， q 都是真命题，因此解得2<c<3.2c－ 3>0，故实数 c 的取值范围为 (2,3)．答案： (2,3)x π 7．已知命题 p ： ? a ∈ (0， b](b ∈ R 且 b>0) ，函数 f(x)＝ 3sin a ＋3 的周期不大于 4π.(1) 写出綈 p ；(2) 当綈 p 是假命题时，务实数b 的最大值．解： (1)綈 p ： ? a 0∈ (0， b](b ∈ R 且 b>0) ，函数 f(x)＝ 3sin x ＋ π 的周期大于 4π.a 0 3 (2) 因为綈 p 是假命题，因此p 是真命题，2π 因此 ? a ∈ (0， b]，≤ 4π恒建立，解得a ≤2，1a因此 b ≤2，因此实数 b 的最大值是 2.8．已知 f (t)＝ log 2t ， t ∈ [ 2， 8]，若命题 “关于 f(t)值域内的全部实数mx ＋ 4>2m ＋ 4x 恒建立 ”为真命题．务实数 x 的取值范围．m ，不等式x 2＋解：易知f(t)∈1，3 . 2g(m)＝ (x － 2)m ＋ x 2－ 4x ＋ 4＝ (x － 2)m ＋ ( x － 2) 2，则 g(m)>0 对 ? m ∈ 1， 3 2恒建立．因此 g1 >0，1 x －＋x －2>0，2 即 2g，x －＋ x － 2>0，解得 x>2 或 x<－ 1.故实数 x 的取值范围是 ( －∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)．。

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1 课时跟踪训练一

课时跟踪训练(一)命题1.下列语句中命题的个数是()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户．A．1B．2C．3 D．42．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－33．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca>0C．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角4．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．6．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．7．判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)正弦函数y＝sin x的定义域是实数集R；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)对数函数是增函数吗？(4)若平面内两条直线不相交，则这两条直线平行； (5)(－2)2＝2；(6)x >15.8．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}．若A ∩B ＝∅是真命题，求实数m 的取值范围．答案1．选D ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题．2．选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．3．选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB ·BC >0时，向量AB 与BC 的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题． 4．选B 对于选项A ，两平面可能平行也可能相交；对于选项C ，直线l 可能在β内也可能平行于β；对于选项D ，直线l 可能在β内或平行于β或与β相交．5．解析：①是命题且是真命题；②是假命题，数0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况；④是假命题，如x ＝3，y ＝－ 3.答案：①②③④ ①6．解析：①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0.所以垂直，故③假；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立，故④真．答案：②④7．解：上面6个语句中，(3)是疑问句，所以它不是命题；(6)无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)(5)是真命题，(2)是假命题．8．解：当Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)<0，即－1<m <32时，A ＝∅，A ∩B ＝∅是真命题；当Δ≥0，即m ≤－1或m ≥32时，设方程x 2－4mx ＋(2m ＋6)＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1≥0，x 2≥0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ≥0，2m ＋6≥0，m ≤－1或m ≥32，解得m ≥32. 所以m 的取值范围是(－1，＋∞)．。

2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：1-4全称量词与存在量词1-4-1、1-4-2 含解析精品

第一章 1.4 1.4.1 1.4.2A 级基础巩固一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为导学号 21324263( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是导学号 21324264( A ) A ．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[解析] 选项A ，B 为特称命题，故排除C 、D ．因π2>1，则不存在实数x 0，使sin x 0＝π2，故排除B ，故选A ．3．(2017·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是导学号 21324265( B ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以命题“∀x ∈N *，(x －1)2>0”为假命题，故选B ．4．命题p ：∃x 0∈N ，x 30，<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)．则导学号 21324266( A )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真[解析] x 30－x 20＝x 20(x 0－1)≥0(x 0∈N )，∴不存在x 0∈N ，使得x 30<x 20，故命题p 为假命题，命题q 为真命题，故选A ．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋a <0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是导学号 21324267( A )A ．[0,4]B ．(0,4)C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)[解析] 假设p 为真，x 2＋ax 0＋a <0，∃x 0∈R . Δ＝a 2－4a >0 即a >4或a <0 ∵p 为假，∴0≤a ≤4 ∴实数a 的取值范围[0,4]．二、填空题6．下列特称命题是真命题的序号是_①③④__.导学号 21324268 ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.7．(2017·无锡高二检测)若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是_ (－导学号 21324269 [解析] 0<a 2－1<1，∴1<a 2<2 ∴－2<a <－1或1<a < 2∴实数a 的取值范围(－2，－1)∪(1，2)．三、解答题8．判断下列命题的真假：导学号 21324270 (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (3)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.[解析] 命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题．命题(2)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题．命题(3)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1>0，故该命题为假命题． 9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.导学号 21324271(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.[解析] (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2x ＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．B 级素养提升一、选择题1．下列命题中，真命题是导学号 21324272( C ) A ．∀x ∈R ，x 2≥xB ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0D ．命题“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”的逆否命题[解析] ∵x 2－x ≥0的解为x ≤0或x ≥1，∴存在x 0∈{x |x ≤0或x ≥1}，使x 20≥x 0，故C 为真命题．2．(2017·长沙高二检测)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是导学号 21324273( C )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (x 1)B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (x 1)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 1)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)[解析] a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为开口向上的二次函数，∴f (x )min ＝f (－b 2a )即∀x ∈R ，f (x )≥f (－b2a )＝f (x 1)∴C 为假命题．3．下列四个命题中，真命题是导学号 21324274( B ) A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2B ．∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2C ．∃x 0∈R ，|x 0＋1|<0D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0[解析] A 中当x ≤0时不成立．C 中|x 0＋1|≥0，D 中|x ＋1|≥0恒成立，故选B ．4．下列特称命题中，是假命题的是导学号 21324275( C )A ．∃x 0∈Z ，x 20－2x 0－3＝0B ．至少有一个x 0∈Z ，使x 0能同时被2和3整除C ．有的直线不存在倾斜角D ．某些直线不存在斜率 [解析] 所有直线都存在倾斜角．5．(2017·安徽安庆高二检测)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是导学号 21324276( C )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5[解析] x 2－a ≤0，∀x ∈[1,2]恒成立，则a ≥x 2在x ∈[1,2]恒成立令g (x )＝x 2，g (x )max ＝4 ∴a ≥4a ≥5⇒a ≥4且a ≥4⇒/ a ≥5∴a ≥5是一个充分不必要条件，故选C ．6．(2017·安徽黄山期末)下列命题中正确的是导学号 21324277( C ) A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ”≠2，则x 2－3x ＋2≠0[解析] 对选项A 中，p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一真，所以p ∧q 可能为假命题，故A 错；对选项B 中，当a ＝－1时，两直线也平行，故B 错，对选项D 的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0.”故选C ．二、填空题7．(2015·山东理，12)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_1__.导学号 21324278[解析] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥f (x )max ，其中f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]．∵函数f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]的最大值为1，∴m ≥1，即m 的最小值为1.8．(2017·天津高二检测)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x 0∈(－∞，－4)，f (x 0)g (x 0)<0，则m 的取值范围是_(－4，－2)__.导学号 21324279[解析] 对于①，∵g (x )＝2x －2，当x <1时，g (x )<0，又∵∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0在x ≥1上恒成立 ⎩⎪⎨⎪⎧m <0－m －3<12m <1⇒－4<m <0 对于②∃x ∈(－∞，4)，f (x )g (x )<0∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)>0在x ∈(－∞，4)有成立的可能 (ⅰ)当－1<m <0时，－m －3<－4不成立； (ⅱ)当m ＝－1时，－2>－4不成立；(ⅲ)当－4<m <－1时2m <－4，∴m <－2成立，综上可知①②成立时－4<m <－2. 三、解答题9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假.导学号 21324280 (1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立．(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解． (3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立． (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．[解析] (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题． (2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题． (3)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－2y 0＝10；真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．10．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.导学号 21324281[解析] 由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立．所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 真q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2⇒a ＝1或a ≤－2，综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.C 级能力拔高函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.导学号 21324282(1)求f (0)的值．(2)当f (x )＋2<log a x ，x ∈(0，12)恒成立时，求a 的取值范围．[解析] (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)·x .因为x ∈(0，12)，所以f (x )＋2∈(0，34)，要使x ∈(0，12)时f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不可能，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围是[344，1)．。

高中数学人教B版选修2-1练习：1.1.2量词

第一章 1.1 1.1.2一、选择题1．下列全称命题为真命题的是( )A ．任何偶数都不是素数B ．所有的平行向量，都是相等向量C ．所有向量方向都确定D ．一切实数均有相反数[答案] D[解析] A 偶数2是素数，故错误；B 平行向量的方向可以相反，模长不一定相等，故错误；C 零向量方向不能确定，故错误．2．下列存在性命题为假命题的是( )A ．存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列B ．存在这样的函数，在其定义域内，既是偶函数又是单调增函数C ．四棱柱中有的是平行六面体D ．空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行[答案] B[解析] A 是真命题，如：数列1,1,1,1，…；B 是假命题，因为偶函数在对称区间内的单调性恰好相反；C 是真命题，因为平行六面体是四棱柱；D 是真命题，存在这样的直线，它们是异面直线．3．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t ，t 为正且t <tB ．存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0C ．不存在实数x ，使得x <4，且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4[答案] B[解析] 当0<t <1时，t >t ，故A 错误；存在x ＝－8满足条件x <4和x 2＋5x －24＝0，故C 错误；不存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4，因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2>4，|x ＋1|≤1无解，故D 错误． 4．在下列存在性命题中假命题的个数是( )①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] ①实数分无限不循环小数、无限循环小数及有限小数，故正确；②正确；③有一个角为直角的菱形为正方形，故正确．故选A.5．下列全称命题中假命题的个数为( )①2x ＋1是整数(x ∈R ) ②∀x ∈R ，x >3 ③∀x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①x ＝14，2x ＋1＝32，故错误；②假命题；③2x 2一定为偶数，故2x 2＋1一定为奇数，故选C.6．下列命题是全称命题且是假命题的是( )A ．奇函数的图象关于原点对称B ．有些平行四边形是正方形C ．∀x ∈R,2x ＋1是奇数D ．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数[答案] C[解析] A 是全称命题，且是真命题；B 是存在性命题；C 是全称命题，且为假命题；D 是存在性命题．故选C.二、填空题7．(2015·山东理，12)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． [答案] 1[解析] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥f (x )max ，其中f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]． ∵函数f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]的最大值为1，∴m ≥1，即m 的最小值为1，所以答案应填1.8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②正四棱锥的侧棱长相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的命题的序号)．[答案] ①② ③④[解析] ①②既是全称命题又是真命题，③④⑤是存在性命题③④为真命题，⑤为假命题．三、解答题9．判断下列命题是否为全称或存在性命题，并判断真假．(1)有一个实数α，使tan α无意义；(2)任何一条直线都有斜率；(3)所有圆的圆心到其切线的距离等于半径；(4)凡圆内接四边形，其对角互补．[解析] (1)存在性命题，α＝π2时，tan π2不存在．所以存在性命题“有一个实数α，使tan α无意义”是真命题；(2)全称命题，平行于y 轴的直线，倾斜角为π2，而tan π2无意义，所以这些直线斜率不存在．所以全称命题“任何一条直线都有斜率”是假命题；(3)全称命题，任何一个圆的圆心到其切线的距离等于半径．所以全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离等于半径”是真命题；(4)全称命题，圆内接四边形对角互补．所以全称命题“凡圆内接四边形，其对角互补”是真命题.一、选择题1．对命题“一次函数f (x )＝ax ＋b 是单调函数”改写错误的是( )A ．所有的一次函数f (x )＝ax ＋b 都是单调函数B ．任意一个一次函数f (x )＝ax ＋b 都是单调函数C ．任意一次函数f (x )＝ax ＋b ，f (x )是单调函数D ．有的一次函数f (x )不是单调函数[答案] D[解析] 由全称命题的表示形式可知选项D 错误．2．下列命题中的假命题．．．是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0[答案] C[解析] 对于选项A ，当x ＝1时，lg x ＝0，为真命题；对于选项B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，为真命题；对于选项C ，当x <0时，x 3<0，为假命题；对于选项D ，由指数函数性质知，∀x ∈R,2x >0为真命题，故选C.3．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x p 2：∃x ∈(0,1)，log 12 x >log 13 x p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 [答案] D[解析] 在(0，＋∞)上，(13)x <(12)x 恒成立，故p 1错误，又(12)x 在(0，＋∞)上小于1.而log 12x 的值域为R ，故p 3错误，故选D.4．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 对于①，m ＝1, 则⎩⎪⎨⎪⎧l 2≤l ，l ≥1，解之可得l ＝1，故S ＝{1}，①正确；对于② ，m ＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧ l 2≤l ，14≤l ，解之可得14≤l ≤1，故②正确；对于③，l ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥m ，12≥m 2，解之可得－22≤m ≤0，故③正确，故正确命题的个数是3. 二、填空题 5．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是增函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m 的取值范围是________．[答案] 0≤m ≤1[解析] ①是真命题则m ≥0，②是真命题则m >1，若①真②假，则0≤m ≤1；若②真①假，则m 不存在，综上，0≤m ≤1.6．下列命题中，是真命题的为________．①5能整除15；②不存在实数x ，使得x 2－x ＋2<0；③对任意实数x ，均有x －1<x ；④方程x 2＋3x ＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集． [答案] ①②③⑤[解析] 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x 2－x ＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x 2＋3x ＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集．三、解答题7．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0成立，求实数a 的取值范围．[解析] 当a ≤0时，显然存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0；当a >0时，必须Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )，∀x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] ∵(x －a )⊙(x ＋a )<1， ∴(x －a )[1－(x ＋a )]<1， ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0，∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立． ∴Δ<0，即1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，∴实数a 的取值范围是(－12，32)．。

2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

思考2常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.

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课时跟踪训练(二) 量词
1.下列全称命题是真命题的是( )
A ．所有的质数都是奇数
B ．∀x ∈R ，x 2
＋1≥1
C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数
D ．所有的平行向量均相等
2．下列命题为存在性命题的是( )
A ．偶函数的图像关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行直线
D ．有很多实数不小于3
3．有四个关于三角函数的命题： p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12
； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；
p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x 2
＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π
2.
其中的假命题是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 2，p 4
C ．p 1，p 3
D ．p 2，p 3
4．有下列四个命题：
①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；
②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；
③∃x ∈N ，x 2≤x ；
④∃x ∈N ＋，x 为29的约数．其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．下列语句是真命题的是________(填序号)．
①所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立；
②存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立；
③存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＝0.
7．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；
(2)对所有实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x 、y ，使得3x －2y ＝10成立；
(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12
x ＋1是有理数．
8．确定m 的范围，使下列命题为真命题．
(1)∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m ；
(2)∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m .
答案
1．选B 判断全称命题是假命题，只需举一个反例即可．A ，C ，D 都是假命题．
2．选D A 、B 、C 都是全称命题，D 命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．
3．选A sin 2x 2＋cos 2x 2
＝1恒成立，p 1错；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，p 2对；
当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，
∴ 1－cos2x 2
＝sin 2x ＝sin x ，p 3对；当x ＝23π，y ＝π6时，sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ≠π2
，p 4错． 4．选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2
－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x ＝0或x ＝1时，有x 2≤x 成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以④为真命题．
5．解析：①②③为全称命题，④为存在性命题．
答案：①②③ ④
6．解析：∵x 2－3x ＋6中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，
∴x 2－3x ＋6＝0无解，x 2－3x ＋6>0恒成立．
∴①正确，②③错误．
答案：①
7．解：(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题；
(2)∀a 、b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题；
(3)∃x 、y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题；
(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数，真命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，
∴只要m <－2即可． ∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．
(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，
∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4
)∈[－2，2]．又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，
∴只要m <2即可， ∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。