惩罚函数法的基本原理
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
惩罚函数法
k k 1
r k 1 cr k
否
X 0 X *(rk )
开始
输入 X 0、r0、c、
k←0
求 min(X , rk )
满足收敛条件？ 是
X * X *(rk ) f ( X *) f X *(rk )
结束
3.外点惩罚函数法
求解策略
外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点相反，
3.外点惩罚函数法
外点法程序框图：
Yes
X * X *(rk )
Yes
f ( X *) f X *(rk )
结束
开始
输入 X 0, r0, c,1,2
k 0
求 min ( X , rk ) 得X *(rk )
Q max g j ( X *(rk ))
Q 1 ?
No
X * (r k ) X * (r k1) 2
(X , r) f (X ) rmax 0, g j (X ) rhk (X )
j 1
k 1
式中：r为惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列
3.外点惩罚函数法
l
2m
2
即 r0＜r1＜r2＜··· ,hk (X ) 、max 0, g j (X )分别对
应为对应于不等式约束和等k式1 约束函数j1的惩罚项， 其中
当 r , lim(1 1 ) 1。
r 4r
当逐步增大r值，直至趋近于无穷时，逼近原问题的约束最优
解，当r=0.25,0.5,1,2时，惩罚函数 (X , r) 的等值线图
下如
3.外点惩罚函数法
当r逐渐增大时，极值
点 X *(r)的序列将沿一直线轨 迹 ( X *(r), r) 1 X *(r) 在可 行域外逐步逼近2 最优2 点。
优化设计5惩罚函数法
目前，人们对无约束问题的最优化方法要比对约束优化方法研 究的更为深入和成熟，并且形成了有效的、可靠的解法。因 此，在求解约束化问题时，自然会想到是否可以利用某种方法 将约束优化问题转化为无约束最优化问题来解决,显然这种转化 必须在一定的前提条件下进行。一方面这种转化不能破坏原约 束问题的约束条件；另一方面还必须使它归结到原约束优化问 题的同一最优解上去。这种将约束优化问题转化成无约束化问 题，然后用无约束最优化方法进行求优的途径就是约束优化问 题求优的间接解.
4
内点惩罚函数法
内点惩罚函数法的基本原理
内点惩罚函数法(简称内点法)将新目标函数定义在可行城内．这样 它的初始点以及后面产生的迭代点序列也必在可行城内，它是求解 不等式约束优化问题的一种十分有效的方法。下面我们选用一个简 单的例子来说明内点法的一些几何概念和基本原理。 设数学模型为：
min F(x) x X D R1 D: g(X) x 1 0 用内点法来求解此约束问题先构造泛函，取
适用于不等式约束函数比较简单的情况
然后构造罚函数，并求无约束极小值
5
代替计算机无约束搜索求优，惩罚函数无约束最优点序列
6
7
8
9
可以看出内点惩罚函数法就是以不同的加权参数(罚因子)来构造一 序列无约束的新目标函数，求这一序列惩罚函数法的无约束极值 点 X • (r(k) ) ，使它逐渐逼近原约束问题的最优解，而不论原约束问题 最优解在可行域内还是在可行域的边界上，其整个搜索过程都在约束 区域内进行。
k 0
r(ห้องสมุดไป่ตู้) 1
u1
G[gu(X)]
0
的满足要求。
12
13
采用内点法应注意几个问题
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
惩罚函数法简介
惩罚函数法简介罚函数法它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题：其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x,M)称为罚函数。
定理对于某个确定的正数M,若罚函数F(x,M)的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。
序列无约束最小化方法罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。
改进这些缺点，可根据上述定理加以改进，先取较小的正数M，求出F(x,M)的最优解x*。
当x*不满足有约束最优化问题的约束条件时，放大M(例如乘以10)重复进行，直到x*满足有约束最优化问题的约束条件时为止。
种类传统的罚函数法一般分为外部罚函数法和内部罚函数法。
外部罚函数法是从非可行解出发逐渐移动到可行区域的方法。
内部罚函数法也称为障碍罚函数法，这种方法是在可行域内部进行搜索，约束边界起到类似围墙的作用，如果当前解远离约束边界时，则罚函数值是非常小的，否则罚函数值接近无穷大的方法。
由于进化计算中通常采用外部罚函数法，因此本文主要介绍外部罚函数法。
在进化计算中，研究者选择外部罚函数法的原因主要是该方法不需要提供初始可行解。
需要提供初始可行解则是内部罚函数法的主要缺点。
由于进化算法应用到实际问题中可能存在搜索可行解就是NP难问题，因此这个缺点是非常致命的。
外部罚函数的一般形式为B(x)=f(x)+[∑riGi+∑cjHj]其中B(x)是优化过程中新的目标函数，Gi和Hj分别是约束条件gi(x)和hj(x)的函数，ri和cj是常数，称为罚因子。
Gi和Hj最常见的形式是Gi=max[0,gi(x)]aHj=|hj(x)|b其中a和b一般是1或者2。
理想的情况下，罚因子应该尽量小，但是如果罚因子低于最小值时可能会产生非可行解是最优解的情况（称为最小罚因子规则）。
这是由于如果罚因子过大或者过小都会对进化算法求解问题产生困难。
第八章惩罚函数法1
f ( X * ) = 1.0
现用外点罚函数法解这个约束优化问题．构造增广目标函数 ∂F 由此解 = 0， ∂x1 Mk ∂F * = 0得X ( M k ) = 0， 1 + Mk ∂x 2
T
给定一个罚因子 M k，即可求得极小点X * ( M k )，可以看出X * ( M k ) 1] 不是可行点，且有 lim X * ( M k ) = X * = [0， T
k
3 21 x x x 例如，当M k = 0时， M k = ；当M k = 时， M k = ；当 M k = 时， M k = 2 11 1 +2 Mk → 2， 里的x * = 就是例 的极小点． 若令M k → +∞时，则x M k = 这 1 +1 Mk
三、外点罚函数法有关说明
= 0, 当X ∈ D时， α ( X ) > 0, 当X ∈ D时．
0， 当g i ( X ) ≥ 0时， u ( g i ( X )) = i = 1，， ， 2⋯ l 1， 当g i ( X ) < 0时，
M k > 0是 一个 逐 渐 增 大 的 参 数， * ，使目标函数 f ( X )取得最小值． ))为 (8.1)的 此时称 ( X * , f ( X * ))为问题(8.1)的最优解。
由处理约束条件的办法不同，约束优化方法也可分为 直接法和间接法两大类．
间接法的基本思想是将约束优化问题首先转换为 一系列的无约束优化问题，然后利用无约束优化方法 来求解，逐渐逼近约束问题的最优解．这些算法一般 比较复杂，但由于它们可以采用计算效率高、稳定性 好的无约束优化方法，故可用于求解高维的优化问 题．
M k 趋于无穷大时， ( X , M )的极小点就是原问题的最优 趋于无穷大时， F k
惩罚函数法
解出x1,x2
5M 4 M 5 x1 x2 2.5 2M 1 2
此时x1,x2则满足约束条件，是原问题的解。
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法 例：内点法求解约束问题 min f (u ) au(a 0) s.t.g (u ) b u 0(b 0)
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
§2惩罚函数法
s.t. h (xi)=x1+ x2-5=0
该问题只有等式约束 解：首先建立罚函数：
F ( x, M ) f ( x) Mp( x)
P( x)
(max( 0, g
i 1
l
i
( x )))
2
( h j ( x ))
j 1
m
2
( x1 x 2 5) 2
F ( x, M ) ( x1 4) 2 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2
此时的x1,x2不满足约束条件，不是原问题的解。
当x 不属于 S 时
F§2惩罚函数法 ( x2 4) 2 M ( x1 x2 5) 2 ( x, M ) ( x1 4) 2
F 2( x1 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x1 F 2( x 2 4) 2M ( x1 x 2 5) 0 x 2
*
rk a 2 (b u )
rk a
F (u , rk ) f (u ) rk a (b rk 0
1 1 au rk g (u ) bu
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惩罚函数法的基本原理
惩罚函数法（Punishment-based approach）是一种优化算法，在求解约束最优化问题时有着重要的应用。
它通过将约束条件与目标函数进行结合，将问题转化为无约束最优化问题来求解。
惩罚函数法的核心思想是通过在目标函数中添加惩罚项来使得违反约束的解变得不可行，从而达到求解约束最优化问题的目的。
惩罚函数法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：
1. 确定目标函数：首先需要确定原始约束最优化问题的目标函数。
目标函数是对问题的数学形式化表达，在优化中主要追求最小化或最大化。
2. 引入惩罚项：将约束条件表示为等式或不等式形式，在目标函数中引入一个或多个惩罚项。
惩罚项的设计通常是一个与约束条件违背程度相关的函数，通过量化违背的程度。
惩罚项的选择需要根据具体问题进行合理设计，以确保能够有效地将约束违背的解变得不可行。
3. 调整惩罚参数：惩罚函数法中的一个重要参数是惩罚参数，它用于控制惩罚项在目标函数中的影响程度。
适当的惩罚参数选择可以保证优化算法在搜索解空间时能够在违反约束与优化目标之间取得平衡，避免过度收敛到局部最优解。
4. 构建新的目标函数：将原始目标函数和惩罚项进行加权结合，构建新的目标函数。
这一步通常是将惩罚项与原始目标函数进行加权线性组合，其中加权系数
可以根据问题的特性进行调整。
目标函数的设计应该能够准确地描述问题，并能够引导优化算法在搜索过程中逐渐减小约束违背的程度。
5. 优化求解：使用优化算法，通过对构建的新目标函数进行求解，寻找最优解。
常用的优化算法有梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
在求解过程中，通过迭代更新变量值，直到达到停止条件。
6. 解的后处理：在获得原始问题的近似最优解后，需要进行结果验证和后处理。
验证结果是否满足原始约束条件，对于不满足约束条件的解进行修正或调整。
惩罚函数法的优点之一是可以将约束问题转化为无约束问题，扩大了求解问题的搜索空间。
同时，通过合理选择和调整惩罚项以及惩罚参数，可以在一定程度上平衡约束与目标之间的矛盾，找到满足约束条件的最优解。
然而，惩罚函数法也存在一些限制和挑战。
首先，惩罚函数法仍然需要合理选择惩罚参数和构建适当的惩罚项，这依赖于问题的特性和约束条件的复杂程度。
其次，惩罚函数法可能导致搜索过程中收敛速度较慢或陷入局部最优解。
最后，惩罚函数法在处理离散约束或不可微的约束条件时存在一定的困难。
综上所述，惩罚函数法是一种求解约束最优化问题的常用方法，通过在目标函数中引入惩罚项来约束违背程度，将问题转化为无约束最优化问题。
虽然惩罚函数
法具有一定的局限性，但在实际应用中已经得到了广泛的应用。
在应用中，我们需要根据具体问题的特点和要求，灵活选择和优化惩罚函数的形式和参数，以求得更好的结果。