导函数的极限
导数值与极限值的关系
导数值与极限值的关系
导数与极限的关系：
1、极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0) 。
2、而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
【导数与极限的关系】一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。
关于导函数极限的研究
证 明： 取异 于 ｏ的 ∈ （ ， ） 在 任 ａ ｂ， ［ ０ 或［ ０上应用 ｌ ｒ ｇ 中值定理 ， Ｘ， ］ ， ］ ａａ ｅ ｇｎ
有 一ｎ ： （，中 ∈ 。） 皇 ． ） （ 厂 其
或 （ ， ）两边 同取 — ０ 的极 限 ， ０、 时 有
维普资讯
２０ ０ ６年 第 ３期
河北理 科教 学研 究
问题 讨论
关 于导 函数 极 限的研 究
湖 南株 洲 湖 南铁 路 科技 职 业技 术 学 院
１ 导 函数 （ 在 ＝ ｏ 的 极 限与 函数 ） 处 Ｙ＝ ） ｆ（ 在 ＝ ０ 的可导 性 处
许智勇
赵 曾云
４２ ０ １０ ０
／（ ＝ ）
定理 １ 若函数 厂 ） ｎ ｂ 内连续 ， （ 在（ ， ） 在 （ ｂ 中除点 。 处 处可导 ， ａ， ） 外 且
…
ａｓ￣ 一 、 ｒｉ／ Ｘ＋／ ｅ １ ２— ｎ 吉 １
一
， ∈ 一 ， （１ ） ｏ
… …
ｌ ／（ 存在， ｉ ｍ ） 那么函数 Ｙ ／ ） ＝ （ 在 ＝Ｘ ０
， 求
０ 处可导 ， ｉ （ 不存在 ． 但ｌ ａ ｒ ）
２ 导 函数 （ ） 无 穷 远 处 的 极 限 与 曲线 在 ｆ ） （ 的渐 近线之 间 的关 系
解： 函数 （ 的定义域为 ［ ，］当 ） 一１ １．
∈（ ，） Ｏ １时 ， ） 一１Ｏ Ｕ（ ，） ／（ ＝
ｌ ｉ ｍ厂（ ＝ｋ 证毕 ． ） ．
ｌ ）＜ 由于厂 ） ｆ Ａ ＋ ・ ／（ ｌ 号． （ ＝ （ ） ／（）
（ — Ａ） Ａ ＜ ＜ ， ， 因此 ： ＋
作 函数 图象 时， 常要判定 函数曲线是否 具 有渐 近 线 ． 于讨 论 ｆ ） 单 调 性 时 已 由 （ 的
高中数学-公式-极限与导数
极限与导数一、极限1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→nn ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1(0<1<q ); 2、函数的极限：(1)当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim (2)当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 00: 3、函数的连续性：(1)如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；(2)若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续； (3)若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4、连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；二、导数1、导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000； 2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(x f x x f y -∆+=∆ (2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; (3)取极限,得导数x y x f x ∆∆='→∆0lim )(; 3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4、导数的几何意义：曲线y ＝f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5、导数的四则运算法则：v u v u '±'='±)( ///[()()]()()f x g x f x g x ±=± v u v u uv '+'=')( []()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙ 推论：[]()()cf x cf x ''=(C 为常数)2)(v v u v u v u '-'=' []2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 6、复合函数的导数：;x u x u y y '⋅'=' 7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；(2)求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
高中数学中的极限与函数的导数的关系
高中数学中的极限与函数的导数的关系在高中数学中，极限和函数的导数是两个非常重要且关联紧密的概念。
本文将探讨极限和函数的导数之间的关系，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、极限的定义及基本性质极限是数学中描述函数逐渐趋近于某一值的概念。
具体而言，设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
我们用lim┬(x→a)〖f(x)=L〗或f(x)→L(x→a)来表示极限的存在。
极限具有一些基本的性质，包括唯一性、局部性、有界性等。
其中，唯一性表示函数在某一点的极限是唯一确定的；局部性表示函数在某一点的极限存在，则函数在该点的某个邻域内也存在；有界性表示如果函数在某一点存在极限，则函数在该点附近是有界的。
二、导数的定义及基本性质函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，是微积分中的重要概念之一。
设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义。
若极限lim┬{h→0}〖(f(a+h)-f(a))/h=A 〗存在，其中A为常数，则称函数f(x)在x=a处可导，并将此极限值A称为函数f(x)在x=a处的导数。
我们用f'(a)或 df(x)/dx|_(x=a)来表示函数f(x)在x=a处的导数。
导数具有一些基本的性质，包括可导的函数必定连续、导函数具有局部性、可加性和乘法常数性等。
这些性质使得导数成为了研究函数变化的有力工具。
三、极限与导数的关系极限和导数之间存在着紧密的联系，在某些情况下两者可以互相推导。
1. 极限与函数连续性的关系根据导数的定义，可知如果函数在某一点可导，则在该点必然连续。
而连续函数的定义也可以用极限来表达。
因此，对于某个区间上的函数，如果它的导数在该区间上存在，则该函数在该区间上一定连续。
2. 导数与函数的极值点的关系函数在某一点处的导数为零，被称为该点的导数为零点。
关于导函数极限的研究
处可导， 厂 ） 且 （
厂（） 。
＝
证明 任取异于 ｘ 的 （， ，在［ 或［ Ｘ 上应用 Ｌ ｇａｇ 中值定理，有 ｏ ｅ ｎ ） ｂ ， ］ ｏ ，］ ａｒｎｅ
一
厂（） ，其中
ｅ（ 或 （ ｘ 。两边同取 ， ） ｏ ，）
厂 Ｘ） ｌ ｆ ｘ。证毕。 ｏ＝ ｉ ） ｍ
：
Ｌ
例３
２
０＇
≠ ’ 在 ＝ 处 可 导 ０ ０
，
． 虬
ｎ
｛ ｆ（） ￣ｌ 不存在。 ｉ ａ ｒ
，
一
＝
０ ．
２导函 ） 数， 在无穷远处的极限与曲 ） 线， 的渐近线之间的关系
引理 １曲线， 具有斜率为 Ｊ的渐近线的充分必要条件是 （） ｉ ： ｆｘ 具有水平渐近线的充分必要条件是 （）
维普资讯
第 １卷 第 ９ ９ 期 ２ ０ 年 ０ 月 ０６ ９
武 汉 科 技 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＵＨＡＮ ＯＦ Ｗ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ ＣＩ Ｉ ＯＦ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ
Ⅵ）． ９Ｎｏ ９ １１ ．
证 只 ÷ｏ 情 对 意 定的 ０ 存 充 大 ＞ ， Ａ ｌ（ｌ 由 明 证 ＿＋ 的 形。 任 给 ＞ ， 在 分 的Ａ ０ 当 ≥ 时，， ＜ 。 ） ｃ 于
ｆ ｘ＝ （） ， （— ） ＜ ， （） ｆ Ａ＋ ） Ａ ，Ａ ＜ （
因掣： ㈤ ，而 ｌ ＋ 取＞￡，有Ｘ 此 孚 从 财 ＜ ｌ＜ 。 ／ 。
一 ＋ｏ 。或 ＿ 一。 情形 。 ÷ ｏ的
证明 根据引 ２ 要证必要性 以 ， ｃ的情形为例。没ｆｘ的水平渐近线是Ｙ Ａ（足常数） （） ＝ Ａ ，即
函数的右导数与导函数的右极限的关系
函数的右导数与导函数的右极限的关系
函数的右导数与导函数的右极限之间存在着密切的关系。
右导数
是对于给定函数y=f(x) 在某一点x右边（x+h）处的函数求值与x处
函数值求得的偏导数，即右一阶导数。
它可以由极限思想表示：lim h→0 (f(x+h)-f(x))/h
而右极限是指当x趋近某一特定值时，函数f(x)的右侧上的极限值。
如果在某个特定的x值处，函数的右偏导数存在，则该右偏导数
就是函数在该处右极限的值：
右极限=右导数
因此，我们可以概括地说，函数的右导数与导函数的右极限是十
分相关的，右导数是导函数右极限的数学表示，也就是说，函数右导
数可以用来求函数右极限的值。
当f(x)在x点右边存在右极限时，右导数代表的就是右极限的值；当函数的右极限不存在时，函数的右导数就会不存在。
因此，函数右
导数的存在情况能反映函数的右极限是否存在，也可有助于我们判断
函数的右极限的情况。
总之，函数的右导数与导函数的右极限之间存在着密切的关系，
右导数是右极限的数学表示，对函数的右极限是否存在可有助于我们
判断函数的右极限的情况，而函数右极限的值就是右导数的值。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
数学知识-函数极限及导数微积分.ppt
v u ( x ) ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) 3 . 2 v ( x ) v( x )
/ /
/
3 2 x 例： f ( x ) x 3 x cos x e
类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导 数统称为高阶导数。 大学物理学中，一般只用到二阶导数。
六、利用导数求极值和极值 设右图为函数f(x)在oxy坐标 上的曲线。
曲线上，A、B点的函数值要 比它邻近点的函数值要大， 点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。
等于函数 y 曲 f (x ) 线 在点 x 的切 0 线的斜率。
从导数的几何意义知：导数反 映了函数的变化快慢。
A
o
x0
x
4）基本求导公式：
1 . y c y 0
/
/ 1 2 . y x y x ( 1 的任意实数）
/ / 5 . y sin x y cos x 6 . y cos x y sin x
( x x ) f ( x ) / y f 0 0 或 ： f ( x ) lim lim y ( x ) 0 0 x 0 x 0 x x
/
2 例求： f( x ) ax bx c 在 x x 处得导数 0
解：x由x0→x0+Δx时，
x 0 x 2
2 x 9 f (x ) (x3 ) x 3
( x 3 )( x 3 ) lim f ( x ) lim lim ( x 3 ) 6 x 3 3 x 3 x x 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导函数的极限
导函数的极限是微积分中的重要概念之一。
在微积分中，导函数是用来描述函数变化率的工具。
它可以帮助我们研究函数的性质、求解最值问题以及解决各种实际应用问题。
在微积分中，导数表示了函数在某一点上的变化率。
导函数则是对原函数求导得到的新函数。
导函数的极限则是指当自变量趋于某一特定值时，导函数的极限值。
导函数的极限可以通过求导公式或者利用极限定义来求解。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用求导公式来求解导函数的极限。
例如，对于多项式函数，我们可以使用常规的求导法则来求解其导函数的极限。
然而，对于一些复杂的函数，求导公式可能不适用或者过于复杂。
这时候，我们可以利用极限定义来求解导函数的极限。
根据极限定义，我们可以通过计算函数在某一点上的斜率来求解导函数的极限。
为了更好地理解导函数的极限，让我们以一个简单的例子来说明。
考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过求导公式得到其导函数f'(x) = 2x。
现在我们来计算f'(x)在x = 1处的极限。
根据求导公式，我们知道f'(x) = 2x。
因此，在x = 1处，f'(x) = 2 * 1 = 2。
所以，在x = 1处，f'(x)的极限为2。
除了求解导函数的极限，我们还可以利用导函数的性质来研究函数的性质。
例如，导函数可以告诉我们函数在某一点上是增加还是减少。
如果导函数大于0，则表示函数在该点上是增加的；如果导函数小于0，则表示函数在该点上是减少的。
另外，导函数还可以帮助我们求解最值问题。
如果一个函数在某一点上取得了最大值或者最小值，那么该点处的导数为0。
因此，我们可以通过求解导数为0的方程来求解最值问题。
除了理论上的应用，导函数的极限也有很多实际应用。
例如，在物理学中，速度和加速度可以通过位置函数的导数和导数的导数来计算。
在经济学中，边际效用和边际成本也可以通过边际效用函数和边际成本函数的导数来计算。
总结起来，导函数的极限是微积分中一个重要且有广泛应用的概念。
它可以帮助我们研究函数的性质、求解最值问题以及解决各种实际应用问题。
无论是在理论研究还是实际应用中，对导函数的极限有深入的理解都是非常重要的。