两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究
四阶奇异边值问题的正解
四阶奇异边值问题的正解1. 四阶奇异边值问题概述四阶奇异边值问题是一个给定四个边值的问题，要求求出一个4×4的矩阵，使得它的四条边值与给定的边值相同，其余元素均为0。
四阶奇异边值问题的正解是指能够满足给定条件的矩阵，它可以用四个边值的乘积来表示。
：2. 四阶奇异边值问题的数学表达设$a_1, a_2, a_3, a_4$为四阶奇异边值问题的边值，则四阶奇异边值问题的数学表达为：$\begin{cases}\frac{\partial^4f}{\partial x^4}=0, & x\in(0,1) \\f(0)=a_1, & f'(0)=a_2, \\f(1)=a_3, & f'(1)=a_4\end{cases}$3. 四阶奇异边值问题的求解方法一般来说，四阶奇异边值问题可以通过四种不同的求解方法来解决：1. 拉格朗日法：通过拉格朗日法，可以构建一个最优化函数，并通过求解函数的极值点来求解四阶奇异边值问题。
2. 拟牛顿法：拟牛顿法是一种迭代法，可以通过不断迭代来求解四阶奇异边值问题。
3. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种梯度下降法，它可以通过不断迭代来求解四阶奇异边值问题。
4. 半正定矩阵法：半正定矩阵法是一种矩阵法，可以通过求解矩阵的特征值来求解四阶奇异边值问题。
4. 四阶奇异边值问题的应用四阶奇异边值问题的应用主要在于解决有关矩阵的问题，其中包括求解线性方程组、求解最小二乘问题、求解最优化问题等。
此外，它还可以用于拟合曲线，求解矩阵的迹、行列式、特征值和特征向量等。
此外，它还可以用于解决线性规划、组合优化、概率论和统计学等问题。
5. 四阶奇异边值问题的未来研究方向：未来可能会有更多的研究针对四阶奇异边值问题，比如探索现有的解法是否可以扩展到更高阶的问题；研究如何构建更复杂的四阶奇异边值问题；研究如何设计更有效的解法；研究如何利用四阶奇异边值问题的解法解决更复杂的问题；研究如何将四阶奇异边值问题的解法应用到实际的工程问题中等。
带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类解
带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类解陈松林;马文冉【摘要】D'Alembert方法通常应用于无限长弦自由振动初值问题的求解,基于这种思想研究带有Neumann边界波动方程初边值问题的达朗贝尔类精确解.对于有限长区间上的波动方程初边值问题,通常采用分离变量法求解.现用适当的延拓方法:一种是直接通过逐次延拓时间t,获得有限长区间带有Neumann边界的波动方程初边值问题按时间分段表示的解;另一种方法是通过对初始位移和速度的定义域进行延拓,获得有限长区间带有Neumann边界的波动方程初边值问题的D'Alembert类解.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2018(037)021【总页数】8页(P253-259,266)【关键词】波动方程;Neumann边界;D'Alembert;行波解【作者】陈松林;马文冉【作者单位】安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243002;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243002【正文语种】中文【中图分类】O241.82振动问题是机械工程领域的基本的问题之一，例如，杆在刚体的纵向冲击下的振动问题[1-2]；斜拉桥建筑中，载重桥梁本身存在振动问题，受风雨作用斜拉缆索也会发生振动，如何在缆索边界施加控制约束，使其振动尽量少地影响桥梁也是一个具有实际意义的问题[3]。
对于带有初值条件的无界弦振动方程，达朗贝尔解法的物理思想是将弦振动视作两列行波的叠加[4],而对于有限长的波动方程初边值问题求解通常采用分离变量法求解[5-6]，但最后所得到的解为傅里叶级数的无限和形式，不便计算，而且对于非线性波动方程，基于叠加原理的分离变量法难以奏效。
近年来，关于D’Alembert方法研究和推广已有一些研究成果[7-14]，如有限长上具有阻尼边界条件线性波动方程的达朗贝尔解，线性演化方程解的结构，耦合方程初值问题解的D’Alembert矩阵形式。
具Robin型阻尼边界波动方程的有限差分格式
具Robin型阻尼边界波动方程的有限差分格式波动方程的稳定化控制是分布参数控制理论的重要研究内容,其控制方程往往是带有反馈边界条件的波动方程初边值(IBV)问题.带有Robin型阻尼边界的波动方程IBV问题就是其中一类,对其数值算法的研究具有重要的理论意义与应用价值.首先,本文对如下Robin型阻尼边界条件一维波动方程初边值问题(?)构造了一个全离散的三层隐式有限差分格式,所构造的格式在每个时间层需要求解一个三对角线性方程组.通过离散能量方法证明所构造的差分格式在无穷范数意义下关于时间和空间方向都是二阶收敛的,并且关于初始条件和右端源项都是无条件稳定的.数值实验验证了理论结果.其次,通过引入中间变量把IBV问题(1)变成如下等价的弱耦合方程组(?)通过对(2)构造全离散隐式有限差分格式,得到IBV问题(1)的一个新的有限差分格式,这样避免了IBV问题(1)中的复杂的边界条件带来的困难.通过能量方法证明所构造的差分格式关于初始条件和右端项是无条件稳定的,且在L2范数意义下二阶收敛.数值实验验证了理论结果.最后,对带有Robin型阻尼边界IBV问题(1)构造了一个全离散的高阶紧致有限差分格式,通过数值实验验证了所构造的差分格式在无穷范数意义下关于空间方向是四阶收敛的,关于时间方向是二阶收敛的.。
一类四阶两点边值共振问题解的存在性
梁是工程建筑 的基本构建 ， 工程学 中常用 四阶常微分方
Ｄ（ ） ￡ ｎＱ≠０记 Ｑ 的闭包为ｎ． ． 定 义 ２ 设 Ｌ Ｄ（ ） 阎 ： Ｌｃ Ｚ是 一个零 指标 的 Ｆｅ ｈｌ ｒ ｏｍ ｄ
程边值问题刻画梁 的静态形变． 梁所受支撑条件不 同 ， 条 边值
件也不 同． 中问题 （ ） 其 １ 描述 的两 端均简单 支撑 的弹性梁 ． 近 年来 ， １的线性项 中不含有 叮 ｌ时 ， 当（ ） 一 即对 于 四阶边 值非共 振问题 ｆ ＿（ ／ ） Ｊ ，， ， ０ １ ， ｆ ． ｔ Ｅ（ ， ）
１ｎ ０ １ １ ． ∈Ｌ（ ，）． ￣ ｎ
（） —， ，，） ｃ ｃ ， Ｅ ｏ ．Ｅ０ １， ａ ｔ － ｌ ， Ｒ，ｅ 【， （ ， ＋ ＜ ， 】
（ ） — ｌ号（ ， ， ）－ ＋ ｕ Ｊ ：ｐ，． Ｅ ｂ 叶６ ：， Ⅱｖ ＜ａ ｂ ，Ｉ Ｉ 冬 ａ ． ‘ Ｉ ｕ ｅ
为 一 全连续是指 ： Ａ在 的任意有界子集Ｑ上为 ￡ 紧的． 一
本文 的主要工作基于如下形式的 Ｍ ｗ ｉ延拓定理． ａｈ ｎ
定理 Ａ 啵 ０ＥＱ， ： （ ） —ｚ是 一个 零指标 的 Ｆｅ— ￡Ｄ ￡ ｃ ｒ ｄ
的解 的研究 已经获得 了丰 富的结果【 而 当线 性项 含有 １ － ｒ 时 ， ｕｔ 讨论了如下边值问题 Ｇｐ四 ａ
关键词 ： 边值共振 问题 ； ｗ 延拓 定理 ； Ｍａ ｈ 存在性 中图分类号 ： ７ ． ０１５８ １ 引Fra bibliotek及主要结果 ．
本文讨论 四阶两点边值共振 问题 ｆｚ ＋ — ‘ ，， ）ｏ （ ，） ｕ ＝ ， ０ １， Ｅ 【 Ｏ （ ） （ ） （ ）ｏ （ ） １＝ Ｏ １ ： 解 的 存 在 性 ，其 中 ， ［ １ ． ，】 ０
第三章波动方程
(1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t,
x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t,
x;
ti,
∆ti).
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方
程的Cauchy问题
wtt − c2wxx = 0 (t > τ ), t = τ : w = 0, wt = f (τ, x)
0
于是，再利用(1.4)可知
ut|t=0 = w(0, x; 0) = 0.
(1.8)
(1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
t
t
ut(t, x) = w(t, x; t) + wt(t, x; τ )dτ = wt(t, x; τ )dτ.
x
0,
k > 1,
其中ϕ0(0) = ψ(0)。 7. 求解下述边值问题
utt − uxx = 0, 0 < t < f (x),
u|t=x = u|t=f (x)
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
1-6能量不等式、波动方程解的唯一性
四川大学数学学院邓瑾
1. 能量守恒和初边值问题解的唯一性
考虑高维波动方程的初边值问题(以二维为例)
u a 2 (u u ) 0, ( x , y ) , t 0, tt xx yy t 0, u ( x , y ) 0, u t 0 ( x , y ), ut t 0 ( x , y ), ( x , y ) . (1) (2) (3)
14
四川大学数学学院邓瑾
2.设v(x,t)满足
v tt a 2hv ) x l 0 (h 0)
定义能量积分 E ( t ) 1 2
l 0
2 2 2 (v t2 a 2v x )d x 1 a hv ( l , t ), 2
设uu(x,y,t)是满足方程(1)和边界条件(2)的解, 定义能 量积分 2 (4) E ( t ) [ut2 a 2 ( u x u2 y )]d x d y
下面证明, 对任意t 0有E(t)0, 即, 满足(1)(2)的振动是 能量守恒的.
2
四川大学数学学院邓瑾
证明要用到高斯公式: 设A [ P ( x , y ), Q ( x , y )], 则有 , ), 其中 ( A d x d y A n d s , x y n是的单位外法向量, ds 是 的弧长微元.
2 ut f d x d y ut2 dx d y f 2 dx d y
E ( t ) f 2 dx d y
即, [e t E ( t )] e t f 2 ( x , y , t )d x d y . 由此得
偏微分方程中的初边值问题
偏微分方程中的初边值问题偏微分方程中的初边值问题是数学中一个重要的研究课题。
在解决偏微分方程时，通常需要通过给定初值和边界条件来确定问题的唯一解。
本文将通过介绍初边值问题的定义、分类和求解方法，探讨在偏微分方程中的应用。
在数学中，偏微分方程描述的是未知函数的偏导数和自变量之间的关系。
初边值问题是在偏微分方程问题中，同时给定了函数在某点的初值和函数在边界上的值或导数等条件。
通过这些条件，可以精确地确定偏微分方程的解。
初边值问题可以分为三类：第一类是Cauchy问题，即在曲面上给出解的初值和法向导数，通常用于描述波动方程等问题；第二类是Dirichlet边值问题，即在区域的边界上给定解的值，例如热传导方程中常见的问题；第三类是Neumann边值问题，即在区域的边界上给定解的导数值，常见于电场、磁场等领域。
对于初边值问题的求解方法，通常可以通过分离变量法、变分法、格林函数等数学工具来实现。
在实际问题中，初边值问题常常与物理问题相结合，例如热传导、波动方程、电磁场等领域均可以通过初边值问题来建模并解决。
综上所述，初边值问题是偏微分方程中一个重要的研究课题，通过给定初值和边界条件可以确定问题的唯一解。
研究初边值问题不仅对数学理论有重要意义，也对物理问题的建模和求解具有重要应用。
希望本文对初边值问题感兴趣的读者有所启发。
大学物理-波动方程的定解问题
另外，数理方程理论还有三个主要问题：
(1) 解的存在性问题 (2) 解的唯一性问题
唯一性问题：讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类， 方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究，可以明确： 对于一定的方程，需要多少个以及哪些定解条件才能唯 一确定一个解。
y
vx = 0 x=0
vy = v0−gt y = v0t −gt2/2
o
x
(抛出点为 坐标原点)
(2) 对斜向上抛，有
结论：不同的初始条件 (个性) 不同的运动状态，但 都服从牛顿第二定律 (共性)。
注：以上例子是大家熟悉的常微分方程的求解，实际上后 面要求解的是偏微分方程。
定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规
F(x,t)
简化假设： (1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的张力
沿弦的切线方向；
(2) 振幅极小，则张力与水平方向的夹角 1 和 2 很小， 仅考虑 1 和 2 的一阶小量，略去二阶小量，有
(线性化)
并且由此导出弦的长度近似不变： (3) 弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
由牛顿第二定律，得到
三、自由空间中电磁场的波动方程 自由空间：无电荷与电流分布的空间 自由空间中麦克斯韦方程组的微分形式为
将以上方程组中的第三式两边取旋度，并利用第四式，有
再利用矢量分析公式，得到 因此，可得到自由空间中电场的波动方程 同理，可得到自由空间中磁场的波动方程
四、波动方程的定解条件
1. 初始条件——描述系统的初始状态 振动方程含有对时间的二阶偏导数
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两类具阻尼的四阶波动方程初边值问题的研究本文研究了两类具强阻尼及弱阻尼的四阶波动方程解的整体适定性.第二章中,我们研究了一类具强阻尼及非线性弱阻尼的四阶波动方程的初边值问题.首先,运用位势井理论构造几个能量泛函,给定一些预备引理,运用Galerkin方法得到低初始能量下整体强解的存在性及唯一性.进一步地,我们得到了在临界情况下弱解的整体存在,渐近行为和爆破.第三章中,我们讨论了一类具强阻尼及线性弱阻尼的四阶粘弹性波动方程的弱解的整体存在性及爆破的问题.本章通过建立问题的变分结构,得到了位势井深度值.运用Galerkin方法构造该系统低初始能量情况下的近似解并估计该近似解的有界性,从而得到弱解的整体存在性.接下来,利用凹函数方法证明弱解在有限时间爆破.在此基础上,我们通过定义新的条件及辅助函数得到临界及高初始能量情况下的不变集合,从而将此结论拓展到临界及高能的情况.。