2021年龙东地区中考数学学科考试说明
2019年龙东地区初中毕业学业考试
2019年龙东地区初中毕业学业考试数学学科考试说明【一】指导思想数学学科命题要依据2017版义务教育《数学课程标准》，关注学生学情，兼顾教材，有利于指导课程改革，有利于加强学科教与学的正确导向，考试要面向全体学生、注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，考查学生运用知识的能力，有利于培养学生的创新意识和实践能力。
要从数学学科的特点动身，坚持考查数学基础知识、差不多技能、数学思想方法和思维能力的方向；从促进学生学会学习的角度，考查猎取新知识、独立学习的能力；从培养学生实践能力的角度，考查应用数学的意识，分析和解决在相关学科、生产和生活中带有实际意义的数学问题的能力；从培养学生数学能力的角度，考查发明问题、提出问题、探究和研究问题的能力；从培养学生数学素质的角度，考查对数学本质属性的理解和掌握程度、学科间的知识渗透，考查运用学科知识的能力和包括数学知识、技能、能力和个性品质等方面的数学素质。
适当对学科内知识的综合运用能力的考查，以考查学生综合应用能力，培养学生的探究能力。
【二】命题原那么2018年中考命题要表达：1.科学性。
要保证试卷内容的科学性，幸免出现知识性、观点性、技术性等错误；试卷语言表述规范、准确、简洁、逻辑严谨。
答案与评分标准科学合理，便于操作。
2.基础性。
严格按照课程标准、学生和教学实际，考查课程标准所要求的基础知识和差不多技能，不超不偏。
3.全面性。
试题要表达课程标准的要求，在全面考查学生基础知识、差不多技能的同时，还要考查学生学习方法、分析问题解决问题的能力。
4.指导性。
正确发挥考试的导向作用，不出偏题、怪题、死记硬背的题；试题侧重学生对知识的理解，注重试题的综合性、开放性和教育性。
命题要有利于引导教师改进教学，引导学生学会学习。
5.适切性。
试题要符合教学及学生的实际，试题的难度比例适当，要有利于不同学习程度的学生都能考出自己的水平；题目设置要有梯度，起点适当，坡度适宜。
【三】命题依据2019年中考命题要依据2017版义务教育《数学课程标准》、“2019年龙东地区学科考试说明”结合六地市初中数学教材和学生实际。
【中考真题】2022年黑龙江省省龙东地区中考数学试卷(附答案)
2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列运算中，计算正确的是（ ）A ．()222b a b a -=-B ．326a a a ⋅=C ．()224x x -=D ．623a a a ÷=2．下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（ ）A ．181B ．175C ．176D ．175.5 4．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 5．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A ．8B ．10C ．7D ．9 6．已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m > B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠ 7．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-9．如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F 是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若ABC 的面积是24， 1.5PD =，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．310．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ⊥交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ⊥；①45OPA ∠=︒；①AP BP -=；①若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE ∠=；①四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14．其中正确的结论是（ ）A ．①①①①B ．①①①①C ．①①①①D ．①①①①二、填空题11．我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数据1.89亿用科学记数法表示为________．12．函数y =x 的取值范围是______．13．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，请你添加一个条件________，使AOB COD ≌．14．在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是________．15．若关于x 的一元一次不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x <，则a 的取值范围是________．16．如图，在O 中，AB 是O 的弦，O 的半径为3cm ，C 为O 上一点，60ACB ∠=︒，则AB 的长为________cm ．17．若一个圆锥的母线长为5cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm ．18．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．19．在矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点E 在边CD 上，且4CE =，点P 是直线BC 上的一个动点．若APE 是直角三角形，则BP 的长为________．20．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33OA B ，44OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．三、解答题21．先化简，再求值：22221111a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪-+⎝⎭，其中2cos301a =︒+． 22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 23．如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．24．为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x 小时，其中的分组情况是：A 组：8.5x <B 组：8.59x ≤<C 组：99.5x ≤<D 组：9.510x ≤<E 组：10x ≥根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了_______名学生；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，求D 组所对应的扇形圆心角的度数；(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25．为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．26．ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点+=）成立；请证明．A重合），有PA PB PC+=（或PA PC PB(2)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．27．学校开展大课间活动，某班需要购买A 、B 两种跳绳．已知购进10根A 种跳绳和5根B 种跳绳共需175元：购进15根A 种跳绳和10根B 种跳绳共需300元．(1)求购进一根A 种跳绳和一根B 种跳绳各需多少元？(2)设购买A 种跳绳m 根，若班级计划购买A 、B 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，OA 、OB 的长分别是一元二次方程27120x x -+=的两个根()OA OB <，4tan 3DAB ∠=，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达B 点停止．设运动时间为t 秒，APC △的面积为S ．(1)求点C 的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【解析】【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方进行计算，即可判断．【详解】()2222b=--+，故A选项错误，不符合题意；a ab b a2⋅=，故B选项错误，不符合题意；a a a326()224-=，故C选项正确，符合题意；x x624a a a÷=，，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘除，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：① 是轴对称图形，也是中心对称图形，①不符合题意；①是轴对称图形，不是中心对称图形①不符合题意；①不是轴对称图形，是中心对称图形①符合题意；①是轴对称图形，不是中心对称图形①不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合、中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，准确理解定义是解题的关键．3．D【解析】【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，①这6个数据的中位数为175176175.52+=，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个数是求中间两个数的平均数．4．B【解析】【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538+=个．故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．5．B【解析】【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程即可．【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452x x -=，解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 6．C【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．7．A【解析】【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出购买方案的数量．【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得，15x +20y =360，即3x +4y =72，①y =18-34x ． 又①x ，y 均为正整数，①415x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩或129x y =⎧⎨=⎩或166x y =⎧⎨=⎩或203x y =⎧⎨=⎩， ①班长有5种购买方案．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．8．D【解析】【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOB OBAD S S ==，AB ①OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ， ①四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，①1522AOB OBAD S S ==，AB ①OD ， ①AB ①y 轴，①点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上， ①3,22COB COA k S S ==-， ①35222AOB COB COA k S S S =+=-=， 解得：2k =-．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．9．A【解析】【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD①BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP①△FDP （AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，①AB=AC，AD平分BAC∠与BC相交于点D，①AD①BC，BD=CD，①S△ABD=112422ABCS=⨯=12，①E是AB的中点，①S△AED=111222ABDS=⨯=6，①G是AD的中点，①S△EGD=11622AEDS=⨯=3，①E是AB的中点，G是AD的中点，①EG∥BC，EG=12BD=12CD，①①EGP=①FDP=90°，①F 是CD 的中点，①DF =12CD ， ①EG =DF ，①①EPG =①FPD ，①①EGP ①①FDP （AAS ），①GP =PD =1.5，①GD =3，①S △EGD =12GD EG ⋅=3，即1332EG ⨯=， ①EG =2，在Rt ①EGP 中，由勾股定理，得PE =，故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．10．B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：①通过证明()DOF COE ASA ≌得到EC =FD ，再证明()EAC FBD SAS ≌得到①EAC =①FBD ，从而证明①BPQ =①AOQ =90°，即AE BF ⊥；①通过等弦对等角可证明45OPA OBA ∠=∠=︒；①通过正切定义得tan BE BP BAE AB AP ∠==，利用合比性质变形得到CE BP AP BP BE⋅-=，再通过证明AOP AEC ∽得到OP AE CE AO ⋅=，代入前式得OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅，最后根据三角形面积公式得到AE BP AB BE ⋅=⋅，整体代入即可证得结论正确；①作EG ①AC 于点G 可得EG ∥BO ，根据tan EG EG CAE AG AC CG ∠==-，设正方形边长为5a ，分别求出EG 、AC 、CG 的长，可求出3tan 7CAE ∠=，结论错误；①将四边形OECF 的面积分割成两个三角形面积，利用()DOF COE ASA ≌，可证明S 四边形OECF =S △COE +S △COF = S △DOF +S △COF =S △COD 即可证明结论正确．【详解】①①四边形ABCD 是正方形，O 是对角线AC 、BD 的交点，①OC =OD ，OC ①OD ，①ODF =①OCE =45°①OE OF ⊥①①DOF +①FOC =①FOC +①EOC =90°①①DOF =①EOC在①DOF 与①COE 中ODF OCE OC ODDOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()DOF COE ASA ≌①EC =FD①在①EAC 与①FBD 中45EC FD ECA FDB AC BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EAC FBD SAS ≌①①EAC =①FBD又①①BQP =①AQO①①BPQ =①AOQ =90°①AE ①BF所以①正确；①①①AOB =①APB =90°①点P 、O 在以AB 为直径的圆上①AO 是该圆的弦①45OPA OBA ∠=∠=︒所以①正确； ①①tan BE BP BAE AB AP ∠== ①AB AP BE BP = ①AB BE AP BP BE BP --= ①AP BP CE BP BE-= ①CE BP AP BP BE ⋅-=①,45EAC OAP OPA ACE ∠=∠∠=∠=︒①AOP AEC ∽ ①OP AO CE AE= ①OP AE CE AO⋅= ①OP AE BP AP BP AO BE⋅⋅-=⋅ ①1122ABE AE BP AB BE S⋅=⋅= ①AE BP AB BE ⋅=⋅①OP AB BE AB AP BP OP AO BE AO⋅⋅-==⋅ 所以①正确；①作EG ①AC 于点G ，则EG ∥BO ， ①EG CE CG OB BC OC==设正方形边长为5a ，则BC =5a ，OB =OC ， 若:2:3BE CE =，则23BE CE =， ①233BE CE CE ++= ①35CE BC =①35CE EG OB BC =⋅=①EG ①AC ，①ACB =45°，①①GEC =45°①CG =EG①3tan 7EG EG CAE AG AC CG ∠====- 所以①错误；①①()DOF COE ASA ≌，S 四边形OECF =S △COE +S △COF①S 四边形OECF = S △DOF +S △COF = S △COD①S △COD =14ABCD S 正方形①S 四边形OECF =14ABCD S 正方形所以①正确；综上，①①①①正确，①错误，故选 B【点睛】本题综合考查了三角形、正方形、圆和三角函数，熟练运用全等三角形、相似三角形、等弦对等角和三角函数的定义是解题的关键．11．81.8910⨯【解析】【分析】把亿写成810，最后统一写成10n a ⨯的形式即可．【详解】解：由题意得：1.89亿=81.8910⨯，故答案为：81.8910⨯．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，移动小数点，熟记科学记数法的表示形式是解题的关键．12． 1.5x ≥【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．【详解】解：根据题意，230x -≥，① 1.5x ≥；故答案为： 1.5x ≥．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．13．OB =OD （答案不唯一）【解析】【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在①AOB 和①COD 中，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①AOB COD ≌（SAS ）故答案为OB =OD （答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．14．13【解析】【分析】利用概率公式计算即可．【详解】① 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，①摸到红球的概率是21243=+， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．15．2a ≥##2a ≤【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．【详解】解：2130x x a -⎧⎨-<⎩＜①②， 解不等式①得：2x ＜，解不等式①得：x a ＜，关于x 的不等式组2130x x a -⎧⎨-<⎩＜的解集为2x ＜， 2a ∴≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16．【解析】【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OD ①AB 于点D ，由垂径定理和圆周角定理可得12AD BD AB ==，120AOB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得30OAB OBA ==︒∠∠，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：连接OA 、OB ，过点O 作OD ①AB 于点D ，12AD BD AB ∴==，90ODA =∠°， 60ACB ∠=︒，120AOB ∴∠=︒，OA OB =，30OAB OBA ∴∠=∠=︒，3cm OA =，3cm 2OD ∴=，AD ∴=，AB ∴=，故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．17．5 3【解析】【分析】由于圆锥的母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为120°扇形，设圆锥底面半径为r cm，那么圆锥底面圆周长为2πr cm，所以侧面展开图的弧长为2πr cm，然后利用弧长公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解．【详解】解：设圆锥底面半径为r cm，则圆锥底面周长为：2rπcm，①侧面展开图的弧长为：2rπcm，①12052=180ππ⨯r，解得：r=53，故答案为：53．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18【解析】【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，①菱形ABCD，①AC①BD，OA=OC，O=OD，AD=AB=3，①①BAD=60°，①△ABD是等边三角形，①BD=AB=3，①BAO=30°，①OB=32，①OA①点O关于AB的对称点F，①OF①AB，OF=2OG=OA①①AOG=60°，①CE①AH于E，OA=OC，①OE=OC=OA①AH平分①BAC，①①CAE=15°，①①AEC=①CAE=15°，①①DOE=①AEC+①CAE=30°，①①DOE+①AOG=30°+60°=90°，①①FOE=90°，①由勾股定理，得EF==,①PO +PE 最小值【点睛】 本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 是解题的关键．19．313或154或6 【解析】【分析】分三种情况讨论：当①APE =90°时，当①AEP =90°时，当①P AE =90°时，过点P 作PF ①DA 交DA 延长线于点F ，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，9AB CD ==，12AD BC ==，①BAD =①B =①BCD =①ADC =90°， 如图，当①APE =90°时，①①APB +①CPE =90°，①①BAP +①APB =90°，①①BAP =①CPE ，①①B =①C =90°，①①ABP ①①PCE ， ①AB BP PC CE=，即9124BP BP =-， 解得：BP =6；如图，当①AEP =90°时，①①AED +①PEC =90°，①①DAE +①AED =90°，①①DAE =①PEC ，①①C =①D =90°，①①ADE ①①ECP ， ①AD DE CE PC=，即12944PC -=， 解得：53PC =， ①313BP BC PC =-=； 如图，当①P AE =90°时，过点P 作PF ①DA 交DA 延长线于点F ，根据题意得①BAF =①ABP =①F =90°，①四边形ABPF 为矩形，①PF =AB =9，AF =PB ，①①P AF +①DAE =90°，①P AF +①APF =90°，①①DAE =①APF ，①①F =①D =90°，①①APF ①①EAD ， ①AF PF DE AD =，即99412AF =-， 解得：154=AF ，即154PB =； 综上所述，BP 的长为313或154或6．故答案为：313或154或6 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．20．2【解析】【分析】先求出11A B 11OA B S =，再根据题意可得112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，从而得到11OA B ①22OA B △①33OA B ①44OA B ……①n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ①22OA B S ①33OA B S ①44OA B S ……①n n OA B S =()()()2222231:2:2:2:2n ，即可求解． 【详解】解：当x =1时，y =①点(1B ，①11A B①11112OA B S =⨯， ①根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥，①11OA B ①22OA B △①33OA B ①44OA B ……①n n OA B △，①11OA B S ①22OA B S ①33OA B S ①44OA B S ……①n n OA B S = OA 12①OA 22①OA 32……①OAn 2，①11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……，①22OA =，2342OA ==，3482OA ==……12n n OA -=，①11OA B S ①22OA B S①33OA B S ①44OA B S ……①n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2:21:2:2:2:2n n --= ， ①11222n n n OA B OA B S S -=，①220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．21．11a -，【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出a 值，然后把a 值代入化简式计算即可．【详解】 解：原式22222112111a a a a a a a ⎛⎫--+=-⋅ ⎪---⎝⎭ 2121211a a a a -+=⋅-- 11a=-，当2cos3011a =︒+=时，原式==【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22．(1)见解析；()15,3A -(2)见解析；()22,4A(3)点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【解析】【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．(1)解：如图所示①A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；(2)如图所示①A 2B 2C 2即为所求，()22,4A ；(3)①115AC ①点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为90π55π1802⨯=． 【点睛】 题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．23．(1)223y x x =--(2)存在，()11P ，()21P【解析】【分析】（1）将点()1,0A -，点()2,3B -，代入抛物线得10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，求出b c ，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得()222314y x x x =--=--，可得D 点坐标，将0x =代入得，3y =-，可得C 点坐标，求出1BCD S =△的值，根据4PBC BCD S S =可得4PBC S =，设()2,23P m m m --，则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+=，求出m 的值，进而可得P 点坐标．(1)解：①抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -，点()2,3B -，①10423b c b c -+=⎧⎨++=-⎩， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ①抛物线的解析式为：223y x x =--．(2)解：存在．①()222314y x x x =--=--，①()1,4D -，将0x =代入得，3y =-，①()0,3C -，①D 到线段BC 的距离为1，2BC =， ①12112BCD S=⨯⨯=， ①44PBC BCD S S ==，设()2,23P m m m --， 则()21223342PBC S m m =⨯⨯--+=， 整理得，224m m -=，解得11m =21m =①()11P ，()21P，①存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，点P 的坐标为()11P ，()21P ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24．(1)100(2)补全统计图见解析(3)D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒(4)估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人【解析】【分析】（1）根据统计图中B 组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E 组人数占比为15％，求出E 组人数为10015⨯％人，然后作差求出A 组人数，最后补全统计图即可；（3）根据D 组人数的占比乘以360︒计算求解即可；（4）根据A B ，两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可．(1)解：由统计图可知，本次共调查了2020100÷=％（人），故答案为：100．(2)解：由统计图可知，E 组人数占比为15％，①E 组人数为1001515⨯=％（人），①A 组人数为100204020155----=（人），①补全统计图如图所示(3)解：由题意知，D 组所对应的扇形圆心角度数为2036072100⨯︒=︒， ①D 组所对应的扇形圆心角度数为72︒．(4) 解：由题意知，5201500375100+⨯=（人） ①估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．25．(1)100 60(2)1001200y x =-+(3)3，6.3，9.125【解析】【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h 的路程为500km ，乙车5h 的路程为300km ，即可确定各自的速度；（2）设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．(1)解：根据图象可得，甲车5h 的路程为500km ，①甲的速度为：500÷5=100km/h ；乙车5h 的路程为300km ，①乙的速度为：300÷5=60km/h ；故答案为：100；60；(2)设()0y kx b k =+≠，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，代入得9300120k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1001200k b =-⎧⎨=⎩①y 与x 的函数解析式为1001200y x =-+；(3)解：设乙出发的时间为t 时，相距120km ，根据图象可得，当0<t <5时，100t -60t =120，解得：t =3；当5<t <5.5时，根据图象可得不满足条件；当5.5<t <8时，500-100（t -5.5）-300=120，解得：t =6.3；当8<t <9时，100（t -8）-300=120，解得：t =12.2，不符合题意，舍去；当9<t <12时，100×（9-8）+100（t -9）+60（t -9）=120，解得：t =9.125；综上可得：乙车出发3h 、6.3h 与9.125h 时，两车之间的距离为120km ．【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．26．(1)证明见解析(2)图①结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图①结论：PA PB PC +=【解析】【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，P A =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：①①ABC 是等边三角形，①AB =AC ，①点P 与点A 重合，①PB =AB ，PC =AC ，P A =0，①PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图①结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，①ABC 和ADE 都是等边三角形，①AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒①BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，①BAD CAE ∠=∠，①BAD CAE ≌（SAS ），①ABD ACE ∠=∠，①AC =AB ，CP =BF ，①CAP BAF ≌△△（SAS ），①CAP BAF ∠=∠，AF AP =，①CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠，①60FAP BAC ∠=∠=︒，①AFP 是等边三角形，①PF AP =，①PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图①结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，①ABC 和ADE 都是等边三角形，①AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒①BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，①BAD CAE ∠=∠，①BAD CAE ≌（SAS ），①ABD ACE ∠=∠，①AB =AC ，BP =CF ，①BAP CAF ≌△△（SAS ），①CAF BAP ∠=∠，AP AF =，①BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，①60FAP BAC ∠=∠=︒，①AFP 是等边三角形，①PF AP =，①PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．27．(1)购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元(2)有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元【解析】【分析】（1）设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，可列方程组1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解方程组即可求得结果；（2）根据题意可列出不等式组()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得：2325.4m ≤≤，由此即可确定方案；（3）设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+，结合函数图像的性质，可知w 随m 的增大而减小，即当25m =时525675550=-⨯+=．(1)解：设购进一根A 种跳绳需x 元，购进一根B 种跳绳需y 元，根据题意，得1051751510300x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得1015x y =⎧⎨=⎩， 答：购进一根A 种跳绳需10元，购进一根B 种跳绳需15元；(2)根据题意，得()()101545560101545548m m m m ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩， 解得2325.4m ≤≤，①m 为整数，①m 可取23，24，25．①有三种方案：方案一：购买A 种跳绳23根，B 种跳绳22根；方案二：购买A 种跳绳24根，B 种跳绳21根；方案三：购买A 种跳绳25根，B 种跳绳20根；(3)设购买跳绳所需费用为w 元，根据题意，得()1015455675w m m m =+-=-+①50-<，①w 随m 的增大而减小，①当25m =时，w 有最小值，即w 525675550=-⨯+=（元）答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．28．(1)点C 坐标为()7,4(2)()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩(3)存在点P ()4,4或9,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或59,412⎛⎫ ⎪⎝⎭，使CMP 是等腰三角形 【解析】【分析】（1）先求出方程的解，可得3OA =，4OB =，再由4tan 3DAB ∠=，可得4OD =，然后根据四边形ABCD 是平行四边形，可得CD =7，90ODC AOD ∠=∠=︒，即可求解； （2）分两种情况讨论：当07t <时，当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，即可求解；（3）分三种情况讨论：当CP =PM 时，过点M 作MF ①PC 于点F ；当52PC CM ==时；当PM =CM 时，过点M 作MG ①PC 于点G ，即可求解．(1)解：27120x x -+=，解得13x =，24x =，①OA OB <，①3OA =，4OB =， ①4tan 3DAB ∠=， ①43OD OA =， ①4OD =，①四边形ABCD 是平行四边形，①347DC AB ==+=，DC AB ∥，①点C 坐标为()7,4；(2)解：当07t <时，()117414222S CP OD t t =⋅=-⋅=-， 当712t <时，过点A 作AF BC ⊥交CB 的延长线于点F ，如图，5AD ，①四边形ABCD 是平行四边形，①5BC AD ==，①BC AF AB OD ⋅=⋅，①574AF ⋅=⨯， ①285AF =， ①()11281498722555S CP AF t t =⋅=-⋅=-， ①()()14207149871255t t S t t ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩；(3)解：存在点P ，使CMP 是等腰三角形，理由如下：根据题意得：当点P 在CD 上运动时，CMP 可能是等腰三角形，①四边形ABCD 是平行四边形，①①C =①BAD ，BC =AD =5， ①4tan tan 3C DAB =∠=， ①点M 为BC 的中点，。
2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(解析版)
3
3
设 AG= y ，则 DG= a y ， ∴EG=GH = a y 1 a 4 a y ，
33
11
在 Rt△AEG 中， AE2 AG2 EG2 ，
即
2 3
a
2
y2
4 3
a
y
2
，
解得： y 1 a ， 2
∴当 BE 1 a 时， G 是线段 AD 的中点，故⑤正确； 3
B. 3.6 或 3.8
C. 3.8 或 4.2
D. 3.8 或 4.2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据众数的定义得出正整数 a 的值，再根据平均数的定义求解可得.
【详解】∵数据：a，3，4，4，6（a 为正整数），唯一的众数是 4，
∴a=1 或 2，
13 4 46
当 a=1 时，平均数为
=3.6；
5
2
∴y 可以分别取 2，4，6，8，10，12 共 6 种情况，x 为正整数；
8
综上所述：共有 8+6=14 种购买方案．
故选：D
【点睛】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．
10.如图，正方形 ABCD 的边长为 a ，点 E 在边 ，点 F
则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB=∠DCH，
10
∴∠ECH=∠BCD=90°， ∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG，CE=CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG，故③错误， ∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②错误，
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列各运算中，计算正确的是（）A. a2⋅2a2=2a4B. x8÷x2=x4C. (x−y)2=x2−xy+y2D. (−3x2)3=−9x6【答案】A【考点】同底数幂的乘法，单项式乘单项式，完全平方公式及运用，积的乘方【解析】【解答】A．a2⋅2a2=2a4，符合题意；B．x8÷x2=x8−2=x6，故B选项不符合题意；C．(x−y)2=x2−2xy+y2，故C选项不符合题意；D．(−3x2)3=−27x6，故D选项不符合题意，故答案为：A．【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．2.下列图标中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；故答案为：B．【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．4.一组从小到大排列的数据: a,3,4,4,6( a为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（）A. 3.6或4.2B. 3.6或3.8C. 3.8或4.2D. 3.8或4.2【答案】B【考点】平均数及其计算，众数【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，∴a=1或2，当a=1时，平均数为1+3+4+4+65=3.6；当a=2时，平均数为2+3+4+4+65=3.8；故答案为：C.【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.5.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A. k<14B. k≤14C. k>4D. k≤14且k≠0【答案】B【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴△=b2−4ac≥0,∵a=1,b=−(2k+1),c=k2+2k,∴[−(2k+1)]2−4×1×(k2+2k)≥0,∴−4k≥−1,∴k≤14.故答案为：B．【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．6.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(−1,1)，∠ABC=120°，则k的值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BA=AD，AC⊥BD，∵∠ABC=120 °，∴∠ABO=60 °，∵点B（-1，1），∴OB= √12+12=√2，∵tan60°=AO，OB∴AO= √2tan60°=√6，作BF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，∵点B（-1，1），∴OF=BF=1，∴∠FOB=∠BOF=45 °，∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 °，∴∠AOE=∠BOF=45 °，∴△AOE为等腰直角三角形，∵AO =√6，∴AE=OE=AO ⋅cos45°=√6×√2=√3，2∴点A的坐标为（√3，√3），∵点A在反比例函数y=k的图象上，x∴k=xy=3，故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 °，继而求得点A的坐标，即可求解．7.已知关于x的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则c的取值范围是（）A. −8<k<0B. k>−8且k≠−2C. k>−8D. k<4且k≠−2【答案】B【考点】分式方程的解及检验，解一元一次不等式【解析】【解答】方程两边同时乘以x−2得，x−4(x−2)+k=0，解得：x=8+k3．∵x为正数，∴8+k3>0，解得k>−8，∵x≠2，∴8+k3≠2，即k≠−2，∴k的取值范围是k>−8且k≠−2．故答案为：B．【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（）A. 4B. 5C. √13D. 6【答案】A【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= AC×BD2=48，∴BD=8，∵DH⊥AB，BO=DO=4，∴OH= 12BD=4．故答案为：A．【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A 种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A. 12种B. 15种C. 16种D. 14种【答案】 D【考点】三元一次方程组解法及应用【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，即x+2y+3z=20，由题意得x,y,z均为正整数．①当z=1时，x+2y=17∴x=17−y2，∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；②当z=2时，x+2y=14∴x=14−y2，∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；综上所述：共有8+6=14种购买方案．故答案为：D【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x+20y+30z=200，化简后根据x,y,z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．10.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：① ∠ECF=45°；② ΔAEG的周长为(1+√22)a；③ BE2+DG2=EG2；④ ΔEAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ②④⑤C. ①③④D. ①④⑤【答案】 D【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH= √2BE，∵AF= √2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③不符合题意，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，设BE= x，则AE= a−x，AF= √2x，∴S△AEF= 12(a−x)x=−12x2+12ax=−12(x−12a)2+18a2，∵−12<0，∴当x=12a时，，△AEF的面积的最大值为18a2，故④符合题意；如图3，延长AD到H，使得DH=BE，同理：EG=GH，∵BE=13a，则AE=23a，设AG= y，则DG= a−y，∴EG=GH = a−y+13a=43a−y，在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，即(23a)2+y2=(43a−y)2，解得：y=12a，∴当BE=13a时，G是线段AD的中点，故⑤符合题意；综上，①④⑤符合题意，故答案为：D．【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= √2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= y，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得y=12a，即可判断⑤符合题意．二、填空题（共10题；共10分）11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.【答案】3×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，所以300000000用科学记数法表示为3×108。
2021年全国中考数学真题分类汇编--图形与变换：平移与旋转(答案版 )
如此循环，每旋转 7 次，而 2021＝6×336+5， ∴A2021 在第四象限，且 OA2021＝42021，示意图如下：
OH＝ OA2021＝52020，A2021H＝ OH＝ 2020，
∴A2021（（42020，﹣ 故选：C．
×22020），
9. （2021•天津市）如图，在 V ABC 中， BAC 120 ，将 V ABC 绕点 C 逆时针旋转 得到 VDEC ，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接 AD ．当点 A，D，E 在同一条直线上时，
∴AA'＝
＝ ＝．
故选：B．
4. （2021•长沙市）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
5. （2021•江苏省苏州市）．如图，在方格纸中，将 Rt△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 后得到 Rt△A′O′B（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形和大小都不发生变化，根据旋转性
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋 转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形， 这个点叫做对称中心． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C．
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选 D ．
19. （2021•辽宁省本溪市）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是 由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
2021全国中考真题及解析
【点睛】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，
9.若(2021年牡丹江、鸡西地区)关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（）
A. 3B. 5C. 3或5D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】
解带参数m的分式方程，得到 ，即可求得整数m的值．
【详解】解： ，
6.(2021年福建省)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】解：由题意得： ，
故选A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
【答案】
【解析】
【分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得 .
故答案是： .
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
8.(2021年山东省菏泽市)方程 的解是x ．
2021年中考数学真题分类汇编--四边形：命题、四边形中的计算与证明(压轴题)(学生版)
中考真题分类汇编（四边形）----命题、四边形中的计算与证明（压轴题）一、选择题1. （2021•湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（ ） A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B ．正六边形的每一个内角为120°C ．有一个角是60°的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形2. （2021•怀化市）以下说法错误的是（ ） A ．多边形的内角大于任何一个外角 B ．任意多边形的外角和是360° C ．正六边形是中心对称图形 D ．圆内接四边形的对角互补3. （2021•岳阳市） 下列命题是真命题的是（ ） A. 五边形内角和是720︒ B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点4. （2021•四川省达州市）以下命题是假命题的是（ ） A ．的算术平方根是2B ．有两边相等的三角形是等腰三角形C ．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. （2021•四川省广元市）下列命题中，真命题是（ ） A. 1122xx-=B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D. 已知抛物线245y x x =--，当15x -<<时，0y < 6. （2021•四川省凉山州）下列命题中，假命题是（ ） A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C. 若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 7. （2021•泸州市）下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. （2021•遂宁市）下列说法正确的是（ ） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式D. 若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4 9. （2021•绥化市）下列命题是假命题的是（ ） A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形10. （2021•呼和浩特市）以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分②A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环赛，若A ，B ，C ，D ，E 分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B 队比赛的球队可能是D 队③两个正六边形一定位似④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11. (2021•内蒙古包头市)下列命题正确的是（ ） A. 在函数12y x=-中，当0x >时，y 随x 的增大而减小 B. 若0a <，则11a a +>- C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 各边相等的圆内接四边形是正方形12. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：①2GF =；②2OD OG =；③1tan 2CDE ∠=；④90ODF OCF ∠=∠=︒；⑤点D 到CF 的距离为855．其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②④⑤13.（2021•山东省泰安市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝5，点P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．314. （2021•四川省南充市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15，BC ＝20，把边AB 沿对角线BD 平移，点A ′，B ′分别对应点A ，B 给出下列结论： ①顺次连接点A ′，B ′，C ，D 的图形是平行四边形； ②点C 到它关于直线AA ′的对称点的距离为48； ③A ′C ﹣B ′C 的最大值为15； ④A ′C +B ′C 的最小值为9．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题1. （2021•江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为 ． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似2.（2021•四川省广元市）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：①AP PF =；②DE BF EF +=；③2PB PD BF -=；④AEFS为定值；⑤APGPEFG S S=四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．3. （2021•遂宁市）如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：①ABF DBE ∠=∠；②ABF DBE ∽；③AF BD ⊥；④22BG BH BD =；⑤若:1:3CE DE =，则:17:16BH DH =，你认为其中正确是_____（填写序号）4. （2021•天津市）如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．5. （2021•湖南省张家界市） 如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接DE ,AE ,CE ,过点D 作DE 的垂线交AE 于点P ,若1==DP DE ,6=PC .下列结论:①CED APD ∆≅∆；②CE AE ⊥；③点C 到直线DE 的距离为3；④225ABCD +=正方形S ，其中正确结论的序号为 .6. （2021•福建省）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，点E 不与A ，B 重合，且EF ＝AB ，G 是五边形AEFCD 内满足GE ＝GF 且∠EGF ＝90°的点．现给出以下结论： ①∠GEB 与∠GFB 一定互补； ②点G 到边AB ，BC 的距离一定相等； ③点G 到边AD ，DC 的距离可能相等； ④点G 到边AB 的距离的最大值为2．其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）D AB CEF7. （2021•广西贺州市）如图．在边长为6的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，3BC BE =且BE CF =，AE BF ⊥，垂足为G ，O 是对角线BD 的中点，连接OG 、则OG 的长为________．8.（2021•湖北省黄石市） 如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，AE 交BD 于M 点，AF 交BD 于N 点． （1）若正方形的边长为2，则CEF △的周长是______．（2）下列结论：①222BM DN MN +=；②若F 是CD 的中点，则tan 2AEF ∠=；③连接MF ，则AMF 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．三、解答题1. （2021•辽宁省本溪市）在▱ABCD 中，=BAD α，DE 平分ADC ∠，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转12α得线段EP ．（1）如图1，当=120α︒时，连接AP ，请直接写出线段AP 和线段AC 的数量关系； （2）如图2，当=90α︒时，过点B 作BF EP ⊥于点，连接AF ，请写出线段AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当=120α︒时，连接AP ，若1=2BE AB ，请直接写出APE 与CDG 面积的比值．2. （2021•宿迁市）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周． (1)如图①，连接BG 、CF ，求CFBG的值； (2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．3. （2021•山东省临沂市）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC ． （1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？4.（2021•陕西省）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AD＝6，E是AD的中点，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由．5.（2021•湖北省宜昌市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．（1）如图1，求证：四边形BEFC 是正方形； （2）如图2，当点Q 和点D 重合时． ①求证：GC ＝DC ；②若OK ＝1，CO ＝2，求线段GP 的长；（3）如图3，若BM ∥F ′B ′交GP 于点M ，tan ∠G ＝，求的值．6. （2021•广东省）如题24图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD ≠，90ABC ∠=︒，点E 、F 分别在线段BC 、AD 上，且EF CD ∥，AB AF =，CD DE =． （1）求证：CF FB ⊥；（2）求证：以AD 为直径的圆与BC 相切；（3）若2EF =，120DFE ∠=︒，求ADE △的面积．7. （2021•四川省广元市）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE∽；（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求PMN∠的度数及MNPM的值；（3）在（2）的条件下，若2BC=，直接写出PMN面积的最大值．8.（2021•浙江省嘉兴市）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM 相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．9.（2021•浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F是对角线BD上一动点，∠ADB＝30°．连结EF（1）若EF⊥BD，求DF的长；（2）若PE⊥BD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若△DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围．10.（2021•浙江省温州市）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时11.（2021•湖北省荆门市）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．（1）求证：BE＝CH；（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．12.（2021•海南省）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．13.（2021•广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．14. （2021•广西贺州市）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，12ADB ABD BDC ∠=∠=∠，DE 交BC 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，且EF EC =．（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）若4=AD ，求BED 的面积．15. （2021•江苏省无锡市）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，∠AEF ＝90°，设BE ＝m ．（1）如图，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当m ＝时，求线段CF 的长；②在△PQE 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．16. （2021•齐齐哈尔市）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、AD 都落在对角线AC 上，展开得折痕AE 、AF ，连接EF ，如图1．（1）EAF ∠=_________︒，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的EAF ∠绕点A 旋转，使它的两边分别交边BC 、CD 于点P 、Q ，连接PQ ，如图2．（2）线段BP 、PQ 、DQ 之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD ，若图2中的PAQ ∠的边AP 、AQ 分别交对角线BD 于点M 、点N ．如图3，则CQ BM=________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．（4）求证：222BM DN MN +=．17. （2021•深圳）在正方形ABCD 中，等腰直角AEF △，90AFE ∠=︒，连接CE ，H 为CE 中点，连接BH 、BF 、HF ，发现BF BH和HBF ∠为定值.（1）①BF BH =__________；②HBF ∠=__________. ③小明为了证明①②，连接AC 交BD 于O ，连接OH ，证明了OH AF 和BA BO的关系，请你按他的思路证明①②. （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BD EA k AD FA ==，BDA EAF θ∠=∠=（090θ︒<<︒）求①FD HD=__________（用k 的代数式表示） ②FH HD=__________（用k 、θ的代数式表示） 18. （2021•浙江省衢州卷）【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．。
2023年龙东地区数学中考题
黑龙江省龙东地区2023年中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4B．5C．6D．74．已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．-3B．5C．-3和5D．1和35．如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（）A．B．C．或D．6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（）A．B．C．且D．且7．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A．5种B．6种C．7种D．8种8．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（）A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为．12．函数中，自变量x的取值范围是．13．如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件，使矩形是正方形（填一个即可）14．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是．15．关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是．16．如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则．17．已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是．18．在中，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，在旋转的过程中，面积的最大值是．19．矩形中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线上，顶点B在x轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x轴于，过点作垂直x轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：，其中．22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，．（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出．（2）请画出关于轴对称的．（3）将着原点顺时针旋转，得到，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．23．如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式．（2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）这次学校抽查的学生人数是人；（2）将条形图补充完整；（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是；（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．25．已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中的值是；（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．26．如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：．若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．27．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．28．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y 轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线的解析式．（2）连接，求的面积S与运动时间t的函数关系式．（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】B11．【答案】12．【答案】x≥-313．【答案】14．【答案】15．【答案】16．【答案】3417．【答案】1218．【答案】19．【答案】6或或20．【答案】21．【答案】解：原式=，∵，∴原式=.22．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1就是所求的三角形；（2）解：如图，△A2B2C2就是所求的三角形；（3）解：如图，将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，连接OC3交弧A2A3于点D，连接OC2交弧B2B3于点E，∵A2（-2，-1），B2（-1，-2），C2（-3，-3），∴，，，∴，由旋转得OA2=OA3，OB2=OB3，OC2=OC3，A2C2=A3C3，∠C2OC3=∠DOE=90°，∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），∴△OA2C2的面积=△OA3C3的面积，∴线段A2C2在旋转的过程中扫过的面积=扇形C2OC3的面积-扇形DOE的面积=.23．【答案】（1）解：将点A（-3，0）及点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，得解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）解：存在，理由如下：令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，∴C（0，3），OC=3，∵A（-3，0）、B（1，0），∴AB=4，∴，∴，作PE∥x轴交BC于点E，如图，设直线BC的解析式为y=kx+m，将点B（1，0）及点C（0，3）分别代入得，解得，∴BC的解析式为：y=-3x+3；设点P的坐标为P（t，-t2-2t+3），则点E的纵坐标为-t2-2t+3，代入直线BC可得，∴E（，-t2-2t+3），∴PE=-t=，∴，解得t1=-2，t2=3，∴点P（-2，3）或（3，-12）.24．【答案】（1）40（2）解：“合格”等级的人数为：40-12-14-4=10（人），补全条形统计图为：（3）90（4）解：该校不合格人数为：2200×=220（人）.25．【答案】（1）120（2）解：由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120 =240(km)，∴出租车距离甲地为480-240=240(km)，把y=240代入y=120x，得240=120x，解得x=2，∴货车装完货物时，x=2，B(2，120)，根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×（出租车的速度+货车的速度）=120，根据直线OC的解析式为y=120x，可得出租车的速度为120km/h，∴相遇时，货车的速度为120÷-120=60km/h，故可设直线BG的解析式为y=60x+b，将B(2，120)代入y=60x+b，可得120=120+b，解得b=0，∴直线BG的解析式为y=60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=60x；（3）h或h26．【答案】解：如图②，，理由如下：连接AH、CF、AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F、H分别是DE、BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，∴∠HAF=∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴，∴，∵点F、G分别是DE、DC的中点，∴CE=2FG，∴；如图③，FH=FG，理由如下：连接AH、CE、AF，∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，∴∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，∵点F、H分别是DE、BC的中点，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，∴∠HAF=∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴，∴CE=2FH，∵点F、G分别是DE、DC的中点，∴CE=2FG，∴FH=FG.27．【答案】（1）解：设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件(x+10)元，根据题意得，解得：x=40，经检验、x=40是所列方程的解，且符合题意；∴A款文化衫的单价为：40+10=50（元），答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，（2）解：设购买y件A款文化衫，则购买(300-y)件B款文化衫，根据题意得：解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）解：设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w=50×0.7y+(40-m)(300-y)=(m-5)y+300(40-m)，∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m-5=0，∴m=5；答：m的值为5.28．【答案】（1）解：解方程x2-4x-12=0，得x1=6，x2=-2，∴OC=6，∵四边形AOCB是菱形，∠AOC=60°，∴OA=OC=6，∠BOC=∠AOC=30°，∴CD=OC·tan30°=，∴点D（6，），过点A作AH⊥OC于点H，∵∠AOH=60°，∴OH=OA=3，AH=OA·sin60°=，∴A（3，），设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A、D的坐标分别代入得，解得，∴直线AD的解析式为：；（2）解：在Rt△COD中，∵CD=，∠DOC=30°，∴OD=2CD=，∴OE=OD，∴△EOD是等边三角形，∴∠OED=∠EDO=∠BDF=60°，ED=OD=，∴∠OFE=∠DOF=30°，∴OD=DF=；①当点N在DF上，即0≤t≤时，由题意得：DM=OD-OM=-t，DN=-2t，过点N作NP⊥OB于点P，则NP=DN×sin∠PDN=DN×sin60°=（-2t）×=6-，∴S；②当点N在DE上，即时，由题意，得DM=OD-OM=，DN=，过点N作NT⊥OB于点T，则NT=DN·sin∠NDT=DN·sin60°=，∴，综上，；（3）解：存在，分类讨论：①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于点K，∵∠NFC=30°，OE=，∴∠NCK=60°，OF=OE=12，∴CF=12-6=6，∴CN=CF=3，∴CK=CN×cos60°=3×=，NK=CN×sin60°=3×=，∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，∵，∴；②当AN是对角线时，则∠ACN=90°，过点N作NL⊥CF于点L，∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO=60°，∴∠NCF=180°-60°-90°=30°=∠NFC，∴CL=FL=CF=3，∴NL=CL·tan30°=，∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点N，∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，∵，∴；∴存在一点Q，使得以A、C、N、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为或.。
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2021年龙东地区中考数学学科考试说明2021年龙东地区初中毕业学业考试数学考试讲解一、指导思想数学学科的命题应以《义务教育数学课程标准》（2022年版）为依据，关注学生的学习情况，兼顾教材，有利于指导课程改革，加强对学科教学的准确指导。
考试应面向全体学生，注重过程，渗透思想，突出层次，强调应用，审视学生的知识水平，有利于培养学生的创新意识和实践水平。
要从数学学科的特点出发，坚持考查数学基础知识、基本技能、数学思想方法和思维水平的方向；从促动学生学会学习的角度，考查获取新知识、独立学习的水平；从培养学生实践水平的角度，考查应用数学的意识，分析和解决在相关学科、生产和生活中带有实际意义的数学问题的水平；从培养学生数学水平的角度，考查发现问题、提出问题、探索和研究问题的水平；从培养学生数学素质的角度，考查对数学本质属性的理解和掌握水准学科间的知识渗透，考查使用学科知识的水平和包括数学知识、技能、水平和个性品质等方面的数学素质．适当对学科内知识的综合使用水平的考查，以考查学生综合应用水平，培养学生的探究水平。
二、命题原则2022高考命题应体现：1、科学性。
要保证试卷内容的科学性，避免出现知识型、观点性、技术性等错误；试卷语言表述规范、准确、简洁、逻辑严谨。
答案与评分标准科学合理，便于操作。
2、基础性。
严格按照课程标准、学生和教学实际，考查课程标准所要求的基础知识和基本技能。
不超不偏。
3.全面性。
试题应反映课程标准的要求。
在全面检查学生的基本知识和基本技能的同时，还应检查学生的学习方法、问题分析和问题解决水平。
4、指导性。
准确发挥考试的导向作用，不出偏题、怪题、死记硬背的题；试题侧重学生对知识的理解，注重试题的综合性、开放性和教育性。
命题要有利于引导教师改进教学，引导学生学会学习。
5.适当性。
试题要符合教学和学生的实际，试题的难度比要适当，有利于不同学习水平的学生测试自己的水平；主题设置应该有梯度，有适当的起点和梯度。
3、命题依据2021年中考命题要依据2021版义务教育《数学课程标准》、“2021年龙东地区学科考《试着解释》结合了六个城市初中数学教材和学生的实际情况。
4、命题范围2 2在2021版义务教育《数学课程标准》的全部知识和技能中选择命题内容。
以人教版“六三”学制数学义务教育教材为准，以八、九年级教材为主。
五、考查内容与说明（一）考查内容从2022版《义务教育数学课程标准》中的所有知识和技能中选择命题内容。
根据我省的教学和教材使用情况，考试知识点如下：数和代数1．有理数：（1）理解有理数的意义；（2）会比较有理数大小；（3）借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（4）会求有理数的相反数；（5）会求有理数的绝对值；（6）掌握有理数的加、减、乘、除、乘方；（7）掌握简单的混合运算；（8）理解有理数的运算律；（9）能灵活处理较大数字的信息。
注：绝对值符号不包含字母；有理数的加、减、乘、除、幂和简单混合运算主要有三个步骤2．实数：（1）了解平（立）方根、算术平方根的概念；（2）会用根号表示数的平（立）方根；（3）了解最简二次根式的概念。
（4）会求平（立）方根；（5）了解无理数实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应；（6）能用有理数估计无理数的大致范围；（7）了解近似数；（8）了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则；（9）会实行实数的简单四则运算。
注：如果有实数，分母并不简单3．代数式：（1）理解代数式的意义及表示；（2）理解代数式的实际背景或几何意义；（3）会求代数式的值。
4.整数和分数：（1）理解整数指数幂的含义和基本性质；（2）能够用科学记数法表达数字；（3）理解整数的概念，能够实现简单的整数加减乘；（4）能够推导乘法公式并进行简单运算；（5）能够使用公因子法和公式法进行因子分解；（6）主分数和基本性质；（7）可以执行简单的分数加法、减法、乘法和除法。
注：简单的整式乘法运算中，多项式相乘仅指一次式相乘；乘法公式指：（a+b）（a-b）=a-b,（a+b）=a+2ab+b；因式分解（指数是正整数）时，直接用公式不超过二次.5．方程（组）：（1）会列方程解应用题；（2）用观察、画图或计算器等手段估计方程的解；（3）会解一元一次方程；（4）会解简单的二元一次方程组；（5）能解简单的三元一次方程组（6）会解可化为一元一次方程的分式方程；（7）掌握一元二次方程及其解法；（8）能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.（9）了解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（10）根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．注：解可化为一元线性方程的分数方程，方程中分数不超过两个；能够使用因式分解法、公式法和公式法求解简单的一元二次方程。
6．不等式（组）：（1）掌握不等式及基本性质；（2）会解简单的一元一次不等式并能在数轴上表示出解集；（3）会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集；（4）掌握一元一次不等式的实际使用。
7.功能：（1）了解具体问题的数量关系和变化规律；（2）理解常量和变量的含义（3）理解函数的概念和三种表示方法；（4）掌握函数自变量的取值范围，能计算函数值；（5）掌握基本功能和表达；（6）掌握主要功能的形象和性质；（7）理解正比例函数；（8）体验初等函数与二元初等方程和二元初等方程组之间的关系（9）能够用一阶函数解决实际问题；（10）掌握逆比例函数和表达式；（11）掌握反比例函数的图像和性质；（12）能用反比例函数解决一些实际问题；（13）掌握二次函数及其表达式；（14）掌握二次函数的图像和性质；（15）可以根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴；（16）知道三个非共线点的坐标可以确定一个二次函数（17）掌握二次函数的应用；（18）能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
注：确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，公式不要求记忆和推导。
空间与图形8．相交线与平行线：（1）理解点、线、面；（2）掌握角并会比较角的大小；（3）掌握角度的简单换算；（4）了解角平分线及性质；（5）了解补（余）角及性质、对顶角及性质；（6）了解垂线，垂线段及性质；（7）了解线段垂直平分线及性质；（8）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；（9）掌握平行线的性质；（10）掌握过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；（11）理解平行线间的距离。
9.三角形：（1）理解三角形的相关概念（内角、外角、角平分线、中线和高度）；（2）可以绘制任意三角形的角平分线、中心线和高度；（3）了解三角形的稳定性；（4）掌握中线和三角形的性质；（5）理解全等三角形的概念；（6）掌握三角形的同余条件；（7）了解等腰三角形的相关概念；（8）掌握等腰三角形的性质和三角形为等腰三角形的条件；（9）了解等边三角形及探索其性质；（10）了解直角三角形的概念；（11）掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件；（12）掌握勾股定理及逆定理。
10.四边形：（1）探索和理解多边形内角和外角之和的公式；（2）理解正多边形的概念；（3）掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的概念和性质；（4）掌握四边形是平行四边形、矩形、菱形和正方形的条件，了解四边形的不稳定性；（6）探索并理解线段、矩形、平行四边形和三角形的重心和物理意义；（7）了解平面图形的马赛克。
11．圆：（1）理解圆的相关概念；（2）了解弧、弦、圆心角的关系；（3）探索并了解点与圆、直线与圆；（4）了解圆周角与圆心角的关系；（5）了解直径所对圆周角的特征；（6）了解三角形的内心和外心；（7）了解切线的概念；（8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（9）会利用基本作图完成：作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形。
（10）探索并了解切线的性质和判定；（11）会计算弧长及扇形面积公式；（12）为适当增强推理，增加了下列定理的证明：,垂径定理,圆周角定理、切线长定理等。
12.直尺和量规图纸注：尺规作图在作法后不要求证明。
13.视图和投影：（1）能够绘制基本几何的三视图，判断简单物体的三视图，并根据三视图描述基本几何或物理原型；（2）了解直棱镜和圆锥的侧向膨胀；（4）了解中心投影和平行投影。
14．图形的轴对称：（1）理解轴对称及探索其基本性质；（2）能利用轴对称作图，并能指出对称轴；（3）探索基本图形的轴对称及其相关性质；（4）了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称实行图案设计。
15.图形的翻译：（1）理解翻译并探索其基本性质；（2）理解翻译映射；（3）使用翻译来实现图案设计。
16．图形的旋转：（1）理解旋转及探索其基本性质；（2）能作出简单平面图形旋转后图形；（3）探索图形之间的变换关系；（4）灵活使用轴对称、平移和旋转的组合实行图案设计。
17.图形相似性：（1）了解比例的基本性质、线段比率、比例线段和黄金分割；（2）探索相似图形的特性；（3）理解三角形相似性的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）掌握位置相似性及其应用；（5）利用图形相似性解决实际问题；（6）掌握锐角三角函数（Sina、cosa、Tana）；（7）了解30°、45。
和60°的三角函数值；（8）使用三角函数解决与直角三角形有关的简单实用问题。
（9）为了适当地加强推理，增加了以下定理的证明：相似三角形的判定定理和性质定理，但这些定理不需要证明其他命题。
18．图形与坐标：（1）理解并能画平面直角坐标系；（2）能在方格纸上建立直角坐标系；（3）掌握图形变换后点的坐标的变化；（4）灵活使用不同方式确定物体的位置．19.图形和证明：（1）理解证明的必要性；（2）理解定义、命题和定理的定义；（3）能够识别两个相互相反的命题；（4）理解反例的作用；（5）理解反证法的含义；（6）掌握综合论证的形式和依据；（7）掌握基本事实，能够用事实证明相关命题；统计与概率20.统计学：（1）收集、整理、描述和分析数据；（2）掌握人口、个体和样本；（3）能够使用行业统计图表显示数据；（4）将计算加权平均数；（5）会计范围和差异；（6）理解频率和频率的概念，理解频率分布的意义和作用，能够列出频率分布表，绘制频率分布直方图和频率折线图，能够解决简单的实际问题；（7）能够通过样本平均值和方差估计总体的平均值和方差；（8）理解并理解统计学的应用。
21．概率：（1）了解概率的意义；（2）使用列举法计算简单事件发生的概率；（3）理解并理解概率的应用．注：严格按照《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的规定，加强对圆和二次函数相关知识的考试，其难度等级不得超过教材中例题和习题的难度。