统计物理习题解答

1 第一章 习题 1. 一质点按tx sin的规律作简谐振动。试证明，如果测量质点位置的采样时间均匀分布，测得质点的位置在x到dxx的几率为

211)(xdxdxx



解：只考虑一个周期即可。将t 看作在0~2/ω内均匀分布的随机变量，则 





2t 20t

X的分布函数为 





xxxxtdttdttdttxtPxXPxFxaxDD1112sinsin0sin2

sinsin

sin11

21

于是 2'

111xxFx



2. 已知几率分布 xydxdydxdyyx,

其中yx,的变化范围是byax0 ,0。 (1) 求几率密度函数yx, (2) 求y为任意值，x在x到dxx的几率。 解：

(1) 由归一化条件 100abxydxdyA → 224baA

/ /2

x t x 2 则 其它00,04,22byaxxybayx (2) bXaxydybaxdyyxx022224, ax0 于是 dxaxdxxX22

3．已知几率分布 dxedxxx )(, x0

其中0，x的变化范围是0至。试求x的平均值x，方均根值2x，平均平方偏差2)(xx和相对涨落22)()(xxx。 解： (1)





101 1100000dtete

tdedttedxexdxxXEXttttx

(2) 2020

222dxexdxxxXx

则 22x (3) 222222112XEXEXXXD (4) 111222XXD 3

4. 一光子的能量与动量p有如关系cp，c为光速。若光子在容器V中自由运动，求能量在—d之间的量子态数。（对应每一个动量p有两个偏振方向，即两个不同的状态） 解：在zyxdPdPdxdydzdP内的量子态数为

zyxdPdPdxdydzdPhdn32 （考虑了光子两个偏振态，故乘2）

在zyxdPdPdP内的量子态数为

dPddPhVdPdPdPhVdnnzyxVsin22233

在P~P+dP内的量子态数为（02sind）dPPhVn238 再作变换ε = cP，则在d~内的量子态数： dchVn2338

5. 已知二维谐振子的能量为 )(222222yxkmppyx 证明态密度函数)(g与成正比。（提示：四维椭球的体积正比于四个半轴长的乘积） 证明：将谐振子能量方程写成

1/222222KyxmPPyx



这是四维相空间中的一个椭球。其中四个半轴长分别为 mba2，Kdc/2

在这椭球内的量子态数目为

2

2222

224/221 11KhmAKmAhhdPdxdydPhNVyx

四维椭球的体积 A是比例系数。 4

则 dKhmAdN28 即 28KhmAg 5 第二章 习题

一维线性谐振子的能谱为, ,2 ,1 ,0 ,)21(nhvnn 系统的温度足够低kThv (1) 求振子处于第一激发态与基态的几率之比。 (2) 如果振子只占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。 解：

(1) 已知：hleN21



hhheeeNNNNPP



21

2

3

2121

(2) hehNeNNNNPPhh23212111001100 注意： hhhheeeeNNN121232101 则： kThvkThvhvhveehhh当当2113121 kT1

2. 由波尔兹曼分布导出麦克斯韦速率分布律。 解：若能把粒子数N写成dvvfN0即可。在p106例2已求出： 

dvvehπVme dvvedθdθhVme dvdvdvehVmeNvkTmαπvkTmπαzyxvvvkTmαzyx0223300222033233222224sin

但 2

3

22222mπkTdvdvdvezyxvvvkTm

zyx

则： 6

2333 2

kTmNhVme



所以： 22223 24vkT

m

evkTπmπNvf

3. 由2的结果计算速率的平均值v。 解：把0dvvfN写成01dvNvf，可以看出Nvf刚好是分子“速度”取v的概率，于是由2题结果知： 

πmkT mkTπkTmπ dvevπkTmπ dvevπkTmπdvNvvfvvkTmvkTm82212424242230232302323022















4. 服从波尔兹曼分布的某理想气体粒子的能量与动量的关系为cP，c为光速，若共有N个粒子，试计算此气体的热容量VC。 解：

333333023020023331824 4sin 1chVchVdppehVdppeddhVdpdpdpehVdpdxeheZcpcpVzyxcpzlll 7

则： ln38lnln33chVZ NkTNZNU33ln

NkTUCv3

5. 被吸附在表面的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作是二维的理想气体，试计算其摩尔热容量，设表面大小不变。 解：设二维分子可活动的范围面积为S，一个分子的能量为

22

2

212yxppmmp

，则：









mhSpdpehSpdpedhSdpdpehSdpdxdydpehZpmpmSyxppmyxyx2 2 12002222022222222









所以 NkTNZNUln 则： NkTUCv

6. 在体积为V的容器中，有N个相互独立的能量与动量的关系为cp的粒子，试证明其压强P与体积内能U之间存在如下关系

VUP31

证明：利用4题结果：NkTU3 而： 3338lnlnlnchVZ

则： VUNkTVVNVZNP33311ln 证毕。 8

7. 设处在重力场中的N个单原子分子理想气体，气柱高度为H，截面积为S，试求气柱的内能和定热容量。 解：由P105例1已算出配分函数为：

233211MemgnS

ZmgH

AeAeZmgHmgH1lnln25ln231lnlnln

其中A与 无关。于是可算出

mgHmgHemgHeZ1125ln

mgHmgHeeNmgHNkTZNU125ln

利用11lim0xxxexe知：







时时HNkTHNkTu250

2

3







当H当HNkNk eekTmgHNkNkeTNmgHNkTUCkTmgHkTmgHkTmgHvv0

252

3

125112522

8. 经典转子的能量为 222sin2121pIpIr

其中pp , ,20 ,0，试计算配分函数和N个转子系统的热容量。