(6,3)线性分组码编码分析与实现

吉林建筑大学

电气与电子信息工程学院

信息理论与编码课程设计报告

设计题目：线性分组码编码的分析与实现专业班级：电子信息工程

学生姓名：

学号：

指导教师：

设计时间：2014.11.24－2014.12.5

第1章 概述

1.1 设计的作用、目的

《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程,课程设计是其实践性教学环节之一，同时也是对课堂所学理论知识的巩固和补充。其主要目的是加深对理论知识的理解，掌握查阅有关资料的技能，提高实践技能，培养独立分析问题、解决问题及实际应用的能力。

通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想和目的，掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力，培养和提高自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力，逐步熟悉开展科学实践的程序和方法。

1.2 设计任务及要求

设计一个（6, 3）线性分组码的编译码程序：完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性。

1．理解信道编码的理论基础，掌握信道编码的基本方法； 2．掌握生成矩阵和一致校验矩阵的作用和求解方法；

3．针对线性分组码分析其纠错能力，并能够对线性分组码进行译码； 4．能够使用MATLAB 或其他语言进行编程，实现编码及纠错，编写的函数要有通用性。

1.3设计内容

已知一个（6,3）线性分组码的Q 矩阵：设码字为(c 5, c 4, c 3, c 2, c 1, c 0)

111

011

1

0Q ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

求出标准生成矩阵和标准校验矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。

当接收码字R 分别为(000000), (000001), (000010), (000100), (001000), (010000), (100000), (100100)时，写出其伴随式S ，以表格形式写出伴随式与错误图样E 的对应关系。纠错并正确译码，当有两位错码时，假定c 5位和c 2位发生错误。

第2章 写所设计题目

2.1设计原理

1. 线性分组码的标准生成矩阵和标准校验矩阵

（1）（n ，k ）线性分组码的性质

1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。

2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

对于长度为n 的二进制线性分组码，它有种2n 可能的码组，从2n 种码组中，可以选择M=2k 个码组（k

对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为r ＝n －k 位的分组码，常记作（n ，k ）码，如果满足2r －1≥n ，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。

（2）生成矩阵和校验矩阵

线性分组码码空间C 是由k 个线性无关的基底1-k g ，…1g 0g ，张成的k 维n 重子空间，码空间的所有元素都可以写成k 个基底的线性组合，即

=C 001111g m g m g m k k +++--

这种线性组合特性正是线性分组码。为了深化对线性分组码的理论分析，可将其与线性空间联系起来。由于每个码字都是一个二进制的n 重，及二进制n 维线性空间Vn 中的一个矢量，因此码字又称为码矢。

用i g 表示第i 个基底并写成n ⨯1矩阵形式[]

01)2()1(,,,,i i n i n i i g g g g g --=再将k 个基底排列成k 行n 列的G 矩阵，得：

=G []T

k g g g 011,,,⋯-=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------0001

)

1(01011)1(10)1(1)1()

1)(1(g g g g g g g g g n n k k n k

k 个基底即G 的k 个行矢量线性无关，

矩阵G 的秩一定等于k ，当信息元确定后，码字仅由G 矩阵决定，因此称这n k ⨯矩阵G 为该()k n ⨯线性分组码的生成矩阵。

基底不是唯一的，生成矩阵也就不是唯一的。事实上，将k 个基底线性组合后产生另一组k 个矢量，只要满足线性无关的条件，依然可以作为基底张成一个码空间。不同的基地有可能生成同一个码集，但因编码涉及码集和映射两个因素，码集一样而映射方法不同也不能说是同样的码。

基底的线性组合等效于生成矩阵G 的行运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”：

[]⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡==---------0001

)1(01011)1(10)1(1)1()

1)(1(1000

010

001

p p p p p p p p p P I G k n k n k k k n k k 这里P 是()k n k ⨯-矩阵；k I 是k k ⨯单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是K 。

与任何一个()k n ,分组线性码的码空间C 相对应，一定存在一个对偶空间D 。事实上，码空间基底数k 只是n 维n 重空间全部n 个基底的一部分，若能找出另外k n -个基底，也就找到了对偶空间D 。既然用k 个基底能产生一个()k n ,分组线性码，那么也就能用k n -个基底产生包含k

n -2

个码字的()k n n -,分组线性码，

称()k n n -,码是()k n ,码的对偶码。将D 空间的k n -个基底排列起来可构成一个

()n k n ⨯-矩阵，将这个矩阵称为码空间C 的校验矩阵H ，而它正是()k n n -,对偶

码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。C 和D 的对偶是互相的，G 是

C 的生成矩阵又是

D 的校验矩阵，而H 是D 的生成矩阵，又是C 的校验矩阵。由于C 的基底和D 的基底正交，空间C 和空间D 也正交，它们互为零空间。因此，()k n ,线性码的任意码字c 一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵H 的任意一个行矢量，即0=T cH 。由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有0=T GH 。对于生成矩阵符合“系统形式”G 的系统码，其校验矩阵也是规则的，必为：

[]

k n T I P H --=

上式中的负号在二进制码情况下可以省略，因为模2减法和模2加法是等同的。