战略分解的系统方法

战略分解的系统方法
战略分解的系统方法

我们都知道,企业的所有行为都应该是围绕企业的目标和战略进行,但恰恰国内企业最大的问题就是公司没有明确的能够落实的战略沟通,即使是中高层领导自己也不知道怎么干,没法对下面的人说清楚,

总监说不清,经理也说不清,最后是真正执行的最底层不会干,有苦说不出。

管理者在与员工沟通目标上花的时间越少,员工未来在冤枉路上花的时间就越多。员工得不到明确的指令,再加上信息沟通不畅,使员工们很茫然,只好靠惯性和自己的理解去做事。这就使员工的工作重点和公司脱节,公司的重要工作不能执行或完成。

如果管理者只是让员工低头拉车,却不让员工抬头看路,那么很可能做了半天,都做不到点上。

明确目标,就是让员工真正明白做到什么程度这个事情算是做成了,哪些方面应该做,哪些方面不用做。只有想透了目标,才能防止你多做无用功。

一般情况下,老板和高管的想法不是普通员工能够理解透的,很多都是一知半解,甚至根本不明白,稀里糊涂地按照自己的想象去做。

所以必须经过“翻译”才能成为普通员工可以理解、可以操作的战术,而这个“翻译”的工作就是战略沟通。

执行力来自员工发自内心的认同,知道为什么而战,知道做好了对自己有什么好处和利益,这样才能把老板和高管的好想法落地、落实。

才能在大的公司战略布局下做好自己的本职工作而不至于偏离了工作重心,背离了公司的发展战略。

所以说,没有真正意义上的战略沟通,必然没有执行力。但多数国内企业在战略沟通方面却做的并不如人意。一个原因是国内企业的老板认为企业没有高大上的宏大蓝图,没有战略,所以没有办法给员工讲。

其实这是个误解,战略不一定非常高大上,不一定是基于远大愿景或宏大目标的伟大蓝图,当前阶段企业要解决的发展障碍,今年要完成的销售额,今年公司的各个管理模块要优化的方向,都可以称之为公司战略。

第二个原因是,国内的企业老板思维里对公司发展目标,要解决的问题等,有一个大致的思考和考量,但却不知道如何整理思绪,如何将自己思维里的想法具体化。

自己都没有梳理好,自然就不知道怎么沟通。因此很多战略都是“只可意会,不可言传”。第三个原因,就是战略沟通的复杂性本身造成的沟通障碍。

战略一般涉及到企业的各个方面,而且背后是有对企业的观察和深刻理解所支撑,同时还需要一定的管理知识做基础,但员工和老板或者公司高层在这方面天然具有差距,大家知识储备不同,掌握的信息不同,这都造成战略沟通的实际效果不尽人意。

所以,我们需要找到一个工具,让企业老板理清思路,明确战略方向;并能更好的和公司高层一起讨论战略;同时,让企业内部对战略和公司当前发展目标的沟通,变得容易,并且更加有效。这个工具就是战略地图。

什么是战略地图

战略地图由罗伯特?卡普兰( Robert S. Kaplan )和戴维?诺顿(David P. Norton) 提出。

他们是平衡记分卡的创始人,在对实行平衡计分卡的企业进行长期的指导和研究的过程中,两位大师发现,企业由于无法全面地描述战略,管理者之间及管理者与员工之间无法沟通,对战略无法达成共识,严重地影响战略的实施和完成。

因此创造了战略地图这一描述和表达战略的工具。

战略地图是企业战略及其实现的可视化表达,是描述战略的一种沟通工具。通过战略地图,组织中的所有成员可以用一个通用的语言来沟通战略。

同时运用战略地图,可以梳理出一套相互关联的目标,最终达成公司的战略。认识战略地图把冗长的、毕业论文式的、不适宜的战略规划文件,简单化、集成化和有效化,“一张图胜似千言万语”。

战略地图是“一图一卡一表”战略管理工具的重要组成部分战略的成功执行需要三个要素:突破性成果=描述战略+衡量战略+管理战略。

三个要素的理念是简单的:如果不能描述,那么你就不能衡量;如果不能衡量,那么你就不能管理;如果不能管理,自然无法完成目标。

针对第一个要素一一如何描述战略,将会使用今天讲到的战略地图。

至于第二个要素,会用到我们本章节第二课讲的平衡计分卡。为了进一步推动企业战略规划的落实,战略管理部门组织相关部门根据战略地图,确定战略主题、并分解战略目标、明晰关键驱动因素和指标,确保公司各部门、各岗位清晰地知晓公司的战略定位和战略目标,这个时候就用到“平衡计分卡”。

仅仅有平衡计分卡还不够,继续通过行动计划和KPI 等其他绩效考核工具,驱动个人行为紧紧围绕平衡计分卡中的目标和指标,由此推动公司战略真正得以实施,这个就是我们说的“战略行动计划表”。

至于第三个要素,战略中心型组织,是指构建一个围绕战略的,服务于战略目标的组织体系。这个我们会在后面的组织管理课程中详细讲。

基于上面的介绍,抛开第三个要素,单独的谈企业如何在内部沟通战略,分解和跟踪战略,上面的公式就可以被重写为:

突破性成果=战略地图+平衡计分卡+战略中心型组织。

因此,战略地图结合平衡计分卡等其他工具,共同构成了一个完整的战略沟通、分解、跟踪的管理工具,并形成了一套系统文件:战略地图+平衡计分卡+战略行动计划表。也就是我们所说的一图+一表+一卡。

换句话说,战略地图是平衡计分卡的本源,平衡计分卡是战略地图的反映,平衡计分卡将战略地图上之战略目标转化为一套全方位的绩效量度指标和战略行动计划方案,从而作为后续KPI 等日常绩效考核工

具的指标来源和考核内容来源。

基于这套战略管理体系,企业完整的战略管理工作,要经过几个步骤。第一步:绘制组织战略地图,并在组织内部进行战略沟通。

第二步:开发与组织战略地图配套的组织平衡计分卡。

第三步:制作基于平衡计分卡的组织绩效考核量表。

第四步:使用KPI 等合适的考核工具,开发组织内个人绩效考核表。第五步:开发组织其他层次的战略地图、平衡计分卡和绩效考核表;确保组织战略目标分解到个人。所以,战略地图是企业战略沟通、分解,并最终转化为团队和个人日常考核指标的一整套工具中的重要构成部分。

为什么企业要使用战略地图

战略地图是一种有效的战略沟通工具

美国的管理大师罗伯特?卡普兰和大卫诺顿创造性地提出,“你不能描述和衡量,就不能管理”。因此,企业要真正将战略落地,推动战略实施,必须建立“描述战略,衡量战略,管理战略”的严密逻辑体系。

实施战略的关键,是让组织中的人了解它,在明确战略目标的情况下,制定出目标实现所需的具体行动方案,并依据该行动方案的优先顺序作为资源分配的基础。

这样才能有效利用企业的有限资源达到最大化战略成果。图文结合的战略地图,本质是一种信息可视化工具。它让复杂的企业战略以一种简单直观的方式展现在所有员工面前,并使得组织内部用一致性的语言在沟通,而不是自说自话,互相不能理解。

使得战略一目了然,最终让大家对公司的战略发展有统一的认知,并在组织内部起到统一思想,理清战略的效果。

企业通过战略地图将企业关键关系可视化,用图形的方式分晰/ 创造预期产出结果的/ 因果联系,对企业战略要素及其之间因果关系进行了有效的表达。

让公司的各个部门之间的作用等有机联系在一起,帮助企业部门和各业务单元之间,明确协作关系,加深对内部协作的重视和认同。

包括组织如何将人员积极性和资源以及无形资产,转变成有形产出,让员工明了其工作和组织整个目标间的联系,使员工在追求组织目标下的协同工作成为可能。

战略地图就是用来诠释战略的,战略地图更给了我们一个关于战略制定和执行层面的完整清单,使得重大方面不容易遗漏。战略地图一旦绘制完成,即可相应形成平衡计分卡,进而形成行动计划,促进战略落地。战略地图是一种解决老板与员工思维和沟通方式差异的有效方式老板的思维和员工的思维经常不在一个频道上,老板看到的是趋势,想的是未来,而员工经常看到自己的本职工作,想的是现实。

这两种思维经常没有交叉点,即便有,也很模糊。所以有管理专家说,战略失败了,不是战略制定的不好,而是战略执行出

了问题。所谓战略执行出了问题,首先在源头上就出现了偏差,就是老板和员工的沟通出了问题,老板没有有效地把自己的思想传达给员工,导致战略是战略,执行是执行。

员工做的事情和老板的战略没有关系,这样的做法,怎么可能帮助老板实现战略目标?所以,还是沟通的问题。那么,老板该怎么和员工沟通呢?战略地图这个工具可以帮助老板实现这一点。通过战略地图的图解,可以很好地帮助老板分析实现盈利的路径,把老板的想法清晰地表达出来,当一个模糊的想法,被清晰地表达出来以后,员工也就更容易理解老板的想法了。

这时候,模糊的战略方案描述就形成了可以理解的语言,员工理解和接受起来就更加容易了。诚如打赢一场战略需要指挥官掌握“阅读和绘制作战地图”这样的知识和能力,对于一名出于激烈商战中的企业管理者来讲,也需要学会“阅读和绘制企业战略地图”。

战略地图明确了公司战略实现的关键路径,从而帮助企业有效的进行资源调配因为任何一家企业,其资源都是有限的,没有任何一家企业可以面面俱到,只能将有限的资源和精力聚焦到某个领域中。

但是,要清晰的描绘出从战略目标到企业的经营管理重心之间的逻辑关系,是一件很困难的事情,直到战略地图的出现,才解决了这个棘手的问题。

无数的方法被用于制定战略的实践中。但是, 不管用什么方法,战略地图提供了一个描述战略的统一方法以使目标和指标可以被建立和管理。

战略地图也为战略制定和战略执行之间的鸿沟搭起了一座桥梁。

战略地图的分类虽然战略地图一般在公司层面使用,但其实把它当作一个管理和思维工具,亦可用于事业部或者部门层面。换句话说,对于多业务的集团型企业,不同独立的事业部、子公司、子业务可以使用各自独立的战略地图。

同样,对于职能部门,也可以将公司公司要求某一个具体部门承担的战略任务,通过战略地图分解明确,方便在部门内部传达和执行战略。

当然,如果一个企业每个层次都有各自的战略地图,不同层级的战略地图之间关注点肯定会有所轻重,不同层级关于的宏观和微观颗粒度有错侧重,比如:

?集团战略地图重点关注:集团未来需要做什么样的业务,以何种方式进入何种产业?集团总部如何处理旗下多元化的业务单元关系并创造协同效应??业务单元战略地图重点关注:

如何在集团战略的指导下,在业务单元落实集团的战略意图。比如许多多业务线公司,会使用战略地图,来表达某一个独立品牌的规划,这个时候我们称为品牌的战略地图。

?职能战略地图重点关注:

如何在各职能的操作上支持上述两个层面的战略。

战略地图的制作

战略地图的最大误解战略地图有什么构成,怎么制作战略地图呢?为了讲清这个问题,我先要解决一个国内管理学界,对战略地图的最大误解。

战略地图由罗伯特卡普兰(Robert S. Kaplan )和戴维?诺顿(David P Norton)提出。他们先是创造了平衡记分卡,在对实行平衡计分卡的企业进行长期的指导和研究的过程中,发现企业由于无法全面地描述战略,管理者之间及管理者与员工之间无法沟通,对战略无法达成共识,也就严重影响了通过平衡计分卡对战略进行分解和管理,为了解决这个问题,从而创造了战略地图。

换句话说,战略地图在前,平衡计分卡在后;战略地图是根,组织成员根据战略地图来理解战略,并分解成平衡计分卡。

但可悲的是国内主流教材中最常见的一句话是“战略地图是由平衡计分卡发展而来”,这句话一解读,就容易被理解成;战略地图服务于平衡计分卡。

这种巨大的错误,毒害了国内管理学教育很多年,造成国内企业管理界在使用战略地图时,陷入了彷徨和迷茫之中,给企业和管理者造成巨大浪费。

而更大的错误在于,主流教材偏偏又理解错误了平衡计分卡。几乎所有主流教材,都告诉读者:“平衡计分卡是从财务、客户、内部运营、学习与成长四个角度,将组织的战略落实为可操作的衡量指标和目标值的一种新型绩效管理体系。”?

上述两个错误叠加后,就变成了管理学界最大的误导:“战略地图是以平衡计分卡的四个层面目标(财务层面、客户层面、

内部层面、学习与增长层面)为核心,通过分析这四个层面目标的相互关系而绘制的企业战略因果关系图。

战略地图的核心内容包括:企业通过运用人力资本、信息资本和组织资本等无形资产(学习与成长),才能创新和建立战略优势和效率(内部流程),进而使公司把特定价值带给市场(客户),从而实现股东价值(财务)。” 这个错误继续延续,又产生了怎么制作战略地图的错误,这个错误一般是这样的:第一步,确定股东价值差距(财务层面)。

第二步,调整客户价值主张(客户层面),要弥补股东价值差距,要实现四亿元销售额的增长,对现有的客户进行分析,调整你的客户价值主张。

第三步,确定价值提升时间表。第四步,确定战略主题(内部流程层面)第五步,提升战略准备度(学习和成长层面)第六步,形成行动方案。根据前面确定的战略地图以及相对应的不同目标、指标和目标值,再来制定一系列的行动方案,配备资源,形成预算。

这几个步骤说的好像有道理,但问题是企业的战略怎么可能是标准化的,千篇一律的。事实上,平衡计分卡的四个层面,只是两位创造者提出的一个标准的通用的模板,并不是所有企业的战略都是这样的。

战略地图不是只有固定的四个方面战略地图在实际运用中,也不是固定的四个层次,而是可以更多层次,也没有固定的样式,因为不是所有的战略维度之间都是主次关系,也有平行关系。目前我们常见的只是一种标准版本而已。比如一家企业,它的战略维度就分为:财务、供应链、内部流程、产品研发、合作伙伴体系、学习与培训体系六个维度和层次。

再以三星为例,2003 年,中国区战略地图最上端的是客户纬度,而非财务纬度。

财务纬度在最下端。因此,战略地图的四个纬度、四个平衡,是一个伪命题。同样的,中国海尔的互联网相关的业务,最上端的也不是财务,而是用户,是以用户为核心的战略。本课程的随课附件里有国内一些知名企业的老板的手绘的战略地图,从中大家就能发现,战略地图的核心价值是将复杂的战略,用图形可视化的方式表达出来,这是检验战略地图正确与否的唯一标准。战略地图的制作方法纠正了对战略地图的错误理解,我们现在来看看怎么制作一份符合企业战略的战略地图。

企业的战略,无论复杂与否,我们都可以将战略逐级分成:一级要素(维度)、二级要素(战略主题)、三级要素(战略目标)、四级要素(衡量指标)…… 上述的要素中,前两级就是我们需要在战略地图中体现的,后面两级我们会放在平衡计分卡中分解。第一步,根据既定的企业战略,明确企业战略关注的各个维度,作为战略地图的第一级。第二步,画出各个维度,并体现不同维度之间的关系。通常来说,战略的各个维度之间存在着主次(先后)、平行、时间线递进等关系。我们需要通过各个维度上下图形、矩阵图形、一个维度在中心其他维度环绕的环形图形、从当前少量几个维度到未来时间的多个维度的扇形图形,来表达出战略维度之间的不同关系。

第三步,将实现各个维度的策略,也称为战略主题,标注在各个维度上。也可以添加一些注释等说明。第四步,用双箭头或者单箭头,标注不同战略维度,或者不同战略主题之间的相互支撑关系或因果关系。第五步,用不同颜色涂抹不同战略维度或者战略主题。到此,我们就完成了一幅清晰明了的战略地图的制作。

大家在制作战略地图时,一定不要拘泥与形式,而是要遵守图形要准确的表达战略维度和要素之间的关系就可以了。

制作工具:制作地图没有固定的工具,常见的有几种:

1、手绘。

在白纸上手绘战略地图的最大好处是方便、快速。一般特别适合在战略梳理阶段,用于团队之间理清思路,讨论战略,当然也适合老板们用手绘的方式轻松的表达战略。

2、excel 表格。

Excel 也是常见的制作战略地图的工具,尤其是作为企业内部战略地图模块,供不同部门和不同业务系统之间使用。大家可以在本课程附件里下载excel 战略地图模板。

3、Photoshop 等专业的作图软件。

这类工具门槛较高,需要专业人士。一般用于将基于手绘的最终版的战略地图,制作成精美的战略地图。4、除了上述工具,还可以用Visio 等其他工具。

其他信息:战略地图除了核心的内容之外,一般还会标注一些基本信息,常见的内容包括

1、战略地图名称,如:XX公司2017年战略地图。

2、对公司整体战略和目标的描述。通常是把公司总体战略的概念和战略目标的指标表达出来,比如一家啤酒公司的总体战略是:通过有效整合行业内的资源,成为啤酒行业的领导企业。

规划目标是:到2015 年公司营业收入达到2000 亿,净资产收益率达到30%,净利润达到20%,市场份额达到25%。

3、战略地图制作日期、保密级别等信息。

4、企业愿景、使命、核心价值观等信息。以上就是关于战略地图这一战略沟通工具的全部课程,希望各位学员可以有所收获。配套学习:

本节课讲的战略地图是一个实践性很强的战略沟通工具。工具本身的学习,其实并不复杂,不需要花费太多时间,但战略解读,目标分解本身才是考验管理者能力的根本。因此,各位学员:

1、本课程的随课资料中,有丰富的不同企业的战略地图实践案例和方案,学员可以下载后认真研习。通过广泛的阅读和学习这些实例,不仅仅能更深刻理解战略地图的应用方法,还可以学习到这些案例中的知名企业,他们的战略思维和眼界,提升管理视野和战略思维。

2、基于对本课程的学习,以及随课资料的研读,参加线下研习社,与众多具有企业创始人、高级管理者、业务精英、HR精英等工作背景的学员一起深度探索,并在导师的辅导下,完成一份完整的战略地图的制作,进一步透彻的掌握战略地图。

特别提醒:管理是一个实践性很强的学科,任何管理工具都是服务于管理实践的,而不是管理服务于工具。任何工具的真正价值和实践方法,应该掌握在使用者手中,能解决问题的用法才是正确的用法。以战略地图为例,僵化的将所有企业都框进财务、客户、内部、学习与发展四个维度里,是一种非常匪夷所思的行为。

战略地图的两位创造者也明确过一个思想:战略地图和平衡计分卡需要实践中不断由应用者自身发扬光大。

我们教研组在调研时,其实发现很多企业的高管对国内一些培训机构和管理书籍中的这种论述,是有所质疑的,但毕竟因为不确定,从而产生巨大的困扰。

明白了这点,也就明白了:战略地图和平衡计分卡是否适合国内企业,本身就是一个伪命题。用法错误了,当然不适合了。知识,不懂不要紧,但是我们要勇于学习,不断完善。

初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

初中阶段因式分解的常用方法(例题详解) 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式; 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式; 3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止; 4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式; 5.结果如有相同因式,应写成幂的形式; 6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解; 7.因式分解的一般步骤是: (1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解; (2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法. 因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式,m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式. 二、运用公式法. 运用公式法,即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果. 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:am+an+bm+bn 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑 两组之间的联系。 解:原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式! =(m+n)(a+b) 思考:此题还可以怎样分组? 此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式:2ax-10ay+5by-bx 解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组; 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解:原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习:分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1

因式分解16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又 有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如:—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握: ①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时,多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤: (1)找出公因式; (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母; ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式; ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意:把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:a2「b2 =(a+b)(a-b);完全平方公式:a2± 2ab+ b2= a-b2 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的

初中因式分解详解及提高篇

初中因式分解详解及提高篇 因式分解作为初中代数中一门重要的内容,在因式分解之前的整式运算是因式分解的反方向,而一元二次方程则是以因式分解作为基础,因式分解起到了承上启下的作用,而且因式分解学习的好坏不仅影响到对方程的了解,同时对今后高中学习内容也会有或多或少的影响,学好因式分解十分重要。 对于目前初中教材上老师所讲的因式分解内容只能处理一些基本的问题,对于有更深层次内容的东西则是比较难以处理,为了弥补这些缺陷,让大家更好地打牢初中的学习内容,在此我将所有的因式分解方法全部列举出来并进行详细叙述,从而让各位同学能够真正地了解因式分解。由于有些方法对于初中有一定的难度,对于不同的学生,我会对每一个方法进行说明。 1.提公因式法(所有学生必须掌握) 典型形式:()ma mb mc m a b c ++=++ 注意上面的m 是一个数也可以是一个整式,再比如 ()()()()()x y a x y b x y c x y a b c -+-+-=-++ 2.平方差(所有学生必须掌握) 典型形式:22()()a b a b a b -=-+ 同样上面的a b 、既可以是数也可以是一个整式 3.配方法(所有学生必须掌握) 对于因式分解的配方法主要是搭配平方差进行应用,比如下面的两个例子 22268(+69)1(3)1(2)(4)x x x x x x x ++=+-=+-=++ 祖冲之杯奥赛题:4271x x -+(这个问题在下面的试根法中叙述会更好,所以在这里不给出具体做法) 4.十字相乘法(所有学生必须掌握) 十字相乘法是初中数学中因式分解的难点和重点,在此首先说明2x 前系数为1的处理方法,我们先观察整式运算2()()()x a x b x a b x ab ++=+++ 通过上面的式子可以看出x 的一次项是a b +,纯数的那一项是ab ,所以可以进行猜测试a b 、的值,一般是根据ab 项进行推测,要是用a b +推测会很麻烦。

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 ); (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 ). 下面再补充两个常用的公式: (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222 a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的方法与技巧

因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序,要树立优先提多项式公因式的意识 例1.分解因式:21222 x y xy y -+ 解: 二、换元意识 通过换元,可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2.分解因式:2 5()7()6x y x y ---- 解: 三、完整意识 依分解因式的步骤,因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3.分解因式:22222()4+-a b a b 解: 四、应用意识 例4.生产一批高为200 mm 的圆柱形容器,底面半径的合格尺寸为(501±)mm ,任取两个这样的产品,它们的容积最多相差多少(π取3.14)? 解: 因式分解中的数学思想 众所周知,数学思想是我们数学解题的灵魂,因式分解也不例外,在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想,如果能灵活的加以运用,往往能更好地解决因式分解问题,下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明: 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2-1)2+6(1-x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2-1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式达到 分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛,具体地表现在:一是因式分解与整式乘法的对比;二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式:(1)x 3y -xy 3;(2)abx 2-2abxy +aby 2. 分析(1)对比平方差公式可先提取xy 后,(2)对比完全平方公式可先提取ab ,.

初一数学因式分解的常用方法(最新整理)

因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多 数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b); (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2); (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2).下面再补充两个常用的公式:  (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;  (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca); 例.已知是的三边,且, 则的形状是( )a b c ,,ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解:2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式! )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解:原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习:分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy

因式分解 复习 专题 讲义 知识点 典型例题

因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念: 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为 将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。 2.常用的因式分解方法: (1)提公因式法:把ma mb mc ++,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是 各项的公因式m ,另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商,像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成:系数:各项系数的最大公约数; 字母:各项都含有的相同字母; 指数:相同字母的最低次幂。 (2)公式法: ①常用公式 平方差:)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方:2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律: 22()()n n a b b a -=-;2121()()n n a b b a ---=--.(n 为正整数) (3)十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中,如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积,并且b a +等于一次项系数中p ,那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中,如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积,把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积,并且1221c a c a +等于一次项系 数b ,那么它就可以分解成: ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 (4)分组分解法 ①定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22 a b a b -+-没有公因式, 又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多 项式正确分解即可。

因式分解公式大全

公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法,应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法. 常用的因式分解公式:

例1 分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3. 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式,那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式,应用待定系数法即可求出m和n,使问题得到解决. 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比较两边对应项的系数,则有 解之得m=3,n=1.所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1). 说明本题也可用双十字相乘法,请同学们自己解一下.例2 分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7. 分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法,若原式有有理根,则只可能是±1,±7(7的约数),经检验,它们都不是原式的根,所以,在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式. 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd, 所以有 由bd=7,先考虑b=1,d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).

初中常用因式分解公式

初中常用因式分解公式 2013.6.6 一.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二.因式分解方法: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式,那么就可以把这个相 同因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解:x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解:a2 +4ab+4b =(a+2b)(a+2b)完全平方公式 最常用的公式: (1)(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b); (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2; (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式! 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析: 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解:7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法,然后就能将其因式分解。

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)

因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学 之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 用方法 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b); (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ; (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 ); (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 ). 下面再补充两个常用的公式: (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ; (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca); 例.已知a b c ,,是ABC ?的三边,且222 a b c ab bc ca ++=++, 则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解:2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。 解:原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式!

因式分解专题复习讲义

因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3-4a)(3+4a)+(3+4a)2 (2)(x+3)2+(2+x)(2-x)(3)204×196 (4)9982 (5)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值

3.指出下列各多项式的公因式: (1)8a3b2+12ab3c (2)8m2n+2mn (3)-6abc+3ab2-9a2b 4.下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解? (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)6ax-3ax2=3ax(2-x); (3)a2-4=(a+2)(a-2); (4)x2-3x+2=x(x-3)+2. 【知识精讲】 因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做这个多项式因式分解(或分解因式)。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即它们互为逆运算。

(一)提公因式法 1、公因式 多项式ma +mb +mc 中,各项都有一个公共的因式m ,称为该多项式的公因式。一般地,一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m (a +b +c )=ma +mb +mc ,得到ma +mb +mc +=m(a +b +c),其中,一个因式是公因式m ,另一个因式(a +b +c )是ma +mb +mc 除以m 所得的商,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 (二)公式法 1.平方差公式 a 2- b 2 =(a +b )(a -b ) 两数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=(a ±b )2 两数的平方和加上(或减去)这两数的积的 2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. (三)十字相乘法(1)首项系数是1的二次三项式的因式分解,我们学习了多项式的乘法,即将上式反过来,得到了因式分解的一种方法——十字相乘法, 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2

几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法 1. 提取公因式法 2. 分组分解法 3. 应用公式法,常用的公式有: (1)222)(2b a b ab a ±=+± (2)))((22b a b a b a -+=- (3)))((2233b ab a b a b a +±=± (4)33223)(33b a b ab b a a ±=±+± (5)2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ (6)))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式(5)证明如下: ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式(6)证明如下: abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下,当c b a ++=0时,就有abc c b a 3333-++=0,

于是, (7)abc c b a 3333=++ 这就是说,如果三个整式的和为零,那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍. 4.十字相乘法 (1)有二次三项式q px x ++2,如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积,并使a +b =p ,则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ (2)有二次三项式c bx ax ++2,如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2,常数项c 分解成两个因数b 1和b 2,并且使b b a b a =+2211,则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= (3)二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解. 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出,a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的,这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解,再把f 分解成因数c 1和c 2.如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积.这种分解方法可视为双十字相乘法. 对一个较复杂的多项式进行因式分解时,经常要综合运用以上方法,有时需要拆项和增减项,但在拆项和增减项时,要注意和原来的多项式保持相等.

讲义一:《因式分解》专题辅导讲义

因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解,从方法上说,一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握,但要灵活机动地运用它们,还需要认真思考。请看下面几道例题。 例题精选1:把4224b a b a -因式分解。 解法1:)b a )(b a (b a )b a (b a b a b a 2222224224-+=-=- 解法2:)b a )(b a (b a )b a (ab )b a (ab )ab b a )(ab b a (b a b a 2222224224-+=-+=-+=- 评注:解法1先用提公因式法,再用公式法;解法2先用公式法,再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果,但是解法1更简单。通常情况下,先考虑提公因式可以使解法简化。 有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法,这时就需要先把多项式适当整理变形,然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选2: 把c b b ab 2a c a 2222-+++因式分解。 解:222222222)b a ()b a )(b a (c )b ab 2a ()c b c a (c b b ab 2a c a ++-+=+++-=-+++ )b a bc ac )(b a ()]b a ()b a (c )[b a (++-+=++-+= 评注:这样先将多项式的各项进行分组,然后再分解因式的方法叫做分组分解法。 例题精选3: 把44b 4a +因式分解。 解:222222422444)ab 2()b 2a (b a 4)b 4b a 4a (b 4a -+=-++=+ )b 2ab 2a )(b 2ab 2a (2222+-++=。 评注:多项式44b 4a +中只有两项,既不能提公因式,也不能直接用公式。但由于这两项再加上22b a 4就是222)b 2a (+,所以先对44b 4a +加、减22b a 4,再适当分组,然后使用公式法,最终就能因式分解。上面的解法中,把44b 4a +变形为224224b a 4)b 4b a 4a (-++,形式上是由简单变复杂了,但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度,对于单纯的因式分解题目,一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解,例如,把44b a -因式分解时,得到)b a )(b a (2222-+,并未完全达到

(完整版)高中数学因式分解方法大全(十二种)

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x x -2x –x =x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b 解:a +4ab+4b =(a+2b) 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法

因式分解的方法与技巧

因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021

因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序,要树立优先提多项式公因式的意识 例1.分解因式:21222 x y xy y -+ 解: 二、换元意识 通过换元,可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2.分解因式:25()7()6x y x y ---- 解: 三、完整意识 依分解因式的步骤,因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3.分解因式:22222()4+-a b a b 解: 四、应用意识 例4.生产一批高为200mm 的圆柱形容器,底面半径的合格尺寸为(501±)mm ,任取两个这样的产品,它们的容积最多相差多少(π取3.14) 解: 因式分解中的数学思想 众所周知,数学思想是我们数学解题的灵魂,因式分解也不例外,在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想,如果能灵活的加以运用,往往能更好地解决因式分解问题,下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明: 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2-1)2+6(1-x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2-1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛,具体地表现在:一是因式分解与整式乘法的对比;二是因式分解与乘法的分配律的对比;三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式:(1)x 3y -xy 3;(2)abx 2-2abxy +aby 2.

(完整)初中因式分解的常用方法—特色专题详解

初中因式分解的常用方法—特色专题详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式, m 既可以是一个单项式,也可以是一个多项式. 二、运用公式法. 运用公式法,即用 ) )((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果. 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102

对应练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-22 例4、分解因式:2222c b ab a -+-

对应练习:分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习:(1)3223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22 (3)181696222-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 4912622-++- (5)92234-+-a a a (6)y b x b y a x a 222244+--

(7)222y yz xz xy x ++-- (8)122222++-+-ab b b a a (9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+ (11)abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ (12)abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. (一)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积; (3)一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式:652++x x

因式分解最全方法归纳

因式分解最全方法归纳 一、因式分解的概念与原则 1、定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种恒等变换叫做因式分解,也叫作分解因式。 2、原则: (1)分解必须要彻底(即分解之后的因式均不能再做分解); (2)结果最后只留下小括号; (3)结果的多项式是首项为正,为负时提出负号; (4)结果个因式的多项式为最简整式,还可以化简的要化简; (5)如有单项式和多项式相乘,应把单项式提到多项式前; (6)相同因式的乘积写成幂的形式; (7)如无特殊要求,一般在有理数范围内分解。如另有要求,在要求的范围内分解。 3、因式分解的一般步骤 (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; (3)如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项法来分解; (4)检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。” 二、因式分解的方法 1、提取公因式 公因式:一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式,也可以是多项式。 确定公因式的方法:公因数的常数应取各项系数的最大公约数,多项式第一项为负的,要提出负号;字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数最低的。 提取公因式:公因式作为一个因式,原式除以公因式的商作为另一个因式。 注意事项: (1)先确定公因式,一次把公因式全部提净;

(2)提完公因式后,商的项数与原式相同,与公因式相同的项,其商为1 不可丢掉; (3)提取的公因式带负号时,多项式的各项要变号。 例1、分解因式:6a 2 b–9abc+3ab 解:原式=3ab (2a-3c+1 ) 例2、分解因式:–12x 3 y 2 +4x 2 y 3 解:原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y) 总结(口诀):找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1 把家守;提负要变号,变形看奇偶。 2、公式法 分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解成因式。 平方差a2 –b 2 = (a+b ) (a– b ) 完全平方(a±b )2 =a 2 +b 2 ±2ab (a+b+c ) 2 =a 2 +b 2 +2ab+2bc+2ca 立方差a3 –b 3 = (a– b ) (a 2 +b 2 +ab ) 立方和a3 +b 3 = (a+b ) (a 2 +b 2 – ab )

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