对称性与诺特定理(稿)
高中物理中及对称性模型
对称性模型 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中,应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思维方法在物理学中为对称法,利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快捷简便地解决问题。 对称法作为一种具体的解题方法,虽然高考命题没有单独正面考查,但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法,相信在今后的高考命题中必将有所体现。 在高中物理模型中,有很多运动模型有对称性,如(类)竖直上抛运动的对称性,简谐运动中的对称性,电路中的对称性,带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时,振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反,速度动量的方向不确定)。运动时间也具有对称性,即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等). 现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型 1、空间对称模型 例1:如图1所示:在离地高度是h,离竖直光滑的墙是 s处,有一个弹性小 1 球以初速度 v正对着墙水平抛出,与墙发生弹性碰撞后落到地面上,求小球落地 点与墙的距离。 【解析】:小球与墙的碰撞是弹性碰撞,碰撞前后 的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高 度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞,由于对称性, 它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰
二重积分对称性定理的证明及应用
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.预备知识 (1) 2.二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 (2) 2.1 积分区域D关于坐标轴对称 (2) 2.2 积分区域D关于坐标区域内任意直线对称 (5) 2.3 积分区域D关于坐标原点对称 (9) 2.4 积分区域D关于坐标区域内任意一点对称 (11) 2.5 积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13) 二重积分对称性定理的证明及应用
摘 要:本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法,给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题. 关键词:对称性;积分区城;被积函数 The Application of Symmetry in Double Integral Calculating Abstract :It is introduced in the thesis some ways of how to calculate double integral with the application of symmetry. It is also put forward in it how to simplify the calculating methods with symmetry. Keywords :Symmetry; Integral region; Integrated function 前言 利用对称性计算二重积分,不但可以使计算简化,有时还可以避免错误.在一般情况下,必须是积分区域D 具有对称性,而且被积函数对于区域D 也具有对称性,才能利用对称性来计算.在特殊情况下,虽然积分区域D 没有对称性,或者关于对称区域D 被积函数没有对称性,但经过技巧性的处理,化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题. 1 预备知识 对于二重积分(,)D f x y dxdy ??的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在 定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论: 当()f x 在区间上为连续的奇函数时,()0a a f x dx -=?. 当()f x 在区间上为连续的偶函数时,0 ()2()a a a f x dx f x dx -=??. 这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分. 在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的.下面,我们将此结论类似地推广到二重积分. 2 二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用 定理1[]1 若二重积分(,)D f x y dxdy ??满足
群表示的理论基础和分子对称性
4.群表示的理论基础和分子对称性 教学目标与学习指导 1.本章第1节讨论分子对称性。要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。 2.本章第2节介绍群的基本知识。要求对群的基本知识有一般的了解。3.本章第3节讨论分子点群。要求掌握分子点群的确定。 4.本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。 5.本章第5节讨论群表示的基及群的表示。要求对群表示的一般性质有所了解。要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化,了解特征标表。 4-1分子对称性 4-2群的基本知识 4-3分子对称操作群 4-4分子对称操作的矩阵表示(选修) 4-5群表示的基及群的表示(选修)
RPbPbR的键合性质 Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking* Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11,2052 群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后,群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结
构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。由于自然学科彼此间的交叉、渗透,在近代化学领域内,研究化学键理论和分子动力学,应用各种波谱技术等方面,群论已成为重要的工具。4-1分子对称性 对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。通过研究分子的对称性,一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质;另一方面,也可借助于分子对称性,使求解薛定谔方程的过程大为简化。原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性,是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。 4-1-1对称操作与对称元素 4-1-2对称操作的乘积 4-1-1对称操作与对称元素 对称操作:每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。也就是,当一个操作作用于一个分子上,所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称 性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
分子对称性习题及解答
第四章、分子对称性习题 一、填空题 4101、I 3和I 6不是独立的对称元素,因为I 3=,I 6=。 4102、对称元素C 2与σh 组合,得到___________________;C n 次轴与垂直它的C 2组合,得到______________。 4103、d 3(2d z ,d xy ,d 22y x -)sp(p z )杂化的几何构型属于_________点群。 4104、有一个 AB 3分子,实验测得其偶极矩为零且有一个三重轴,则此分子所属点群是_______________________。 4105、有两个分子,N 3B 3H 6和 C 4H 4F 2,它们都为非极性,且为反磁性,则N 3B 3H 6几何构型___________,点群___________。C 4H 4F 2几何构型_________,点群__________。 4106、NF 3分子属于_____________点群。该分子是极性分子, 其偶极矩向量位于__________上。 4107、下列分子所属的点群: SO 3 , SO 32- , CH 3+ , CH 3- , BF 3 。 4108、写出下列分子所属的点群: CHCl 3, B 2H 6, SF 6, NF 3, SO 32- 4109、CH 2═C ═O 分子属于________点群,其大π键是________。 4110、环形 S 8分子属 D 4d 点群,分子中包含轴次最高的对称轴为_______。 4111、分子具有旋光性,则可能属于___________等点群。 4112、判别分子有无旋光性的标准是__________。 4113、既具有偶极矩,又具有旋光性的分子必属于_________点群。 4114、偶极矩μ=0,而可能有旋光性的分子所属的点群为____________;偶极矩μ≠0,而一定没有旋光性的分子所属的点群为___________。 4115、乙烷分子的重迭式、全交叉式和任意角度时所属的点群分别为: , , 。 4116、吡啶 ( C 5H 5N ) 分子属于_____________点群;乙烯 (C 2H 4 ) 分子属于_______________点群。 4117、H 2C ═C ═C ═CH 2 分子属于____________点群; SF 6分子属于___________点群。 4118、两个C 2轴相交,夹角为2π/2n ,通过交点必有一个_______次轴,该轴与两个C 2轴_________。 4119、两个对称面相交,夹角为2π/2n ,则交线必为一个_______次轴。 4120、反轴I n 与映轴S n 互有联系,请填写: S 1=___________ ; S 2=___________ ; S 3=___________ S 4=___________ ; S 5=___________ ; S 6=___________ 4121、反轴I n 与映轴S n 互有联系,请填写: I 1=___________ ; I 2=___________ ; I 3=___________ I 4=___________ ; I 5=___________ ; I 6=___________ 4122、某分子具有一个二重轴、一个对称面和一个对称中心, 该分子属于______点群。 4123、一个具有三个四重象转轴、四个三重轴、六个对称面的图形属于____点群。 4124、一分子具有四个三重轴、三个四重轴、六个二重轴、九个对称面和一个对称中心, 该分子属于_________________点群。
对称性与守恒定律
第七章 对称性与守恒定律 * §7.1 守恒量的平均值和测量取值几率 ⒈ 力学量平均值随时间变化的方程 在本征态中,如果测量力学量F ,则每时刻都可测得确定值。而在任意状态(),x t ψ中测量,力学量F 一般不显含时间t ,则在每一时刻测量结果一般没有确定值。但(),x t ψ可以按F 的本征态系n φ做完全展开,所以测量F 本征值的几率是确定的,有确定的分布。这样,每一时刻在任意态(),x t ψ下,力学量F 有确定的平均值。在定态下,不显含时间t 的力学量算符F 的平均值不随时间变化。 (),x t ψ:t 时刻的任意状态(归一化的) F ()()?,,x t F x t ψψ=()()*?,,x t F x t dx ψψ=? 其中(),x t ψ和?F 都可能是时间的函数,则F 也可以是时间的函数。 量子力学中,讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映 的。?F F ψψ= dF dt () ?? F F t t ψψψψ??=+? ? ???F F F t t t ψψψψψψ?????= ++ ?????? 利用含时薛定谔方程 1?H t i ψψ?= ? ?11????F H F F H i i t ψ ψψψψψ ?=++ ? ?11????F H F FH i i t ψψψψψψ?=-++? 利用?H 的厄密性??H H ψ?ψ?=
? 11????F HF FH i i t ψψψψψψ?=-++? ( ) ?1????F HF FH i t ψψψψ?=-+? 1??,F F H t i ???= +??? 即 1??,dF F F H dt i t ???=+? ?? 力学量平均值随时间变化的方程。 ⒉ 守恒量 ⑴ 定义:在任意状态下,力学量的平均值不随时间变化,即为与时间无关的常量。 数学: 0dF dt = (F 与t 无关的常量) ⑵ 力学量守恒的条件 0F t ?=?说明?F 不显含时间t (?0F t ?=?)(?F 不显含t , ?0F t ?=?而?dF dt 不一定为0) 不特别声明,一般?0F t ?=?,如?r , ?p ,?L F F F F dF dx dy dz dt x y z t ????= +++???? ??,0F H ??=?? 即?F 与?H 对易,也可以作为守恒量的定义 ⑶ 性质特点 ① 体系在任意状态下,平均值不随时间变化。这是守恒量物理上的定义。 ② 体系在任意状态下,测量力学量(不显含t )取值的几率分布不随时间变化。 证明:F 为守恒量,因为??,0F H ??=? ? ,所以?F 、?H 有共同完全本征函数系{}n φ,则有?n n n H E φφ=和?n n n F f φφ= 对任意态(),r t ψ (),r t ψ()()n n n c t r φ=∑ ()()(),n n c t r r t φψ=
对称性与守恒定律论文-最新范文
对称性与守恒定律论文 [摘要]本文对在量子体系下的对称变换代写及其性质作了简单的介绍,详细的分析了对称变换与守恒量以及不可测量量的关系,并且对时空对称性导致动量、角动量、能量守恒作了详细分析,并给出了现在物理学中一些重要的对称性和守恒律的简介。 [关键词]量子体系对称性守恒定律 一、引言 对称性是自然界最普遍、最重要的特性。近代科学表明,自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关,甚至所有自然界中的相互作用,都具有某种特殊的对称性--所谓”规范对称性”。实际上,对称性的研究日趋深入,已越来越广泛的应用到物理学的各个分支:量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理,以及化学(分子轨道理论、配位场理论等)、生物(DNA的构型对称性等)和工程技术。 何谓对称性?按照英国《韦氏国际辞典》中的定义:”对称性乃是分界线或中央平面两侧各部分在大小、形状和相对位置的对应性”。这里讲的是人们观察客观事物形体上的最直观特征而形成的认识,也就是所谓的几何对称性。 关于对称性和守恒定律的研究一直是物理学中的一个重要领域,对称性与守恒定律的本质和它们之间的关系一直是人们研究的重要内容。在经典力学中,从牛顿方程出发,在一定条件下可以导出力学量
的守恒定律,粗看起来,守恒定律似乎是运动方程的结果.但从本质上来看,守恒定律比运动方程更为基本,因为它表述了自然界的一些普遍法则,支配着自然界的所有过程,制约着不同领域的运动方程.物理学关于对称性探索的一个重要进展是诺特定理的建立,定理指出,如果运动定律在某一变换下具有不变性,必相应地存在一条守恒定律.简言之,物理定律的一种对称性,对应地存在一条守恒定律.经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺特定理后来经过推广,在量子力学范围内也成立.在量子力学和粒子物理学中,又引入了一些新的内部自由度,认识了一些新的抽象空间的对称性以及与之相应的守恒定律,这就给解决复杂的微观问题带来好处,尤其现在根据量子体系对称性用群论的方法处理问题,更显优越。 在物理学中,尤其是在理论物理学中,我们所说的对称性指的是体系的拉格朗日量或者哈密顿量在某种变换下的不变性。这些变换一般可分为连续变换、分立变换和对于内禀参量的变换。每一种变换下的不变性,都对应一种守恒律,意味着存在某种不可观测量。例如,时间平移不变性,对应能量守恒,意味着时间的原点不可观测;空间平移评议不变性,对应动量守恒,意味着空间的绝对位置不可观测;空间旋转不变性,对应角动量守恒,意味着空间的绝对方向不可观测,等等。在物理学中对称性与守恒定律占着重要地位,特别是三个普遍的守恒定律--动量、能量、角动量守恒,其重要性是众所周知,并且在工程技术上也得到广泛的应用。因此,为了对守恒定律的物理实质有较深刻的理解,必须研究体系的时空对称性与守恒定律之间的关系。