数列求通项公式

1.累加、累乘法

例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a ．【答案】22n n a n =+-．

【解析】121n n n a a +-=+，1121n n n a a ---=+，L ，12121a a -=+，累加可得：()()1211221222112321

n n n n a a n n n ----=++++-=

+-=+--L

，

22n n a n ∴=+-．

2．n S 与n a 的关系的应用例

2：在数列{}n a 中，11a =，2221n

n n

S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________．

【答案】11,221231,

1n n a n n n ?-≥?

=--??=?．【解析】∵当2,n n *≥∈N 时，1n n n a S S -=-，

2111222221

n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=?--+=-，

整理可得：112n n n n S S S S ---=，1

112n n S S -∴

-=， 1n S ??

∴????

为公差为2的等差数列，()1

1221n n n S S ∴

=+-?=-， 121n S n ∴=-，11,221231,

1n n a n n n ?-≥?

=--??=?．

3．构造法

例3：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式．

【答案】1231n n a -=?-．

【解析】设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+，对比132n n a a -=+，可得1λ=，

()1131n n a a -∴+=+，{}1n a ∴+是公比为

3的等比数列，

()11113n n a a -∴+=+?，1231n n a -∴=?-．

一、单选题 1．由11a =，131n

n n a a a +=

+给出的数列{}n a 的第

34项是（）

A ．1100

B ．100

C ．34103

D ．1

【答案】A

【解析】由11a =，131n

n n a a a +=

+，

则211314a ==+，31

1417314a ==?+，4

11710317a ==?+，

511101133110a ==?+，61

1131163113

a ==?+，L

，

由此可知各项分子为1，分母构成等差数列{}n b ，首项11b =，公差为3d =， ∴()3413411333100b b d =+-=+?=，∴51

100a =，故选A ．

2．数列{}n a 满足11

2a =，11

1n n a a +=-，则2018a 等于（） A ．12

B ．1-

C ．2

D ．3

对点增分集训

【答案】B

【解析】1n =时，2121a =-=-，()3112a =--=，411

122

a =-

=，5121a =-=-， ∴数列的周期是3，∴()20182337221a a a ?+===-．故选B ．

3．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（） A ．()31n n - B ．

()32

n n +

C ．()1n n +

D ．

()312

n n +

【答案】C

【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，

据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列，其前n 项和为：()()()1112212

n n n n n S na d n n n --=+

?=+．故选

C ．

4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n S n n *=-∈N ，则2017a 的值为（） A ．2 B ．3 C ．2017 D ．3033

【答案】A

【解析】2017201720162a S S =-=，故选A ．

5．已知数列{}n a 是递增数列，且对n *∈N ，都有2n a n n λ=+，则实数λ的取值范围是（）

A ．7

2??

-+∞

???

, B ．()1-+∞, C ．()2-+∞, D ．()3-+∞,

【答案】D

【解析】∵{}n a 是递增数列，∴1n n a a +>， ∵2n a n n λ=+恒成立，即()

()2

211n n n n λλ+++>+，

∴21n λ>--对于n *∈N 恒成立，而21n --在1n =时取得最大值3-， ∴3λ>-，故选D ．

6．在数列{}n a 中，已知12a =，1

122

n n n a a a --=+，()2n ≥，则n a 等于（）

A ．2

1n + B ．2

C ．3

D ．3

1n +

【答案】B 【解析】将等式1

122

n n n a a a --=

+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11112

n n a a --=，

1n a ??????

是公差为12的等差数列，1

2a =，

根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n n n a =+-?=，故2n a n

=．故选B ．

7．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，11

n n S a +=，则7a =（）

A ．74

B ．534?

C ．634?

D ．641+

【答案】B

【解析】由113n n S a +=，可得113n n S a -=，2n ≥．两式相减可得：111

33n n n a a a +=-，

2n ≥．

即14n n a a +=，2n ≥．数列{}n a 是从第二项起的等比数列，公比为4，又11

3n n S a +=，11a =．∴23a =，13S =．∴72572434a a -==?．故选B ． 8．已知

()122F x f x

+- ??

?是

上的奇函数，

()()1101n n a f f f f n n -????=++++ ? ?????

L ，n *∈N 则数列{}n a 的通项公式为（） A ．n a n = B ．()21n a n =+

C ．1n a n =+

D ．223n a n n =-+

【答案】B

【解析】由题已知()122F x f x ?

?=+- ???是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：1

1422f x f x ??

-++=

? ?????

，()x ∈R ， ∴函数()f x 关于点1

,22??

???

对称，令12t x =-，则1

12x t +=-，得到()()14f t f t +-=，

∵()()1101n n a f f f f n n -????=++++ ? ?????L ，()()1110n n a f f f f n n -????

=++++ ? ?????

L ，倒序相加可得()241n a n =+，即()21n a n =+，故选B ． 9．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则2

11n

a a +

++L 的值（）

A ．1n n -

B ．1n n +

C ．11n n -+

D ．1n

n +

【答案】A

【解析】由题意，数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则()()()()()11221121211n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-????L L ，

∴()1111

11n a n n n n

==---，

∴231111111111112231n

n a a a n n n n -??????+++=-+-++-=-= ? ? ?-??????L L ，故选A ．

10．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()112n

n n a a n ++??

-=-∈ ???

N ，如果存在

正整数n ，

使得()()10n n a a λλ+--<成立，则实数λ的取值范围是（）

A ．1

22??

???

, B ．213??

???

, C ．112??

???

, D ．2536??

???

, 【答案】C

【解析】由题意2n ≥时，

()()()21

121321111211122232n n

n n n a a a a a a a a --??

??????

=+-+-++-=+-+-++-=--?? ? ? ?

???????

????

L L ，

由()()10n n a a λλ+--<，即()()10n n a a λλ+--<，

∴221k k a a λ-<<且221k k a a λ+<<，k *

∈N ，2222121113232k k k a ??????=--=-?? ? ????????

?，其中最小项为22311342a ??=-= ???，21

21212121113232k k k a ---??????

=--=+?? ? ?????

????，其中最大项为11a =，因此1

12λ<<．故选C ．

11．已知数列{}n a 满足11a =，

()*12n n n a a n +?=∈N ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（） A ．201820182a =

B ．10092018323S =?-

C ．数列{}21n a -是等差数列

D ．数列{}n a 是等比数列

【答案】B

【解析】数列数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n +?=∈N ，当2n ≥时，112n n n a a --?=两式作商可得：

2n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项1a ，3a ，5a ，L ，成等比，偶数项2a ，4a ，6a ，L ，成等比，

对于A 来说，2018

1100810092

201822

222a a -=?=?=，错误；

对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a =+++++++L

()()10091009100911221232312

?-?-=

=?---，正确；

对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列，错误；对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误，故选B ．

12．已知数列{}n a 满足：

a =，

()12

n n a a n a *+=

∈+N ．设

()()1121n n b n n a λ*+??

=-?+∈ ???

N ，215b λλ=-，

且数列{}n b 是单调递增数列，则实数的取值范围是（） A ．()2-∞, B ．312?

?- ??

?, C ．()11-, D ．()12

-, 【答案】B

【解析】∵数{}n a 满足：11a =，()12

n n a a n a *+=

∈+N ． 1121n n a a +∴

=+，化为112

12n n

a a ++=+， ∴数列11n a ??

+????是等比数列，首项为1112a +=，公比为

2，

∴112n n a +=，(

)()112122n n n b n n a λλ+??∴=-+=-? ???

， ∵215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列， ∴21b b >，∴()21225λλλ-?>-，解得12λ-<<，由21n n b b ++>，可得12n

λ<+，对于任意的n *∈N 恒成立，

32λ∴<

，故答案为3

λ-<<．故选B ．

二、填空题

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a =___________．【答案】21n +

【解析】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，

()()2

1121n S n n -=-+-，两式想减得到21n a n =+．

此时1n >，检验当1n =时，13a =符合题意，故21n a n =+．故答案为21n a n =+．

14．数列{}n a 中，若11a =，11n n n

a a n +=+，则n a =______．

【答案】1n

【解析】∵11a =，11n n n

a a n +=+，则()1111n n n a na a ++===， ∴1n a n =．故答案为1

n ．

15．设数列{}n a 满足()()112n n n

na n a n n *+-+=∈+N ，11

2a =，n a =___________．

【答案】21

n n +

【解析】∵()()112n n n

na n a n n *+-+=∈+N ，

()()1111

12112n n a a n n n n n n +∴

-==-

+++++，

∴11111n n a a n n n n --=--+，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+，

∵11

2a =，

1111

n a n

n n n =+=++， ∴21n n a n =+．故答案为2

n n a n =+．

16．已知数列{}n a 满足

a =，()()145413n n a a +--=-，则

12311

11n

a a a a +++???+=----_______．【答案】133

222n n +--

【解析】令()41n n b a =-，则()1141n n b a ++=-，由题意可得()()1133n n b b +-+=-，

即1130n n n n b b b b +++-=，整理可得1

311n n b b +-=-，令1n n

c b =，则131n n c c +=+，由题意可得111322n n c c +??

+=+

?，且()111111

414c b a =

==-，11324c +=，故113324

n n c -+=?，即11342n n c =?-，1432n n n b c ==-，11432n n n b a -==-，1321n

a =--，据此可知123123111133333322111122n n

n n a a a a +++++=++++-=------L L ．

三、解答题

17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224n n n a a S +=．（1）求n S ；（2

）设

n b =

1n b ??

????

的前n 项和n T ．

【答案】（1）2n S n n =+；（2

）1n T =．

【解析】（1）由题意得

2111

2424n n n n n n a a S a a S +++?+=??+=??，两式作差得

()()1120n n n n a a a a +++--=，

又数列{}n a 各项均为正数，∴120n n a a +--=，即12n n a a +-=，当1n =时，有21111244a a S a +==，得()1120a a -=，则12a =，

故数列{}n a 为首项为2公差为2的等差数列，∴()21

n n n S na d n n -=+=+．（2）

n b =

，

∴11

11n

n i i i T b =====∑∑．

18．在数列{}n a 中，14a =，()21122n n na n a n n +-+=+．

（1）求证：数列n a n ??

????

是等差数列；（2）求数列1n a ??

????

的前n 项和n S ．

【答案】（1）见解析；（2）()21n n

S n =+．【解析】（1）

()21122n n na n a n n

+-+=+的两边同时除以()1n n +，得

()121n n

a a n n n

*+-=∈+N ， ∴数列n a n ??

????

是首项为4，公差为2的等差数列

（2）由（1），得22n

a n n

=+， ∴222n a n n =+，故

()()21111111222121n n n a n n n n n n +-??==?=?- ?+++??， ∴111

1122231n S n n ??

????

??=-+-+?+- ? ? ???+??????

()

111111111112232312121n

n n n n ????????=

+++?+-++?+=-= ? ? ???+++????????．

数列、数列的通项公式

第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。K2td4LKQoD 过程：一、从实例引入

1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习 P112 习题 3．1

数列通项公式专题讲座-基础版-xs

数列通项公式专题讲座类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。变式训练 1、（2004，全国I ，理22．本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。

变式训练 1.已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 2.在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。三类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式训练 1.已知数}{n a 的递推关系为43 21+= +n n a a ，且11=a 求通项n a 。 2.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

求数列通项公式的常用方法(有答案)

求数列通项公式的常用方法一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的求法教案

课题：数列通项公式的求法课题类型：高三第一轮复习课授课教师：孙海明 1、知识目标：使学生掌握数列通项公式的基本求法：（1）利用公式求通项（2）累加法求通项（3）累乘法求通项，并能灵活地运用。 2、能力目标：通过例题总结归纳数列通项公式基本求法，培养学生观察、辨析、运用的综合思维能力，掌握由特殊到一般、无限化有限的化归转化的数学思想, 提高学生数学素质。 3、情感目标：通过本节的学习，进一步培养学生的“实践—认识—再实践”的辨证唯物主义观点。教学重点、难点：重点：数列通项公式的基本求法难点：复杂问题的化归转化教学方法与教学手段：教学方法：引导发现法（注重知识的发生过程，培养学生创新精神和实践能力）教学手段：多媒体辅助教学教学过程：一、创设情境，引出课题： 1、数列在历年的高考中都占有非常重要的地位。以近三年的高考为例：每年都出一道选择或填空、一道解答题，总分值为17分，占高考总成绩的百分之十。所以，希望同学们认真总结归纳基本方法，灵活运用解题。请同学们思考解决数列问题的关键是什么？（同学们一起回答：通项公式），那么这节课我们就来总结一下数列通项公式的基本求法。《板书标题：数列通项公式的求法》 [设计意图] 使学生掌握数列在高考中的地位，从而使学生对数列的学习引起足够的重视，提高学习的积极性。二、启发诱导、总结方法 1、利用公式求通项《先给出例题，分析总结方法》师生互动：请同学分析叙述解题过程，老师板书。 {}{}{}{}的通项公式求且数列是各项都为正数的等比为等差数列设高考卷一例、n n n n b a b a b a b a b a ,,13,21,1,,)07(355311=+=+=={}{}1 2223545322)1(212,202 74,1341,21210,,-==-+===>-===++=+=++=+>n n n n n b n n a d q q q q q d b a q d b a q q b d a ，，则所以所以（舍）因为或解得依题得的公比为等比数列的公差为解：设等差数列

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .

高中数学复习——数列通项公式的十种求法及相应题目

高中数学复习——数列通项公式的十种求法及相应题目 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 3 1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

如何求数列通项公式

如何求数列通项公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2 (1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而利用逐差求和法求得数列{}n a 的通项公式。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 1 221 1 2 2 1 1 ()()()()(231)(23 1)(231)(231)3 2(3333)(1)33(13 ) 2 (1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n n n a a +-=?+，例3 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：1n n a pa q += +（1p ≠）思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列通项公式方法经典总结

求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 1..数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 2.设数列}{n a 满足01=a 且 111 111=---+n n a a ，求}{n a 的通项公式 3. 已知数列{}n a 满足112,12 n n n a a a a += =+，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列}{n a 满足2 122142++=?==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列}{n a 满足，21=a 且1 152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； — 6. 已知数列}{n a 满足，21=a 且1 15223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式； 7.数列已知数列{}n a 满足111 ,41(1).2 n n a a a n -= =+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法累加法适用于：1()n n a a f n +=+ 若1()n n a a f n +-=，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-=∑ 例：1.已知数列{}n a 满足1 41,2 1211-+ == +n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。一、型例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。解：已知递推式化为，即，所以。将以上个式子相加，得，

所以。二、型例2. 求数列的通项公式。解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。所以有。解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。解：设，则，，所以，即。设这时，所以。由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。解：在两边减去。所以为首项，以。所以令上式，再把这个等式累加，得。所以。说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

求数列通项公式的种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以13n +，得 11 121 3333 n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+ ，故因此11 (13)2(1)211 3133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?，则21133.322 n n n a n =??+?- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12 +-n n 练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 12- = 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .

求数列通项公式常用的八种方法

求数列通项公式常用八种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步）三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步）四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:------＋常数P

㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边同除以f(n)后再用累加法。八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一、公式法二、累加法三、累乘法四、构造法五、倒数法六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（八）、迭代法（九）、数学归纳法已知数列的类型一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n =

例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。（(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。