数列求通项公式
全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） 数列求通项公式 1.累加、累乘法 例1：数列na满足：11a，且121nnnaa，求na． 【答案】22nnan． 【解析】121nnnaa，1121nnnaa，L，12121aa，
累加可得：1211221222112321nnnnaannnL， 22nnan．
2．nS与na的关系的应用 例2：在数列na中，11a，2221nnnSaS，则na的通项公式为_________．
【答案】11,221231,1nnannn． 【解析】∵当2,nnN时，1nnnaSS， 222111222221nnnnnnnnnnSSSSSSSSSS
，
整理可得：112nnnnSSSS，1112nnSS， 1nS
为公差为2的等差数列，1111221nnnSS，
121nSn，11,221231,1nnannn．
3．构造法 例3：数列na中，11a，132nnaa，求数列na的通项公式． 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） 【答案】1231nna．
【解析】设13nnaa即132nnaa，对比132nnaa，可得1， 1131nnaa，1na是公比为3的等比数列，
11113nnaa，1231nna．
一、单选题 1．由11a，131nnnaaa给出的数列na的第34项是（ ） A．1100 B．100 C．34103 D．14 【答案】A 【解析】由11a，131nnnaaa，
则211314a，311417314a，4117110317a，
511101133110a，61113
116
3113a
，L，
由此可知各项分子为1，分母构成等差数列nb，首项11b，公差为3d， ∴3413411333100bbd，∴51100a，故选A． 2．数列na满足112a，111nnaa，则2018a等于（ ） A．12 B．1 C．2 D．3
对点增分集训 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） 【答案】B 【解析】1n时，2121a，3112a，411122a，5121a， ∴数列的周期是3，∴20182337221aaa．故选B．
3．在数列na中，若12a，且对任意正整数m、k，总有mkmkaaa，则na的前n项和为nS（ ） A．31nn B．32nn C．1nn D．312nn 【答案】C 【解析】递推关系mkmkaaa中，令1k可得：112mmmaaaa， 即12mmaa恒成立， 据此可知，该数列是一个首项12a，公差2d的等差数列， 其前n项和为：11122122nnnnnSnadnnn．故选C． 4．数列na的前n项和为nS，若21nSnnN，则2017a的值为（ ） A．2 B．3 C．2017 D．3033 【答案】A 【解析】2017201720162aSS，故选A． 5．已知数列na是递增数列，且对nN，都有2nann，则实数的取值范围是（ ） A．72, B．1, C．2, D．3, 【答案】D 【解析】∵na是递增数列，∴1nnaa， ∵2nann恒成立，即2211nnnn， 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） ∴21n对于nN恒成立，而21n在1n时取得最大值3， ∴3，故选D． 6．在数列na中，已知12a，1122nnnaaa，2n，则na等于（ ） A．21n B．2n C．3n D．31n 【答案】B 【解析】将等式1122nnnaaa两边取倒数得到11112nnaa，11112nnaa， 1na
是公差为12的等差数列，1112a，
根据等差数列的通项公式的求法得到1111222nnna，故2nan．故选B． 7．已知数列na的前n项和nS，若11a，113nnSa，则7a（ ） A．74 B．534 C．634 D．641 【答案】B 【解析】由113nnSa，可得113nnSa，2n．两式相减可得：11133nnnaaa，2n． 即14nnaa，2n．数列na是从第二项起的等比数列，公比为4， 又113nnSa，11a．∴23a，13S．∴72572434aa．故选B． 8．已知122Fxfx是R上的奇函数，1101nnaffffnn
L，nN则数列na的通项公式为（ ）
A．nan B．21nan C．1nan D．223nann 【答案】B 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） 【解析】由题已知122Fxfx是R上的奇函数， 故FxFx，代入得：11422fxfx，xR， ∴函数fx关于点1,22对称， 令12tx，则112xt，得到14ftft， ∵1101nnaffffnnL，1110nnaffffnnL， 倒序相加可得241nan，即21nan，故选B． 9．在数列na中，若10a，12nnaan，则23111naaaL的值（ ） A．1nn B．1nn C．11nn D．1nn 【答案】A 【解析】由题意，数列na中，若10a，12nnaan， 则11221121211nnnnnaaaaaaaannnLL，
∴111111nannnn， ∴231111111111112231nnaaannnnLL，故选A． 10．已知数列na的首项11a，且满足112nnnaanN，如果存在正整数n， 使得10nnaa成立，则实数的取值范围是（ ） A．122, B．213, C．112, D．2536, 【答案】C 【解析】由题意2n时， 全国名校高考数学二轮复习优质专题汇编（附详解） 21121321111211122232nnnnnaaaaaaaa
LL
， 由10nnaa，即10nnaa，
∴221kkaa且221kkaa，kN，2222121113232kkka， 其中最小项为22311342a，2121212121113232kkka， 其中最大项为11a，因此112．故选C． 11．已知数列na满足11a，*12nnnaanN，nS是数列na的前n项和，则（ ） A．201820182a B．10092018323S C．数列21na是等差数列 D．数列na是等比数列 【答案】B 【解析】数列数列na满足11a，*12nnnaanN， 当2n时，112nnnaa两式作商可得：112nnaa， ∴数列na的奇数项1a，3a，5a，L，成等比，偶数项2a，4a，6a，L，成等比，
对于A来说，20181100810092201822222aa，错误； 对于B来说，2018132017242018SaaaaaaLL 10091009
10091122123231212
，正确；
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
数列通项公式的九种求法
1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求 数列｛a n｝的通项公式 解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。
二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。
+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
求通项的公式
求通项的公式数列通项公式的求解方法数列通项公式是指一个数列中，第n项与n的关系式，通常用公式表示。
在数列的学习中，求解通项公式是一项重要的任务。
本文将介绍几种求解数列通项公式的方法。
一、常数数列常数数列是指一个数列中每一项都相等的数列。
其通项公式为：an = a1 (n ∈ N*)其中，a1为首项，an为第n项。
二、等差数列等差数列是指一个数列中，每一项与它前一项的差相等的数列。
其通项公式为：an = a1 + (n-1)d (n ∈ N*)其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
三、等比数列等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比相等的数列。
其通项公式为：an = a1 * q^(n-1) (n ∈ N*)其中，a1为首项，q为公比，an为第n项。
四、斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，第一项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都等于它前两项之和的数列。
其通项公式为：an = [(1+√5)/2]^n / √5 - [(1-√5)/2]^n / √5 (n ∈ N*)其中，√5为根号5，an为第n项。
五、三角数列三角数列是指一个数列中，每一项都等于其下标对应的三角形的个数的数列。
其通项公式为：an = n(n+1)/2 (n ∈ N*)其中，n为下标，an为第n项。
六、阶乘数列阶乘数列是指一个数列中，每一项都等于其下标对应的阶乘的数列。
其通项公式为：an = n! (n ∈ N*)其中，n为下标，an为第n项。
以上是几种常见的数列通项公式的求解方法，希望对大家有所帮助。
数列的通项公式
数列的通项公式数列，也称为序列，是按照一定规律排列的一串数。
在数学中，数列的通项公式是指能够用一种确定的公式来表示数列中任意一项与其位置之间的关系。
本文将探讨数列的通项公式，以及一些常见的数列类型及其通项公式。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + (n-1)d。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，第一项a₁=1，公差d=2，第n项的通项公式为an = 1 + (n-1)×2。
二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的第一项为a₁，公比为r，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(r^(n-1))。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于等比数列2, 6, 18, 54，第一项a₁=2，公比r=3，第n项的通项公式为an = 2×(3^(n-1))。
三、斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第一、第二项分别为a₁和a₂，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁ + a₂(n-1)。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，第一项a₁=1，第二项a₂=1，第n项的通项公式为an = 1 + 1×(n-1)。
四、几何数列的通项公式几何数列是指数列中每一项与其前一项之间的比值都相等的数列。
设几何数列的第一项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式可以表示为：an = a₁×(q^(n-1))。
其中，an表示第n项的值。
例如，对于几何数列2, 4, 8, 16，第一项a₁=2，公比q=2，第n项的通项公式为an = 2×(2^(n-1))。
五、其他数列的通项公式除了上述常见的数列类型外，还存在一些特殊的数列类型，其通项公式亦有不同表示形式。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
数列的通项公式
an = a p n
Sn = b p n - b
变式： 1、倒数 ： 2、配凑：若an = p an – 1 + q,则可凑出形如{an+m} 的等比数列。 例1、已知{an}是各项都为正数的等差数列，lga1 , lga2 , lga4 ,成等差数列，又 ，n = 1,2,3,… (1)证明{bn}为等比数列； (2)如果无穷数列{bn}各项和S = ，求数列{an} 的首项和公差d.
例2、已知不等式 ，其中 n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2n的最大 整数，设数列{an}的各项为正，且满足 a 1 = b (b > 0 ) , n = 2,3,4,… (1)证明 n = 3,4,5,… (2)猜想数列{an}是否有极限：如果有，写出极 限值；
数列的通项公式
若 a n= f(n)，则a n= f(n)叫做数列{an}的通项公式
通项公式是指序号n与项a n的关系式
an的求法： 1、转化为等差或等比数列； 2、观察法：
记住下列数列： an = n2 平方数列：1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … an = n3 立方数列：1 , 8 , 27 , 64 , … 两个连续自然数乘积的数列： a n = n(n + 1) 2 , 6, 12 , 20 ,30, … 正负交替出现数列： -1 , 1, -1 , 1 , … a n = (- 1) n 循环数列：,1, 11, 111 , 1111 , … a n = (10 n – 1) 三角数列：1 , 0, -1 , 0 ,1, 0 , -1,… an =
3、叠加法(an – an – 1 = f(n) ) 4、累乘法(an / an – 1 = f(n) ) 5、迭代法(an = an – 1 f(n) )
求数列通项公式的八种典型方法
求数列通项公式的方法数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样；有了解析式便可研究函数性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项，前n 项和以及数列的性质等。
因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口，关键点.一、观察法即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。
过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论.例1、数列{}n a 的前四项为：11、102、1003、10004、……，则n a = .二、公式法命题点1、等差数列的判定例2、（1）已知数列{}n a 满足*11262,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-+=≥∈==，求n a .（2）已知数列{}n a 满足*11111,2()n na n N a a +==+∈，求n a .命题点2、等比数列的判定例3、已知数列{}n a 满足2*1123,(2,),4,8n n n a a a n n N a a +-⋅=≥∈==，求n a .三、利用n a 的前n 项和n S 求n a命题点1、已知n S 求n a1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，即已知数列的前n 项和，便可求通项. 例4、（1）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：*2log (1)1()n S n n N +=+∈，求数列{}n a 的通项公式.（2）正项数列 * + 的前 项和 满足： ( ) ( ) ．求数列 * + 的通项公式；命题点2、由n S 与n a 的关系求n a例5、（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*131()22n n S a n n n N +=--+∈，令n n b a n =+，证明{}n b 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列中，*1123111,23()2n n n a a a a na a n N ++=++++=∈，求数列{}n a 的通项公式；}{n a（4）数列*+满足，．Ⅰ求的值；Ⅱ求数列*+的前项和；例6、已知数列{}n a满足2121,21nnnSa aS==-*(2,)n n N≥∈，求na.求形如1()n n a a f n +=+（()f n 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累加求得通项. 例7、(1)设数列{}n a 满足21*112,32()n n n a a a n N -+=-=⋅∈，求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中，11a =，111(1)()2n n n n a a n N n *++=++∈，求数列{}n a 的通项公式．对形如1()n na f n a +=的数列的通项，可用累乘法，即令2,3,n n =得到1n -个式子累乘求得通项. 例8、(1)在数列{}n a 中, *112(1)()2n n n a a n N a n ++=∈=，，求数列{}n a 的通项公式.(2)已知数列{}n a 中，113a =，前n 项和n S 与n a 的关系是*(21)()n n S n n a n N =-∈，求{}n a 的通项公式．六、构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+命题点1、递推关系式为1n n a pa q +=+(,p q 为常数) 思路：递推式可化为1(),n n a x p a x ++=+得1(1),n n a pa p x +=+-解得1q x p =-；构造出{}n a x +为等比数列，首项为1a x +，公比为.p 例9、(1已知数列{}n a 满足*111,21(),n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；命题点2、递推式为1n n n a pa q +=+ (,p q 为常数)思路：在1nn n a pa q +=+两边同时除以1n q +得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+ 构造数列{}n b ,n n na b q =可得11n n p b b q q +=⋅+. 故可利用上类型的解法得到()n b f n =再将代入上式即可得n a .例10、(1)已知数列{}n a 满足*111,22(),n n n a a a n N +==+∈求n a .(2)已知数列{}n a 满足*111,32(),n n n a a a n N +==+∈求n a .七、特殊技巧命题点1、取倒数法例12、已知数列{}n a 满足11a =，*111(),n n n n a a n N a a ++⋅=-∈-求数列{}n a 的通项公式.命题点2、开方法例13、已知数列{}n a满足*11(),n n a a n N +=++∈11a =，求数列{}n a 的通项公式.命题点3、取对数法例14、已知数列{}n a 满足2*13(),n n a a n N +=∈13a =，求数列{}n a 的通项公式.八、分别求奇数项和偶数项的通项公式 例15、（1）已知数列{}n a 满足2()*n n a qa q q n N +=≠∈为实数，且1，，121,2a a ==且233445,,a a a a a a 成等差数列，求q 的值和{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足23n n a a +-=，*n N ∀∈，121,2a a ==，求数列{}n a 的通项公式.。
数列通项公式的九种求法
数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12=∵0d ≠，∴d a 1=……………………①∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d =∴n5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、累加法求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。
例2．已知数列{a n}中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧．三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。