解三角形学案高三公开课(新)
解三角形
【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 【重难点】 三角形中的边角互化、恒等变换问题．
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理 公式
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R
a 2＝_____________；
b 2＝_____________；
c 2＝_____________ 常见 变形
(1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____；
(2)sin A ＝____，sin B ＝____，sin C ＝____； (3)a ∶b ∶c ＝____________________； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝_____，
cos A ＝_____________； cos B ＝_____________； cos C ＝_____________
2.三角形的面积公式：=?ABC S _________________________________________．
【典例精讲】
考点1 正、余弦定理的简单运用
例1（1）【2015高考北京，文11】在C ?AB 中，3a =，6b =23
π
∠A =
，则∠B = ． （2）【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2
cos 3
A =
，则b=（ ） （A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3 （3）【2013全国II 卷】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6
B π
=，
4
C π
=
，则ABC ?的面积为（ ）
（A ）232 （B 31 （C ）232 （D 31
变式 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°， 则B ＝ ．
考点2 解三角形中的边角互化问题
例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且c b C a -=2cos 2求A 的大小.
变式 【2015高考新课标1】已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =.（1）若a b =，求cos ;B （2）若B=90°，且2=a ，求△ABC 的面积
探究1: 对于例2及变式的第一问是否都有两种不同的解法？对此你有什么发现？
考点3 解三角形中的恒等变换问题
例3. 在△ABC 中，A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若2,cos cos 2
===+b a c B a A b ，求△ABC
的周长.
变式：【2016年天津高考】在ABC ?中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知
sin 2sin a B A =. (Ⅰ)求B ； (Ⅱ)若1
cos A 3
=，求sinC 的值.
探究3: 解三角形的恒等变换常常有一些常用的结论？请归纳好并写下来.
【课堂小结】
通过本节课的学习，从知识与方法层面你有什么收获？
【课后巩固】
1）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-
，求sin B ＝ ． 2） 在ABC ?中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos A
B
b a =则ABC ?的形状是 ．
3）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ， A ＋C ＝2B ， 则sin C ＝ .
4） 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2
DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC 的面积为
3-∠BAC ＝______ _ ． 5） 满足条件BC AC AB 2,2=
=的三角形ABC 的面积的最大值是 ．
6） 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2
2
a b -=
， sin C ＝B ，
则A ＝ ．
7）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6
3，B ＝A ＋π2
.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．
高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例(二)学案 湘教版必修4
8.3 解三角形的应用举例(二) [学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神. [知识链接] “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘. [预习导引] 1.仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图. 2.高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 要点一测量底部不能到达的建筑物的高度 例1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 根据正弦定理得AC sin∠ABC ＝BC sin∠BAC ， 即 AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β) ， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos α sin (α－β) . 在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin∠CAD ＝AC sin β ＝ h cos αsin β sin (α－β) . 即山的高度为 h cos αsin β sin (α－β) . 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________m(精确到1m.2≈1.4142，sin35°≈0.5736). 答案 811 解析 过点D 作DE∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°，所以∠ABD ＝30°.在△ABD 中，
北师大版必修5高中数学2.3《解三角形的实际应用举例》word导学案
2016北师大版必修5高中数学2.3《解三角 形的实际应用举例》 w o r d导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 2.3解三角形的实际应用举 例导学案北师大版必修5 个性笔记【学习目标】 1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确 定解三角形的方法； 2．搞清利用正余弦定理可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关 系. 【学习重点】 灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决实际生活中与解三 角形 有关的问题。 【使用说明】 1.规范完成导学案内容，用红笔做好疑难标记，要求在40分钟 独立完成 2.该学案分A,B,C三个层次，其中A,B层次必须每一位同学都 完成，C层次供学有余力的同学完成。 【学习过程】 （一）基础学习 【A】预备知识：1．有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内 角和定理、三角形面积公式等）； 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有： 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问 题、航海问题、物理问题等； 3. 实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线 和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角； 在水平视线下方的角 叫俯角 （2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 【B】课前热身1. 某人朝正东方走x km后，向左转1500，然后朝新 方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于 （） A 3 B3 2 D 3 2 C 3或3 60，从甲楼 2. 甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为0 30，则甲、乙两楼的高分别是 顶望乙楼顶的俯角为0 （）
解三角形(学案)
第一章 解三角形（学案） 1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（ ）A 4 B 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A 36 B 26 C 21 D 2 3 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150° 4.△ABC ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中，60B =，2 b a c =，则△ABC 一定是 （ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，16ABC S =，则A ∠等于 （ ） A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中，若60A =， ）A 2 B 21 C 3 D 2 3 ABC ，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） C. 200米 12 海上有A 、B 两个小岛相距10 海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角， 从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角， 则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。 14.在△ABC ，150c =，30B =，则边长a = 。 15.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。 16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
北师大版广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必修5
高中数学 广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必 修5 【问题导学】阅读课本P 23后回答下列问题： 2、三角形的面积公式： _____________________________________________________________ 4、在△ABC 5、在△ABC 中，0 45,30,2===C A a ，则△ABC 的面积S=__________。 【课内探究】 例1、在△ABC 中，若B c a C b cos )2(cos -=：(1) 求B 的大小； (2) 若4,7=+=c a b ，求△ABC 的面积S 。 例2、在△ABC 中，若)cos(2cos ,2C B A a +==，2=?，求角A 及b 、c 的大小。
高中数学 例3：如右图所示，在坡度一定的坡上的一点A 顶端C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进100米后到达B 顶端C 对于山坡的斜度为 45 ，已知建筑物高CD=50水平面倾斜角θ的余弦值。 【总结提升】 【课后作业】 1、△ABC 中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，则它是( ) 三角形 A 、 等腰 B 、直角 C 、等腰直角 D 、等腰或者直角 2、△ABC 中，6c =，0 120,30==B A ，则△ABC 的面积S=( ) A 、9 B 、18 C 、39 D 、318 3、△ABC 中，8,5a b ==,ABC ?的面积S=12，则=C 2cos ________。 4、锐角△ABC 中，A c a sin 23=：(1) 求角C 的大小； (2) 若7= c ，△ABC 的面积为，求b a +的值。 5、如图，某观测站C 在港口A 的南偏西20°方向上，在港口A 南偏东40°方向上的B 处有一艘船正向港口A 驶去，行驶了20 km 后，到达D 处，在观察站C 测得C ，B 间的距离为31 km ，C ，D 间的距离为21 km ：(1)求观察站C 与港口A 之间的距离；(2)这艘船到达港口A 还需行驶多少km? A C D 200 400
2015年高考数学复习学案：解三角形
【考点概述】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题． 【重点难点】 三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题． 【命题趋势】 1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察，故三角形中三角问题常常与其他 数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变形的技能及三角函数的应用意识． 2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现（2010年江苏卷第13题，2010年上海理科卷第18题，2010年全国理科卷第16题、2010年天津理科卷第15题、2010年北京理科卷第10题、2010年广东理科卷第11题、2010年山东理科卷第15题等），但近几年来以解答题形式出现的频率较高（2010年江苏卷第17题、2010年陕西理科卷第17题、2010年福建理科卷第19题、2009年海南理理科卷第17题、2009年天津理科卷第17题、2009年辽宁理科卷第17题、2009年安徽理科卷第16题、2009年浙江理科卷第18题等），因为与实际问题的联系密切，今后这部分仍然是高考命题的一个热点． 【知识要点】： 1、 正弦定理： C c B b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A B C a b c = 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理： =2 a A bc c b cos 22 2 -+； cos A ＝bc a c b 22 22-+ =2 b B a c c a cos 22 2 -+； cos B ＝ac b c a 22 22-+ =2 c C ab b a cos 22 2 -+； cos C ＝ab c b a 22 22-+ 利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角． (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21= ?＝A bc B ac sin 2 1 sin 21=．
人教a版必修5学案：第1章《解三角形》章末整合(含答案)
章末整合 知识概览 对点讲练 知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题 例1在△ABC中， (1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c； (2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角． 回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍． 变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积； (2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．
知识点二 正、余弦定理在三角形中的应用 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2 ＝ac －bc . (1)求角A 的大小；(2)求b sin B c 的值． 回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系． (2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sin A ，cos( B ＋ C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A 2 等，进行三角变换的运算． 变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝7 2 . (1)求角A 的度数； (2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值． 知识点三 正、余弦定理在实际问题中的应用 例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．
高中数学必修五导学案 解三角形答案
必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列.
(II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+.
2019-2020学年高中数学 应用举例 解三角形学案新人教版必修5.doc
2019-2020学年高中数学应用举例解三角形学案新人教版必修5 【学习目标】 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 3. 能证明三角形中的简单的恒等式． 【课前体验】 复习1：在?ABC中 （1）若1,120 a b B ===?，则A等于． （2）若a=2 b=，150 C=?，则c= _____． 复习2： 在ABC ?中，a=2 b=，150 C=?，则高BD= ，三角形面积= ． 【课堂体验】 探究一： 在?ABC中，边BC上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？ h a =bsi nC=csinB 根据以前学过的三角形面积公式S=1 2 ah， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=1 2 absinC，或S= ，同理 S= ． 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． 探究二： 例1. 在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）： （1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5?； （2）已知B=62.7?，C=65.8?，b=3.16cm； （3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm． 变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）
例2. 在?ABC 中，求证： （1）222222sin sin sin a b A B c C ++=； （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）． 小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． 练习： 练1. 在?ABC 中，已知28a cm =，33c cm =，45B =，则?ABC 的面积是 ． 练2. 在?ABC 中，求证： 22(cos cos )c a B b A a b -=-． 【规律总结】 1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边 具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，③通过面积公式。 2．三角形的面积公式： （1）S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； （3）S ＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝) sin(2sin sin 2B A B A c +； （4）S ＝2R 2sin A sin B si n C 。（R 为三角形外接圆半径） （5）S ＝R abc 4； 【课后体验】 (也可以选择课本上的题) 1. 在ABC ?中，2,60a b C ?===，则ABC S ?=（ ）.
解三角形学案
解三角形知识点 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
解三角形学案高三公开课
解三角形 【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 【重难点】三角形中的边角互化、恒等变换问题． 【知识梳理】 1.正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝_____________； b 2＝_____________； c 2＝_____________ 常见 变形 (1)a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____； (2)sin A ＝____，sin B ＝____，sin C ＝____； (3)a ∶b ∶c ＝____________________； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝_____， cos A ＝_____________； cos B ＝_____________； cos C ＝_____________ 2.三角形的面积公式：=?ABC S _________________________________________． 【典例精讲】 考点1 正、余弦定理的简单运用 例1（1）【2015高考北京，文11】在C ?AB 中，3a =，6b =23 π∠A =，则∠B =． （2）【2016高考全国I 卷】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =， 2cos 3 A =，则b=（ ） （A 2 B 3 C ）2（ D ）3 （3）【2013全国II 卷】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π =， 4 C π=，则ABC ?的面积为（ ） （A ）232（B 31（C ）232（ D 31 变式 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
§1.1.1 正弦定理 课型：新授课 编写人： 审核人： 【学习目标和重点、难点】 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【学习内容和学习过程】 一、新课导入 试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠C=90° 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C = ． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = ． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A = sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 三、课堂巩固 例1. 在ABC ?中，已知45A =?，60B =?，42a =cm ，解三角形． 变式：在ABC ?中，已知45B =?，60C =?，12a =cm ，解三角形．
高一数学解三角形复习学案
正余弦定理章末复习学案 制作：申占宝、王柏青 学习目标:掌握三角形中的边角之间的关系,特别是正余弦定理;学会正余弦正定理的解决生产生活中的实际问题. 一、 三角形中量之间的基本关系 ABC ?中的角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,, 1、 A+B+C= ?2015年高中数学第一章解三角形第1课时正弦定理(1)学案(无答案)新人教版必修5
1 解三角形 【知识结构】 正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】 重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 第1课时 正弦定理（1） 【学习导航】 知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角 关系→正弦定理 学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突 出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角 一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 【课堂互动】 自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中， ===C c B b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 【精典范例】 【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?， 10a =，求b ，c ． 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边 求另两边和一角的问题． 【解】因为30A =?，105C =?，所以45B =?．因为 sin sin sin a b c A B C ==， 所 以s i n 10s i 4512s i n s i n a B b A ?===? ，sin 10sin105sin sin 30a C c A ?===? 因此， b ，c 的长分别为 和． 【例2】根据下列条件解三角形： （1 ）60,1b B c =?=； （2 ）45,2c A a =?=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 【解】（1）sin sin b c B C =， ∴sin 1sin 2c B C b ===， ,60b c B >= ，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A == ，∴2a =． （2）sin sin a c A C = ， ∴sin sin c A C a ===，∴60120C = 或， ∴当sin 6075,1sin c B C B b C === 时， ∴当sin 12015, 1sin c B C B b C === 时， 所以，1,75,60b B C === 或1,15,120b B C === ． 追踪训练一 1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，
北师大版必修5高中数学2.3解三角形的实际应用举例导学案(二)
高中数学 2.3解三角形的实际应用举例导学案 北师大版必修5 【学习目标】 1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确 定解三角形的方法； 2．搞清利用正余弦定理可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系. 【学习重点】 灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决实际生活中与解三角形 有关的问题。 【使用说明】 1.规范完成导学案内容，用红笔做好疑难标记，要求在40分钟独立完成 2.该学案分A,B,C三个层次，其中A,B层次必须每一位同学都完成，C层 次供学有余力的同学完成。 【学习过程】 （一）基础学习 【A】预备知识：1．有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、 三角形面积公式等）； 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有： 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等； 3. 实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所 成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角 叫俯角 （2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 【B】课前热身1. 某人朝正东方走x km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（） A 3 B3 2 C 3或3 2 D 3 2. 甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为0 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为0 30，则甲、乙两楼的高分别是（） A 403 203, 3 m m B 103,203 m m 个性笔记
C 10(32),203m m D 153 203 ,23m m （二） 学习探究 探究一 [A] 我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 温馨提示：由三角形内角和定理结合正弦定理， 可求出BC ，相信自可以的。 探究二 （三） 当堂检测 [ A ] 1.在同一平面内，在A 处测得的B 点的仰角是50，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70，且到A 的距离为3，则B,C 间的距离为 ( ) A. 4 B. 17 C. 32 D. 19 750600C B A
解三角形复习学案
解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ③边化角 R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin = == 练习：△ABC 中，①B b A a cos cos = ②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理： 如图△ABC 中，AD 是A ∠ 4.判断三角形解的个数： △ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 】 ①A b a sin <时，无解； ②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <
解三角形复习课导学案(学生版运用)
解三角形复习课导学案 执教老师：陈锦运 班别 姓名 自学检查评价 一、学习目标 1、通过对有关课本内容的复习，能够回忆起正弦定理、余弦定理等知识和方法，并能用数学符号表示这些定理，并能用自己的话加以解释，形成知识网络。 2、能运用所学知识进一步解决有关三角形的问题，在具体的解题中灵活把握正弦定理与余弦定理的特点，并能据此形成较为完善的解三角形问题知识结构。 3、通过对具体问题的回顾的分析，能用正弦定理、余弦定理解决问题有基本题型以及相应解题方法与程序，并能用这些方法与程序解决相似类型的综合问题（高考题为主）。 二、重点、难点 重点：灵活选用正弦定理、余弦定理并结合面积公式进行有关的三角形中的几何计算． 难点：利用正、余弦定理进行边角互化及正弦、余弦定理与三角形有关性质的综合应用． 三、单元知识复习： 1、正弦定理： (1) 在△ABC 中， sin sin a b A B == = （2） a ∶b ∶c ＝ . 2、余弦定理：在△ABC 中 2 a = 或cosA= 2b = 或cosB= 2c = 或cosC= (其中△ABC 的三内角分别为A 、B 、C ；对边为a 、b 、c) 3、三角形面积公式：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半。 1 sin _____________2 S ab C ABC ==?= 4、解斜三角形的类型： （1）、已知两角一边，用 定理，有解时，只有一解。 （2）已知两边及一边的对角，用 定理，有解时要注意讨论、检验; （3）已知三边用 定理,有解时，只有一解; （4）已知两边及夹角用 定理，有解时，必有一解。 5、以下结论也常常用到： (1) A ＋B ＝π－C ， A ＋ B 2＝π2－C 2 . (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解三角形复习学案
解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2=== ③边化角 R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin = == 练习：△ABC 中，①B b A a cos cos = ②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理： 如图△ABC 中，AD 是A ∠ 4.判断三角形解的个数： △ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解； ②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <
人教版高中数学---解三角形精品道学案
人教版高中数学---解三角形精品道学案 §1.1.正弦定理（1） 学习目标: 1.会用向量法证明正弦定理； 2.理解正弦定理，并且会用正弦定理解斜三角形； 3.掌握与正弦定理有关的三角形的面积公式。 学习导航 一、课前准备 复习：直角三角形的边角有怎样的关系？ 二、预习思考 问题1：用几何画板“任意画一个三角形，测量此三角形三个内角的大小及三条边的长， 再对每条边计算其长度与对角的正弦值之比。”三个比相等吗？__________. 问题2：改变三角形的形状再试一试，猜想能得到什么结论？ 结论： ___________________________________________________________ _______________. 提炼新知1：什么是正弦定理？ ___________________________________________; 公式形式是：_________________________; 思考：如何证明？ 提炼新知2：证法一：直角三角形证法； 证法二:向量证法（重点）;
证法三：外接圆法; 证法四：等积法 三、知识应用 例1在?ABC中，A=30°,C=105°,a=10,求b、c. 例2：根据条件解三角形： 1）在C 中，= ,30和 求 ? 60 = = b a A c B ,1 ABC, , 2）C B ,60和 中，= = ? = 45 求 a , A b c ,2 ABC, 3）在△ ABC中，已知3 a，2 = = b，B=45?求A、C及c。 小结：利用正弦定理可以解决______类解斜三角形的问题： （1）
2019-2020学年高一数学 1.3 解三角形小结与复习导学案.doc
2019-2020学年高一数学 1.3 解三角形小结与复习导学案 1.正弦定理： 正弦定理的常见变形有： （1）a ︰b ︰c= ︰ ︰ （2）设R 为?ABC 外接圆的半径，则sin sin a b A B =sin c C == （3）设R 为?ABC 外接圆的半径，则=A sin ，=B sin ，C sin = a= ，b= ，c= 2.余弦定理： __________ ____________________ ___________________,__________222===c b a 3.余弦定理的推论： ________,__________cos =B .__________________cos =C 4.三角形的面积公式S=12 absinC = ___________ = ______________ 三、知识应用 1. 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1 求 （1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积 2.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝? ????1－sin A ，127，n ＝(cos2A,2sin A )，且m ∥n . (1)求sin A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a . ， _______________cos =A
3. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 是锐角，且3b ＝2a ·sin B . (1)求A ； (2)若a ＝7，△ABC 的面积为103，求b 2＋c 2的值． 四、实战演练 1. ABC ?中，已知o A c a 30,10,25===则C=（ ） （A ）o 45 （B ）o 60 （C ）o 135 （D ）o 13545或o 2. 在ABC ?中，已知角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且3,8,60, a c B ===则sin A 的值是（ ） A ．316 B ．314 C D 3.在△ABC 中，135B =，15C =，5a =，则此三角形的最大边长为（ ） A.35 B.34 C.24 4.在ABC ?中，若A b a sin 23=，则=B （ ）