4椭圆的参数方程学案
椭圆的参数方程教学设计
椭圆的参数方程教学目的：（一）知识：1.椭圆的参数方程.2.椭圆的参数方程与普通方程的关系。
（二）能力：1. 了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联（三）素质：使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。
教学重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 教学难点：1椭圆参数方程的建立及应用.2.椭圆参数方程中参数的理解. 教学方法：引导启发式 教学用具：多媒体辅助教学 教学过程： 一、新课引入：问题1．圆222x y r +=的参数方程是什么？ 是怎样推导出来的？由圆的方程变形为122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛r y r x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θθsin cos ry r x解得：)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x问题2．设ϕϕ,cos 3=x 为参数，写出椭圆14922=+y x 的标准方程。
代入椭圆方程，得到解：把ϕcos 3=xϕϕ222sin 4)cos 1(4=-=∴y 即ϕsin 2±=y.sin 2ϕϕ=y 的任意性，可取由参数)(.sin 2,cos 314922为参数的参数方程是因此，椭圆ϕϕϕ⎩⎨⎧===+y x y x探究：能类比圆的参数方程，写出椭圆的参数方程吗？二、新课讲解：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+=设cos ,sin x ya b ϕϕ==， 即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩)(为参数ϕ， 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义思考：类比圆的参数方程中参数θ的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？圆的标准方程：222r y x =+ 圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x )(为参数θ椭圆的标准方程：12222=+b y a x 椭圆的参数方程：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ圆的参数方程中θ是Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即θ=∠AOP ，那么椭圆的参数方程中ϕ是不是上图中Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看下面图片如图，以原点为圆心，分别以a 、b (0)a b >>为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆半径的交点，过点A 作AN O x ⊥，垂足为N ，过点B 作BM AN ⊥，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时A θxyOPxyOMϕ2M 1M 2P 1PM 的轨迹的参数方程.分析：动点A 、B 是如何动的？M 点与A 、B 有什么联系？如何选取参数较恰当？ 解：设M 点坐标为(,)x y ，ϕ=∠AOx ，以ϕ为参数， 则ϕϕcos cos a OA ON x === ϕϕsin sin b OB NM y ===，当半径OA 绕O 点逆时针旋转一周时，就得到点M 的轨迹，它的参数方程是)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ①这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。
椭圆的参数方程教学设计
知
学生独立完成，教 师在旁指导，随时 反映问题.
培养学生自觉 性、自主性、独 立性的个性品 质.
思考题：已知 A、B 是椭圆 x2 y2 1与坐标轴正半 16 9
轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边 形 OAPB 的面积最大.
3
课堂小结（2 分钟）
归 纳
1. 椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) 的一个参数方程为 a2 b2
一．椭圆的参数方程
1.椭圆的参数方程
x
a
cos,
(
为参数)
y bsin.
2.椭圆参数的意义：
二．探索、理解、应用椭圆的参数方程 例1
例2
复习引入
椭圆参数方程的 推导
说明：
课上练习
教学反思：
4
习，和具体实例 明确椭圆的参数
新 知 探索二
方程的形式。
类比圆的参数方程中参数的意义，此椭圆的参数方
程中参数 的意义是什么？
1
以原点为圆心，分别以 a、b(a＞b＞0)为半径作两
个同心圆.设 A 是大圆上的任一点，连接 OA，与小圆交 于点 B.过点 A，B 分别作 x 轴，y 轴的垂线，两垂线交 于点 M.
问题：求点 M 的参数方程.
利用《几何画板》 演示体会当 变 利用信息技术 化时点 M 的轨迹 让学生明确理解 的形状，学生通过 椭圆参数的几何
y
A BM
O
x
观察得出结论：参 意义。 数 是点 M 所对 和了解椭圆规的 应的圆的半径 OA 构造原理。
（几何画板演示）
(或 OB)的旋转角
当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹， (称为点 M 的离心
数学导学案椭圆、双曲线的参数方程
椭圆、双曲线的参数方程【学习目标】掌握椭圆、双曲线的参数方程表示,并能解决有关问题,提高分析和解决问题的能力,培养数学的应用意识.【重点难点】 重点：椭圆、双曲线参数方程。
难点：椭圆、双曲线参数方程的应用。
【问题导学】1. 椭圆22221y x a b+=的参数方程为 θ为参数。
这是中心在 ，焦点在 的椭圆。
θ称为椭圆的离心角。
2.椭圆12222=+bx a y 的参数方程为 θ为参数。
这是中心在 ，焦点在 的椭圆。
3.双曲线22221x y a b-=的参数方程： θ为参数，θ称为双曲线的离心角。
4.双曲线12222=-b x a y 的参数方程为 θ为参数。
【合作探究】例1、求椭圆14922=+y x 上的点M 到直线l ：x+2y-10=0的最大距离和最小距离,并求此时点的坐标．（28页例1）例2、实数y x ,满足1162522=+y x ，求y x z 2-=的最大值和最小值。
（29页思考）例3、如图，设M 为双曲线)0,(12222>=-b a by a x 上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A 、B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？（31页例2）例4、已知等轴双曲线2222x y a -=上任意一点P ，求证:点P 到两渐近线的距离之积为常数.（34页3题）【当堂检测】1.把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x2. 双曲线()2tan 4sec x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数的离心率是 （ ）A ．32B ．2C ．52D ．23、双曲线23tan 6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
4、已知椭圆12222=+by a x 上任意一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B1、B2的连线分别与x 轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1x y a b+=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==，||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩中参数θ的意义类似吗？由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
高中数学 第13节 椭圆的参数方程学案
第13节 椭圆的参数方程一、学习目标：(1).椭圆的参数方程.(2).椭圆的参数方程与一般方程的关系。
（3）．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的熟悉，明白得参数方程与一般方程的彼此联系．并能彼此转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与一般方程的彼此转化学习难点：(1)椭圆参数方程的成立及应用.(2)椭圆的参数方程与一般方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，依照导学案的导引进行自主合作探讨式学习四、知识链接:将以下参数方程化成一般方程1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x2 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x 五、学习进程：(一)椭圆的参数方程1核心在x 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x2核心在y 轴: )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==a y b x (二)典型例题例1参数方程与一般方程互化1把以下一般方程化为参数方程. (1)19422=+y x (2)11622=+y x2把以下参数方程化为一般方程(1) )(sin 5cos 3为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x (2) )(sin 10cos 8为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x 练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，那么此椭圆的长轴长为 ______，短轴长为_______，核心坐标是________，离心率是_-________。
例2、在椭圆8822=+y x 上求一点P ，使P 到直线l ：04=+-y x 的距离最小. 例3、已知椭圆 16410022=+y x 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD 的最大面积。
六、课堂练习：( ) 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=⎩)2,0(),3,1(),0,3(),3,2()sin 2,cos 3(1πθθθ、点、点、点、点所确定的曲线必过变化时，动点、当参数D C B A P。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程一、基本说明1模块：高中数学选修4-42年级：高中二年级3所用教材版本：人民教育出版社4所属的章节：第二讲5学时数： 40分钟二、教学设计1、教学目标：知识与技能：了解椭圆参数方程的推导过程及椭圆参数方程中参数的几何意义；掌握椭圆的参数方程，会用椭圆参数方程解决一些简单的应用问题。
过程与方法：通过学习椭圆的参数方程，进步完善对椭圆的认识，同时使学生更熟悉和掌握坐标法，提高分析问题与解决问题能力，掌握类比的学习方法。
情感态度与价值观：通过利用信息技术激发学生学习数学的热情，感受信息技术在数学中的作用，实现信息技术与数学课程的有机整合，使学生更好地理解数学的本质，主动地探索和研究数学。
2、内容分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，在选修1-1中就已学过椭圆的定义及性质。
这节课主要学习椭圆的参数方程。
它是在学习了圆的参数方程的基础来学习的，它后面将要学习双曲线的参数方程，因此它有承上启下的作用。
本节是以学生熟悉椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用，同时引导学生从不同的角度认识椭圆的几何性质。
这节课的重点是了理解椭圆参数方程的推导过程、椭圆参数方程中参数的几何意义及椭圆参数方程的简单应用3、任务分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，由椭圆的标准方程通过纯粹的代数和三角变换得椭圆的参数方程并不难，难的是参数方程中参数的几何意义。
利用信息技术从参数连续变化形成椭圆的过程中认识参数的几何意义，生动、形象，易于学生接受理解。
在解决问题过程中，用一题多解的形式培养学生的发散思维，通过比较各种解法，从中获取最优解法，体现出本节课参数方程的重要性和优越性。
通过讨论，培养学生团结协作的精神。
4、教学方法和教学策略分析：本节课采用“高中数学新课程与信息技术整合教学的双主教学模式”①，课件制作主要用PPT和几何画板。
注：①湖南省教育科学“十一五”规划课题《高中数学新课程与信息技术整合有效性的研究》中探索的一种教学模式三、教学基本流程四、教学过程设计教学反思:人们对事物的认识是不断加深，层层推进。
2019-2020学年高二数学《椭圆的参数方程》学案.doc
2019-2020学年高二数学《椭圆的参数方程》学案教学目标：分析椭圆的几何性质，选择适当的参数，写出它的参数方程；应用椭圆的参数方程解决解析几何中距离等问题教学重点：椭圆的参数方程，及它在解决距离等问题中的应用教学难点：椭圆参数方程中参数的几何意义教学过程：一、椭圆的参数方程复习：圆的参数方程是什么？参数的几何意义如何？练习：类比圆的参数方程写出椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一个参数方程．思考：类比圆的参数方程中参数θ的几何意义，椭圆的参数方程方程⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 中的参数ϕ的几何意义是什么？如图：以原点O 为圆心，b a 、为半径分别做两个同心圆．设A为大圆上的任一点，连接OA 与 小圆交于B ．过A 做x 轴的垂线，过B 做y 轴的垂线，两垂线交于M ．设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是)(y x 、，则A 的横坐标为x ，B 的纵坐标为y ．由于A 、B 两点都在ϕ的终边上，由三角函数的定义可知：ϕϕcos cos ||a OA x ==，ϕϕsin sin ||b OB y ==当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了M 的轨迹，其参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x )(为参数ϕ，易知为椭圆12222=+by a x ． 在椭圆的上述参数方程中，通常规定)2,0[πϕ∈．由上可见椭圆的参数方程中的参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），而不是OM 的旋转角，有别于圆的参数方程中的θ的几何意义．另外，椭圆的参数方程也可写成⎩⎨⎧==ϕϕcos sin b y a x )(为参数ϕ，但此时参数ϕ没有明显的几何意义．二、椭圆参数方程的应用原理：椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，则椭圆上任意一点)(y x M 、的坐标又可写成)sin ,cos (ϕϕb a M例1．在椭圆14922=+y x 上求一点M ，使得点M 到直线l ： 0102=-+y x 的距离最小，并求出最小距离．分析：椭圆与直线l 的位置如上图，将l 平移至与椭圆第一次相切，切点为M ，则M 为椭圆上到直线l 距离最小的点，可以求出切线l '的方程，然后与椭圆方程联立求出M 坐标，进而求M 到l 的距离，可想而知，其中计算量相当大． 换个角度思考，若用椭圆的参数方程进行三角代换能否简化解题过程？练习：已知实数x 、y 满足方程1162522=+y x ，求y x 2-的最值，并求出相应的x 、y 的值．。
高中数学_椭圆的参数方程教学设计学情分析教材分析课后反思
《椭圆的参数方程》教学设计学情分析：学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。
因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生探究教科书第28页图2－8的建立过程，体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题；椭圆参数的几何意义是本节的难点。
效果分析椭圆的参数方程一节，主要目的在于让学生理解并掌握椭圆的参数方程，培养类比能力及探究意识，让学生更深入地体会参数方法的优越性。
在本节课的设计上，整体思路是通过类比圆的参数方程的研究方式，学生选取适当的参数，合作探究椭圆的参数方程，在探究过程中，教师利用几何画板动态演示椭圆的形成过程，帮助学生在几何图形中观察获得变量关系。
在例题练习的选择上，考虑文科学生的认知特点，本着由简单到复的原则，由浅入深，逐层推进，在例题的解决过程中，采取教师引导、学生列式的模式，从而达到落实重点、突破难点的目的；在作业的布置上，梯度性设置，尊重不同学生的个性化发展，满足学生的多样化学习需求。
本节课的整体设计思路是合理的。
1、用几何画板动态演示椭圆的形成过程，通过动态演示，类比圆的参数的选取，便于学生更直观、更有效的选择适当的参数，从而获得关系式，更有效地体会椭圆参数的几何意义，以及其与圆的参数几何意义的区别与联系；同时再次让学生体验了合作探究的过程，提高合作探究意识与能力。
2、设立学案较好，包含主体内容，流程也较为清晰；但仍需要进一步完善、规范学案的设计，使学案能够更有效地帮助学生学习。
3、在例2的求结果过程中，在必要时复习辅助角公式，而不是将它放在复习回顾环节中，有利于学生对问题的整体把握，便于学生整理解题思路，从而提高分析问题、解决问题的能力。
4、基于学生的特点，设置较为基础的练习，有利于帮助学生建立自信，从而提高学习数学的积极性。
教材分析本节内容是在高中数学选修2-1.椭圆的标准方程之后的升华。
椭圆的参数方程 教案
椭圆的参数方程教学目的要求；1、使学生掌握参数方程与普通方程的关系教学重点；椭圆的参数方程与变通方程互化教学难点：椭圆参数方程的应用.教学方法：师生共同讨论法学法指导：通过学生自学的实践，使学生在自学中掌握方法提高自己获取知识的能力及分析问题、解决问题的能力，在教师分析指导的基础上让学生完成解题表述过程，训练表述的逻辑性、完整性和推理的严密性、严谨性.教具准备：投影片一、椭圆的参数设法：１、普通方程：12222=+by a x ２、参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩ 为参数 )说明：1、参数方程的三角形式2、作用：表示曲线上任意一点的坐标练习: （1）已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x (θ是参数)，则它的标准方程是______.２、已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3cos y x (θ为参数)，则此椭圆的长轴长是______，短轴长是______，焦点坐标是______，准线方程是______，离心率______.注意：(1)椭圆的普通方程化为参数方程结果不是惟一的.(2)把椭圆的普通方程化为参数方程熟练之后，在求椭圆上的点到定点或定直线的最大、最小距离时，将是很方便的.例1、 求椭圆12222=+by a x (0)a b >>的内接矩形的最大面积。
例２、(,)P x y 为椭圆：22194x y +=上任意一点，试求（1）x y +的最大值及相应P 点坐标 （2）点P 到直线2100x y -+=的距离的最小值及相应P 点的坐标。
例3、 在椭圆上2214x y +=运动，点B 在圆：221(2)3x y +-=上运动，求|AB|的最大值、最小值练习：1、在椭圆17422=+y x 上到直线l :3x -2y -16=0距离最短的点的坐标是______，最短距离是______.2、椭圆12222=+by a x 上任一点Ｍ（非短轴端点）与短轴端点1B 、2B 的连线交Ｘ轴于Ｎ和Ｋ，求证：OK ON •为定值四、课后作业：课本P 103习题8.210，11五、板书设计椭圆的参数方程参数方程 例１ 例２普通方程练习练习 小结教后感：。
吉林省东北师范大学附属中学2020高中数学4.4.11椭圆的参数方程学案(无答案)新人教版选修4
y
asi n
（为参数）
合作探究
椭圆的参数方程
1焦点在x轴：
x a cos
y bsi n
（为参数）
2焦点在y轴：
x bcos
y asi n
（为参数）
应用示例
参数方程与普通方程互化
1把下列普通方程化为参数方程.
2 2
(1宀1
49
1
(2)
2x
2
丄1
16
2把下列参数方程化为普通方程
“、x 3cos/*仝舲、…、x8cos/斗仝来件、
⑴（为参数）⑵（为参数）
y 5si ny 10s in
x 2cos
A练习：已知椭圆的参数方程为.（是参数）,
y sin
贝毗椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦点坐标是，离心率是-。
B例2、在椭圆x28y28上求一点p,使P到直线1:x y4 0的距离最
小.
思考：
2 2
与简单的线性规划问题 进行类比，你能在实数x,y满足—丄1的前提
2516
求出z x 2y的最大值和最小值吗？
x2y2
C例3、已知椭圆—— —1有一内接矩形ABCD求矩形ABCD勺最大面积。
10064
达标检测
1、当参数 变化时，动点P(3cos ,2sin)所确疋的曲线必过
A、点(2,3),B、点(3,0),C、点(1,3),D、点(0—)
2
2、已知圆的方程为x y 4xcos 2ysin 3cos0,(为参数),
课题
学案11
椭圆的参数方程
学习目标
1.椭圆的参数方程•
2.椭圆的参数方程与普通方程的关系。
学习重点
椭圆参数方程的推导•参数方程与普通方程的相互转化
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椭圆的参数方程
学习目标：
1.建立椭圆的参数方程，正确理解参数的几何意义
2.利用参数方程解决一些简单的问题
学习重难点：利用参数方程解决一些简单的问题
预 习 案
一、复习引入
1、回忆圆222ryx的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
2、令cosax推导椭圆12222byax)0(ba的参数方程是？
探 究 案
1、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆（a>b>0）。点A是大圆上任意一点，
点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当
半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
通常规定参数的范围为
2、参数的几何意义
思考：
1.椭圆sincosbyax )(为参数与圆sincosryrx )(为参数中参数与的意义类似吗？
2.∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？若可能，共有多少次？
3. 参数的几何意义是
注意：参数是椭圆的离心角，而不是旋转角。
3、p28中的探究：求点M的轨迹的参数方程
4、思考：sincosaybx (为参数)（a>b>0）表示什么曲线？
5、典例分析
例1：在椭圆14922yx上求一点M，使点M到直线0102yx的距离最小，并求出最小
距离。
课堂小结
我的疑惑
练 习 案
1：把下列普通方程化为参数方程.
1.1164922yx 2. 164922yx
2.把下列参数方程化为普通方程
1、sin2cos3yx(为参数) 2、 sin7cos4yx(为参数)
3、在平面直角坐标系xoy中，设(,)Pxy是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大
值。
4、已知椭圆22221(0)xyabab,求椭圆内接矩形面积的最大值