19.图形的面积及旋转体体积
旋转体的体积
一，复习引入（1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关（2）并且掌握了定积分的直接积分法（3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法（4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？新课：二、体积1、旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.计算由曲线y f x=()直线x a=，x b=及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而生成的立体的体积.取x为积分变量，则],[b ax∈，对于区间],[ba上的任一区间],[dxx x+，515教学步骤及教学内容时间分配它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(xf为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为[]dxxfdV2)(π=所求的旋转体的体积为[]dxxfVba⎰=2)(π例1求由曲线xhry⋅=及直线0=x，)0(>=hhx和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体积.解：取x为积分变量，则],0[hx∈hrdxxhrdxxhrVhh222223πππ=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算.1510个平面之内，以)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积.取x为积分变量，它的变化区间为],[ba.立体中相应于],[ba上任一小区间],[dxx x+的一薄片的体积近似于底面积为)(xA，高为dx的扁圆柱体的体积.即：体积微元为dxxAdV)(=于是，该立体的体积为dxxAV ba⎰=)(例2 计算椭圆12222=+byax所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积.解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22xaaby-=及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体.在x处)(axa≤≤-，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为222)()(xaabxA-⋅=π2222234)()(abdxxaabdxxAVaaaaππ=-==⎰⎰--三. 三、定积分在经济学中的应用定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函数R(q)可以表示为1515。
空间几何旋转体的表面积与体积
空间几何旋转体的表面积与体积空间几何常常涉及到旋转体的表面积与体积的计算，这在数学中具有重要的理论和应用价值。
本文将介绍旋转体的概念，并探讨如何计算旋转体的表面积与体积。
一、旋转体的概念旋转体是指由平面图形绕某一轴旋转而生成的立体图形。
在数学中，旋转体通常围绕x轴、y轴或z轴旋转。
根据旋转轴的不同，旋转体可以分为横截面旋转体和轴截面旋转体。
横截面旋转体是指当一个平面图形沿与它平行的轴旋转一周，形成的立体图形。
常见的横截面旋转体有圆柱体、圆锥体和球体。
其中圆柱体是由一个矩形或圆形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成，圆锥体是由一个三角形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成，而球体是由一个圆形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成。
轴截面旋转体是指当一个平面图形沿与它的一个边垂直的轴旋转一周，形成的立体图形。
常见的轴截面旋转体有圆盘和球壳。
圆盘是指由一个圆形边界沿着与边界垂直的轴旋转一周形成，球壳是由一个圆形边界沿着与边界垂直的轴旋转一周形成。
二、计算旋转体的表面积计算旋转体的表面积需要根据旋转体的类型进行计算，下面将分别介绍横截面旋转体和轴截面旋转体的表面积计算方法。
1. 横截面旋转体的表面积计算对于圆柱体的表面积计算，可以利用公式S = 2πrh + 2πr²，其中r是圆柱体的底面半径，h是圆柱体的高。
对于圆锥体的表面积计算，可以利用公式S = πrl + πr²，其中r是圆锥体的底面半径，l是圆锥体的斜高。
对于球体的表面积计算，可以利用公式S = 4πr²，其中r是球体的半径。
2. 轴截面旋转体的表面积计算对于圆盘的表面积计算，可以利用公式S = πr²，其中r是圆盘的半径。
对于球壳的表面积计算，可以利用公式S = 2πrh，其中r是球壳的半径，h是球壳的高。
三、计算旋转体的体积计算旋转体的体积同样需要根据旋转体的性质进行计算，下面将分别介绍横截面旋转体和轴截面旋转体的体积计算方法。
旋转体体积公式大全
旋转体体积公式大全大家好,小豆豆来为大家解答以上的问题。
旋转体体积公式大全，体积公式大全这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！1、不同形状的物体体积计算公式是不同的，下面是各种不同图形体积计算公式：正方体体积=a³ a为棱长。
2、2、长方体体积=长×宽×高。
3、3、圆柱体体积=πr²h 即底面积×高。
4、4、圆锥体体积=1/3πr²h 即1/3×底面积×高。
5、5、球体体积=4/3πr³。
6、扩展资料：体积的单位换算：1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸2、1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸3、1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码4、1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米5、1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=立方毫米6、1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=立方毫米7、1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）8、1 加仑(美) =0. 立方米 =0. 加仑（英）长方体的体积 =长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 常规公式(s是底面积h 是高)圆柱公式(r代表底圆半径h代表圆柱体的高)棱柱公式(底面积x高)长方体公式(a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)正方体公式用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为锥体体积常规公式(s是底面积h是高)圆锥体公式圆锥体体积=(s是底面积h是高)不同图形体积计算公式：长方体：（长方体体积=长×宽×高）/2、正方体：（正方体体积=棱长×棱长×棱长）2、圆柱（正圆）：【圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高】3、立体图形的体积都可归纳为：（底面积×高）4、圆锥（正圆）：【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3】5、角锥：【角锥体积=底面积×高/3】6、球体：【球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方)】7、棱台：注：v：体积；s1：上表面积；s2：下表面积；h：高。
考研数学-专题11 平面域的面积与旋转体的体积
_______ .
[ 3 − ln 2] 2
∫x
【例 2】设 f (x) = t t d t, 则曲线 y = f (x) 与 x 轴所围成封闭图形的面积 −1 为 _________ . x
∫ 【解】 由于 t t 为奇函数，则 f (x) = t t d t 为偶函数， −1 而 f ′(x) = x x < 0, (x < 0), f (−1) = 0,
0
0
D y≥0
∫ = 2π π (1+ cosθ )3 sinθdθ = 8π
30
3
【例
10】已知曲线
L
:
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
f (t), (0
cos t
≤
t
<
π) 2
，其中函数
f
(t) 具有连续导数，且
f (0) = 0, f ′(t) > 0(0 < t < π ). 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1. 2
∫ = 4π
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
∫ = 4π 2 1− (x −1)2 dx 0
= 4π ⋅ π 2
(奇偶性平移) (定积分几何意义)
= 2π 2
方法二 Vy = 2π ∫∫ r(x, y)dσ = 2π ∫∫ xdσ
D
D
3
= 2π ∫∫[(x −1) +1]dσ D
(B)
【例 4】 设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2x 所确定,试求
(Ⅰ)图形 A 绕 y 旋转一周所得旋转体的体积;
旋转体表面积和体积的数值计算
记录表格中查出。则它就是我们将函数曲线分段的估计值。 模型二：分段最小二乘拟合 我们将所得到的384个边界位置点，我们根据前面分析所得出的斜率单变点分析的 结果，根据求出的分段点进行分区域，分别对各个区域进行拟合。 在边界曲线位置点的坐标集合中，每个区域中的位置的坐标可以表示为：
n
{( xi , yi )}(i 1, 2,3,..., n) ，选择函数类类型 P( x ) ，令
2013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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旋转体表面积和体积的数值计算
摘要
本文针对已给的花瓶侧面投影图，要求在读入图片的基础上，分析其中像素点的特 征，观察其边界曲线的变化轨迹和趋势，利用 matlab 等数学工具，通过积分、微分、 拟合、插值、和误差分析等不同数学模型对得到的数据进行处理，画出该花瓶的三维立 体图形，并计算其表面积和体积。 针对问题一，我们首先通过 matlab 程序实现图片数据的导入，并取出其边界点， 对其边界像素坐标进行分析后， 我们发现图片中黑色像素点的每一行的中点完全处于同 一竖直轴线上，即该图形严格对称。于是我们把花瓶的每一个横截面看作圆来处理。分 离出花瓶一侧的曲线，以它的中轴为横轴，以平面上垂直于中轴的方向为纵轴建立坐标 系。采用斜率单变点分析方法，利用斜率变化幅度的二阶差分，找到斜率变化加速度最 大的分界点，将之分成 4 段，然后利用多种曲线拟合模型得到每一段的函数表达式，并 在原图像上取点，使用残差分析的方法，比较各拟合模型的优劣，确定最佳拟合结果。 最后重新确立三维坐标轴，使边界线沿原二维坐标系中图像的对称轴旋转，获得所需旋 转曲面模型的数值表达式，即
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
旋转体体积与平面图形的形心和面积
旋转体体积与平面图形的形心和面积
倪华;田立新;曹子云;虞峥峥;蔡峰
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2013(16)4
【摘要】分析平面图形旋转体体积计算公式,建立旋转体体积与平面图形的形心及面积之间的关系,并给出鲁金定理的一个新证明.
【总页数】3页(P50-52)
【作者】倪华;田立新;曹子云;虞峥峥;蔡峰
【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.讨论平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积的关系 [J], 杨振;窦龚伟
2.平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积与侧面积 [J], 吴旭亭
3.利用形心坐标公式计算旋转体的表面积和体积 [J], 吴雄华;裴永珍
4.平面图形的形心在旋转体体积计算中的应用 [J], 徐胜荣; 包西洋
5.利用形心坐标公式计算旋转体的表面积和体积 [J], 吴雄华;裴永珍
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直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积共40页
所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
A
1
2
r2
d
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 2a2cos2 (a0)所围平面图形的面积。
3a2
2
21cos4t1costdt
40
偶次方化倍角
3 a 2
21 co s4 t co stco s4 tco std t
...
3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 yx3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 yx3 , y 1 , x 0 1
绕x轴旋转一周
Vx
1dx
0
1x6dx
0
6 7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
旋转体体积与面积关系
旋转体体积与面积关系旋转体体积与面积关系，这可真是个有趣的话题呢。
咱们先从简单的说起吧。
你看啊，就像做馒头一样。
假如我们把一个圆形的面饼想象成一个平面图形，这个面饼的面积就好比是平面图形的面积。
那要是我们把这个面饼绕着某条轴旋转起来，嘿，就像在手里转着玩似的，那这个面饼就变成了一个旋转体，就像个馒头一样。
这个馒头的大小，也就是它的体积，和之前面饼的面积可是有联系的。
比如说圆柱体吧。
你知道圆柱体怎么来的吗？就可以想象成是一个长方形绕着它的一条边旋转得到的。
长方形的面积就是长乘以宽，那这个长方形转出来的圆柱体的体积呢，就是底面积乘以高。
这底面积就是那个绕着转的边为半径的圆的面积。
你想啊，这就好像是用一片片的小面饼（圆面积）堆积起来得到了一个大馒头（圆柱体体积），这中间的关系是不是很奇妙呢？再看圆锥体。
圆锥就像是一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转出来的。
三角形的面积是底乘以高除以2，那圆锥的体积就是三分之一乘以底面积乘以高。
你看，这和三角形的面积也有着千丝万缕的联系。
这就好比是把三角形的面积进行了一种特殊的“变身”，变成了圆锥的体积。
这就像魔法一样，一个平面的东西，经过旋转，就变成了一个立体的，而且它们的计算还这么有规律。
还有球体呢。
你要是把一个半圆绕着它的直径旋转，就得到了一个球体。
球体的体积公式看起来挺复杂的，但是它也是和半圆这个平面图形的面积有着内在的联系。
你说奇怪不奇怪？这就像是一个本来平平的东西，一转就变成了一个圆圆的球，体积和原来的面积就像是有一条看不见的线牵着似的。
我们再从生活中找例子吧。
你看那些旋转木马，每一匹马可以看作是一个小的平面图形，当整个旋转木马转起来的时候，它所占据的空间大小（可以类比为体积），肯定和每匹马本身的大小（可以类比为面积）有关系啊。
如果马做得大一点（面积大），那整个旋转木马转起来所占的空间（体积）也会大一些。
那有人可能会问了，这有啥用呢？这用处可大了去了。
比如说在工程设计里，如果要做一个像柱子一样的圆柱体结构，你就得先算好它的体积和面积的关系。
多面体与旋转体的表面积和体积
版
面．
数 学
一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何
体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯
视图．
一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影
面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平面
内的图形叫做正视图．
第九章 立体几何
和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投
影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几
答案：D
第九章 立体几何
[例4] 已知四棱锥P－ABCD的直观图及三视图如图所
示．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
人 教
A
(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
版 数
学
(3)若E是侧棱PC上的动点，不论点E在什么位置，是
否都有BD⊥AE？证明你的结论．
第九章 立体几何
解析：(1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四棱
定的平面表示水平平面．
第九章 立体几何
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观
图中分别画成平行于x′轴，y′轴、z′轴的线段．并使它们和
所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标
轴的位置关系相同．
人 教
A
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保
版 数
学
持长度不变，平行于y轴或在y轴上的线段，长度为原来的
做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球．
(2)球的截面性质
人 教
A
①用一个平面去截球，截面是圆面．
版 数
学
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有
下面的关系：
(如图)
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y
C B x x2 ( y ) 2 a 绕 y轴旋转的旋转体体积 x x1 ( y ) A 可看作平面图OABC 与OBC o 2 a x 分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差 .
V y x 2 ( y)dt x 1 ( y)dt
2 2 0 0 2a 2a
a 2 ( t sin t ) 2 a sin tdt
x a sin t
y
b
O
b 2 2 y a x a
x x dx a
x
-b
4ab 2 1 sin 2 t cos tdt 4ab 2 cos 2 tdt 0
0
t 4ab( 2
si n2t
4
) 2 ab 0
例3-53 求抛物线 y 2 2 x和直线 y x 4 所围成 的图形的面积.
2
2
a
得出所求的体积为
2 x V1 b 2 (1 2 )dx -a a a 2 b a 2 2 2 (a x 2 )dx a 0 a
b
O
x2 y b 1 2 a
a
x
-b
b x a 4 ab 2 2 2 2 (a x ) a 3 0 3
2 3
2 y 2 2 ② 将椭圆方程化为 x a (1 2 ) b b 2 y 由公式 x dy
2
a ( t sin t ) a sin tdt
2 2 0
a
3
0
2
3 3 6 a . ( t sin t ) sin tdt
2
主要内容
1.微元法 2.求平面图形的面积 求旋转体的体积
2
y
y f ( x)
x x dx
x
2 dV [ f ( x )] dx V [ f ( x)] dx 即
旋转体的体积为 V
[ f ( x)] dx y dx
2 2 a a
b
b
同理,由连续曲线 x ( y )(c y d )与直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的曲边梯形，绕 y 轴旋转一周而形成 的旋转体体积.
得两曲线的交点
y2 2 x 解 解方程组 y x4
( 2,2) (8,4)
解法一
S2
选
x为积分变量
S1
A S1 S2
[ 2 x ( 2 x ) ]dx [ 2 x ( x 4)]dx
0 2
2
8
2
2
0
2 x dx [ 2 x x 4]dx
2
8
3 3 8 4 2 22 2 2 2 1 2 x ( x x 4 x) 3 0 3 2 2
18
解法二
选 y 为积分变量
y2 A ( y 4 )dy 2 2
4
1 2 1 3 4 [ y 4y y ] 2 6 2
18
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋 转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
a
得出所求的体积为
2 y V2 a 2 (1 2 )dy -a b b 2 a b 2 2 2 (b y 2 )dy b 0 b
b
O
y2 x a 1 2 b
a
x
-b
a 2 y b 4 a 2b 2 2 (b y ) b 3 0 3
2 3
特别当 a= b
c
d
y
d
y dy
x 1 ( y )
x 2 ( y )
y
o
c
x
x2 y2 例3-52 求椭圆 2 2 1 的面积 S . a b
解 由椭圆的对称性,所 求面积等于第一象限面积的 4倍 . b 2 面积元素 dS a x 2 dx -a a a b 2 2 S 4 a x dx 0 a
第三节
定积分的应用
一、平面图形的面积
二、旋转体的体积
微元法
回忆 曲边梯形面积的求法
(1)分割
(2)近似
y
y=f (x)
(3)求和
(4)取极限
O
a
xi xi xi
b
x
S lim f ( i )xi a f ( x )dx
b
n
0
i 1
y
y=f (x)
分析
O
若用 A 表示任一小区间
a
x x dx
b
x
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A ，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
一般解决实际问题的基本步骤
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 x 为积 分变量，并确定它的变化区间[a , b]；
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2
2 a
0 2
y 2 ( x )dx
2
2a
a (1 cos t ) a(1 cos t )dt a
0 2 3
0
(1 3 cos t 3 cos 2 t cos 3 t )dt
5 a .
（2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任一小区 间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分量 A 的近似值。列出所求量的微元
dA f ( x )dx
(3) 对上式积分,即得所求量A的定积分表达式
A dA f ( x )dx
a a
b
b
以上用定积分解决实际问题的方法称为微元法. 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
由曲线 y f1( x) 、y f 2 ( x)( f 2 ( x) f1 ( x)) 和直线 x a 、
一、平面图形的面积
x b(a b) 所围成的平面图形.求其面积A. y
y f 2 ( x)
o
y f1 ( x)
a
x
x dx
b
x
现用微元法求解:在 [a , b]内任取一小区间 [ x , x dx ] , 它所相应的窄条面积,近似等于高为 f 2 ( x) f1 ( x) (以直代 曲)、底为 dx 的窄条矩形面积,故微元 dA [ f 2 ( x) f1( x)]dx
圆柱
圆锥
圆台
下面用微元法来求由连续曲线 y f ( x )(a x b) 、 直线 x a 、x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的旋转体体积.
任取 x [a , b] ,给 x 一 个增量 x,得一微小小区间 [ x , x dx ] ,它所对应的小旋 o 转体体积 V 可近似看作是 以 f ( x ) 为底半径、以dx 为 高的圆柱体体积.
因此
A [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
a
b
2 y x 例3-51 求由抛物线 和 x y 2所围成的图形
的面积.
y x2 解 解方程组 2 x y
得两曲线的交点 (0,0)、(1,1)
(1,1)
所求面积为
A 0 ( x x 2 )dx
2 3 x 1 2 x . 3 0 3 3
3 1
1
x 2 ( y)(2 ( y ) 1 ( y)与直 同理,由曲线 x 1 ( y) 、 线 y c 、y d (c d ) 所围成的平面图形的面积为
A [2 ( y ) 1 ( y )]dy
V [ ( y)] dy
2
d
c
y
d
x dx
2 c
d
x ( y)
c
o
x
x y 例3-54 求由椭圆 2 2 1 绕 x 轴和 y 轴而成的 a b 椭球体的体积.
x 解 ①将椭圆方程化为 y b (1 2 ) a b 2 y y dx 由公式
2 2 2
4 3 时 旋转体成为球体 V1 V2 a 3
图形绕 y 轴旋转而成的旋转体体积.
x y 1 围成的 例3-55 求由曲线 y 与直线 x 0 、 4
解 由公式
1
2
x dy
2 a
b
得出所求的体积为
V x 2dy
0
4 ydy
0
1
2y
2
1 0
2
例3-56 求由抛物线 y x 2 、直线 x 2及 x轴所 围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得的体积.
解 所求体积为圆柱 体的体积减去中间杯状物 的体积
4
y
V 2 dy ( y )2dy
2 0 0
4
4
(4 y )dy042o
2
x
8
例 3-57 求摆线 x a ( t sin t ) ， y a (1 cos t ) 的 一拱与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转构 成旋转体的体积 .