人教版七年级数学下《消元——解二元一次方程组》知识全解

《消元——解二元一次方程组》知识全解
课标要求
学会用消元法解一元二次方程组，包括两种消元的方法，代入消元法和加减消元法。

会根据实际问题列二元一次方程组，并会用二元一次方程组解决实际问题。

知识结构
（1）消元
“消元”是解二元一次方程组的基本思路．所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数．是通过具体的方程组的讨论，先归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，然后在这种思想指导下从具体到抽象，从特殊到一般地认识代入消元和加减消元的实施过程．
（2）代入消元法
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
代入法中把一个未知数替换为含另一个未知数的式子，两者是相等的，这样做的依据是等量代换．
代入消元法的一般步骤：
①在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式；
②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④将这个求得的未知数的值，再代入求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用括号“﹛”联立起来．
注意：
一般的，在二元一次方程中，当有一个方程的某个未知数的系数的绝对值为１，或有一方程的常数项为0时，用代入法比较简便；
在上述的第②步中，必须理解“另一个”的含义．可尝试不代入“另一个”的结果，通过正反两方面对比，加深对它的理解．
（3）加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法．加减消元法的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一未知数的系数互为相反数或相等；
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
④将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“﹛”联立起来，就是方程组的解．
加减消元的依据是等式的基本性质．
（4）检验求得的一对未知数的值是不是原方程的解
方法：将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若都相等，则是原方程的解．只要有一个方程的左右两边不相等，就不是原方程组的解．
（5）列二元一次方程组解应用题的步骤：
①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；
②找出能够表达应用题全部含义的两个相等关系；
③根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
④解这个方程组，求出未知数的值；
⑤写出答案．
注意：
①解实际应用题必须写“答”，而且在写答前要根据应用题的实际意义，检验求得的结果是否合理，不符合题意的就应该舍去．
②“设”“答”两步都要写清单位名称．
内容解析
“消元”是本节的核心，本节主要内容为二元一次方程组的解法---代入消元和加减消元，这一节首先从解方程组的需要出发，从解决问题的基本策略的角度认识消元思想．然后讨论两种通过消元解方程组的常用方法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般步骤．
重点难点
本节的重点是解二元一次方程组，难点是理解两种方法的基本思想．
教法导引
本节教学可采用大胆放手让学生观察、试验、试一试的方法，在此基础上引导学生得出解二元一次方程组的第一种方法→代入消元法，并归纳出解题步骤．在用代入消元法解题时鼓励学生提出问题，我们会发现未知数系数都不是１或－１时，用代入法运算较麻烦．进而引入解二元一次方程的第二种方法→加减消元法．通过训练让学生体会加减法解方程的技巧．渗透化归的数学思想，让学生了解数学问题的常用的思考方法、思维方法．
学法建议
观察、试验、比较；同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法．。