高二数学周测卷 (2)
2024-2025学年江西省高二上学期11月期中联考数学检测试题(北师大版)含解析
2024-2025学年江西省高二上学期11月期中联考数学检测试题（北师大版）一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足（i 是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）z ()1i i z +=z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量，的夹角为，，，则（ ）a b 120︒1a = 2b =a b -=r r A ．3B ．7C ．D ．373．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）10a =420ax y +-=250x y b -+=A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（）a b cA ．B ．{,,}a b a b a +-+{,,}a b a b b +-+ C ．D ．{,,}a b c a b c +++ {,,}a b a b c +-+ 5．已知，，定义为，两点的“镜像距()11,P x y ()22,Q x y ()()221212PQ d x y y x =-+-P Q 离”.若点和点在圆上，则，两点的“镜像距离”是()1,P m (),1Q n -224x y +=P Q （ ）A ．或B ．2或C ．2或4D ．或42213+2213+6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线22:12x C y +=F F l C ,A B 的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（ ）l 322AB =l y A ．1B ．－1C ．D ．2222-7．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是x 42sin sin 30x t x --<t （ ）A ．B ．(),2-∞-()2,-+∞C ．D ．(),2-∞()2,+∞8．已知偶函数的定义域为，，且，则()f x R ()()22f x f x +--=-()01f =（ ）()20251k f k ==∑A ．B ．C ．D ．2023-2024-2025-2026-二、多选题（本大题共3小题）9．设，对于直线，下列说法中正确的是（ ）R k ∈:10l x ky ++=A ．的斜率为l k-B ．在轴上的截距为－1l x C ．不可能平行于轴l y D ．与直线的距离是l 20x ky ++=211k +10．已知为坐标原点，，圆，则（ ）O θ∈R ()()22:cos sin 1C x y θθ-+-=A ．圆恒过坐标原点C OB ．圆与圆内切C 224x y +=C ．直线与圆相离()cos sin 0x y ααα+=∈R C D ．圆的圆心在单位圆上运动C 221x y +=11．点为抛物线上一点，为的焦点，为坐标原点，连接并延M 27:2E y x=-F E O MF 长交抛物线于点，且，则（ ）E N 7148MF =A ．的准线方程是E 74x =B ．点的坐标为或M (14,7)-(14,7)--C ．直线的方程是MN 81570x y ++=D ．1187MF NF +=三、填空题（本大题共3小题）12．设，是函数的零点，则的值为 ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭()225309f x x x =-+()tan πϕ+.13．现有10名巴黎奥运会志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，从中随机地接连抽取3名（每次取一个），派往参与高台跳水项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是 .14．过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的()4,6P --l x y A B OAB △最小值是，此时直线的方程是.l 四、解答题（本大题共5小题）15．阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知()0,1λλλ>≠，，动点满足.()2,0A -()4,0B P 12PA PB =(1)求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程；P (2)若点，求的最小值和最大值.()3,5Q -PQ16．记内角、、的对边分别为，，，已知，ABC V A B C a b c 32c b =.222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-=(1)求角的大小；B (2)若角为锐角，且的面积为，求的边长.B ABC V 33+c 17．已知直线与抛物线交于，两点，且线段:()l y x m m =-∈R 2:2(0)C x py p =>M N 的中点的横坐标为 1.MN P (1)试确定的值；p (2)若直线与椭圆有公共点，且抛物线的准线与此椭圆的一个交点是l 2221(0)5x y b b +=>C ，求的取值范围.053,4Q y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭m 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点，且2221(0)4x y b b -=>1F 2F P 直线与轴垂直.2PF x (1)证明：；2124PF PF b +=+(2)若的角平分线恰好过点，求的面积.12F PF ∠(1,0)D 12PF F 19．法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理.(1)求椭圆的蒙日圆方程；22:132x y E +=(2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日()2222:10x y C a b a b +=>>O C ()00,P x y C 圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是PM PN C M N MN .00221x x y ya b +=（i ）证明：平分切点弦；OP MN （ii ）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点S ，，证明.PM PN C T MN ST∥答案1．【正确答案】A【详解】由得，.在复平面内对应的点在第一象限.()1i i z +=()i 1i i11i 1i 222z -===++z 故选:A.2．【正确答案】D 【详解】，.22221212cos12047a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯︒+=r r r r r r 7a b -=故选：D.3．【正确答案】A【详解】当时，直线与直线中，，10a =10420x y +-=250x y b -+=1024(5)0⨯+⨯-=它们互相垂直，当直线与直线互相垂直时，，，420ax y +-=250x y b -+=()2450a +⨯-=10a =所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件.10a =420ax y +-=250x yb -+=故选：A4．【正确答案】D 【详解】选项A ：，三个向量共面，()()2a a b b a=+--故不能作为空间的一个基底，故A 不符合题意；选项B ：，三个向量共面，()()2a b b a b ++-=故不能作为空间的一个基底，故B 不符合题意；选项C ：，三个向量共面，()a b c a b c ++=++故不能作为空间的一个基底，故C 不符合题意；选项D ：假设不能作为空间的一个基底，则共面，{,,}a b b a c +- ,,a b b a c +-存在，使得，,R x y ∈()()()()c x a b y b a x y a x y b =++-=-++则向量共面，与题意矛盾，故不共面，,,a b c ,,a b b a c +-因此可以作为空间的一个基底，故D 符合题意.故选：D.5．【正确答案】C【详解】由题意得，，3m =±3n =±有四种情形：7．【正确答案】B【详解】由原不等式得，sin t （1）时，，不等式成立，sin 0x =03>-（2）当时，sin 0x ≠2sin t >(f x令，则，其中，2sin x m =()()3f x h m m m ==-01m <≤因为在单调递增，所以，因此，()3h m m m =-(]0,1()()max 12h x h ==-2t >-综合（1）、（2）可知，实数的取值范围是.t ()2,-+∞故选：B.8．【正确答案】C 【详解】，又是偶函数，则，()()22f x f x +--=-()y f x =()()22f x f x --=+可得，令为，()()22f x f x ++=-x 2x +则，因此，所以周期为4.()()242f x f x +++=-()()4f x f x =+()f x 因为，所以.()()022f f +=-()23f =-又因为，所以.()()112f f -+=-()11f =-因为，所以.()()132f f +=-()31f =-于是，.()()()()12344f f f f +++=-()()()2025145062025202412025k f k f f ==-⨯+=-+=-∑故选：C.9．【正确答案】BD【详解】时，的斜率为，时，直线的斜率不存在，A 错.0k ≠l 1k -0k =l 在中，令，则.B 对.10x ky ++=0y =1x =-当时，直线，平行于轴，C 错.0k =:10l x +=y 与直线的距离是.D 对.l 20x ky ++=2212111k k -=++故选：BD.10．【正确答案】ABD 【详解】对于A ，满足，所以A 对.()0,0()()22:cos sin 1C x y θθ-+-=对于B ，两圆的圆心距是1，，所以B 对.121R r =-=-对于C ，圆的圆心到直线的距离C cos sin 0x y αα+=，所以C 错.()22cos cos sin sin cos 1cos sin d θαθαθααα+==-≤+对于D ，圆的圆心的坐标满足方程.所以D 对.C ()cos ,sin θθ221x y +=故选:ABD.11．【正确答案】BD【详解】由抛物线，则，即，27:2E y x =-722p =74p =所以，准线方程是，故A 错误；7,08F ⎛⎫- ⎪⎝⎭78x =设，则，(),M a b 272b a =-而，7714288p MF a a =-=-=则，，即，14a =-249b =7b =±所以点的坐标为或，故B 正确；M (14,7)-(14,7)--当点的坐标为时，M (14,7)-直线的的斜率为，MN 708715148MN MF k k -===--+此时直线的方程是，即；MN 87158y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭81570x y ++=当点的坐标为时，M (14,7)--直线的的斜率为，MN 708715148MN MF k k --===-+此时直线的方程是，即，故C 错误；MN 87158y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭81570x y -+=对于D ，可以使用结论，下面进行结论说明：112MF NF p+=设抛物线，焦点，()2:20E y px p =->,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭过焦点的直线与抛物线交于，,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭l E ()()1122,,,M x y N x y 显然直线的斜率不为，设直线的方程为，l 0l 2pmy x =+联立，得，222p my x y px ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩2220y mpy p +-=12．【正确答案】34-【详解】由22530x x -+3π⎛⎫因此“恰有一名女志愿者”的概率为.()123777745454515P A A A ++=++=故答案为.71514．【正确答案】 4832240x y ++=【详解】设，，其中，，则直线的方程为.A (a,0)()0,B b a 0b <l 1x ya b +=在直线上，.()4,6P -- l 461a b --∴+=又，即，.462412a b ab --=+≥96ab ≥1482ab ∴≥所以，()()114822OAB S a b ab =--=≥ 当且仅当时取等号，再结合解得，，，46a b --=461a b --+=8a =-12b =-所以面积的最小值为48，ABC V 此时直线的方程为，l 1812x y+=--即.32240x y ++=故答案为.48,32240x y ++=15．【正确答案】(1)2280x y x ++=(2)最小值是，最大值是.264-264+【详解】（1）设动点，则就是，(),P x y 12PA PB =()()22222124x y x y ++=-+即，整理得，.()()22224244x y x y ++=-+2280x y x ++=故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为.P 2280x y x ++=（2）就是，其半径是4，2280x y x ++=()22416x y ++=圆心是，.()4,0M -12526QM =+=显然在圆外，故的最小值是，最大值是.()3,5Q -PQ264-264+16．【正确答案】(1)或π3B =2π3B =(2)22（i ）设点是切点弦Q MN 当，都存在时，OQ k MN k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩平分切点弦.OP MN 当，有一个不存在时，显然成立.OQk MN k （ii ）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，.ST ST O OS OP =QM QP =于是，，因此，故.OPS S ∠=∠OPS QMP ∠=∠S QMP ∠=∠MN ST ∥。
卷行天下周测卷的答案高二数学
卷行天下周测卷的答案高二数学1. 函数f(x)=2x−3在其定义域内是（） [单选题] *A. 增函数(正确答案)B. 减函数C. 既不是增函数也不是减函数D. 无法确定2. 函数f(x)=−x2+4x在区间(−∞,2]上是（） [单选题] *A. 增函数(正确答案)B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增3. 函数f(x)=1x 在区间(0,+∞)上是（） [单选题] *A. 增函数B. 减函数(正确答案)C. 既是增函数又是减函数D. 无法确定4. 函数f(x)=x3−x是（） [单选题] *A. 奇函数(正确答案)B. 偶函数C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 无法确定5. 函数f(x)=∣x∣+1是（） [单选题] *A. 奇函数B. 偶函数(正确答案)C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 无法确定6. 一元二次函数f(x)=a x2+bx+c（a=0）的图像是一个（） [单选题] *A. 直线B. 抛物线(正确答案)C. 圆D. 椭圆7. 对于一元二次函数f(x)=x2−4x+3，其对称轴为（） [单选题] *A.x=1B.x=2(正确答案)C.x=3D.x=48. 一元二次函数f(x)=−x2+2x−1的开口方向是（） [单选题] *A. 向上B. 向下(正确答案)C. 向左D. 向右9. 一元二次函数f(x)=x2−6x+8的顶点坐标为（） [单选题] *A.(3,−1)(正确答案)B.(3,1)C.(−3,−1)D.(−3,1)10. 一元二次方程x2−4x+4=0的根的情况为（） [单选题] *A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根(正确答案)C. 没有实根D. 无法确定您的姓名： [填空题] *_________________________________。
高二数学上学期十月份周测
高二数学阶段性质量检测 2011.10.13本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分，考试时间120分钟。
第一卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中，只有一个选项正确，请将正确选项的题号涂在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分） 1、数列1234,,,,355779911--⨯⨯⨯⨯ 的通项为（ ）A . ()()()1112123n n n +-++ B . ()()()112123n nn n +-++C . ()()()112123nn n -++ D . ()()()12123nnn n -++2、甲、乙两人同时从A 到B 。
甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。
如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） Ａ．甲先到B Ｂ．乙先到BＣ．两人同时到B Ｄ．谁先到无法确定3、已知, , a b c 满足c b a <<，且0a c <，那么下列选项中一定成立的是（ ）A . ab ac >B . ()0c b a -<C . 22cb ab < D . ()0ac a c ->4、在⊿ABC 中，已知A=60°， a b ==，则∠B 的度数是（ ）A . 45°或135°B . 135°C . 45°D . 75°5、下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+xlg 1≥2 B ．当x>0时，x +x1≥2C ．当x ≥2时，x ＋x1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值6、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别记为n A 、n B ，若231n nA nB n =+，则1010a b 等于（ ）A . 1B . 23C . 1929D . 20317、已知⊿ABC 中，222sin sin sin A B C =+且cos cos 0b B c C ⋅-⋅=，则⊿ABC 为（ ） A . 直角三角形 B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形8、在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++ 等于（ ）A . 91B . 92C . 93D . 949、如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k10、设数列{}n a 的通项公式为()27n a n n N +=-∈，则1215a a a +++ 等于（ ）A . 139B . 153C . 144D . 17811、在⊿ABC 中，∠A=60°，AB=2，且⊿ABC 2，则BC 边的长为（ ）A .B . 3C .D . 712、若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是（ ）A.4013B. 4014C. 4015D. 4016第二卷（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，请将正确答案填在横线上，每个小题4分，满分共16分） 13、设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
河南省郑州一中2017-2018学年高二上学期周测数学试题Word版含答案
19届高二数学周练试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22,cos 3a c A ===，则b = （ ）A B C ．2 D ．32. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-，则A =（ ） A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 3. 在ABC ∆内，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，,,a b c 成等差数列，且2,4ABC a c S ∆==，则b 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2013S =（ ）A ．2012-B ．2013-C ．2012D ．2013 5. 已知数列{}n a 的前n 项和115913(1)(43)n n S n -=-+-++--，则152231S S S +-的值为（ ）A ．76-B ．78-C ．80-D ．82-6. 对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列7. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．648. 如图所示，在ABC ∆中，已知:1:2A B =，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3:2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13 B ．12 C ．34D ．09. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A ．08,16,30a b A ===，有两解 B ．018,20,60b c B ===，有一解 C ．05,2,90a c A ===，无解 D ．030,25,150a b A ===，有一解10.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东015方向上，与灯塔S 相距20mi n le ，随后货轮按北偏西030的方向航行30min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 （ ）A ．n mileB ．n mileC ．nmile D ．n mile11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知310061006(1)2013(1)1a a -+-=，310081008(1)2013(1)1a a -+-=-则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<12. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()3(),(2)32f x f x f -=-=-，数列{}n a 满足11a =-，且21n n S an n=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a += （ ） A ．3- B ．2- C ．3 D ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在等差数列{}n a 中，当且仅当6n =时，n S 取得最大值，且670a a +<，则使0n S >的的最大值是 ．14.设公比为(0)q q > 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若224432,32S a S a =+=+， 则q = ．15.在ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22tan 7tan ,3a b A B c -==，则c = ．16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若435,,a a a 成等差数列，且133,63k k S S +==-，其中k N +∈，则2k S +的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，已知(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=. （1）求角A 的值；（2cos B C -的最大值.18. 已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求n T . 19.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且76,2,cos 9a cb B +===. （1）求,ac 的值； （2）求sin()A B -的值.20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且1(2n n na T λλ++=为常数），令2()n n cb n N +=∈， 求数列{}n c 的前n 项和为n R 21.如图，在平面四边形ABCD中，2,1,2,,33DA AB DE EC EA ADC BEC ππ⊥===∠=∠=. （1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长.22.已知数列{}{},n n a b 满足111,1,4(1)(1)n n n n n n b a a b b a a +=+==-+. （1）求1234,,,b b b b ； （2）设11n n c b =-，证明数列{}n c 是等差数列； （3）设1223341n nn S aa a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.19届高二数学周练试题答案一、选择题1-5: DCCBA 6-10: DCCDB 11、B 12：C 二、填空题 13. 11 14. 2315. 4 16. 129 三、解答题17.解：（1）因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=， 所以由正弦定理得()()3a b c b c a bc +++-=，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由3A π=，得23B C π+=,所以21cos cos()(cos sin )sin()3226B C B B B B B B ππ-=--=--+=+， 因为2503666B B ππππ<<⇒<+<， 所以62B ππ+=，即3B π=cos B C -的最大值为1.18.解：（1）设公差为d ，由题意得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩， 解得0d =（舍去）或1d =，所以12a =，故1n a n =+.（2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 所以1111112334122(2)n n T n n n =-+-++-=+++. 19.解：（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22()2(1cos )b a c acB =+-+，所以9ac =，解得3,3a c ==.（2）在ABC ∆中，sin B ==，由正弦定理得sin sin a B A b ==， 因为a c =，所以A 为锐角，所以1cos 3A ==， 因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=20.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由424S S =，得12d a =，又因为221n n a a =+，所以2121a a =+，得11d a =+，解得11,2a d ==，因为21,n a n n N +=+∈.（2）由（1）知12n n nT λ-=-，所以2n ≥时， 121122122n n n n n n n n n b T T -----=-=-+=-，故1221221(1)(),24n n n n n c b n n N -+--===-∈，所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯12341111110()1()2()3()(1)()444444n n R n =⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯ 两式相减得123413111111()()()()()(1)()4444444n nn R n -=+++++--⨯11()1113144(1)()()1433414n n nn n -+=--=--，整理得1131(4)94n n n R -+=-， 所以数列{}n c 的前n 项和为1131(4)94n n n R -+=-. 21.解：设CED α∠=,(1)在CDE ∆中，由余弦定理得，， 在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin EC CDEDC α=∠，于是2sin23sin 7CD EC πα⋅===，即sin 7α=.（2）由题意知03πα<<，于是由（1）知，cos 7α===， 而23AEB πα∠=-,所以22211cos cos()cos cos sin sin cos 33322272714AEB πππααααα∠=-=+=-+=-⋅+⋅=，在Rt EAB ∆中，2cos EA AEB BE BE ∠==，故2cos BE AEB ===∠22.解：（1）11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===-+--，所以12343456,,,4567b b b b ====. （2）111111111112n n n nb b b b +-=-=------，所以数列{}n c 是以4-为首项，1-为公差等差数列，且3n c n =--. （3）由于131n n c n b ==---，所以23n n b n +=+，从而113n n a b n =-=+， 12231111114556(3)(4)444(4)n n n nS a a a a a a n n n n +=+++=+++=-=⨯⨯++++，所以22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++， 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立，设()2(1)(36)8f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，不可能成立， 当1a <时，对称轴()3231(1)0,2121a n f n a a -=-⋅=--<--在(1,)+∞为单调递减函数， ()21(1)(36)8(1)(36)8415110f a n a n a a a =-+--=-+--=-<-<，所以1a <时，4n n aS b <恒成立， 综上所述，1a ≤时，4n n aS b <恒成立.。
高二数学 周测试卷(含答案解析)
（2）求二面角 的平面角的余弦值。(理科做）
求点F到平面ABE的距离。（文科做）
21.已知椭圆 的，离心率为 ， 是其焦点，点 在椭圆上。
（Ⅰ）若 ，且 的面积等于 。求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线 交椭圆于另一点 ，分别过点 作直线 的垂线，交 轴于点 ，
当 取最小值时，求直线 的斜率。
22.已知函数
（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）当 时， ，试求 的取值范围。
参考答案及评分标准
一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
B
A
A
D
A
A
D
B
C
D
C
1.选B.【解析】∵ ， ，∴ ，故选B.
2.选B.【解析】∵ ，对应的点为 在第二象限，故选B.
……………………………………5分
（Ⅱ）
函数的图象为：
当 时， ，依题意， ，则
∴ 的取值范围是 …………………………………………………………10分
18.（Ⅰ）∵ 由正弦定理得
∴
即 ，易知 ，且 ，
上式两边除以 ,得 ……………………………………6分
（Ⅱ）∵ ,∴ ，
由 ，又 ， ，得
而
∴ …12分
19．（12分）
二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.
13.填 .【解析】如图可知 的最小值是 ．
14.填 .【解析】由题意得四面体 是底面边长为 的正三角形，侧棱 垂直底面，且 ， ， ，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于 的一半，∴
2025年人教版(2024)高二数学下册阶段测试试卷含答案
2025年人教版（2024）高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知两个变量x与y之间具有线性相关关系；5次试验的观测数据如下：。
x 100 120 140 160 180y 45 54 62 75 92那么变量y关于x的回归直线方程只可能是（）A.B.C.D.2、当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()．A. 1B. －1C. iD. －i3、【题文】设等差数列{a n}的前n项和为若则当取最大值等于（）A. 4B. 5C. 6D. 74、【题文】若则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.5、【题文】在中，内角满足则=（）A B C D6、【题文】sin150°的值为。
A B C D7、【题文】若变量满足则点表示区域的面积为（）A.B.C.D.8、如图所示的程序框图输出的结果是（）A.B.C.D.9、已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（-2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A. 10B. 4C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知点P，A，B，C，D都是直径为3的球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若PA=1，则几何体P-ABCD的体积为____．11、设（2x-3）4=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a+a1+a2+a3+a4=____．12、直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为____．13、已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，若BD=2，AC=6，那么EG2+HF2=____．14、点P在直线上，O为原点，则|的最小值是____15、【题文】向长为40厘米宽为30厘米的矩形的外接圆内投入黄豆粒，黄豆粒落到矩形内的概率等于____．16、【题文】已知椭圆上任意一点P及点则的最大值为____17、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点，（M不与B，C1重合）有四个命题：①CD1⊥平面BMN；②MN∥平面AB1D1；③平面AA1CC1⊥平面BMN；④三棱锥D﹣MNC的体积有最大值．其中真命题的序号是____．18、过原点与曲线y=x鈭�1相切的切线方程为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？23、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）评卷人得分四、计算题(共1题，共10分)24、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】计算出横标和纵标的平均数：代入回归直线方程检验：A：适合此方程．线性回归方程=x+必过样本中心点；故A正确．故选A．【解析】【答案】线性回归方程= x+ 必过样本中心点；首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程检验即可．2、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，当z＝－时，z100＋z50＋1=的值等于-i，故选D.考点：导数研究函数的单调性【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】试题分析：由得又所以故所以前项的和最大；选B.考点：等差数列通项公式、等差数列前项和.【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】此题考查偶函数的性质。
湖北省襄阳市第四中学2022-2023学年高二上学期数学周考测试题(二)
襄阳四中2021级高二数学周考测试题（二）一、单选题1、已知向量，且向量与互相垂直，则的值是（）A.B. C. D.2、若平面的一个法向量分别为，，则（）A. B.与相交但不垂直C.或与重合D.3、已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.4、如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且平面，则AP的长为（）C.1D.与AB的长有关A. B.5、设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.6、以下命题：①若，则存在唯一的实数，使得；②若，则或；③若{}为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；④一定成立.则其中真命题的个数为（）A.4B.3C.2D.17、直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则以下各命题中正确的是（）A.与不垂直B.的最小值为D.平面C.的取值范围为8、在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（）A.-B.C.-D.二、多选题9、已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则10、如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（）A.当为线段的中点时，平面B.当为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直11、正方体的棱长为，，，分别为，，的中点.则（）A.直线与直线垂直B.直线与平面平行C.平面截正方体所得的截面面积为D.点与点到平面的距离相等12、在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①，，且，，三个向量构成右手系（如图所示）；②.在正方体中，已知其表面积为S，下列结论正确的有（）A. B.C. D.与共线三、填空题13、已知向量，若，则实数________．14、已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．15、如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．16、已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是_____.四、解答题17、已知空间中三点的坐标分别为，，，且，.(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若与-互相垂直，求实数的值.18、在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角;（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积.19、2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分．根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．已知评分在的居民有人．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；（2）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民中用分层抽样的方法抽取名居民，倾听他们的意见，并从人中抽取人担任防疫工作的监督员，求这人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率．20、如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)当为何值时，．21、如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．22.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．。
高二上学期数学周测卷(含答案详解)
2020至2021学年高二(上)数学周测试卷姓名 学号 班级一、选择题1.在平面ABCD 中，A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (－1,0，－1)，若向量a ＝(x ，y ，z )，且a 为平面ABC 的法向量，则y 2等于( )A ．2B ．0C ．1D ．3 答案 C解析 AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1，－1，－2)， 由a 为平面ABC 的法向量知 ⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB → ＝0，a ·AC → ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x －y －2z ＝0，令x ＝－1，则y ＝1，∴y 2＝1.2.已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D. 103答案 D解析 P A →＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)， 所以P 到α的距离为|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|3＝103.3.若点A (2,3,2)关于Ozx 平面的对称点为A ′，点B (－2,1,4)关于y 轴的对称点为B ′，点M 为线段A ′B ′的中点，则|MA |等于( ) A.30 B ．3 6 C ．5 D.21 答案 C解析 ∵点A (2,3,2)关于Ozx 平面的对称点为A ′， ∴A ′(2，－3,2)，∵点B (－2,1,4)关于y 轴的对称点为B ′，∴B ′(2,1，－4)， ∵点M 为线段A ′B ′的中点， ∴M (2，－1，－1)，∴|MA |＝(2－2)2＋(－1－3)2＋(－1－2)2＝5.4.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．43 答案 B解析 ∵△POF 2是面积为3的正三角形， ∴34c 2＝3，解得c ＝2. ∴P (1，3)，代入椭圆方程可得1a 2＋3b2＝1，与a 2＝b 2＋4联立解得b 2＝2 3.5.过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为( ) A ．4 B ．2 C.85 D.125答案 A解析 根据题意，知点P 在圆C 上， ∴切线l 的斜率k ＝－1k CP ＝－11－42＋2＝43，∴切线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与切线l 平行， ∴直线m 的方程为4x －3y ＝0. 故切线l 与直线m 间的距离d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4.6.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( ) A.15 B.55 C.12 D.22 答案 D解析 依题意，2c ＝2b ， 所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2， 所以e 2＝12，又0＜e ＜1，所以e ＝22.7.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴长为( )A. 3 B ．3 C ．2 3 D ．6 答案 D解析 由题意，双曲线的一条渐近线为y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0，设双曲线的右焦点为F (c ,0)，c >0， 则c 2＝a 2＋b 2，所以焦点到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝bcc ＝b ＝3， 又离心率e ＝ca＝2，所以a ＝3，所以双曲线C 的实轴长为2a ＝6.8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )A.1617B.41717C.45D.255 答案 D解析 依题意得c ＋b2c －b 2＝53，所以c ＝2b ，所以a ＝b 2＋c 2＝5b ， 所以e ＝c a ＝2b 5b＝255.9.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝815|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积为( ) A.803 B.12 C ．2 D ．4 答案 A解析 ∵在双曲线C ：x 29－y 216＝1中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)，|F 1F 2|＝10. ∵|PF 2|＝815|F 1F 2|＝163，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋163＝343. ∴在△PF 1F 2中，cos ∠PF 1F 2＝⎝⎛⎭⎫3432＋102－⎝⎛⎭⎫16322×343×10＝1517， ∴sin ∠PF 1F 2＝817，∴△PF 1F 2的面积为12×343×10×817＝803.10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝6相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则此双曲线的离心率为( ) A ．2 B.533 C.355 D.2答案 D解析 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为bx －ay ＝0，∵|AB |＝4，r ＝6，∴圆心(2,0)到渐近线的距离为2， 即2bb 2＋a 2＝2， 解得b ＝a ，∴c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴此双曲线的离心率为e ＝ca＝ 2.11.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2×2c ，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.易知双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.12.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．外离答案 D解析 将两圆方程分别化为标准方程得到圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4 ；圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9 ，则圆心C 1(m ，0)，C 2(－1，m ) ，半径r 1＝2，r 2＝3 ，两圆的圆心距|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2＝2m 2＋2m ＋1>2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3 ， 则圆心距大于半径之和，故两圆外离．13.圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]答案 A解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2， 圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝|0－0＋25|42＋(－3)2＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．14.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 答案 A解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0变形为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为(3,0)，r ＝2， ∴|3b |a 2＋b 2＝2， ∴3b ＝2c ，∴9(c 2－a 2)＝4c 2， ∵c ＝3，∴a 2＝5，b 2＝4， ∴双曲线方程为x 25－y 24＝1.15.已知直线l ：(a ＋1)x ＋ay ＋a ＝0(a ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则下列结论正确的是( )A ．存在a ，使得l 的倾斜角为90°B ．存在a ，使得l 的倾斜角为135°C ．存在a ，使直线l 与圆C 相离D ．对任意的a ，直线l 与圆C 相交，且a ＝1时相交弦最短 答案 AD解析 选项A ，当a ＝0时，直线方程为x ＝0，此时倾斜角为90°，A 正确；选项B ，当倾斜角为135°时，直线斜率为－1，即－a ＋1a ＝－1，解得a 为空集，B 错误；选项C ，圆C 的圆心为C (2,0)，半径r ＝3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a ＋1)×2＋a |(a ＋1)2＋a2＞3，整理得9a 2＋6a ＋5＜0，不等式无解，C 错误； 选项D ，直线过定点M (0，－1)，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM 与直线l 垂直时，直线CM 和直线l 的斜率之积等于－1，即－a ＋1a ×0－(－1)2－0＝－1，解得a ＝1，此时弦长最短，D 正确．16.已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( )A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线 答案 ACD解析 对于A ，当m >n >0时，有1n >1m >0，方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确．对于B ，当m ＝n >0时，方程化为x 2＋y 2＝1n，表示半径为1n的圆，故B 错误． 对于C ，当m >0，n <0时，方程化为x 21m －y 2－1n ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a ＝1m，b ＝－1n，渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m <0，n >0时，方程化为y 21n －x 2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n，b ＝－1m，渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确． 对于D ，当m ＝0，n >0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确．二、填空题17.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0.18.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________． 答案3解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|最小． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c ＝cos 30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2.等式两边同除以a 2，得e 2－23e ＋3＝0， 解得e ＝ 3.19.已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为________．答案 x 22－y 28＝1解析 由题意可得，a 2＝m ，b 2＝m ＋6， 则实轴长为2m ，虚轴长为2m ＋6， 由题意有2m ×2＝2m ＋6， 解得m ＝2，代入x 2m －y 2m ＋6＝1，可得双曲线方程为x 22－y 28＝1.20.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为14，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为________．答案 y ＝±154x 解析 因为e ＝c a ＝14，不妨设a ＝4，c ＝1，则b ＝15，所以对应双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±154x .三、解答题21.已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5， 故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝2.所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝2 3 ， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23， 又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|F 1F 2||MF 2|<0 ，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆的方程；(2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程． 解 (1)由题意有4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3，c ＝3， 所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，且直线MN 的斜率必存在． 可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)，代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1， 所以所求直线方程为y ＝±22(x －3)． 23.已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m .(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解 (1)由⎩⎨⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.① Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． 因为直线l 与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－32≤m ≤3 2.故所求实数m 的取值范围为[－32，32]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得x 1＋x 2＝－6m9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫322·⎝⎛⎭⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133·－m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.。
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2020至2021学年高二(上)数学周测试卷
姓名 学号 班级
一、选择题
1.已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a 等于( )
A ．12
B ．8＋13
C ．4
D ．13
2.在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足 |P A →|＝|PB →|，则P 点坐标为( )
A ．(3,0,0)
B ．(0,3,0)
C ．(0,0,3)
D ．(0,0，－3)
3.直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
4.若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( )
A ．2x ＋y －3＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．x ＋2y －3＝0
D ．2x －y －1＝0
5.直线l 过点(－3,0)，且与直线y ＝2x －3垂直，则直线l 的方程为( )
A ．y ＝－12(x －3)
B ．y ＝－12(x ＋3)
C ．y ＝12(x －3)
D ．y ＝12
(x ＋3) 6.已知圆C 与直线y ＝－x 及x ＋y －4＝0相切，圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
7.过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为( )
A ．4
B ．2 C.85 D.125
8.过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )
A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4
B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4
C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4
9.已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为(－2,3)，D ，E 分别为( )
A ．4，－6
B ．－4，－6
C ．－4,6
D ．4,6
10.(多选)已知圆M ：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A ．圆M 的圆心为(4，－3)
B ．圆M 的圆心为(－4,3)
C ．圆M 的半径为5
D ．圆M 被y 轴截得的线段长为6
二、填空题
11.直线l到其平行直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
12.已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．
13.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
14.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
三、解答题
15.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
16.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．。