湖南省衡阳市第八中学2021届高三上学期第三次月考试题(11月) 数学 Word版含解析

衡阳市八中2021届高三第三次月考数学试卷注意事项：本试卷满分为150，时量为120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}28xM =<<，{}2340N x x x =--≤则下列式子中正确的是（ ）A ．M N M ⋂=B ．MN N = C ．M N M ⋃= D ．M N =∅【答案】A 【解析】 因为1231128222322xx M xx x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪=<<=<<=<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭，{}()(){}{}234041014N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}131413M N x x x x x x M ⋂=-<<⋂-≤≤=-<<=，{}{}{}131414M N x x x x x x N ⋃=-<<⋃-≤≤=-≤≤=≠∅,所以选项A 正确， 故选：A2.在等差数列{}n a 中，8351393()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ）．A ．13B ．26C ．52D ．56【答案】B 【解析】分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.详解：由等差数列的性质可得：3542a a a +=，89137101310+3a a a a a a a ++=+=，代入已知可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=，故数列的前13项之和()11313132a a S +=()410131342622a a +⨯===． 故选B ．3.我们将12称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（ ）A ．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项B ．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项C ．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项D ．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项 【答案】D 【解析】若双曲线为黄金双曲线，则满足12c e a ===，即512c a 222a b c +=，22512b a ， 2b ac ∴=，2222ba c ，即虚轴是实轴与焦距的等比中项. 故选：D. 4.函数()()cos f x x ωϕ=+ 0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x=的图象上所有点（）A．向右平移6π个单位长度B．向右平移12π个单位长度C．向左平移6π个长度单位D．向左平移12π个长度单位【答案】A【解析】看图可知周期满足741234Tπππ=-=，故Tπ=，22Tπω∴==，232ππϕ⨯+=，6πϕ∴=-，即()cos2sin263f x x xππ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将()sin26f x xπ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移6π个单位，得到sin2y x=.故选：A.5.已知直线l：270x y-+=与圆C：22440x y x y+--=相交于A，B两点，O为坐标原点，则cos ACB∠等于（）A．104B．64C．54D．14【答案】D【解析】设圆心为C，设直线与圆的交点B、A的坐标为()()1122,,,A x yB x y，联立22270440x y x y x y -+=⎧⎨+--=⎩ 可得：251070x x --=，即122x x +=，1275x x ⋅=-所以AB ==又()()2222442280x y x y x y +--=-+--=，所以圆C 的半径r =22241cos164ACB +-∠===故选：A6.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则()2AF BF CF ⋅+的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．15225-D ．7312-【答案】D 【解析】 由题意知：23BE BC =，设DAB θ∠= ()()22233AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC AD BC AB ∴⋅=+⋅-=⋅-+⋅-⋅ 8824cos 4cos 333θθ=-+-=-1cos 2θ∴=3πθ⇒=以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：()3,0A ∴-，231,33E ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设()0,F t 则()3,AF t =，231,3EF t ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭()22=336A AF BF C F EF t t F ⋅+∴⋅=+-当16t =-时，()2AF BF CF⋅+的最小值为7312- 本题正确选项：D7.在三棱锥A SBC -中，10AB，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为15，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．12πC ．48πD ．36π【答案】B 【解析】如图，设SC 的中点为O ，AB 的中点为D ，连接OA ，OB ，OD ． 因为4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，所以90SAC SBC ∠=∠=︒，所以OA OB OC OS ===．所以O 为棱锥S ABC -外接球的球心，设半径为R ， 又⊥OD AB ，且10AB，所以AD DB ==OD =，则12OABSAB OD =⋅⋅= 又由SC OA ⊥，SC OB ⊥且OA OB O =可证SC ⊥平面OAB ，所以123A SBC V R -==R = 所以外接球的表面积2412S ππ==．故选：B ．8.对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立，则称()f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①()x f x e =；②()f x =()()2sin f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，()()f x a f x b +≤+可化为x a x e e b +≤+， 即1xab e e ≤-对一切x ∈R 恒成立，由函数()y f x =的定义域为R 可知，不存在满足条件的正常数a 、b ， 所以，函数()xf x e =不是“控制增长函数”；对于②，若函数()f x =，则()()f x a f x b +≤+b ≤，22x a x b ∴+≤++x ∈R 恒成立，又x a x a +≤+，若22x a x b +≤++22a b a-≥，显然，当2a b <时，不等式恒成立，所以，函数()f x =；对于③，()21sin 1x -≤≤，()()2f x a f x ∴+-≤，当2b ≥且a 为任意正实数时，()()f x a f x b +≤+恒成立， 所以，函数()()2sin f x x=是“控制增长函数”； 对于④，若函数()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”，则()()sin sin x a x a x x b +⋅+≤+恒成立，()()sin x a x a x a +⋅+≤+，若sin x a x x b x b +≤+≤+，即a b ≤，所以，函数()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”. 因此，是“控制增长函数”的序号是②③④. 故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．下列说法中正确的是（ ）A ．“p q ∧”是真命题是“p q ∨”为真命题的必要不充分条件B ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”C ．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D ．在ABC 中，cos cos B A >是A B >的充要条件 【答案】BCD 【解析】对于A ，“p q ∧”是真命题，则“p q ∨”一定为真命题，“p q ∨”是真命题，则“p q ∧”不一定为真命题，错误；对于B，命题“x R∀∈，cos1x”的否定是“x R∃∈，cos1x>”，正确；对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，正确；对于D，(),0,,cos,(0,)A B y x xππ∈=∈时单调递减，cos cosB A B A∴>⇔<，故D正确，故选：BCD10.如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AC==，3AB=，90BAC∠=︒，点D，E分别是线段BC，1B C上的动点(不含端点)，且1EC DCB C BC=，则下列说法正确的是（）A．//ED平面1ACCB．四面体A BDE-的体积是定值C．当点E为1B C的中点时，直线AE与平面11AA B B所成的角和直线AE与平面11A ACC所成的角相等D．异面直线1B C与1AA13【答案】AD【解析】对于A，在直三棱柱111ABC A B C-中，四边形11BCC B是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以ED∥1BB∥1AA，所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，所以BC == 因为ED ∥1BB ，所以1DE DC BB BC =，所以12DE BC DC BB ⋅==，所以BD =，所以1233(1)22ABDm S =⨯⨯=-，四面体A BDE -的体积为2113(1)322m m m m ⨯-=-，所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误；对于C ，可直接判断，显然不对对于D ，因为1BB ∥1AA ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC中，12,B B BC ==11tan BC BB C BB ∠==，所以C 正确； 故选：AD 11.已知函数()()()sin cos cos f x x sinx =+，下列关于该函数结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线2x π=对称B ．()f x 的一个周期是2πC ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数 【答案】BD 【解析】 由()()()sin cos cos sin f x x x =+，对于A ，()()()()()sin cos cos sin f x x x πππ-=-+-()()()sin cos cos sin x x f x =-+≠，故A 不正确；对于B ，()()()()()sin cos 2s 2cos in 2f x x x πππ+++=+()()()sin cos cos sin x x f x =+=，故B 正确；对于C ，1cos 1x -≤≤，所以sin(cos )y x =的最大值为sin1， 当cos 1x =时，()cos sin cos01y x ===，取得最大值，所以()f x 的最大值为sin11+，故C 不正确； 对于D ，cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()cos 0,10,2x π⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭， 所以sin(cos )y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数， 且()sin 0,10,2x π⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，所以()cos sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故D 正确； 故选：BD12.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为12B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，A =2C 时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB【答案】ACD 【解析】对于A ，2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc A c b==⨯++-+++-1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin ,cos A y A x ==， 故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(,)x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点(2,0)A 点的斜率， 由数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值33- 故可得32yz x ⎡⎫=∈⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S y a bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ≤-⨯=+ 当且仅当60,A b c =︒=，即三角形为等边三角形时，取得最大值.所以A 正确；对于B ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得33c =，所以B 错误；对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =， 所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛=+-=- ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。