高一数学总复习测试题含答案

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人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(26)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( )A ． 56B ． 25C ． 16D ． 132. 已知 a ⃗，b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，则 a ⃗⋅b ⃗⃗= ( ) A ． −32B ． −1C ． 1D ． 323. 已知向量 a ⃗=(1,2)，A (6,4)，B (4,3)，b ⃗⃗ 为向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 a ⃗ 上的投影向量，则 ∣b ⃗⃗∣= ( ) A ．4√55B ． 1C ． √5D ． 44. 经检验，某厂的产品合格率为 98%，估算该厂 8000 件产品中次品的件数为 ( ) A ． 7840B ． 160C ． 16D ． 7845. 若圆台下底面半径为 4，上底面半径为 1，母线长为 3√2，则其体积为 ( ) A ． 15πB ． 21πC ． 25πD ． 63π6. 如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取 A ，B 两点，从 A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为 30∘，45∘，且 A ，B 两点间的距离为 60 m ，则该建筑物的高度为 ( )A ． (30+30√3) mB ． (30+15√3) mC ． (15+30√3) mD ． (15+15√3) m7. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为 ( ) A ． 0.3B ． 0.4C ． 0.6D ． 0.78. 惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520，530，550，610，650，660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来．根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是( )A．580B．600C．620D．6409.设a⃗，b⃗⃗为非零向量，则“∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣+∣∣b⃗⃗∣∣”是“a⃗与b⃗⃗共线”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.给出下面四个命题：∈R，则z∈R；p1：若复数z满足1zp2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4二、填空题（共6题）11.已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗⋅b⃗⃗=0，若c⃗=2a⃗−√5b⃗⃗，则cos⟨a⃗,c⃗⟩=．时，z100+z50+1的值等于．12.当z=√213.在△ABC中，已知A=60∘，B=45∘，BC=3，则AC=．14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A:B:C=1:2:3，a=1，则a−2b+c=．sinA−2sinB+sinC15.判断下列说法是否正确．（1）若a和b是异面直线，a∥c，则b和c也是异面直线．( )（2）垂直于同一条直线的两条直线平行．( )（3）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线．( )（4）经过直线外一点有无数条直线和这条直线垂直．( )（5）若a和b，a和c都是异面直线，并且它们所成角相等，那么b∥c．( )16.化简：3e1⃗⃗⃗⃗+5e2⃗⃗⃗⃗−(4e1⃗⃗⃗⃗−6e2⃗⃗⃗⃗)=．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，其分组是(0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]．(1) 根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数）(2) 估计这500名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）(3) 在抽取的100名手机使用者中，从每天使用手机的时间在(20,40]和(40,60]的手机使用者中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率．19.在复数范围内解方程x2+6x+10=0．20.一次数学测验中，全班N名学生数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110∼120的学生数有14人．(1) 求总人数N和分数在120∼125的人数n；(2) 利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数，平均数各是多少？21. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角 A ，B ，C 的对边，且 b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2．(1) 求角 A 的大小；(2) 若 b =2，c =3，求 a 和 sin (2B −A ) 的值．22. 如图，已知在 △OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分成 2:1 一个内分点，DC 与 OA 交于点 E ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗．(1) 用 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 表示向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2) 若 OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求实数 λ 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】因为甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．所以根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P =13+12=56．故选：A ．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】B【解析】因为 a ⃗，b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣⋅cos120∘=2×1×(−12)=−1．故选：B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标运算4. 【答案】B【解析】该厂产品的不合格率为 2%，按照概率的意义，8000 件产品中次品的件数约为 8000×2%=160．【知识点】频率与概率5. 【答案】B【解析】圆台下底面半径 R =4，上底面半径 r =1，母线长 l =3√2，则圆台的高 ℎ=√l 2−(R −r )2=√(3√2)2−(4−1)2=3，所以圆台的体积 V =13π(r 2+R 2+Rr )h =π3×(1+16+4)×3=21π．故选B ．【知识点】圆台的表面积与体积6. 【答案】A【解析】在 △PAB 中，∠PAB =30∘，∠APB =15∘，AB =60 m ， sin15∘=sin (45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=√6−√24，由正弦定理，得 PB =ABsin30∘sin15∘=30(√6+√2)m ，所以建筑物的高度为 PBsin45∘=30(√6+√2)×√22=(30+30√3)m ．【知识点】解三角形的实际应用问题、正弦定理7. 【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1−0.45−0.15=0.4．【知识点】事件的关系与运算8. 【答案】D【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530（分钟）时，中位数为 530+5502=540（分钟），当另外两个月的通话时长都大于 650（分钟）时，中位数为610+6502=630（分钟），所以 8 个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为 [540,630]．【知识点】样本数据的数字特征9. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、充分条件与必要条件10. 【答案】B【知识点】复数的几何意义、共轭复数二、填空题（共6题） 11. 【答案】 23【解析】 a ⃗⋅c ⃗=a ⃗⋅(2a ⃗−√5b ⃗⃗)=2a ⃗2−√5a ⃗⋅b⃗⃗=2，因为 c ⃗2=(2a ⃗−√5b ⃗⃗)2=4a ⃗2−4√5a ⃗⋅b ⃗⃗+5b ⃗⃗2=9，所以 ∣c ⃗∣=3，所以 cos⟨a ⃗,c ⃗⟩=a ⃗⃗⋅c ⃗∣a⃗⃗∣∣c ⃗∣=23．故答案为：23．【知识点】平面向量的数量积与垂直12. 【答案】 −i【知识点】复数的乘除运算13. 【答案】 √6【解析】由正弦定理得：BC sinA =ACsinB ， AC =BCsinB sinA=3×√22√32=√6．【知识点】正弦定理14. 【答案】 2【解析】因为 A:B:C =1:2:3，A +B +C =180∘，所以 A =30∘，B =60∘，C =90∘，因为 asinA =bsinB =csinC =1sin30∘=2，所以 a =2sinA ，b =2sinB ，c =2sinC ，所以a−2b+c sinA−2sinB+sinC =2．【知识点】正弦定理15. 【答案】 × ； × ； √ ； √ ； ×【知识点】直线与直线的位置关系16. 【答案】 −e 1⃗⃗⃗⃗+11e 2⃗⃗⃗⃗【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0，所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )，所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π，所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ，所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘，所以 C =120∘−A ，所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA +1，又 △ABC 为锐角三角形，所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘，即 30∘<A <90∘，又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA+1)，30∘<A <90∘，因为 30∘<A <90∘，所以 tanA >√33，得√3tanA<3，即 1<√3tanA+1<4，所以 S △ABC =√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 设中位数为 x ，则 0.0025×20+0.0100×20+0.0150×(x −40)=0.5，解得 x =1703≈57．所以这 500 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是 57 分钟．(2) 估计这 500 名手机使用者平均每天使用手机的时间为 0.05×10+0.2×30+0.3×50+0.2×70+0.25×90=58（分钟）．(3) 设每天使用手机的时间在 (20,40] 内抽取的两人分别为 a ，b ，在 (40,60] 内抽取的三人分别为 x ，y ，z ，则从五人中选出两人共有以下 10 种情况：(a,b )，(a,x )，(a,y )，(a,z )，(b,x )，(b,y )，(b,z )，(x,y )，(x,z )，(y,z )，两名组长分别选自 (20,40] 和 (40,60] 的情况共有以下 6 种：(a,x )，(a,y )，(a,z )，(b,x )，(b,y )，(b,z )，所以所求概率 P =610=35．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型19. 【答案】因为 x 2+6x +10=x 2+6x +9+1=(x +3)2+1，所以 (x +3)2=−1，又因为 i 2=−1，所以 (x +3)2=i 2，所以x+3=±i，即x=−3±i．【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）20. 【答案】(1) 分数在110∼120内的学生的频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35，所以该班总人数为N=140.35=40．分数在120∼125内的学生的频率为：P2=1−(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.10，分数在120∼125内的人数为n=40×0.10=4．(2) 由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105+1102=107.5．设中位数为a，因为0.01×5+0.04×5+0.05×5=0.50，所以a=110．所以众数和中位数分别是107.5，110．平均数为[97.5×0.01+102.5×0.04+107.5×0.05+112.5×0.04+117.5×0.03+122.5×0.02+127.5×0.01]×5=111．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征21. 【答案】(1) 由已知，得：b2−2√33bcsinA+c2=a2，由余弦定理，得：b 2+c2−a22bc=√33sinA，cosA=√33sinA，即tanA=√3，又A∈(0,π)，所以A=π3．(2) a2=b2+c2−2bc⋅cosA，所以a2=4+9−2×2×3×12=7，所以a=√7．又asinA =bsinB，所以√7√32=2sinB，所以sinB=√217，因为b<a，所以B∈(0,π3)，所以cosB=√1−sin2B=2√77．所以sin2B=2sinBcosB=47√3，cos2B=17，所以sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA=47√3×12−17×√32=3√314.【知识点】余弦定理、正弦定理22. 【答案】(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b⃗⃗. DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b ⃗⃗−23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−53b ⃗⃗. (2)EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b⃗⃗−λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−λ)a ⃗−b⃗⃗. DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−53b⃗⃗，因为 D ，E ，C 三点共线，故设 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 (2−λ)a ⃗−b ⃗⃗=x (2a ⃗−53b⃗⃗)，因为 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线，由平面向量基本定理，{2−λ=2x,−1=−53x ⇒{x =35,λ=45,故 λ=45．【知识点】平面向量的分解、平面向量的数乘及其几何意义。

人教A版高一数学必修第一册全册复习检测题卷含答案解析(15)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习检测题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]2. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关3. 已知 x ∈R ，用符号 [x ] 表示不超过 x 的最大整数，若函数 f (x )=[x ]x−a (x ≠0) 有且仅有 3个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (38,25]∪[23,34) B ． [23,34)C ． (34,45]∪[43,32)D ． [43,32)4. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足：f (x )={2x −1,x ∈[0,1)∣x −3∣−1,x ∈[1,+∞)，则函数 g (x )=f (x )−a (0<a <1) 的所有零点之和为 ( ) A ． 2a −1B ． log 2(a −1)C ． log 2(a +1)D ． 2−a −15. 已知函数 f (x )=sinωx −√3cosωx (ω>0)，若 f (x 1)f (x 2)=−4，且 ∣x 1−x 2∣ 的最小值为 π2，则 f (−x )= ( ) A ．在 [0,π6] 是增函数B ．在 [0,π6] 上是减函数C ．在 [−π3,π12] 上是增函数D ．在 [−π3,π12] 上是减函数6. 定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足：f (x )=f (x −2)，若 f (x ) 在区间 [0,1] 内单调递减，则 f (−32)，f (1)，f (43) 的大小关系为 ( ) A ． f (−32)<f (1)<f (43)B ． f (1)<f (−32)<f (43)C ． f (−32)<f (43)<f (1)D ． f (1)<f (43)<f (−32)7. 若 a =lnπ，b =π−2，c =log 0.5π，则 ( )A．c<b<a B．c<a0)对任意x都有f(π6+x)=f(π6−x)，则f(π6)的值为( )A．2或0B．−2或2C．0D．−2或010.已知f(x)=a x，g(x)=log a x（a>0，且a≠1），若f(3)⋅g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )A．B．C．D．二、填空题（共10题）11.设集合A={x∣ x≤−5或x≥1}，B={x∣ 2m−3≤x≤2m+1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．12.已知函数f(x)=log a(8−ax)（a>0，且a≠1），若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是．13.已知函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)，其所有的零点依次记为x1，x2，⋯，x i(i∈N∗)，则x1⋅x2⋯x i=．14.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则tanα=．15.设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，则称函数f(x)具有性质M，给出下列四个结论：①函数y=x3−x不具有性质M；②函数y=e x+e−x2具有性质M；③若函数y=log8(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510；④若函数y=3sinx+a4具有性质M，则a=5．其中，正确结论的序号是．16.设S为实数集R的非空子集，若对任意x,y∈S，都有x+y,x−y,xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：① 集合S={a+b√3∣ a,b为整数}为封闭集；② 若S为封闭集，则一定有0∈S；③ 封闭集一定是无限集；④ 若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）17.已知点P(0,−1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S=．18.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x), 当x∈[0,2]时，f(x)={x2−x,x∈[0,1)110(x−2),x∈[1,2]，若x∈[4,6]时，f(x)≥t2−2t−4恒成立，则实数t的取值范围是．19.方程lg(x+2)−lg(2x2+x−6)+1=0的解为．20.设y=f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点(2,0)对称，若当x∈(0,2)时，f(x)=x2，则f(19)=．三、解答题（共10题）21.已知函数f(x)=x∣x−m∣,x∈R，且f(3)=0．(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象并直接写出f(x)单调减区间；(3) 若不等式f(x)≥ax在4≤x≤6时都成立，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的图象与x轴的交点为(−π6,0)，与此交点距离最小的最高点坐标为(π12,1)．(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移2π3个单位，再把纵坐标伸长为原来的2倍，最后向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，求不等式g(x)≥2在[0,2π]上的解集；(3) 若函数f(x)满足方程f(x)=a(−1<a<0)，求方程在[0,2π]内的所有实数根之和．23.已知f(x)=log a x，g(x)=2log a(2x+t−2)(a>0,a≠1,t∈R)．(1) 若f(1)=g(2)，求t的值；(2) 当t=4，x∈[1,2]，且F(x)=g(x)−f(x)有最小值2时，求a的值；(3) 当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．24.已知定义在R上的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x+1．(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 请画出函数f(x)的图象；(3) 写出函数f(x)的单调区间．25.已知无穷集合A，B，且A⊆N，B⊆N，记A+B={a+b∣ a∈A,b∈B}，定义：满足N∗⊆(A+B)时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．(1) 已知集合A={a∣ a=2m+1,m∈N}，B={b∣ b=2n,n∈N}．判断2019和2020是否属于集合A+B，并说明理由；(2) 设集合A={x∣ x=ɛ0+ɛ2×22+ɛ4×24+⋯+ɛ2i×22i+⋯+ɛ2s×22s,ɛ2i=0,1;i=0,1,⋯,s,s∈N}，B={x∣ x=ɛ1×21+ɛ3×23+⋯+ɛ2i−1×22i−1+⋯+ɛ2s−1×22s−1,ɛ2i−1=0,1;i=1,⋯,s,s∈N∗}．（∪）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；（∪）记A(n)和B(n)分别表示集合A，B中不大于n(n∈N∗)的元素个数，写出满足A(n)B(n)=n+1的元素n的集合（只需写出结果，不需要证明）．26.判断函数f(x)=∣x−1∣−9x+1在区间[1,6]上的单调性，并用定义加以证明．27.已知a>0，b>0，a+b=2．(1) 求证：√a+1+√b+1≤2√2；(2) 若不等式∣2x+1∣−∣2x−3∣≥ab对满足已知条件的所有a，b都成立，求实数x的取值范围．28.设tan(α+8π7)=m，求证：sin(α+15π7)+3cos(α−13π7)sin(−α+20π7)−cos(α+22π7)=m+3m+1．29.已知tan2α−2tan2β=1，求证：cos2β=2cos2α+1．30.已知π2<β<α<34π，cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，求cos2α的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．2. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】C【解析】令f(x)=[x]x −a=0，得[x]x=a．设g(x)=[x]x(x≠0)，当x>0时，若0<x<1，则g(x)=[x]x=0；若n≤x<n+1(n∈N+)，则g(x)=[x]x =nx∈(nn+1,1](n∈N+)，按照x的不同取值进行分类讨论；应用了分类讨论思想．由f(x)有且仅有3个零点，可得34<a≤45．当x<0时，若−1≤x<0，则g(x)=[x]x =−1x∈[1,+∞)；若−1−n≤x<−n(n∈N+)，则g(x)=[x]x =−1−nx∈[1,n+1n)，由f(x)有且仅有3个零点，可得43≤a<32．因此，a的取值范围是(34,45]∪[43,32)，故选C．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【知识点】函数的零点分布5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【知识点】函数的周期性、函数的奇偶性、抽象函数、函数的单调性7. 【答案】A【解析】因为lnπ>lne=1，0<π−2<1，log0.5π<log0.51=0，所以c<b<a．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】对数的概念与运算9. 【答案】B【解析】因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f(π6+x)=f(π6−x)，所以该函数图象关于直线x=π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故选B．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数f(x)=a x与g(x)=log a x（a>0，且a≠1）在(0,+∞)上的单调性相同，可排除B，D．再由关系式f(3)g(3)<0可排除A．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质二、填空题（共10题）11. 【答案】{m∣ m≤−3或m≥2}【解析】由题意得B≠∅，由A∩B=B得B⊆A，则2m−3≥1或2m+1≤−5，解得m≥2或m≤−3，所以实数m的取值范围是{m∣ m≤−3或m≥2}．【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】(1,83)【解析】当a>1时，f(x)=log a(8−ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则f(x)min=f(2)=log a(8−2a)>1，且8−2a>0，解得1<a<83．当0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，知f(x)min=f(1)=log a(8−a)>1，且8−2a>0．所以a>4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a的取值范围是(1,83)．【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布14. 【答案】−43【知识点】同角三角函数的基本关系15. 【答案】①③【解析】①当x1=1时，f(1)=0，显然不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=0，故函数y=x3−x不具有性质M．故①正确；②因为e x>0，则y=e x+e−x2=12(e x+1e x)≥12⋅2√e x⋅1e x=1，当且仅当e x=1e x即x=0时等号成立，所以y≥1恒成立，所以当x1≠0时，f(x1)⋅f(x2)>1恒成立，故函数y=e x+e−x2不具有性质M．故②错误；③函数y=log8(x+2)在[0,t]上是单调增函数，其值域为[log82,log8(t+2)]，要使得其具有M性质，则{1log8(t+2)≤log82,log8(t+2)≤1log82,即log82×log8(t+2)=1，解得(t+2)=83，故t=510．故③正确；④若函数y=3sinx+a具有性质M，一方面函数值不可能为零，也即3sinx+a≠0对任意的x恒成立，解得a>3或a<−3，在此条件下，另一方面，y=13sinx+a的值域是y=3sinx+a值域的子集．y=3sinx+a的值域为[a−3,a+3]，y=13sinx+a 的值域为[1a+3,1a−3]，要满足题意，只需1a+3≥a−3，1a−3≤a+3，解得a2−9=1，故a=±√10．故④错误．综上所述，正确的是①③．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质16. 【答案】① ②【解析】对于①，我们令x=a1+b1√3，y=a2+b2√3，则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)√3，x−y=(a1−a2)+(b1−b2)√3，xy=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)√3，可以看出这三个计算结果都属于S；对于②，若取x=y，则x−y=0，所以0∈S；对于③，{0}是封闭集，但是它不是无限集；对于④，我们举例，若S={0}，它是封闭集，令T={0,1}，它符合题意，但它不是封闭集．【知识点】包含关系、子集与真子集17. 【答案】{α∣ α=270°+k⋅360°,k∈Z}【解析】由题意得点P在y轴的负半轴上，因为270∘角的终边是y轴的负半轴，所以S={α∣ α=270∘+k⋅360∘,k∈Z}．【知识点】任意角的概念18. 【答案】−1≤t≤3【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−14,0]，当x∈[1,2]时，f(x)=110(x−2)∈[−110,0]，所以当x∈[0,2]时，f(x)的最小值为−14，又因为函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，所以当x∈[2,4]时，f(x)的最小值为−12，当x∈[4,6]时，f(x)的最小值为−1，因为x∈[4,6]时，f(x)≥t2−2t−4恒成立，所以−1≥t2−2t−4，所以(t+1)(t−3)≤0，解得：−1≤t≤3．【知识点】分段函数、函数的最大（小）值19. 【答案】132【解析】由方程lg(x+2)−lg(2x2+x−6)+1=0，可得lg10(x+2)2x2+x−6=0，所以10(x+2)2x2+x−6=1，即2x2+x−6=10(x+2)，即(2x−13)(x+2)=0，解得x=132或x=−2，又x+2>0且2x2+x−6>0，故x=132（−2舍）．【知识点】对数的概念与运算20. 【答案】−1【解析】根据题意，y=f(x)是定义域为R的偶函数，则f(−x)=f(x)，又由 y =f (x ) 得图象关于点 (2,0) 对称，则 f (−x )+f (x +4)=0，所以 f (x +4)=−f (x )，即函数 y =f (x ) 是周期为 8 的周期函数，所以 f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)，又当 x ∈(0,2) 时，f (x )=x 2，则 f (1)=1，所以 f (19)=−f (1)=−1．【知识点】函数的奇偶性、函数的对称性、函数的周期性三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 因为 f (x )=x∣x −m∣，由 f (3)=0 得 4×∣3−m∣=0，即 ∣3−m∣=0，解得：m =3．(2) 由 (1) 得 f (x )=x∣x −3∣，即 f (x )={x 2−3x,x ≥33x −x 2,x <3．则函数的图象如图所示；单调减区间为：(32,3)．(3) 由题意得 x 2−3x ≥mx 在 4≤x ≤6 时都成立，即 x −3≥m 在 4≤x ≤6 时都成立，即 m ≤x −3 在 4≤x ≤6 时都成立，在 4≤x ≤6 时，(x −2)min =1，所以 m ≤1．【知识点】函数的单调性、分段函数、函数的值域的概念与求法、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 依题意得，函数 y =f (x ) 的最大值为 1，则 A =1，函数 y =f (x ) 的周期 T =4×(π12+π6)=π，又 T =2π∣ω∣，ω>0，所以 ω=2，因为当 x =π12 时，y =1，所以 sin (2×π12+φ)=sin (π6+φ)=1，所以 π6+φ=π2+2kπ(k ∈Z )，解得 φ=π3+2kπ(k ∈Z )，又 −π2<φ<π2，所以 φ=π3，所以 f (x )=sin (2x +π3)．(2) 把函数 y =f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，可得到函数 y =sin (x +π3) 的图象，然后将所得图象向右平移2π3个单位，可得到函数 y =sin (x −π3) 的图象，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，最后向上平移 1 个单位，得到 g (x )=2sin (x −π3)+1 的图象，由 g (x )=2sin (x −π3)+1≥2，得 sin (x −π3)≥12，所以 2kπ+π6≤x −π3≤2kπ+5π6(k ∈Z )，可得 2kπ+π2≤x ≤2kπ+7π6(k ∈Z )，当 k =0 时，π2≤x ≤7π6，所以不等式 g (x )≥2 在 [0,2π] 上的解集为 [π2,7π6]．(3) f (x )=sin (2x +π3) 的最小正周期为 π，函数的图象在 [0,2π] 内恰有 2 个周期，易知方程 sin (2x +π3)=a (−1<a <0) 在 [0,2π] 内有 4 个实根，设为 x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设 x 1<x 2<x 3<x 4，如图所示：当 0≤x ≤2π 时，π3≤2x +π3≤13π3，令 f (x )=−1，可得 2x +π3=3π2 或 2x +π3=7π2，解得 x =7π12或 x =19π12，由图可知，点 (x 1,a ) 和 (x 2,a ) 关于直线 x =7π12对称，点 (x 3,a ) 和 (x 4,a ) 关于直线 x =19π12对称，所以 x 1+x 2=7π6，x 3+x 4=19π6，故方程在 [0,2π] 内的所有实数根之和为 7π6+19π6=13π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换23. 【答案】(1) 因为 f (1)=g (2)，所以 0=2log a (2+t )，所以 t +2=1，即 t =−1．(2) 因为 t =4，F (x )=g (x )−f (x )=2log a (2x +2)−log a x =log a4(x+1)2x=log a 4(x +1x +2).又因为 y =x +1x 在 x ∈[1,2] 单调递增，所以当 a >1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递增，所以 F (x )min =log a 16=2，解得 a =4，当 0<a <1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递减，所以 F (x )min =log a 18=2，解得 a =√18=3√2（舍去），所以 a =4．(3) f (x )≥g (x )，即 log a x ≥2log a (2x +t −2)，所以 log a x ≥log a (2x +t −2)2，因为 0<a <1，x ∈[1,2]，所以 x ≤(2x +t −2)2，所以 √x ≤2x +t −2，所以 √x −2x +2≤t ，所以 √x −2x +2≤t ，依题意有 (√x −2x +2)max ≤t ，而函数 y =√x −2x +2=−2(√x −14)2+178，因为 x ∈[1,2]，√x ∈[1,√2]，y max =1，所以 t ≥1．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质24. 【答案】(1) 设 x >0，则 −x <0，所以 f (−x )=x 2−2x +1，又 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (−x )=−f (x )，所以 f (x )=−x 2+2x −1(x >0)，当 x =0 时，f (0)=0，所以 f (x )={x 2+2x +1,x <00,x =0−x 2+2x −1,x >0．(2) 图象：(3) 递增区间是 (−1,0)，(0,1)，递减区间是 (−∞,−1)，(1,+∞)．【知识点】函数图象、函数的单调性、函数的奇偶性25. 【答案】(1) 由a=2m+1，b=2n得a+b=2(m+n)+1是奇数，当a=2×1009+1，b=2×0=0时，a+b=2019，所以2019∈A+B，2020∉A+B．(2) （∪）首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组(ɛ0,ɛ1,ɛ2,⋯,ɛi,⋯,ɛk)，其中ɛi=0,1；i=0,1,⋯,k，k∈N，使得p=ɛ0+ɛ1×21+ɛ2×22+⋯+ɛi×2i+ɛi+1×2i+1+⋯+ɛk×2k，ɛi=0,1；i=0,1,⋯,k，k∈N，由于0≤ɛ0+ɛ1×21+ɛ2×22+⋯+ɛi×2i+ɛi+1×2i+1+⋯+ɛk×2k≤21+22+⋯+2i+⋯+2k=2k+1−1,这种形式的自然数p至多有2k+1个，且最大数不超过2k+1−1．由ɛi=0,1；i=0,1,⋯,k，k∈N，每个ɛi都有两种可能，=2k+1个结果．所以这种形式的自然数p共有2×2×⋯×2⏟k+1个2下证p=ɛ0+ɛ1×21+ɛ2×22+⋯+ɛi×2i+ɛi+1×2i+1+⋯+ɛk×2k=ɛʹ0+ɛʹ1×21+ɛʹ2×22+⋯+ɛʹi×2i+ɛʹi+1×2i+1+⋯+ɛʹk×2k,其中ɛi=0,1；ɛiʹ=0,1；i=0,1,⋯，k,k∈N，则ɛʹi=ɛi，假设存在ɛʹi≠ɛi中，取i最大数为j，则∣∣(ɛ0+ɛ1×21+ɛ2×22+⋯+ɛi×2i+ɛi+1×2i+1+⋯+ɛk×2k)−(ɛʹ0+ɛʹ1×21+ɛʹ2×22+⋯+ɛʹi×2i+ =∣∣(ɛʹ0−ɛ0)+(ɛʹ1−ɛ1)×21+⋯+(ɛʹj−ɛj)×2j∣∣≥∣∣(ɛʹj−ɛj)×2i∣∣−∣∣(ɛʹ0−ɛ0)+(ɛʹ1−ɛ1)×21+⋯+(ɛʹj−1−ɛj−1)×2j−1∣∣≥∣∣(ɛʹj−ɛj)×2j∣∣−(∣ɛʹ0−ɛ0∣∣∣+∣∣ɛʹ1−ɛ1∣×21+⋯+∣∣ɛʹj−1−ɛj−1∣∣×2j−1)∣∣≥2j−(1+21+⋯+2j−1)= 1.所以0≥1不可能．综上，任意正整数p可唯一表示为p=ɛ0+ɛ1×21+ɛ2×22+⋯+ɛi×2i+ɛi+1×2i+1+⋯+ɛk×2k=(ɛ0+ɛ2×22+⋯)+(ɛ1×21+ɛ3×23+⋯),显然(ɛ0+ɛ2×22+⋯)∈A，(ɛ1×21+ɛ3×23+⋯)∈B，满足N∗⊆(A+B)，所以集合A，B互为“完美加法补集”．（∪）{n∣∣ n=2k−1,k∈N∗}．【知识点】元素和集合的关系26. 【答案】函数f(x)在[1,6]上是增函数．当 x ∈[1,6] 时，f (x )=∣x −1∣−9x +1=x −9x ．在区间 [1,6] 上任取 x 1，x 2，设 x 1<x 2，f (x 1)−f (x 2)=(x 1−9x 1)−(x 2−9x 2)=(x 1−x 2)−(9x 1−9x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2+9)x 1x 2<0.所以 f (x 1)<f (x 2)，即 f (x ) 在 [1,6] 上是增函数．【知识点】函数的单调性27. 【答案】(1) 因为 a >0，b >0，a +b =2，所以(√a +1+√b +1)2=(a +b )+2+2√a +1√b +1=2+2+2√a +1√b +1≤4+2×(a+1)+(b+1)2=4+a +b +2=8,当且仅当 √a +1=√b +1，即 a =1，b =1 时等号成立，所以 √a +1+√b +1≤2√2．(2) 因为 a >0，b >0，a +b =2，所以 ab =(√ab)2≤(a+b 2)2=1，当且仅当 a =b =1 时取等号，所以 ab 的最大值为 1，所以不等式 ∣2x +1∣−∣2x −3∣≥ab 对满足已知条件的所有 a ，b 都成立，等价于 ∣2x +1∣−∣2x −3∣≥1 成立，当 x ≤−12 时，不等式化为 −2x −1−(3−2x )≥1，化简得 −4≥1，不成立，所以不等式无解；当 −12<x ≤32时，不等式化为 2x +1−(3−2x )≥1，解得 x ≥34，所以 34≤x ≤32；当 x >32 时，不等式化为 2x +1−(2x −3)≥1，化简得 4≥1，恒成立，所以 x >32，所以 ∣2x +1∣−∣2x −3∣≥1 的解集为 [34,+∞)．综上，实数 x 的取值范围是 [34,+∞)．【知识点】均值不等式的应用、绝对值不等式的性质28. 【答案】因为tan(α+8π7)=tan[π+(α+π7)]=tan(α+π7)=m，所以sin(α+15π7)+3cos(α−13π7)sin(−α+20π7)−cos(α+22π7)=sin(α+π7)+3cos(α+π7)sin(−α+6π7)+cos(α+π7)=sin(α+π7)+3cos(α+π7)sin[π−(α+π7)]+cos(α+π7)=sin(α+π7)+3cos(α+π7)sin(α+π7)+cos(α+π7)=tan(α+π7)+3tan(α+π7)+1=m+3m+1.【知识点】诱导公式29. 【答案】略．【知识点】二倍角公式30. 【答案】−3365．【知识点】两角和与差的余弦。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(71)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8122. 证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A 连续 4 个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌 10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨 10%）( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 63. 函数 y =log 12(x 2−3x +2) 的单调递增区间是 ( )A ． (−∞,1)B ． (2,+∞)C ． (−∞,32)D ． (32,+∞)4. 已知偶函数 f (x ) 在区间 [0,+∞) 上单调递增，则满足条件 f (2x +1)<f (5) 的 x 的取值范围是 ( ) A ． (−3,2) B ． (−2,3) C ． (−2,2) D ． [−3,2]5. 设 b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中不一定成立的是 ( ) A ． a 121b −c C ．a+2b+2>abD ． ac 2<bc 26. 已知 α 为第二象限角，且 sin (π+α)=−45，则 tan2α= ( ) A ． 45B ．247C ． −247D ． −837. 已知函数 f (x )={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于 x 的方程 f (x )=k 有三个不同的实根，则数 k 的取值范围是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (0,2)D ． (1,3)8. 下列关于函数 y =cos (x +π2)+sin (π3−x) 的说法正确的是 ( ) A ．最大值为 1，图象关于点 (π6,0) 对称 B ．最大值为 √3，图象关于点 (π6,0) 对称 C ．最大值为 1，图象关于直线 x =π6 对称D ．最大值为 √3，图象关于直线 x =π6 对称9. 已知 x ∈R ，则“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 设 f (x )，g (x ) 是定义在 R 上的两个周期函数，f (x ) 的周期为 4，g (x ) 的周期为 2，且 f (x )是奇函数．当 x ∈(0,2] 时，f (x )=√1−(x −1)2，g (x )={k (x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中 k >0．若在区间 (0,9] 上，函数 ℎ(x )=f (x )−g (x ) 有 8 个不同的零点，则 k 的取值范围是 ( ) A ． (13,√24)B ． [13,√24)C ． (0,13]D ． (0,13)二、填空题（共10题）11. 关于 x 的方程 2mx 2−2x −3m −2=0 的两个实根一个小于 1，另一个大于 1，则实数 m 的取值范围是．12. 条件 A ，B ，若 A ⇒B ，则 B 的条件是 A （选填“充分”、“必要”或“充要”）．13. 若直线 ax −by +2=0(a >0,b >0) 被圆 x 2+y 2+2x −4y +1=0 截得的弦长为 4，则 1a+1b的最小值为．14. 设集合 A ={x∣ y =lg (x 2−4x +5)} , 则 A = ．15.若函数f(x)=x a的反函数的图象经过点(12,14)，则a=．16.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．17.集合A={(x,y)∣ y=a∣ x∣ ,x∈R}，B={(x,y)∣ y=x+a,x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是．18.函数f(x)=log12cos(−13x+π4)的单调递增区间为．19.若关于x的方程2∣x−k∣=x有两个正实数根，则实数k的取值范围为．20.设二次函数f(x)=(2m+1)x2+nx−m−2（m,n∈R且m≠−12）在[2,3]上至少有一个零点，则m2+n2的最小值为．三、解答题（共10题）21.已知f(x)=x∣x−a∣+b，x∈R．(1) 当a=1，b=1时，若f(x)=54，求x的值；(2) 若b<0，且对任何x∈(0,1]，不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．22.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左，右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值．=2，求下列各式的值：23.已知tanαtanα−1．(1) 2sinα−3cosα4sinα−9cosα(2) 2sin2α−3cos2α．4sin2α−9cos2α(3) 4sin2α−3sinαcosα−5cos2α．24.已知函数f(x)=x∣x−2∣．(1) 画出该函数的图象；(2) 设a>2，求f(x)在[0,a]上的最大值．25.已知函数f(x)满足：对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)−f(x)−f(y)+2成立，且x>0时，f(x)>2．(1) 求f(0)的值，并证明：当x<0时，1<f(x)<2；(2) 猜测f(x)的单调性并加以证明．(3) 若函数g(x)=∣f(x)−k∣在(−∞,0)上递减，求实数k的取值范围．26.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？27. 设全集 U =R ，A ={x∣ 1≤x ≤3}，B ={x∣ 2a <x <a +3}．(1) 当 a =1 时，求 (∁U A )∩B ；(2) 若 (∁U A )∩B =B ，求实数 a 的取值范围．28. 已知函数 f (x )=cos (2x −π3)+2sin (x −π4)sin (x +π4)．(1) 求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程； (2) 求函数 f (x ) 在区间 [−π12,π2] 上的值域．29. 已知集合 A ={x∣ −4<x <6}，B ={x∣ x 2−4ax +3a 2=0}．(1) 若 A ∩B =∅，求实数 a 的取值范围； (2) 若 A ∪B =A ，求实数 a 的取值范围．30. 已知 f (x )=sin 2x2+√3sin x2cos (π+x2)．(1) 求 f (x ) 的单增区间和对称轴方程．(2) 若 0<x <π2，f (x )=−110，求 sin (2x +π3)．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】C【解析】设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a(1−10%)4=0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，则0.6561a(1+10%)x≥a，整理得1.1x≥1.5242，因为1.15=1.6105，1.14=1.4641．所以至少需要5个涨停，才能不亏损．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】A【解析】由题可得x2−3x+2>0，解得x<1或x>2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得：函数y=log12(x2−3x+2)的单调递增区间为：(−∞,1)．【知识点】函数的单调性、对数函数及其性质4. 【答案】A【解析】根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增，f (2x +1)<f (5)⇒∣2x +1∣<5，即 −5<2x +1<5，解可得：−3<x <2，即 x 的取值范围为 (−3,2)．【知识点】函数的单调性5. 【答案】D【解析】因为 y =x 12在 (0,+∞) 上是增函数，所以 a 121b−c ；因为 a+2b+2−a b =2(b−a )(b+2)b >0，所以 a+2b+2>ab ；当 c =0 时，ac 2=bc 2，所以D 不成立．故选D ．【知识点】不等式的性质6. 【答案】B【解析】由 sin (π+α)=−45，得 sinα=45，又 α 为第二象限角，所以 cosα=−35，则 tanα=−43，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=247．故选B ．【知识点】二倍角公式7. 【答案】A【解析】作出函数 f (x ) 的图象和直线 y =k ，如图所示，当 k ∈(0,1)，函数 f (x ) 的图象和直线 y =k 有三个交点，所以 k ∈(0,1)．【知识点】函数的零点分布8. 【答案】B【解析】y =−sinx +√32cosx −12sinx=−√3(√32⋅sinx −12cosx)=−√3sin (x −π6).所以函数的最大值为 √3．令 x −π6=kπ，k ∈Z ，得 x =π6+kπ，k ∈Z ，取 k =0，得函数图象关于点 (π6,0) 对称．令 x −π6=π2+kπ，k ∈Z ，得 x =2π3+kπ，k ∈Z ，故函数图象不关于直线 x =π6对称．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】 ∣∣x −13∣∣<23⇒−23<x −13<23⇒−13<x <1 能推出 x <1，反之，不能推出，故“∣∣x −13∣∣<23”是“x <1”的充分非必要条件．故选A ．【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】B【解析】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=−12 在 (0,9] 上的图象有 2 个不同的交点，故函数 y =f (x ) 和 y =g (x )=k (x +2) 在 x ∈(0,1] 上的图象有 2个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心 (1,0) 到直线 kx −y +2k =0 的距离为 d =√k 2+1<1，解得 0<k <√24，因为两点 (−2,0)，(1,1) 连线斜率为 13，所以，13≤k <√24．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题）11. 【答案】 m >0 或 m <−4【解析】设 f (x )=2mx 2−2x −3m −2，方程 2mx 2−2x −3m −2=0 的两个实根，一个小于 1，另一个大于 1 的充要条件是 {m >0,f (1)<0 或 {m <0,f (1)>0,解得 m >0 或 m <−4．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】充分【知识点】充分条件与必要条件13. 【答案】 √2+32【知识点】均值不等式的应用、直线被圆截得的弦长14. 【答案】 R 或 (−∞,+∞)【知识点】对数函数及其性质15. 【答案】 12【解析】函数 f (x )=x a 的反函数为 f (x )=x 1a，f (x )=x 1a经过点 (12,14)，得 (12)1a=14，解得 a =12．【知识点】幂函数及其性质16. 【答案】 [32,103)【解析】因为 f (x )=13x 3+m 与 g (x )=12x 2+2x 在 [0,3] 上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为 m =−13x 3+12x 2+2 有两个零点；即 y =m 与 k (x )=−13x 3+12x 2+2 在 [0,3] 上有两个交点；因为 kʹ(x )=−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)；所以 k (x ) 在 [0,2] 上递增，在 [2,3] 上递减；且 k (0)=0，k (2)=103，k (3)=32；故实数 m 的取值范围是：[32,103)．【知识点】函数的零点分布17. 【答案】 [−1,1]【解析】因为集合 A ={(x,y )∣ y =a∣ x∣ ,x ∈R }，B ={(x,y )∣ y =x +a,x ∈R }，集合 A ∩B 中有且仅有一个元素，所以 a ∣x ∣=x +a 有 1 个解，若 x ≥0，ax =x +a ，x =aa−1，若 x <0，−ax =x +a ，x =−a a+1，由已知得 {aa−1≥0,−aa+1≥0 或 {aa−1<0,−aa+1<0 或 {a =1,−a a+1<0 或 {a a−1≥0,a =−1,解得 −1≤a ≤1．所以实数 a 的取值范围是 [−1,1]．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】 (6kπ+3π4,6kπ+9π4)，k ∈Z【解析】因为对数的真数大于零，所以 cos (−13x +π4)>0⇒2kπ−π2<−13x +π4<2kπ+π2，k ∈Z ，解之得函数的定义域为：(6kπ−3π4,6kπ+9π4)，k ∈Z ，令 t =cos (−13x +π4)=cos (13x −π4)，因为 0<12<1，所以 t 关于 x 的单调减区间是函数 f (x )=log 12cos (−13x +π4) 的单调递增区间，由 2kπ<13x −π4<2kπ+π，k ∈Z ，得 x ∈(6kπ+3π4,6kπ+15π4)，k ∈Z ，再结合函数的定义域，得 x ∈(6kπ+3π4,6kπ+9π4)，是原函数的增区间．【知识点】对数函数及其性质、余弦函数的性质19. 【答案】 k >0【知识点】函数的零点分布20. 【答案】453【解析】①一个零点，此时需满足 f (2)f (3)≤0，即 (7m +2n +2)(17m +3n +7)≤0，在平面中表示的区域如图所示，此时 (m 2+n 2)min =d O→7m+2n+2=02=(√72+22)2=453； ②两个零点，若开口向下，2m +1<0，即 m 2>14，此时 m 2+n 2>14>453，不是最小值；若开口向上，2m +1>0，需满足 Δ>0 且 f (2)≥0 且 f (3)≥0 且 2<−n2(2m+1)<3，即至少要满足 {7m +2n +2≥0,−6(2m +1)<n <−4(2m +1),画图可知这两部分没有交集，该情况不存在．【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 1+√22或12．(2) 当b<−1时，a的取值范围是(1+b,1−b)；当−1≤b<2√2−3时，a的取值范围是(1+b,2√−b)．【知识点】函数的相关概念、恒成立问题22. 【答案】(1) 由题设，得S=(x−8)(900x −2)=−2x−7200x+916,x∈(8450)．(2) 因为8<x<450，所以2x+7200x ≥2√2x×7200x=240，当且仅当x=60时等号成立，从而S≤676，所以：当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2．【知识点】函数的最大（小）值、均值不等式的应用、建立函数表达式模型23. 【答案】(1) 由tanαtanα−1=2，得tanα=2．注意到分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的一次式，可将分子、分母同时除以cosα（因为cosα≠0），然后代入tanα=2．2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×2−34×2−9=−1．(2) 注意到分式的分子和分母均是关于sinα，cosα的二次式，将分子、分母同时除以cos2α（因为cos2α≠0），然后代入tanα=2．2sin 2α−3cos 2α4sin 2α−9cos 2α=2tan 2α−34tan 2α−9=2×4−34×4−9=57．(3) 先将原式看成分母为 1 的分式，再进行变形，然后代入 tanα=2．4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2α=4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α−3tanα−5tan 2α+1=4×4−3×2−54+1= 1.【知识点】同角三角函数的基本关系24. 【答案】(1) 因为 f (x )=x∣x −2∣={x 2−2x,x ≥22x −x 2,x <2结合二次函数的图象可作出该函数的图象如图：(2) 当 a >2 时，因为 x ∈[0,2] 的最大值为 f (1)=2−1=1，x ∈[2,a ] 时，f (x ) 单调递增，最大值为 f (a )．令 f (a )−f (1)=0，则 a =1+√2．所以当 2<a ≤1+√2 时，f (a )≤f (1)，此时 f (x ) 在 [0,a ] 上，f (x )max =f (1)=1．当 a >1+√2 时，f (a )>f (1)，此时 f (x ) 在 [0,a ] 上，f (x )max =f (a )=a 2−2a ．【知识点】函数的最大（小）值、函数图象25. 【答案】(1) 因为 f (0)=f (0)⋅f (0)−f (0)−f (0)+2，所以 f 2(0)−3f (0)+2=0，f (0)=2 或 f (0)=1．若 f (0)=1，则f (1)=f (1+0)=f (1)⋅f (0)−f (1)−f (0)+2= 1.与已知条件 x >0 时，f (x )>2 相矛盾，所以 f (0)=2．设 x <0，则 −x >0，那么 f (−x )>2．又 2=f (0)=f (x −x )=f (x )⋅f (−x )−f (x )−f (−x )+2. 所以 f (x )=f (−x )f (−x )−1=1+1f (−x )−1．因为 f (−x )>2，所以 0<1f (−x )−1<1，从而 1<f (x )<2．(2) 函数 f (x ) 在 R 上是增函数．设 x 1<x 2，则 x 2−x 1>0，所以 f (x 2−x 1)>2，f (x 2)=f (x 2−x 1+x 1)=f (x 2−x 1)⋅f (x 1)−f (x 2−x 1)−f (x 1)+2=f (x 2−x 1)[f (x 1)−1]−f (x 1)+2. 因为由（1）可知对任意 x ∈R ，f (x )>1．所以 f (x 1)−1>0，又 f (x 2−x 1)>2，所以 f (x 2−x 1)⋅[f (x 1)−1]>2f (x 1)−2，f (x 2−x 1)⋅[f (x 1)−1]−f (x 1)+2>f (x 1)，即 f (x 2)>f (x 1)．所以函数 f (x ) 在 R 上是增函数．(3) 因为由（2）知函数 f (x ) 在 R 上是增函数，所以函数 f (x )y =f (x )−k 在 R 上也是增函数，若函数 g (x )=∣f (x )−k ∣ 在 (−∞,0) 上递减，则 x ∈(−∞,0) 时，g (x )=∣f (x )−k ∣=k −f (x )，即 x ∈(−∞,0) 时，f (x )−k <0．因为 x ∈(−∞,0) 时，f (x )<f (0)=2，所以 k ≥2．【知识点】函数的单调性、抽象函数26. 【答案】（1）任何一个元素；A ⊆B ；B ⊇A ；A 包含于 B ；B 包含 A（2）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈A 能推出 x ∈B ．例如 {0,1}⊆{−1,0,1}，则由 0∈{0,1} 能推出 0∈{−1,0,1}．【知识点】包含关系、子集与真子集27. 【答案】(1) 当 a =1 时，B ={x∣ 2<x <4}，∁U A ={x∣ x <1或x >3}，故 (∁U A )∩B ={x∣ 3<x <4}． (2) 因为 (∁U A )∩B =B ，所以 B ⊆∁U A ．当 B =∅ 时，则 2a ≥a +3，解得 a ≥3，B ⊆∁U A ，符合题意；当 B ≠∅ 时，则 {2a <a +3,a +3≤1 或 {2a <a +3,2a ≥3,解得 a ≤−2 或 32≤a <3．综上，实数 a 的取值范围是 {a∣ a ≤−2或a ≥32}．【知识点】交、并、补集运算28. 【答案】(1)因为f (x )=cos (2x −π3)+2sin (x −π4)sin (x +π4)=12cos2x +√32sin2x +(sinx −cosx )⋅(sinx +cosx )=12cos2x +√32sin2x +sin 2x −cos 2x =12cos2x +√32sin2x −cos2x=sin (2x −π6).所以函数 f (x ) 的最小正周期为 T =2π2=π，对称轴方程为 x =π3+k2π，k ∈Z ． (2) 因为 x ∈[−π12,π2]，所以 2x −π6∈[−π3,5π6]．所以 f (x )=sin (2x −π6) 在区间 [−π12,π3] 上单调递增，在区间 [π3,π2] 上单调递减，所以当 x =π3 时，f (x ) 取最大值 1．又因为 f (−π12)=−√32<f (π2)=12，所以当 x =−π12 时，f (x ) 取最小值 −√32．所以函数 f (x ) 在区间 [−π12,π2] 上的值域为 [−√32,1]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) a ≤−4 或 a ≥6．(2) −43<a <2．【知识点】交、并、补集运算30. 【答案】(1)f (x )=sin 2x2+√3sin x2cos (π+x2)=sin 2x2−√3sin x2cos x 2=1−cosx 2−√3sinx 2=12−sin (x +π6),若f(x)单增，则sin(x+π6)单减，所以令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得到π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，所以单增区间[π3+2kπ,4π3+2kπ]，k∈Z．令x+π6=kπ+π2，k∈Z，对称轴方程x=π3+kπ，k∈Z．(2) 因为f(x)=−110⇒12−sin(x+π6)=−110，所以sin(x+π6)=35，所以cos(x+π6)=±45，又0<x<π2，所以π6<x+π6<2π3，因为35<√32，所以π6<x+π6<π2，所以cos(x+π6)=45，所以sin(2x+π3)=2sin(x+π6)cos(x+π6)=2425．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(53)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，A =π3，若 a =2，则 △ABC 面积的最大值为 ( ) A ． √2B ． 2C ． √6D ． √32. 在四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a −3b ⃗ ，则四边形 ABCD 的形状是 ( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对3. 已知棱长为 √3 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 AC 1 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为 ( ) A ．3√2πB ．2√3πC ．9√2π4D ．9√2π84. 在正方体 EFGH −E 1F 1G 1H 1 中，下列四对截面彼此平行的是 ( ) A ．平面 E 1FG 1 与平面 EGH 1 B ．平面 FHG 1 与平面 F 1H 1G C ．平面 F 1H 1E 与平面 FHE 1D ．平面E 1HG 1 与平面 EH 1G5. 如图，PA 垂直于 ⊙O 所在的平面，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上的一点，E ，F 分别是点 A 在 PB ，PC 上的射影．给出下列结论： ① AF ⊥PB ； ② EF ⊥PB ； ③ AF ⊥BC ； ④ AE ⊥BC ．其中正确的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 先后抛掷 3 枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是 ( ) A ． 18B ． 38C ． 58D ． 787. 已知 P (x,y ) 是不等式组 {x +y −1≥0,x −y +3≥0,x ≤0 表示的平面区域内的一点，A (1,2)，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 A ．2B ．3C ．5D ．68. 若z 1=2+i ，z 2=3+ai(a ∈R)，z 1+z 2的和所对应的点在实轴上，则a 为( ) A ．3B ．2C ．1D ．−19. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 AE 与 BF 相交于点 G ，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )A ． 47B ． −47C ． 35D ． −3510. 某套数学辅导书有高一、高二、高三 3 个分册，将这套辅导书任意摆放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为高一、高二、高三 3 个分册的概率为 ( ) A ． 16B ． 13C ． 12D ． 23二、填空题（共6题）11. 已知 a =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，c =2e 1⃗⃗⃗ +3e 2⃗⃗⃗ ，且 a =mb ⃗ +nc ，则 m +n = ．12. 一个箱子内有 9 张票，其号数分别为 1，2，3，⋯，9，从中任取 2 张，号数至少有一个为奇数的概率是．13. 在 △ABC 中，AB =3，cosA =23，△ABC 的面积 S =3√52，则 BC 边长为．14. 在正方体 AC 1 中，E 是棱 CC 1 的中点，F 是侧面 BCC 1B 1 内的动点，且 A 1F 与平面 D 1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的序号为． ①点 F 的轨迹是一条线段； ② A 1F 与 BE 是异面直线； ③ A 1F 与 D 1E 不可能平行； ④三棱锥 F −ABD 1 的体积为定值．15. 在锐角三角形 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，点 O 为 △ABC 的外接圆的圆心，A =π3，且 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ 的最大值为．16. 若a1−i =1−bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则∣a +bi ∣= ．三、解答题（共6题）17. 已知空间四边形 ABCD 中，AB ≠AC ，BD =BC ，AE 是 △ABC 的边 BC 上的高，DF 是 △BCD 的边 BC 上的中线．求证：AE 与 DF 是异面直线．18. 如图，已知在直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AA 1=AC =4，BC =3，AC ⊥BC ，点 D 是 AB 的中点，求三棱锥 A 1−B 1CD 的体积．19. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 的对边，且 2asinA =(2b +c )sinB +(2c +b )sinC ．(1) 求角 A 的大小；(2) 若 sinB +sinC =1，试判断 △ABC 的形状．20. 设 z ∈C ，且 f (z )={z,Rez ≥0−z,Rez <0．(1) 已知 2f (z )+f (z )−4z =−2+9i (z ∈C )，求 z 的值；(2) 若 Rez ≥0，设集合 P 1={z∣ f (z )⋅f (z )−2i ⋅f (z )+2i ⋅f (z )−12=0,z ∈C}，P 2={ω∣ ω=iz,z ∈P 1}，求复平面内 P 2 对应的点集表示的曲线的对称轴；(3) 若 z 1=u (u ∈C )，z n+1=f (z n 2+z n +1)(n ∈N ∗)，是否存在 u ，使得数列 z 1，z 2，⋯ 满足z n+m =z n （m 为常数，且 m ∈N ∗）对一切正整数 n 均成立？若存在，试求出所有的 u ，若不存在，请说明理由．21. 已知向量 a =(1,0)，b⃗ =(1,1)． (1) 若 ∣c ∣=2√2，且 c ⊥b ⃗ ，求向量 c 的坐标；(2) 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +mb ⃗ ，且 A ，B ，C 三点共线，求实数 m 的值．22. 一个函数 f (x )，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 a ，b ，c 都在 f (x ) 的定义域内，就有 f (a )，f (b )，f (c ) 也是某个三角形的三边长，则称 f (x ) 为“三角形函数”．(1) 判断 f 1(x )=√x ，f 2(x )=x ，f 3(x )=x 2 中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； (2) 如果 g (x ) 是定义在 R 上的周期函数，且值域为 (0,+∞)，证明 g (x ) 不是“三角形函数”； (3) 若函数 F (x )=sinx,x ∈(0,A ) 是“三角形函数”，求 A 的最大值．（可以利用公式 sinx +siny =2sinx+y 2cosx−y 2）答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】在 △ABC 中，A =π3，a =2，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccos π3，即 4≥2bc −bc =bc ，所以 bc ≤4，当且仅当 b =c 时“=”成立，所以 △ABC 面积 S =12bcsinA ≤12×4×√32=√3．所以 △ABC 面积最大值为 √3．【知识点】三角形的面积公式、余弦定理2. 【答案】C【解析】由已知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8a −2b ⃗ =2(−4a −b⃗ )=2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 CD⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义3. 【答案】D【解析】如图，由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过 A 点的三个面相切且切点分别在线段 AB 1，AC ，AD 1 上，设线段 AB 1 上的切点为 E ，AC 1∩面A 1BD =O 2，圆柱上底面的圆心为 O 1，半径即为 O 1E ，记为 r ，则 O 2F =13DF =13×√32×√6=√22，AO 2=13AC 1=1，由 O 1E ∥O 2F 知，1√22=AO 11⇒AO 1=√2O 1E ，则圆柱的高为 3−2AO 1=3−2√2r ，S 侧=2πr(3−2√2r)=4√2πr (3√24−r)≤4√2π(r+3√24−r 2)2=9√2π8.【知识点】圆柱的表面积与体积4. 【答案】A【解析】如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1．同理，可证H1E∥平面E1FG1．因为H1E∩EC=E，H1E,EG⊂平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1．【知识点】平面与平面平行关系的判定5. 【答案】C【解析】因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC．因为PA垂直于⊙O所在的平面，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，③正确．又因为AF⊥PC，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，①正确．又因为AE⊥PB，所以PB⊥平面AEF，所以 EF ⊥PB ，②正确．若 AE ⊥BC ，则由 AE ⊥PB ，得 AE ⊥平面PBC ，此时 E ，F 重合，与已知矛盾，所以④错误．故选C ．【知识点】直线与平面垂直关系的判定6. 【答案】D【知识点】古典概型7. 【答案】D【解析】点 P (x,y ) 所在的平面区域为 △BCD ，如图所示：要求 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值，只需找出 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影最大值即可，很明显 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 符合所求，所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 6 ．【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积与垂直8. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．【解析】解：∵z 1+z 2=2+i +(3+ai)=5+(1+a)i 所对应的点在实轴上，∴1+a =0，解得a =−1．故选：D ．【点评】熟练掌握复数的运算法则及其几何意义是解题的关键．9. 【答案】A【知识点】平面向量的数量积与垂直10. 【答案】B【知识点】古典概型二、填空题（共6题） 11. 【答案】 613【解析】因为a=mb⃗+nc=m(3e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )+n(2e1⃗⃗⃗ +3e2⃗⃗⃗ )=(3m+2n)e1⃗⃗⃗ +(3n−2m)e2⃗⃗⃗ ,所以{3m+2n=1, 3n−2m=1.所以{m=113,n=513.所以m+n=613．【知识点】平面向量的分解12. 【答案】56【解析】从9张票中任取2张，取第一张时有9种取法，取第二张时有8种取法，且(x,y)和(y,x)是同一基本事件，故总的取法有12×9×8=36（种）．记“号数至少有一个为奇数”为事件B，“号数全是偶数”为事件A，则事件A为从号数为2，4，6，8的四张票中任取2张，有P(A)=636=16．由对立事件的概率公式，得P(B)=1−P(A)=1−16=56．【知识点】古典概型13. 【答案】√6【解析】因为AB=3，cosA=23，可得：sinA=√1−cos2A=√53，所以△ABC的面积S=3√52=12AB⋅AC⋅sinA=12×3×AC×√53，解得：AC=3，所以由余弦定理可得：BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=√9+9−2×3×3×23=√6．【知识点】余弦定理14. 【答案】③【解析】对于①，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接AM，MN，AN，则A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，A1M，MN是平面A1MN内的相交直线，所以平面A1MN∥平面D1AE，由 A 1F 与平面 D 1AE 的垂线段垂直，则 A 1F ∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点 F 是线段 MN 上的动点，所以①正确．对于②，由①有点 F 在线段 MN 上，所以 B ，E ，F 三点在侧面 BCC 1B 1 内，假设 A 1F 与 BE 不是异面直线，则 A 1，B ，E ，F 四点共面，则他们共面于侧面 BCC 1B 1 内，这与在正方体中，显然 A 1∉BCC 1B 1 产生矛盾，所以假设不成立．故 A 1F 与 BE 是异面直线，故②正确．对于③，当 F 与 M 重合时，A 1F ∥D 1E ，所以③错误．对于④，MN ∥EG ，EG ∥AD 1，则 MN ∥平面ABD 1，则点 F 到平面 ABD 1 的距离等于点 M （或点 N ）到平面 ABD 1 的距离，设点 M （或点 N ）到平面 ABD 1 的距离为 d ，则 V M−ABD 1=V D 1−ABM ，即 13S △ABD 1⋅d =13S △ABM ⋅A 1D 1，在正方体中，S △ABD 1，S △ABM ，A 1D 1 均为定值，所以 d 为定值，点 F 到平面 ABD 1 的距离为定值，又 S △ABD 1 为定值，所以 F −ABD 1 的体积为定值，故④正确．【知识点】棱锥的表面积与体积、平面与平面平行关系的性质、直线与直线的位置关系15. 【答案】 19【解析】因为 △ABC 是锐角三角形，所以 O 在 △ABC 的内部，所以 0<λ<1，0<μ<1．由 AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得 (1−λ−μ)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方后得，(1−λ−μ)2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=λ2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2λμOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为 A =π3，所以 ∠BOC =2π3，又 ∣AO⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣．所以 (1−λ−μ)2=λ2+μ2−λμ，所以 1+3λμ=2(λ+μ)，因为 0<λ<1，0<μ<1，所以 1+3λμ≥4√λμ，设√λμ=t，所以3t2−4t+1≥0，解得t≥1（舍）或t≤13，即√λμ≤13⇒λμ≤19，所以λμ的最大值是19．【知识点】均值不等式及其应用、平面向量的分解16. 【答案】√5【解析】【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b的值．【解析】解：a1−i =a(1+i)(1−i)(1+i)=a2+a2i=1−bi∴a=2，b=−1∴∣a+bi∣=√a2+b2=√5故答案为：√5．【点评】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．【知识点】复数的几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】因为AB≠AC，BD=BC，所以点E，F不重合．设△BCD所在平面为α，则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，所以AE与DF异面．【知识点】直线与直线的位置关系18. 【答案】因为AA1=AC=4，BC=3，AC⊥BC，所以AB=A1B1=5．由题意可知V A1B1C1−ABC =S△ABC×AA1=12×4×3×4=24．因为D为AB的中点，所以V A1−ADC =13×12S△ABC×AA1=16S△ABC×AA1=4，V B1−BDC =13×12S△ABC×BB1=16S△ABC×BB1=4，V C−A1B1C1=13S△A1B1C1×CC1=8．所以V A1−B1CD =V A1B1C1−ABC−V A1−ADC−V B1−BDC−V C−A1B1C1=24−4−4−8=8．【知识点】棱锥的表面积与体积19. 【答案】(1) 由已知，根据正弦定理得 2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c ，即 a 2=b 2+c 2+bc ．由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA ，故 cosA =−12，∠A =120∘．(2) 由（1）得 sin 2A =sin 2B +sin 2C +sinBsinC =34，又 sinB +sinC =1，得 sinB =sinC =12．因为 0∘<∠B <90∘，0∘<∠C <90∘，故 ∠B =∠C =30∘．所以 △ABC 是等腰钝角三角形．【知识点】判断三角形的形状、正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) 设 z =a +bi (a,b ∈R )，则 Rez =a ．若 a ≥0，则 f (z )=z ，由已知条件可得 −a −3bi =−2+9i ，因为 a,b ∈R ，即 −a =−2，−3b =9，解得 a =2，b =−3，所以 z =2−3i ；若 a <0，则 f (z )=−z ，由已知条件可得 −7a −5bi =−2+9i ，因为 a,b ∈R ，−7a =−2，−5b =9，所以解得 a =27（舍去），b =−95．综上可得 z =2−3i ．(2) 设 z =a +bi (a,b ∈R )，则 Rez =a ，a ≥0，因为集合 P 1={z∣ f (z )⋅f (z )−2i ⋅f (z )+2i ⋅f (z )−12=0,z ∈C}，解得 (a +bi )(a −bi )−2i (a +bi )+2i (a −bi )−12=0，即 a 2+b 2+4b −12=0，且 a ≥0，a 2+(b +2)2=16，则有 (a,b ) 是表示在以 (0,−2) 为圆心，半径为 4 的右侧圆周上的点； P 2={ω∣ ω=iz,z ∈P 1}，解得 ω=iz =−b +ai ，复平面内 P 2 对应的点集为 (−b,a )，因为有 (a,b ) 是表示在以 (0,−2) 为圆心，半径为 4 的圆周上的点，所以 (−b,a ) 与 (a,b ) 关于 y =−x 对称的．(−b,a ) 是表示在以 (2,0) 为圆心，半径为 4 的圆周上的点，a ≥0，故对称轴为 x =2．(3) 设存在 u ∈C 满足题设要求．令 a n =Rez n ，b n =Imz n (n ∈N ∗)．易得对一切 n ∈N ∗ 均有 a n ≥0，且 a n +1=∣a n 2+a n =+1−b n 2∣；∣b n +1∣=∣(2a n +1)b n ∣(⋇)．（i ）若 u ∈{−i,i }，则 {z n } 显然为常数数列，故 u =±i 满足题设要求；（ii ）若 u ∉{−i,i }，则用数学归纳法可证：对任意的 n ∈N ∗，(a n ,b n )∉{(0,−1),(0,1)}，证明：当 n =1 时，由 u ∉{−i,i }，可知 (a 1,b 1)∉{(0,−1),(0,1)}，假设 n =k 时，(a k ,b k )∉{(0,−1),(0,1)}，那么当 n =k +1，若 (a k+1,b k+1)∈{(0,−1),(0,1)}，则 a k+1=0，∣b k+1∣=1，故 a k 2+a k +1−b k 2=0，∣(2a k+1)b k ∣=1(⋇⋇)，如果 a k =0，那么 (a k ,b k )∉{(0,−1),(0,1)}，可知 ∣b k ∣≠1，这与 (⋇⋇) 矛盾，如果 a k >0，那么 (a k ,b k )∉{(0,−1),(0,1)}，可知 ∣b k ∣≠1，这与 (⋇⋇) 矛盾，综上可得对任意的 n ∈N ∗，(a n ,b n )∉{(0,−1),(0,1)}，记 x n =2a n 2+b n 2，注意到 x n+1−x n =(2a n+12+b n+12)−(2a n 2+b n 2)=2[(a n 2+a n )2+a n 2+a n +(1−b n 2)2]≥0，即 x n+1−x n ≥0，当且仅当 a n =0，b n 2=1，亦即 (a n ,b n )∈{(0,−1),(0,1)} 时等号成立，于是有 x n <x n+1(n ∈N ∗)，进而对任意 m,n ∈N ∗，均有 x n+m >x n ，所以 z n+m =z n ，从而，此时的 u ∉{−i,i } 不满足要求．综上，存在 u =±i ，使得数列得数列 z 1，z 2，⋯ 满足 z n+m =z n （m 为常数，且 m ∈N ∗）对一切正整数 n 均成立．【知识点】共轭复数、数学归纳法、复数的几何意义21. 【答案】(1) 设 c =(x,y )．因为 c ⊥b ⃗ ，且 ∣c ∣=2√2，所以 {c ⋅b⃗ =x +y =0, ⋯⋯①x 2+y 2=8, ⋯⋯②①② 联立得 {x =−2,y =2 或 {x =2,y =−2,所以 c =(−2,2)或(2,−2)．(2) AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ =(1,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +mb⃗ =(1+m,m )．因为 A ，B ，C 三点共线，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 m +1+m =0，所以 m =−12．【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算22. 【答案】(1) f 1(x )，f 2(x ) 是“三角形函数”， f 3(x ) 不是“三角形函数”，任给三角形，设它的三边长分别为 a ，b ，c ，则 a +b >c ，不妨假设 a ≤c ，b ≤c ，由于 √a +√b >√a +b >√c >0，所以 f 1(x )，f 2(x ) 是“三角形函数”，对于 f 3(x )，3，3，5 可作为一个三角形的三边长，但 32+32<52，所以不存在以 32，32，52 为三边长，故 f 3(x ) 不是“三角形函数”．(2) 设 T >0 为 g (x ) 的一个周期，由于其值域为 (0,+∞)，所以，存在 n >m >0，使得 g (m )=1，g (n )=2，取正整数 λ>n−m T，可知 λT +m ，λT +m ，n 这三个数可作为一个三角形的三边长，但 g (λT +m )=1，g (λT +m )=1，g (n )=2 不能作为任何一个三角形的三边长，故 g (x ) 不是“三角形函数”． (3) A 的最大值为 5π6．一方面，若 A >5π6，下证 F (x ) 不是“三角形函数”．取 π2，5π6，5π6∈(0,A )，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 sin π2=1，sin5π6=12，sin5π6=12不能作为任何一个三角形的三边长，故 F (x ) 不是“三角形函数”．另一方面，以下证明 A =5π6时，F (x ) 是“三角形函数”．对任意三角形的三边长 a ，b ，c ，若 a,b,c ∈(0,5π6)，则分类讨论如下：① a +b +c ≥2π，此时 a ≥2π−b −c >2π−5π6−5π6=π3，同理，b,c >π3，所以，a,b,c ∈(π3,5π6)，故 sina,sinb,sinc ∈(12,1]， sina +sinb >12+12=1≥sinc ，同理可证其余两式，所以 sina ，sinb ，sinc 可作为某个三角形的三边长． ② a +b +c <2π，此时，a+b 2+c 2≤π，可得如下两种情况：a+b 2≤π2 时，由于 a +b >c ，所以，0<c2<a+b2≤π2，由sinx在(0,π2]上的单调性可得0<sin c2<sin a+b2≤1，a+b 2>π2时，0<c2<π−a+b2<π2，同样，由sinx在(0,π2)上的单调性可得0<sin c2<sin a+b2<1，总之，0<sin c2<sin a+b2≤1，又由∣a−b∣<c<5π6及余弦函数在(0,π)上单调递减，得cos a−b2=cos∣a−b∣2>cos c2>cos5π12>0，所以sina+sinb=2sin a+b2cos a−b2>2sin c2cos c2=sinc，同理可证其余两式，所以sina，sinb，sinc可作为某个三角形的三边长，故A=5π6时，F(x)是“三角形函数”，综上，A的最大值为5π6．【知识点】正弦函数的性质、函数的周期性、判断三角形的形状、余弦函数的性质。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(18)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8122.已知函数f(x)=∣lgx∣，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是( )A．(2√2,+∞)B．[2√2,+∞)C．(3,+∞)D．[3,+∞)3.若不等式x2+mx+1>0的解集为R，则m的取值范围是()A．R B．(−2，2)C．(−∞，−2)∪(2，+∞)D．[−2，2]4.函数f(x)=x2−bx+c满足f(x+1)=f(1−x)，且f(0)=3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A．与x有关，不确定B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．f(b x)≤f(c x)5.已知集合M={0,1,2}，N={x∣−1≤x≤1,x∈Z}，则( )A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N={0,1}D．M∪N=N6.已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于( )A．1B．0，2C．−1，1，3D．0，1，27.定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2−x，则当x∈[−2,−1]时，f(x)的最小值为( )A．−116B．−18C．−14D．08.设函数f(x)的定义域为R，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x≥1时，f(x)=2x，则下列结论正确的是( )A ． f (13)<f (2)<f (12)B ． f (12)<f (2)<f (13)C ． f (12)<f (13)<f (2)D ． f (2)<f (13)<f (12)9. 若定义在 R 的奇函数f(x)在 (−∞,0) 单调递减，且 f (2)=0，则满足 xf (x −1)≥0 的 x 的取值范围是 ( ) A ． [−1,1]∪[3,+∞) B ． [−3,−1]∪[0,1] C ． [−1,0]∪[1,+∞)D ． [−1,0]∪[1,3]10. 函数 f (x )=3x +x 2−2 的零点个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3二、填空题（共10题）11. 已知函数 f (x )=2sinx +sin2x ，则 f (x ) 的最小值是．12. 已知函数 y =f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 在一个周期内的简图如图所示，则函数 f (x ) 的解析式为，方程 f (x )−lgx =0 的实根个数为．13. 设 a >0，且 a ≠1，则方程 a x +1=−x 2+2x +2a 的解的个数为．14. 已知函数 f (x )=∣∣x −1∣−∣x −3∣−1∣，若 f (4a 2+6a )=f (4a )，则实数 a 的取值范围为．15. 设 x >0，则 x 2+x+3x+1的最小值为．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为．17. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x ∣∣ xx−3<0}，则 A ∩B = ．18. 一条河两岸平行，河宽 2 km ，一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸．若船速为 26 km/h ，水流速度为 10 km/h ，则该快艇到达对岸的最快时间为分钟．19. 如图 1，长为 3 米的细木棍 AB 靠墙竖立，现以 3 米/秒的速度水平向右拖动点 A ，于是点 B沿墙滑下，如图 2．那么 13 秒时点 B 的瞬时速度的大小为米/秒．20. 化简 sinα⋅sin (60∘+α)⋅sin (60∘−α)= ．三、解答题（共10题）21. 试用子集与推出关系来说明 α 是 β 的什么条件：(1) α:2≤x <4，β:x >1；(2) α：正整数 x 是 4 的倍数，β：正整数 x 是偶数； (3) α:x 2−5x +6≠0，β:x ≠2．22. 已知 α1=−570∘，α2=750∘，β1=35π，β2=−73π．(1) 将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；(2) 将 β1，β2 用角度制表示出来，并在 −720∘∼0∘ 范围内找出与 β1，β2 有相同终边的角．23. 判断函数 f (x )={x 2+2x +3,x <02,x =0−x 2+2x −3,x >0 的奇偶性．24. 设函数 y =f (x )（x ∈R 且 x ≠0）对任意非零实数 x 1，x 2 恒有 f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2)，且对任意 x >1，f (x )<0． (1) 求 f (−1) 及 f (1) 的值． (2) 判断函数 f (x ) 的奇偶性．(3) 求不等式 f (x )+f (x −32)≤0 的解集．25. 对于函数 f (x )，若存在 x 0∈R ，是 f (x 0)=x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的一个不动点，设函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)．(1) 当a=2，b=−2时，求f(x)的不动点．(2) 若f(x)有两个相异的不动点x1，x2：①当x1<1<x2时，设f(x)的对称轴为直线x=m，求证：m>12．②若∣x1∣<2，且∣x1−x2∣=2，求实数b的取值范围．26.已知0<α<π2<β<π，且sin(α+β)=513，tanα2=12．(1) 求cosα的值；(2) 证明：sinβ>513．27.化简cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin(α−π)⋅cos(2π−α)．28.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1) 确定函数f(x)的解析式；(2) 用定义证明f(x)在(−1,1)上是增函数；(3) 解不等式：f(t−1)+f(t)<0．29.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金融x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金融x的函数关系为y2=x5．（注：利润与投资金额单位：万元）(1) 该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2) 在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？30.定义区间(c,d)，[c,d)，(c,d]，[c,d]的长度均为d−c，其中d>c．(1) 若函数y=∣2x−1∣的定义域均为[a,b]，值域为[0,12]，写出区间长度[a,b]的最大值；(2) 若关于x的不等式组{7x+1>1,log2x+log2(tx+3t)<2的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围；(3) 已知m,n∈R，求证：关于x的不等式2x−m +2x−n>3的解集构成的各区间的长度和为定值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】C【解析】因为f(a)=f(b)，所以∣lga∣=∣lgb∣，所以a=b（舍去），或b=1a，所以a+2b=a+2a，又0<a<b，所以0<a<1<b，令f(a)=a+2a，由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3，即a+2b的取值范围是(3,+∞)．【知识点】对勾函数、对数函数及其性质3. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．4. 【答案】D【解析】根据题意，函数 f (x )=x 2−bx +c 满足 f (x +1)=f (1−x )，则有 b2=1，即 b =2，又由 f (0)=3，则 c =3， b x =2x ，c x =3x ，若 x <0，则有 c x 0，则有 1<b x <c x ，而 f (x ) 在 (1,+∞) 上为增函数，此时有 f (b x )<f (c x )，综合可得 f (b x )≤f (c x )．【知识点】函数的单调性5. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【知识点】幂函数及其性质7. 【答案】A【解析】当 x ∈[−2,−1] 时，x +2∈[0,1]，则 f (x +2)=(x +2)2−(x +2)=x 2+3x +2，又 f (x +2)=f [(x +1)+1]=2f (x +1)=4f (x )，所以当 x ∈[−2,−1] 时，f (x )=14(x 2+3x +2)=14(x +32)2−116，所以当 x =−32时，f (x ) 取得最小值，且最小值为 −116．【知识点】函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像8. 【答案】C【解析】由 f (1+x )=f (1−x ) 知 f (13)=f (53)，f (12)=f (32)．又当 x ≥1 时，f (x )=2x 是增函数，所以 f (32)<f (53)<f (2)，即 f (12)<f (13)<f (2)．【知识点】指数函数及其性质9. 【答案】D【解析】因为定义在 R 上的奇函数 f (x ) 在 (−∞,0) 上单调递减，且 f (2)=0，所以 f (x ) 在 (0,+∞) 上也是单调递减，且 f (−2)=0，f (0)=0，所以当 x ∈(−∞,−2)∪(0,2) 时，f (x )>0；当 x ∈(−2,0)∪(2,+∞) 时，f (x )<0，所以由 xf (x −1)≥0 可得： {x <0,−2≤x −1≤0 或 x −1≥2 或 {x >0,0≤x −1≤2 或 x −1≤−2 或 x =0 解得 −1≤x ≤0 或 1≤x ≤3，所以满足 xf (x −1)≥0 的 x 的取值范围是 [−1,0]∪[1,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数 f (x )=3x +x 2−2 的零点，就是方程 3x +x 2−2=0 的根，即方程 3x =−x 2+2 的根，也就是 y =3x 与 y =−x 2+2 的图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出 y =3x 与 y =−x 2+2 的图象，如图所示，由图可知，它们有两个交点，所以函数 f (x ) 有 2 个零点．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 −3√32【解析】 fʹ(x )=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12),所以当 cosx <12 时函数单调递减，当 cosx >12 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 [2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z )，函数的递增区间为 [2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z )，所以当 x =2kπ−π3，k ∈Z 时，函数 f (x ) 取得最小值，此时 sinx =−√32，sin2x =−√32，所以 f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 f(x)=2sin(2x +π6) ； 63【解析】显然 A =2，由图象过点 (0,1)，得 f (0)=1，即 sinφ=12，又 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6，又 (11π12,0) 是图象上的点，所以 f (11π12)=0，即 2sin (11π12ω+π6)=0 .由题图可知，(11π12,0) 是图象在 y 轴右侧部分与 x 轴的第二个交点，所以11π12ω+π6=2π，解得 ω=2，所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6) .在同一平面直角坐标系内作出函数 y =f (x )=2sin (2x +π6) 和函数 y =lgx 的简图，如图所示．因为 f (x ) 的最大值为 2，所以令 lgx =2，得 x =100．由图象易知，这两个函数图象在 [11π12,17π12] 内有两个交点，又17π12+30π<100．且11π12+31π>100，所以这两个图象在 [11π12,100] 内有 62 个交点，另外在 (0,11π12) 内还有 1 个交点．所以方程 f (x )−lgx =0 共有 63 个实根．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】 2【解析】原方程等价于 a x =−(x −1)2+2a ．在同一平面直角坐标系中，作出函数 y =a x 和 y =−(x −1)2+2a 的大致图象．当 a >1 时，如图 1 所示，观察图象，可知此时两函数图象交点的个数是 2；当 0<a <1 时，如图 2 所示，观察图象，可知此时两函数图象交点的个数是 2．对底数 a 按照 a >1 和 0<a <1 分类讨论，应用了分类讨论思想．综上可得，方程 a x +1=−x 2+2x +2a 的解的个数为 2．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 [−3−√134,−3+√134]∪{12}∪[34,+∞)【解析】因为 f (x )=∣∣x −1∣−∣x −3∣−1∣={∣1−x +x −3−1∣,x <1∣x −1+x −3−1∣,1≤x <3∣x −1−x +3−1∣,x ≥3，即 f (x )={3,x ≤1∣2x −5∣,1<x <31,x ≥3，画出函数图象如图所示：可以看到 f (2)=f (3)=1，要使 f (4a 2+6a )=f (4a )，则有以下几种情况： ①{4a 2+6a ≤1,4a ≤1,解得−3−√134≤x ≤−3+√134；②{1<4a 2+6a ≤2.5,1<4a ≤2.5,4a 2+6a =4a, 无解；③{2.5<4a 2+6a ≤3.2.5<4a ≤3.4a 2+6a =4a, 无解．④{1<4a 2+6a ≤3,1<4a ≤3,4a 2+6a +4a =5,无解；⑤{4a 2+6a ≥3,4a ≥3,解得 a ≥34，⑥{4a 2+6a =2,4a ≥3,无解；⑦{4a 2+6a ≥3,4a =2,解得 a =12；所以 a 的取值范围为 [−3−√134,−3+√134]∪{12}∪[34,+∞)．【知识点】分段函数15. 【答案】 2√3−1【解析】由 x >0，可得 x +1>1，令 t =x +1(t >1)，即 x =t −1，则x 2+x+3x+1=(t−1)2+(t−1)+3t=t +3t−1≥2√t ⋅3t−1=2√3−1，当且仅当 t =√3，即 x =√3−1 时等号成立．【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0．当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点；当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】(1,3)【解析】B={x∣ 0<x<3}，所以A∩B={x∣ 1<x<3}=(1,3)．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】5【解析】易得当船速v1与水流速度v2的和速度v垂直于岸边时最快到达，此时∣v∣∣=√v12−v22=√262−102=24km/h．故最快时间为224×60=5min．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】3√24【解析】由物理学知识可知在此模型下，沿杆方向速度相等，将其转化为第13秒，则得下图，延长BA，并建立如图坐标系，取延长线上两点C，D，则在0∽13秒期间，A一共水平移动1米，所以∣OA∣=1．所以cos∠BAO=13．所以v在AC方向上的分解速度为3⋅13=1（米/秒）．所以B在杆方向上速度为1米/秒．又因为cos∠OBA=√32−13=2√23，所以在B点的瞬时速度v2有v2⋅cos∠OBA=1．所以v2=3√24（米/秒）．所以在13秒时，点B的瞬时速度为3√24（米/秒）．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】14sin3α【解析】原式=sinα⋅12[−cos(60∘+α+60∘−α)+cos(60∘+α−60∘+α)]=sinα⋅12(12+cos2α)=14sinα+12sinαcos2α=14sinα+12⋅12[sin3α+sin(−α)]=14sin3α.【知识点】积化和差与和差化积公式三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 设A={x∣ 2≤x<4}，B={x∣ x>1}，显然A⫋B，故α是β的充分非必要条件．(2) 设A={x∣ x=4k,k∈N∗}，B={x∣ x=2n,n∈N∗}，因为B={x∣ x=4k或x=4k+2,k∈N∗}，所以A⫋B，故α是β的充分非必要条件．(3) 由于α，β都是用否定形式表达的命题，故我们可以考虑它们的逆否命题，即说明“β:x=2”是“α:x2−5x+6=0”的什么条件．设A={x∣ x=2}，B={x∣ x2−5x+6=0}，化简得A={2}，B={2,3}，所以A⫋B，故β是α的充分非必要条件，即α是β的充分非必要条件．【知识点】充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 因为−570∘=−570180π=−196π=−4π+56π，所以−570∘与56π终边相同，56π在第二象限，所以α1在第二象限．因为750∘=750180π=256π=4π+π6，所以750∘与π6终边相同，π6在第一象限，所以α2在第一象限．(2) 因为β1=35π=(35×180)∘=108∘，与其终边相同的角为108∘+k⋅360∘，k∈Z，所以在−720∘∼0∘范围内与β1有相同终边的角是−612∘和−252∘．同理，β2=−420∘，且在−720∘∼0∘范围内与β2有相同终边的角是−60∘．【知识点】弧度制23. 【答案】函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，当x>0时，−x<0，f(−x)=(−x)2+2(−x)+3=x2−2x+3=−(−x2+2x−3)=−f(x)，当x<0时，−x>0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−3=−x2−2x−3=−(x2+2x+3)=−f(x)，由于当x=0时，f(0)=2≠−f(0)，因此尽管x≠0时f(−x)=−f(x)成立，但是不符合函数奇偶性的定义．所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．【知识点】函数的奇偶性24. 【答案】(1) 对任意非零实数x1，x2恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，所以令x1=x2=1，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，又令x1=x2=−1，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，f(−1)=f(−1)+f(−1)，可得f(−1)=0．(2) 取x1=−1，x2=x，代入f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，得f(−x)=f(x)，又函数的定义域为(−∞,0)∪(0,∞)，所以函数f(x)是偶函数．(3) 函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，证明如下：任取x1,x2∈(0,∞)，且x1<x2，则x2x1>1，由题设有f(x2x1)<0，所以f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)+f(x1)−f(x1)=f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1)，即函数f(x)在(0,∞)上为单调递减函数，由（2）函数f(x)是偶函数，所以f(x)+f(x−32)≤0⇔f[x(x−32)]≤f(1)⇔∣∣x(x−32)∣∣≥1,解得：x≤−12或x≥2，所以解集为(−∞,−12]∪[2,+∞)．【知识点】函数的单调性、抽象函数、函数不等式的解法、函数的奇偶性25. 【答案】(1) 依题意：f(x)=2x2−2x+1=x，即2x2−3x+1=0，解得x=12或1．所以f(x)的不动点为12和1．(2) ①由f(x)=ax2+bx+1得对称轴x=m=−b2a．设g(x)=f(x)−x=ax2+(b−1)x+1(a>0)，由x1，x2是方程f(x)=x得两个相异的根，且x1<1<x2，所以g(1)<0即a+b<0．所以−ba>1．所以m=−b2a >12得证．② Δ=(b−1)2−4a>0⇒(b−1)2>4a．因为x1+x2=1−ba ，x1x2=1a，所以 ∣x 1−x 2∣2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(1−b a)2−4a =22．所以 (1−b )2=4a 2+4a. ⋯⋯①因为 ∣x 1−x 2∣=2，所以 x 1，x 2 到 g (x ) 的对称轴 x =1−b 2a的距离都为 1．又因为 ∣x 1∣<2，即 −2<x 1<2，所以 x =1−b 2a∈(−3,3)．所以 ∣∣1−b 2a ∣∣<3．所以 a >16∣1−b∣．代入①式得 (1−b )2>4×[16(1−b )]2+46∣1−b∣， 43(1−b )2>∣1−b∣，169(1−b )4>(1−b )2，(1−b )2>916．解得 b <14或 b >74．所以 b 的取值范围是 (−∞,14)∪(74,+∞)．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布26. 【答案】(1) 因为 tan α2=12，所以 tanα=2tanα21−tan 2α2=2×121−(12)2=43．所以 {sinαcosα=43,sin 2α+cos 2α=1.又 α∈(0,π2)，解得 cosα=35．(2) 由已知得 π2<α+β<3π2．因为 sin (α+β)=513，所以 cos (α+β)=−1213．由（1）可得 sinα=45，所以 sinβ=sin [(α+β)−α]=513×35−(−1213)×45=6365>513．【知识点】二倍角公式、两角和与差的正弦27. 【答案】cos(α−π2)sin(5π2+α)⋅sin (α−π)⋅cos (2π−α)=sinαcosα⋅(−sinα)⋅cosα=−sin 2α.【知识点】诱导公式28. 【答案】(1) 由题意，得 {f (0)=0,f (12)=25,所以 {a =1,b =0,故 f (x )=x1+x 2．(2) 任取 −1<x 1<x 2<1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，因为 −1<x 1<x 2<1，所以 x 1−x 2<0，1+x 12>0，1+x 22>0，又 −1<x 1x 2<1，所以 1−x 1x 2>0，所以 f (x 1)−f (x 2)<0，所以 f (x ) 在 (−1,1) 上是增函数． (3) f (t −1)<−f (t )=f (−t )，因为 f (x ) 在 (−1,1) 上是增函数，所以 −1<t −1<−t <1，所以 0<t <12，所以不等式的解集为 {t∣ 0<t <12}．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性29. 【答案】(1) 其中 x 万元资金投入A 产品，则剩余的 100−x （万元）资金投入B 产品，利润总和 f (x )=18−180x+10+100−x 5=38−x5−180x+10(x ∈[0,100])．(2) 因为 f (x )=40−(x+105+180x+10)，x ∈[0,100]，所以由基本不等式得：f (x )≤40−2√36=28，当且仅当x+105=180x+10，即 x =20 时取等号．答：分别用 20 万元和 80 万元资金投资A ，B 两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为 28 万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型30. 【答案】(1) 令 y =∣2x −1∣=0，解得 x =0，此时 y =0 为函数的最小值．令 y =∣2x −1∣=12，解得 x 1=−1，x 2=log 232．故定义域区间长度最大时 a =−1，b =log 232，故区间 [a,b ] 的长度为 b −a =log 232+1=log 23． (2) 由 7x+1>1 得−x+6x+1>0，解得 −1<x <6，记 A =(−1,6)．设不等式 log 2x +log 2(tx +3t )<2 的解集为 B ，不等式组 {7x+1>1,log 2x +log 2(tx +3t )<2的解集为A ∩B ．设不等式 log 2x +log 2(tx +3t )<2 等价于 {x >0,t (x +3)>0,t 2+3tx −4<0,所以 B ⊆(0,+∞)，A ∩B ⊆(0,6)，由于不等式组的解集的个区间长度和为 6，所以不等式组 {t (x +3)>0,t 2+3tx −4<0, 当 x ∈(0,6) 是恒成立．当 x ∈(0,6) 时，不等式 t (x +3)>0 恒成立，得 t >0．当 x ∈(0,6) 时，不等式 t 2+3tx −4<0 恒成立，分离常数得 t <4x 2+3x恒成立，当 x ∈(0,6) 时，y =x 2+3x 为单调递增函数，所以 y =x 2+3x ∈(0,54)，所以 4x 2+3x >427，所以实数 t ≤227．(3) 原不等式 2x−m +2x−n >3 可化为3x 2−(3m+3n+4)x+(2m+2n+3mn )(x−m )(x−n )<0, ⋯⋯①令 g (x )=3x 2−(3m +3n +4)x +(2m +2n +3mn )，其判别式 Δ=(3m +3n +4)2−12(2m+2n+3mn)=9(m−n)2+16>0，所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，设x1<x2，则g(x)=3(x−x1)(x−x2)，根据求根公式可求得x2−x1=√163=43，而g(m)=2(n−m)，g(n)=2(m−n)．（∪）当m=n时，不等式①等价于3(x−x1)(x−x2)<0，解得x1<x<x2，即不等式①的解集为(x1,x2)，区间长度为x2−x1=43．（∪）当m≠n时，不妨设m<n，则g(m)=2(n−m)>0，g(n)=2(m−n)<0，所以m<x1<n<x2，此时不等式①即3(x−x1)(x−x2)(x−m)(x−n)<0，解得m<x<x1或n<x<x2，即不等式①的解集为(m,x1)∪(n,x2)，区间的长度为x1−m+x2−n=x1+x2−(m+n)=3m+3n+43−(m+n)=43．综上所述，关于x的不等式2x−m +2x−n>3的解集构成的各区间的长度和为定值43．【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、分式不等式的解法、指数函数及其性质。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(36)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷7（共30题）一、选择题（共10题）1.设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数．若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( )A．√3B．√32C．√33D．02.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )A．a≤2B．−2<a≤2C．−2<a<2D．a≤−23.已知命题p: ∀x∈R，x2≥0，则¬p是( )A．∀x∈R，x2<0B．∀x∉R，x2≥0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2<04.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π2)在一个周期内的简图如图所示，则方程f(x)=m（m为常数且1<m<2）在[0,π]内所有解的和为( )A．π6B．π3C．π2D．π5.设5π<θ<6π，cosθ2=a，那么sinθ4等于( )A．√1+a2B．√1−a2C．−√1+a2D．−√1−a26.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的最小正周期大于2π，且当x=π2时f(x)取得最大值为1，曲线y=f(x)的一个对称中心为(5π4,0)，则下列结论正确的是( )A ． f (x ) 在 [−π,−π4] 上递增B ． f (x ) 在 [5π4,9π4] 上递减C ． f (x ) 在 [−π4,0] 上递减 D ． f (x ) 在 [−5π4,−34π] 上递增7. 在 △ABC 中，“AC >AB ”是“∠B >∠C ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 函数 f (x )=sinπxcosπx 的最小正周期为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． π D ． 2π9. 已知函数 f (x )=cos (ωx +φ) 在 x =−π6 时取最大值，在 x =π3 时取最小值，则以下各式：① f (0)=0；② f (π2)=0；③ f (2π3)=1 可能成立的个数是 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 310. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)二、填空题（共10题）11. 已知函数 f(x)={x 2+2x +14x 2+8x ,−2<x <0,x 2+2x −1,x ≤−2或x ≥0.若函数 g(x)=a ∣f(x)∣+1 有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是．12. 若不等式 −4<2x −3<4 与不等式 x 2+px +q <0 的解集相同，则 pq = ．13. 已知函数 f (x )={x 2+x,−2≤x ≤clog 12x,c <x ≤2，若 f (x ) 的值域是 [−1,2], 则实数 c 的取值范围是．14. 已知 f(√x +1)=x −2√x ，则 f (x )= ．15. 函数 y =a 2x 2−2a 2x +1（a ≠0）在 x ∈[−1,2] 上的最大值是．16. 已知 a 0,∣φ∣<π2) 的周期为 23π，且图象过点 (0,−√22)，则函数的解析式为．18. lg2+lg5 的值为．19. 函数 f (x )=√1−x +2x 的定义域为．20. 若两个正实数 x ，y 满足 1x+4y=1，且不等式 x +y4<m 2−3m 有解，则实数 m 的取值范围是．三、解答题（共10题）21. 已知函数 f (x )=log a (a x −1)(a >0,a ≠1)．(1) 当 a =12 时，求函数 f (x ) 的定义域． (2) 求关于 x 的不等式 f (x )<1 的解集．(3) 当 a =2 时，若不等式 f (x )>log 4(1+2x )+m 对任意实数 x ∈[1,3] 恒成立，求实数 m的取值范围．22. 解下列关于 x 的不等式．(1) log 2(x 2−4x )<5．(2) ax 2−(a +1)x +1<0(a ∈R )．23. 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，角 α 的终边经过点 P (4,−3)，求 sinα，cosα，tanα 的值．24. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点 A ，B 等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手．25. 如果函数 y =f (x )，x ∈D 满足：对于任意 x 1,x 2∈D ，均有 f (x 1)−f (x 2)≤∣x 1−x 2∣（n 为正整数）成立，则称函数 y =f (x ) 具有“n 级”性质．(1) 分别判断 f (x )=x 2，g (x )=12x 是否具有“1 级”性质，并说明理由；(2) 在区间 [−1,1] 上是否存在具有“1 级”性质的奇函数 y =f (x )，满足：f (−1)=0，且对于任意实数 x 1,x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，都有 {∣f (x 1)−f (x 2)∣<∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[0,12]∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[12,1] 成立？若存在，请写出一个满足条件的函数：若不存在，请说明理由；(3) 已知定义域为 R 的函数 y =f (x ) 具有“2 级”性质，求证：对任意 a,b ∈R ，都有 ∣f (b )−f (a )∣≤12020(b −a )2 成立．26. 证明下列恒等式：(1) 2cos 2(π4−α2)=1+sinα；(2) 1−cos4αsin4α⋅cos2α1+cos2α=tanα．27. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8≤0}，B ={x∣ x −m <0}．(1) 若全集 U =R ，求 ∁U A ．(2) 若 A ∪B =B ，求实数 m 的取值范围．28. 已知 f (α)=tan (π−α)cos (2π−α)sin(π2+α)cos (−α−π)．(1) 化简 f (α)；(2) 若 f (α)=45，且 α 是第二象限角，求 cos (2α+π3) 的值．29. 已知函数 f (x )=√2sinx (sinx +cosx )．(1) 求 f (x ) 的振幅、频率和初相；(2) 该函数图象可由 y =cos2x 的图象经过怎样的变换得到？ (3) 作出函数在一个周期上的图象．30.集合A={α∣ α=nπ2,n∈Z}∪{α∣ α=2nπ±2π3,n∈Z}，B={β∣ β=23nπ,n∈Z}∪{β∣ β=nπ+π2,n∈Z}，求A与B的关系．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 a −2=0 时，a =2，不等式显然恒成立．当 a −2≠0 时，需 {a −2<0,4(a −2)2+16(a −2)<0,解得 −2<a <2．综上可知，−2<a ≤2．故应选B ．【知识点】恒成立问题3. 【答案】D【解析】 ∀x ∈R ，x 2≥0 的否定为 ∃x ∈R ，x 2<0．【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】B【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【知识点】半角公式6. 【答案】A【解析】由题意，最小正周期大于 2π，即 ω<1．当 x =π2时 f (x ) 取得最大值为 1，即 π2ω+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，那么 ω=4kπ+π−2φπ，令 k =0，可得 ω=1−2πφ．对称中心为 (5π4,0)，则5πω4+φ=kπ，ω=4kπ−4φ5π．令 k =1，可得 ω=45−45πφ，即 1−2πφ=45−45πφ，所以 φ=π6．因为 0<φ<π2，满足题意，可得：ω=23．函数 f (x )=Asin (23x +π6)．令2kπ−π2≤23x+π6≤π2+2kπ，得3kπ−π≤x≤π2+3kπ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】C【解析】当AC>AB时，在AC上截取AD，使AD=AB，连接BD，如图所示，则∠ADB=∠ABD，又因为∠ADB>∠C，∠ABC>∠ABD，所以∠ABC>∠C．当∠B>∠C时，在AC上取点D，使∠CBD=∠C，如图所示，则CD=BD，根据三边关系有AD+BD>AB，可得AD+CD>AB，即AC>AB．故“AC>AB”是“∠B>∠C”的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】A【解析】由题意{−π6ω+φ=2k1π,π3ω+φ=2k2π+π(k1,k2∈Z)，解得{ω=4k1+2,φ=2k2π3+π3.f(0)=cos(2k2π3+π3)≠0，f(π2)=cos[2k1π+π+(2k2+1)π3]≠0，f(2π3)=cos(8k1+4+2k2+1)π3=cos(2k+5)π3≠1，三个都不可能成立，正确个数为0．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)，所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ．因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题） 11. 【答案】 [−1,−45)【知识点】函数的零点分布12. 【答案】127【解析】 −4<2x −3<4 则 −1<2x <7，−12<x <72，则 x 2+px +q <0 的解集为 {x ∣∣ −12<x <72}，所以 x =−12 和 x =72 时，x 2+px +q <0，由韦达定理得：{(−12)+72=−p,(−12)×72=q,所以{p=−3,q=−74,pq=−3−74=127．【知识点】二次不等式的解法13. 【答案】[14,1]【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】x2−4x+3（x≥1）【解析】解法一（换元法）：令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，代入原式有f(t)= (t−1)2−2(t−1)=t2−4t+3，所以f(x)=x2−4x+3（x≥1）．解法二（配凑法）：f(√x+1)=x+2√x+1−4√x−4+3=(√x+1)2−4(√x+1)+3,因为√x+1≥1，所以f(x)=x2−4x+3（x≥1）．【知识点】函数的解析式的概念与求法15. 【答案】3a2+1【知识点】函数的最大（小）值16. 【答案】8【解析】由条件知a>0，b−a>0．由题意得Δ=b2−4ac≤0，解得c≥b24a，所以M=a+2b+4cb−a≥a+2b+4⋅b2 4ab−a=a2+2ab+b2a(b−a)=[2a+(b−a)]2a(b−a)=(b−a)2+4a(b−a)+4a2a(b−a)=b−aa +4ab−a+4≥2√b−aa ⋅4ab−a+4=4+4=8,当且仅当b=3a时等号成立，所以M的最小值为8．【知识点】均值不等式的应用17. 【答案】 y =sin(3x −π4)【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 1【解析】 lg2+lg5=lg10=1．【知识点】对数的概念与运算19. 【答案】 (−∞,0)∪(0,1]【解析】由 {1−x ≥0,x ≠0, 解得 x ≤1 且 x ≠0，故定义域为 (−∞,0)∪(0,1]．【知识点】函数的定义域的概念与求法20. 【答案】 (−∞,−1)∪(4,+∞)【解析】因为 x >0，y >0，1x +4y =1，所以 x +y4=(x +y4)(1x +4y )=2+y4x+4x y≥2+2√y 4x⋅4x y=4，等号在 y =4x ，即 x =2，y =8 时成立，所以 x +y4 的最小值为 4，要使不等式 m 2−3m >x +y4 有解，应有 m 2−3m >4，所以 m <−1 或 m >4．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 当 a =12 时，f (x )=log 12[(12)x−1]，若 f (x ) 有定义，则 (12)x −1>0 即 (12)x >(12)0，所以 x <0 即 f (x ) 的定义域为 (−∞,0)． (2) 因为 f (x )=log a (a x −1)．令 u =a x −1，则 y =log a u ．在定义域内，若 0<a <1，则 u 和 y 同为减函数，则 f (x ) 单调递增，若 a >1，则 u 和 y 同为增函数，则 f (x ) 单调递增，故 f (x ) 在定义域内单调递增恒成立．若 f (x )=1，则 log a (a x −1)=1，即 a x −1=a ，所以 a x =a +1，所以 x =log a (a +1)，所以 f (x )<1 时，x <log a (a +1)．因为 a x −1>0，所以 a x >a 0，所以 0<a <1 时，x <0；a >1 时，x >0，所以 f (x )<1 的解集为 a >1 时，(0,log a (a +1))，0<a <1 时，(−∞,log a (a +1))．(3) a =2 时，f (x )=log 2(2x −1)，则 f (x )>log 4(1+2x )+m 时，m <log 2(2x −1)−log 4(1+2x )．令 g (x )=log 2(2x −1)−log 4(1+2x )=log 4(2x −1)22x +1．令 t =2x +1，因为 x ∈[1,3]，所以 2x ∈[2,8]，所以 t ∈[3,9]，所以 g (t )=log 4(t−2)2t =log 4t 2−4t+4t =log 4(t +4t −4)．因为 t +4t −4≥2√4−4=0，当且仅当 t =4t 即 t =2 时等号成立，所以 t ∈[3,9] 时，t +4t −4∈[13,499]，所以 log 4(13)≤g (t )≤log 4(499)．因为 m <g (x ) 恒成立，所以 m <log 4(13)=−log 43，故 m 的取值范围是 (−∞,−log 43)．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法22. 【答案】(1) 因为 log 2(x 2−4x )<5，所以 {x 2−4x >0,x 2−4x <32 即 {x <0或x >4,−4<x <8,解得 −4<x <0 或 4<x <8，故不等式 log 2(x 2−4x )<5 的解集为 (−4,0)∪(4,8)．(2) ax 2−(a +1)x +1<0 等价于 (ax −1)(x −1)<0，当a>0时，若0<a<1，则1a >1，此时1<x<1a；若a=1，则不等式为(x−1)2<0，此时无解；若a>1，则1a <1，此时1a<x<1，当a=0时，不等式为−x+1<0，此时x>1；当a<0时，1a <0，此时，x<−1a或x>1，综上，当0<a<1时，解集为(1,1a)；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为(1a,1)；当a=0时，解集为(1,+∞)；当a<0时，解集为(−∞,−1a)∪(1,+∞)．【知识点】简单的对数方程与不等式（沪教版）、二次不等式的解法23. 【答案】由x=4，y=−3，得r=∣OP∣=√42+(−3)2=5．故sinα=−35=−35，cosα=45，tanα=−34=−34．【知识点】任意角的三角函数定义24. 【答案】(1) 是，即线段AB的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念25. 【答案】(1) 对于函数f(x)=x2，取x1=2，x2=0，f(x1)−f(x2)=4>x1−x2=2，所以函数g(x)=x2不具有“1级”性质，对于函数g(x)=12x，g(x1)−g(x2)≤1−12∣x1−x2∣≤∣x1−x2∣，所以函数g(x)=12x具有性质．(2) 满足条件的函数不存在．理由如下：假设存在满足条件的函数f(x)，则由∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[12,1]⇒∣∣f (12)−f (1)∣∣=∣∣12−1∣∣=12.又 f (1)=0，所以 ∣∣f (12)∣∣=12, ⋯⋯①又因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (0)=0，由条件∣f (x 1)−f (x 2)∣<∣x 1−x 2∣,x 1,x 2∈[0,12]⇒∣∣f (12)∣∣=∣∣f (12)−f (0)∣∣<∣∣12−0∣∣=12. ⋯⋯②①与②矛盾，因此假设不成立，这样的函数不存在．(3) 若 a =b ，则显然成立；若 a ≠b ，不妨设 a <b ，由题意可知，f (y )−f (x )≤(y −x )2，由 x ，y 的任意性，同时也有 f (x )−f (y )≤(y −x )2，即 ∣f (y )−f (x )∣≤∣x −y ∣2，将区间进行 2020 等分，记a =x 0，a +b−a 2020=x 1，a +2b−a 2020=x 2，⋯，b =a +2020b−a 2020=x 2020，∣f (b )−f (a )∣=∣f (x 2020)−f (x 2019)+f (x 2019)−f (x 2018)+⋯−f (x 1)+f (x 2)−f (x 0)∣≤∣x 2020−x 2019∣2+∣x 2019−x 2018∣2+⋯+∣x 1−x 0∣2=(b−a 2020)2×2020=(b−a )22020.【知识点】函数的单调性26. 【答案】(1) 2cos 2(π4−α2)=1+cos 2(π4−α2)=1+cos (π2−α)=1+sinα.(2) 1−cos4αsin4α⋅cos2α1+cos2α=tan2α⋅cos2α1+cos2α=sin2α1+cos2α=tanα.【知识点】二倍角公式27. 【答案】(1) A ={x∣ −2≤x ≤4}，所以 ∁U A ={x∣ x <−2或x >4}．(2) A ∪B =B ，所以 A ⊆B, 且 B ={x∣ x <m }，所以 m >4，所以实数 m 的取值范围为 (4,+∞)．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算28. 【答案】(1) f (α)=tan (π−α)cos (2π−α)sin(π2+α)cos (−α−π)=−tanαcosαcosα−cosα=sinα.(2) 因为 f (α)=sinα=45，且 α 是第二象限角，所以 cosα=−√1−sin 2α=−35，所以 cos2α=2cos 2α−1=−725，sin2α=2sinαcosα=−2425，所以cos (2α+π3)=cos2αcos π3−sin2αsin π3=−725×12+2425×√32=24√3−750.【知识点】两角和与差的余弦、诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式29. 【答案】(1) 振幅为 1，频率为 1π，初相为 −π4．(2) 将 y =cos2x 的图象向左平移 58π 个单位，再向上平移 √22 个单位．(3) 提示：五点法作图．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换30. 【答案】方法一：集合 A ，B 中角的终边，如图所示．所以 B ⫋A ．方法二：{α∣ α=nπ2,n ∈Z}={α∣ α=kπ,k ∈Z }∪{α∣ α=kπ+π2,k ∈Z}，{β∣ β=2nπ3,n∈Z}={β∣ β=2kπ,k∈Z}∪{β∣ β=2kπ±2π3,k∈Z}．比较集合A，B中的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α=(2k+1)π(k∈Z)不是B中的元素，所以B⫋A．【知识点】弧度制。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(75)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷7（共30题）一、选择题（共10题）1.“x2=y2”是“x=y”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，则f(−2)，f(π)，f(−3)的大小关系是( )A．f(π)<f(−2)<f(−3)B．f(π)>f(−2)>f(−3)C．f(π)<f(−3)<f(−2)D．f(π)>f(−3)>f(−2)3.设函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，则实数a=( )A．−1B．1C．0D．−24.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补．记φ(a,b)=√a2+b2−a−b，那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)={1−x −12,x>0,2x,x≤0,则f(f(19))等于( )A．4B．14C．−4D．−146.函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间(0,π3)上单调递增，在区间(π3,π2)上单调递减，则ω的最小值为( )A．32B．23C．2D．37.下列命题中，正确的是( )A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C ． 1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和D ． 1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位8. 已知函数 f (x )=x −[x ]，其中 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数．若关于 x 的方程 f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． [−1,−12)∪(14,13]B ． (−1,−12]∪[14,13)C ． [−13,−14)∪(12,1] D ． (−13,−14]∪[12,1)9. 已知 f (x )=∣lnx ∣，设 0<a 0”的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题（共10题）11. 已知 x >y >0，m >0，比较大小 yx y+mx+m （填 >，≥，<，≤ 之一）．12. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f (1+x )=f (1−x )，若 f (1)=3，则 f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2021)= ．13. 方程 2x =2−x 的解的个数是．14. 已知正实数 x ，y 满足 x +y4=1，则 1x +4y −2√xy 的最小值为．15. 已知函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，则函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点的和为．16. 若 0<a <b 且 a +b =1，则 12，a ，b ，2ab ，a 2+b 2 的大小关系为．（用“<”连接）17. 函数 y =2x 的值域为．18.已知函数f(x)=ax2−5x+2a+3的一个零点为0，则f(x)的单调递增区间为．19.将函数f(x)=cos(2x+π12)的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是．（填所有正确结论的序号）① g(x)的最小正周期为4π；② g(x)在区间[0,π3]上单调递减；③ g(x)图象的一条对称轴为x=π12；④ g(x)图象的一个对称中心为(7π12,0)．20.已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)+1，f(a)=4，则f(−a)=．三、解答题（共10题）21.已知a∈R，函数f(x)=log2(12x+a)．(1) 当a=1时，求不等式f(x)≤1的解集；(2) 若关于x的方程f(x)+2x=0的解集中恰有两个元素，求a的取值范围．22.已知f(x)=e x−ae x是奇函数（e为自然对数的底数）．(1) 求实数a的值；(2) 求函数y=e2x+e−2x−2λf(x)在[0,+∞)上的值域；(3) 令g(x)=f(x)+x，求不等式g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0的解集．23.用区间表示下列集合：(1) 不等式2x−6<0的所有实数解组成的集合；(2) 使√x+5有意义的所有实数x取值的集合．24.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．25.全集中的元素有何特征？如何理解补集的定义？26.已知a是实常数，函数f(x)=alg(1−x)−lg(1+x)．(1) 若a=1，求证：函数y=f(x)是减函数；(2) 讨论函数f(x)奇偶性，并说明理由．27.已知角α的终边在直线y=2x上，求sinα，cosα，tanα的值．28.对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b−2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的“不动点”．(1) 当a=2，b=−2时，求f(x)的“不动点”；(2) 若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个不相等的“不动点”，求实数a的取值范围．29.已知2x=3y=6z≠1，求证：1x +1y=1z．30.试写出一个一元二次不等式，使其解集为(−2,1)．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】D【解析】因为f(x)是R上的偶函数，所以f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，因为当x∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，且2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π)，所以f(−2)<f(−3)<f(π)，故选D．【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性3. 【答案】A【解析】函数f(x)=x 2+(a+1)x+ax为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，即x 2+(a+1)x+ax+x2−(a+1)x+a−x=0．【知识点】函数的奇偶性4. 【答案】C【解析】若φ(a,b)=0，则√a2+b2=a+b，两边平方得a≥0，b≥0，且ab=0，故充分性成立；若a≥0，b≥0，且ab=0，则不妨设a=0，φ(a,b)=√a2+b2−a−b=√b2−b=0，故必要性成立．故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】B【知识点】分段函数、指数函数及其性质6. 【答案】A【解析】由题意，知当x=π3时，函数f(x)取得最大值，则sinωπ3=1，所以ωπ3=2kπ+π2(k∈Z)，所以ω=6k+32,k∈Z．又ω>0，所以ωmin=32，故选A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】D【解析】根据1弧度的定义：我们把长度等于半径长的圆弧所对的圓心角叫做1弧度的角．弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位．故选D．【知识点】弧度制8. 【答案】B【解析】函数f(x)=x−[x]的图象如图所示：y=kx+k表示恒过A(−1,0)点斜率为k的直线．若方程f(x)=kx+k有3个相异的实根．则函数f(x)=x−[x]与函数f(x)=kx+k的图象有且仅有3个交点．由图可得：当y=kx+k过(2,1)点时，k=13，当y=kx+k过(3,1)点时，k=14，当y=kx+k过(−2,1)点时，k=−1，当y=kx+k过(−3,1)点时，k=−12，则实数k满足14≤k<13或−1<k≤−12．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】B【知识点】对数函数及其性质10. 【答案】A【知识点】任意角的三角函数定义二、填空题（共10题）11. 【答案】<【知识点】不等式的性质12. 【答案】3【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，所以 f (1+x )=f (1−x )=−f (x −1)，即 −f (x )=f (x +2)，所以 f (x +4)=−f (x +2)=f (x )，即周期 T =4，又 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，可得 f (0)=0，令 x =1，f (1+1)=f (1−1)=f (0)=0，即 f (2)=0， f (3)=f (3−4)=f (−1)=−f (1)=−3， f (4)=f (4−4)=f (0)=0，所以 f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，而 f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2021)=505×(f (1)+f (2)+f (3)+f (4))+f (2021)=f (2021)=f (1)= 3.【知识点】函数的周期性、函数的奇偶性、抽象函数13. 【答案】 1【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 2【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】 2n−1+22n−1，n ∈N ∗【解析】因为函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，又因为对于任意 a ≥0，方程 f (x )=a 有且只有一个实数解，所以函数 f (x )={2x −1,0≤x ≤1f (x −1)+m,x >1 在定义域 [0,+∞) 上单调递增，且图象连续，21−1=f (1−1)+m ，即 1=20−1+m ，所以 m =1．画出函数 f (x ) 的图象，如图所示．由图可知，函数 f (x ) 的图象与直线 y =x 的交点的横坐标分别为 0，1，2，3，⋯，所以函数 g (x )=f (x )−x 在区间 [0,2n ](n ∈N ∗) 上所有零点分别为 0，1，2，3，⋯，2n ，所以所有零点的和为2n (1+2n )2=2n−1+22n−1，n ∈N ∗．【知识点】函数的零点分布、函数的单调性、分段函数16. 【答案】a<2ab<12<a2+b2<b【解析】因为0<a<b，a+b=1，所以a<12<b, ⋯⋯①2ab<a2+b2, ⋯⋯②因为a2+b2>2(a+b2)2=12，a2+b2=a⋅a+b2<a⋅b+b2=(1−b)b+b2=b，所以12<a2+b2<b，又因为2ab<2(a+b2)2=12，2ab>2×12a=a，所以a<2ab<12，所以a<2ab<12<a2+b2<b．【知识点】均值不等式的应用17. 【答案】(0,+∞)【知识点】指数函数及其性质18. 【答案】(−∞,−53]【解析】由已知f(0)=2a+3=0，所以a=−32，所以f(x)=−32x2−5x，f (x ) 的单调递增区间为 (−∞,−53]．【知识点】零点的存在性定理19. 【答案】②④【解析】将函数 f (x )=cos (2x +π12) 的图象向左平移 π8 个单位长度后，得到函数 g (x )=cos (2x +π12+π4)=cos (2x +π3) 的图象，故它的最小正周期为2π2=π，故①错误；在区间 [0,π3] 上，2x +π3∈[π3,π]，故 g (x )=cos (2x +π3) 在区间 [0,π3] 单调递减，故②正确；当 x =π12时，g (x )=0，故③错误；当 x =7π12 时，g (x )=0，故④正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】 −2【解析】易知 f (x ) 的定义域为 R ，设 g (x )=ln(√1+x 2−x)，所以 g (−x )=ln(√1+x 2+x)=−g (x )，所以 g (x ) 为奇函数，所以 g (a )+g (−a )=0，又 f (a )=g (a )+1， f (−a )=g (−a )+1，所以 f (a )+f (−a )=2，又 f (a )=4，所以 f (−a )=2−4=−2．【知识点】函数的奇偶性、对数函数及其性质三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) log 2(12x +1)≤1=log 22⇔12x +1≤2⇔12x ≤1⇔2−x ≤20⇔x ≥0，所以不等式 f (x )≤1 的解集为：[0,+∞)．(2) 根据集合中元素的唯一性可知，关于 x 的方程 f (x )+2x =0 有两个不相等的实数根，即方程 log 2(12x +a)=−2x =log 22−2x 有两个不相等的实数根，即方程 12x +a =2−2x 有两个不相等的实数根，令t=12x ，即方程t2−t−a=0在区间(0,+∞)有两个不相等的实数根，从而有{Δ>0,t1+t2>0,t1⋅t2>0,即{(−1)2+4a>0, 1>0,−a>0,解得−14<a<0，故a的取值范围(−14,0)．【知识点】函数的零点分布22. 【答案】(1) 因为f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以f(0)=0，故1−a=0，即a=1．经检验，满足题意．(2) 设e x−1e x =t（t≥0），则e2x+1e2x=t2+2，设y=ℎ(t)=t2−2λt+2=(t−λ)2+2−λ2，t∈[0,+∞)．①当λ≤0时，ℎ(t)≥ℎ(0)，所以函数的值域为[2,+∞)；②当λ>0时，ℎ(t)≥ℎ(λ)，所以函数的值域为[2−λ2,+∞)．(3) 因为g(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，所以g(−x)=f(−x)+(−x)=−f(x)−x=−(f(x)+x)=−g(x)，故g(x)为奇函数．任取x1，x2，且x1<x2，则g(x1)−g(x2)=(e x1−e x2)−(1e x1−1e x2)+(x1−x2)=(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)+(x1−x2),因为x1<x2，所以(e x1−e x2)(1+1e x1+x2)<0，x1−x2<0，所以g(x1)−g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，故g(x)在R上单调递增．由g((log2x)2)+g(2log2x−3)≥0，得g((log2x)2)≥−g(2log2x−3)，即g((log2x)2)≥g(−2log2x+3)，所以(log2x)2≥−2log2x+3，所以(log2x)2+2log2x−3≥0，解得log2x≥1或log2x≤−3，故x≥2或0<x≤18．故原不等式的解集为(0,18]∪[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性23. 【答案】(1) 因为2x−6<0，所以x<3，用区间表示为(−∞,3)．(2) 由题意得x+5≥0，故x≥−5，用区间表示为[−5,+∞)．【知识点】集合的表示方法24. 【答案】设A(a,0)，B(0,b)(a>0,b>0)，则直线l的方程为xa +yb=1，因为l过点P(3,2)，所以3a +2b=1，因为1=3a +2b≥2√6ab，整理得ab≥24，所以S△ABO=12ab≥12，当且仅当3a =2b，即a=6，b=4时取等号，此时直线l的方程是x6+y4=1，即2x+3y−12=0．【知识点】直线的两点式与截距式方程、均值不等式的应用25. 【答案】若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．∁U A包含三层意思：① A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③ ∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x,(−1<x<1)，设−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=lg1−x11+x1−lg1−x21+x2=lg(1−x1)(1+x2)(1−x2)(1+x1)，又(1−x1)(1+x2)−(1−x2)(1+x1)=2(x2−x1)>0，即(1−x1)(1+x2)(1−x2)(1+x1)>1，即f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故当a=1时，函数y=f(x)是减函数．(2) 由（1）可得，函数y=f(x)的定义域为(−1,1)，因为f(x)=alg(1−x)−lg(1+x)，所以f(−x)=alg(1+x)−lg(1−x)，则f(x)+f(−x)=a[lg(1−x)+lg(1+x)]−[lg(1+x)+lg(1−x)]=(a−1)lg(1−x2),然当a=1时，f(x)+f(−x)=0，即f(x)=−f(−x)，即函数为奇函数，则f(x)−f(−x)=(a+1)[lg(1−x)−lg(1+x)]=(a+1)lg1−x1+x，显然当a=−1时，f(x)−f(−x)=0，即f(x)=f(−x)，即函数为偶函数，当a≠1且a≠−1时，f(x)≠−f(−x)且f(x)≠f(−x)，即函数y=f(x)为非奇非偶函数．故当a=1时，函数为奇函数；当a=−1时，函数为偶函数；当a≠1且a≠−1时，函数y=f(x)为非奇非偶函数．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性27. 【答案】作出直线y=2x的图象，可知角α的终边在第一象限或者第三象限．当角α的终边在第一象限时，在终边上取点(1,2)，则r=√5，sinα=yr =2√55，cosα=xr=√55，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在终边上取点(−1,−2)，则r=√5，sinα=yr =−2√55，cosα=x r =−√55，tanα=yx=2．【知识点】任意角的三角函数定义28. 【答案】(1) 当a=2，b=−2时，f(x)=2x2−x−4，设x0为其“不动点”，则2x02−x0−4=x0，即2x02−2x0−4=0，解得x0=−1或x0=2，即f(x)的不动点是−1，2．(2) 由f(x)=x，得ax2+bx+b−2=0，由已知得此方程有两个不相等的实数根，故Δ>10恒成立，即b2−4a(b−2)>0恒成立，即b2−4ab+8a>0对任意b∈R恒成立，令g(b)=b2−4ab+8a，则二次函数g(b)=b2−4ab+8a的图象恒在x轴上方，则Δ=2(−4a)2−4×8a<0，即16a2−32a<0，即a(a−2)<0，解得0<a<2．故实数a的取值范围是(0,2)．【知识点】函数的零点分布、函数零点的概念与意义29. 【答案】设2x=3y=6z=k(k≠1)，所以x=log2k，y=log3k，z=log6k，所以1x =log k2，1y=log k3，1z=log k6=log k2+log k3，所以1z =1x+1y．【知识点】对数的概念与运算30. 【答案】x2+x−2<0；满足条件的不等式有无穷多个．【知识点】二次不等式的解法。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(2)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1.设a,b∈R，集合{1,a+b,a}={0,b,ba}，则b−a等于( )A．1B．−1C．2D．−22.若函数y=log a(x−1)+8的图象恒过定点A，且A在幂函数f(x)的图象上，则f(12)= ( )A．1B．12C．14D．183.已知函数f(x)的值域为[−32,38]，则函数g(x)=f(x)+√1−2f(x)的值域为( )A．[12,78]B．[12,1]C．[78,1]D．(0,12]∪[78,+∞)4.设集合P={x∣ (x−2)(x−3)<0}，Q={x∣ x>1}，则P∩Q=( )A．(1,∞)B．(2,3)C．(1,2)∪(3,∞)D．(3,+∞)5.设全集为R，若集合M={x∣ x≥1}，N={x∣ 0≤x<5}，则N∩∁RM等于( )A．{x∣ x≥5}B．{x∣ 0≤x<1}C．{x∣ x>5}D．{x∣ 1≤x<5}6.“a≥5”是命题“∀x∈[1,2]，2x−a≤0”为真命题的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知集合A={1,2,3}，B={−1,3}，那么集合A∪B等于( )A．{3}B．{−1,1,2,3}C．{−1,1}D．{x∣ −1≤x≤3}8.sin1⋅cos2⋅tan4的符号为( )A ．正B ．负C ．零D ．不能确定9. 设 x ∈Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集．若命题 p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则 ( ) A ． ¬p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ． ¬p ：∀x ∉A ，2x ∉B C ． ¬p ：∃x ∉A ，2x ∈BD ． ¬p ：∃x ∈A ，2x ∉B10. 已知 tan (x +π4)=2，则 tanxtan2x 的值为 ( ) A ． 49B ． 23C ． 59D ． 95二、填空题（共10题）11. 若函数 f (x )={−x 2+2x +1,x >03x ,x ≤0，方程 f (x )=m 有两解，则实数 m 的取值范围为．12. 给出下列四个判断：① ∅={0}； ②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④空集是任何一个集合的子集．其中正确的是．13. 已知集合 M ={1,2,(a 2−3a −1)+(a 2−5a −6)i }，N ={−1,3}，若 M ∩N ={3}，则实数a = ．14. 已知集合 P ={x ∣y =√x +1}，集合 Q ={y ∣y =√x −1}，则 Q P ．15. 函数 f (x )=√x 的定义域是．16. 将函数 f (x )=sin (4x −π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x ) 的图象，则 g (x ) 的最小正周期是17. 命题：∃x ∈R ，x 2−x +1=0 的否定是．18. 设 f (x )=(2a −1)x +b 在 R 上是减函数，则有．19. 等腰三角形一腰 AB 的长是底边 AC 长的 4 倍，则 cosA = ，cosB = ．20. 若 cosα=−35，α 是第二象限角，则 sinα 的值为．三、解答题（共10题）21. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：图中，能否看出函数的最大、最小值？22. 写出函数 f (x )=x 2+4x+5x 2+4x+4 的单调区间，并比较 f (−π) 与 f (−√22) 的大小．23. 已知 cosα=513，cos (α−β)=35，且 0<β<α<π2．(1) 求 tan2α 的值； (2) 求 cosβ 的值．24. 在同一直角坐标系中画出函数 y =3x和 y =(13)x的图象，并说明它们的关系．25. 试用子集与推出关系来说明命题 α 是 β 的什么条件：(1) α:x >0，y >0，β:xy >0 且 x +y >0． (2) α：平行四边形，β：四边形的一组对边平行．26. 已知：函数 f (x )=asin (x +π4)−√6cos (x +π3)．(1) 当 a 为何值时，f (x ) 为偶函数？ (2) 当 a 为何值时，f (x ) 为奇函数？27. 已知不等式 x 2−(a +1)x +a <0 的解集为 M ．(1) 若 2∈M ，求实数 a 的取值范围．(2) 当 M 为空集时，求不等式 1x−a <2 的解集．28.如何理解交集的含义？29.已知p：x>1或x<−3，q：x>a（a为实数）．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，求实数a的取值范围．30.设函数f(x)=log a(x+2)−1其图象恒过定点M．(1) 写出定点M的坐标．(2) 若f(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，求a的值．(3) 若y=f(x)的图象不经过第二象限，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【知识点】集合相等2. 【答案】D【解析】令 x −1=1，解得 x =2，此时 y =8，故定点为 A (2,8)．设幂函数的解析式是 f (x )=x α，则 8=2α，解得 α=3，故 f (x )=x 3，f (12)=18，故选D ．【知识点】对数函数及其性质、幂函数及其性质3. 【答案】B【解析】设 t =√1−2f (x )(t ≥0)，因为 f (x )∈[−32,38]，所以 12≤t ≤2．所以设 ℎ(t )=1−t 22+t =−12(t −1)2+1，因为 ℎ(t )=−12(t −1)2+1 图象的对称轴为直线 t =1，所以当 t =1 时，ℎ(t ) 取得最大值 1 ,当 t =2 时，ℎ(t ) 取得最小值 12，所以函数 g (x ) 的值域是 [12,1]．【知识点】函数的值域的概念与求法4. 【答案】B【解析】因为集合 P ={x∣ (x −2)(x −3)<0}={x∣ 2<x <3}，Q ={x∣ x >1}，所以 P ∩Q ={x∣ 2<x <3}=(2,3)．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】A【解析】由 ∀x ∈[1,2]，2x −a ≤0 可得 a 大于或等于 2x 在 x ∈[1,2] 上的最大值，又因为 ∀x ∈[1,2]，2x ∈[2,4]，所以 a ≥4，若 a ≥5，则 a ≥4 成立，即 ∀x ∈[1,2]，2x −a ≤0 成立；反之，若 ∀x ∈[1,2]，2x −a ≤0 成立，则 a ≥4，不能推出 a ≥5．所以“a ≥5”是命题“∀x ∈[1,2]，2x −a ≤0”为真命题的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件、全（特）称命题的概念与真假判断7. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】因为 1 弧度为第一象限角，2 弧度为第二象限角，4 弧度为第三象限角，所以 sin1>0，cos2<0，tan4>0，所以 sin1⋅cos2⋅tan4<0，故选B ．【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设 x ∈Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集．若命题 p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则 ¬p ：∃x ∈A ，2x ∉B ．【知识点】全（特）称命题的否定10. 【答案】A【知识点】两角和与差的正切、二倍角公式二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (0,2)【解析】作函数 f (x )={−x 2+2x +1,x >03x ,x ≤0 的图象如图所示：因为方程 f (x )=m 有两解，所以 0<m <2．故答案为：(0,2)．【知识点】指数函数及其性质、函数的零点分布12. 【答案】④【解析】由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．【知识点】包含关系、子集与真子集13. 【答案】 −1【解析】由 M ∩N ={3} 知，3∈M ，即有 (a 2−3a −1)+(a 2−5a −6)i =3，所以 {a 2−3a −1=3,a 2−5a −6=0.解得 a =−1．【知识点】复数的代数形式、交、并、补集运算14. 【答案】 ⫋【解析】 P ={x ∣y =√x +1}=[−1,+∞)，Q ={y ∣y =√x −1}=[0,+∞)，所以 Q ⫋P ．【知识点】包含关系、子集与真子集15. 【答案】 [0,+∞)【解析】由题意得 x ≥0，故函数 f (x ) 的定义域为 [0,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法16. 【答案】 π【解析】依题意可得 g (x )=sin (2x −π6)，故 T =2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质17. 【答案】 ∀x ∈R ，x 2−x +1≠0【解析】命题：∃x ∈R ，x 2−x +1=0 是存在性命题，所以原命题的否定是全称命题，所以命题：∃x ∈R ，x 2−x +1=0 的否定为 ∀x ∈R ，x 2−x +1≠0．【知识点】全（特）称命题的否定18. 【答案】 a <12【解析】因为 f (x ) 在 R 上是减函数，故 2a −1<0，即 a <12．【知识点】函数的单调性19. 【答案】 18 ； 3132【知识点】二倍角公式20. 【答案】 45【知识点】同角三角函数的基本关系三、解答题（共10题）21. 【答案】图①中可以看出函数的最大值；图②中有两个函数最小值．【知识点】函数的最大（小）值22. 【答案】 f (x )=x 2+4x+5x 2+4x+4=1+1(x+2)2=1+(x +2)−2．其图象可由幂函数 y =x −2 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到，如图所示．该函数在 (−2,+∞) 上是减函数，在 (−∞,−2) 上是增函数，且其图象关于直线 x =−2 对称．因为 −2−(−π)=π−2<−√22−(−2)=2−√22，所以 f (−π)>f (−√22)．【知识点】函数的图象变换、函数的单调性23. 【答案】(1) 由 cosα=513，0<α<π2，得 sinα=√1−cos 2α=√1−(513)2=1213，得 tanα=sinαcosα=125，所以 tan2α=2tanα1−tan 2α=−120119．(2) 由 0<β<α<π2，得 0<α−β<π2，又因为 cos (α−β)=35，sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=45，由 β=α−(α−β)，得 cosβ=cos [α−(α−β)]=cosαcos (α−β)+sinαsin (α−β)=513×35+1213×45=6365.【知识点】两角和与差的余弦、二倍角公式24. 【答案】图略．函数 y =3x 和 y =(13)x的图象关于 y 轴对称．【知识点】指数函数及其性质25. 【答案】(1) 充要条件．(2) 充分非必要条件．【知识点】充分条件与必要条件26. 【答案】(1) f(π2)=√22a+32√2，f(−π2)=−√22a−32√2，若f(x)是偶函数，则可得a=−3，此时f(x)=(−3√22−√62)cosx，是偶函数．(2) f(0)=√22a−√62，若f(x)是奇函数，则f(0)=0，可得a=√3，此时f(x)=(√62+32√2)sinx，是奇函数．【知识点】函数的奇偶性27. 【答案】(1) 由已知，22−2(a+1)+a<0，解得a>2．(2) (x−a)(x−1)<0的解集为空集时，Δ=(a+1)2−4a≤0，即(a−1)2≤0．所以a=1．所以1x−a <2可化为2x−3x−1>0，解得x>32或x<1．所以此不等式的解集为(−∞,1)∪(32,+∞)．【知识点】二次不等式的解法、分式不等式的解法28. 【答案】①概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B；②当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B=∅．【知识点】交、并、补集运算29. 【答案】由已知得¬p：−3≤x≤1，¬q：x≤a．若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，故a≥1．【知识点】充分条件与必要条件30. 【答案】(1) 令x+2=1，得x=−1，故定点M的坐标为(−1,−1)．(2) f(x)=log a(x+2)−1在[0,1]上为单调函数，因为f(x)在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，所以f(0)+f(1)=0，即log a2−1+log a3−1=0，即log a6=2，所以a2=6，又a>0且a≠1，故a=√6．(3) 若y=f(x)的图象不经过第二象限，则a>1，且f(0)≤0，所以log a2−1≤0，解得a≥2，故a的取值范围是[2,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值。

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高一数学总复习测试题含答案第一部分：选择题
1. 设函数 $y=2x+3$，则其图象与坐标轴围成的面积为（）
A. 3平方单位
B. 6平方单位
C. 9平方单位
D. 12平方单位
2. 已知函数 $y=x^2$ 的图象和直线 $y=-2$ 的图象所围成的面积为 $S$，则 $S=$（）
A. $-\frac{7}{3}$
B. $-\frac{8}{3}$
C. $\frac{7}{3}$
D. $\frac{8}{3}$
3. 已知函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与x轴交于两个点，且与x 轴夹角的正弦值为1，则 $b^2-4ac=$（）
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{8}$
4. 三角形ABC的三个内角分别为 $A=60\degree$，
$B=80\degree$，$C=40\degree$，则 $\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}$ 等于（）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
5. 若 $\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=0$，其中 $A$，$B$，$C$ 是$\triangle{ABC}$ 的三个内角，则 $\triangle{ABC}$ 为（）
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角三角形
第二部分：简答题
1. 请说明如何求一个三角形的面积。

2. 请解释二次函数的图象特点。

第三部分：计算题
1. 计算 $\sin{\frac{5\pi}{6}}$ 和 $\cos{\frac{3\pi}{4}}$ 的值。

2. 某商品原价为300元，现以打8折出售，请计算折后的价格。

答案：
第一部分：
1. B
2. A
3. B
4. C
5. D
第二部分：
1. 三角形的面积可以通过以下公式计算：$S=\frac{1}{2}bh$，其中 $b$ 表示底边的长度，$h$ 表示从底边到与底边垂直的顶点的距离。

2. 二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数决定。

当二次项系数为正时，抛物线开口向上；当二次项系数为负时，抛物线开口向下。

第三部分：
1. $\sin{\frac{5\pi}{6}} = \frac{1}{2}$，$\cos{\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 折后的价格为300元 * 0.8 = 240元。

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