满足Fischer不等式的一类矩阵
线性矩阵不等式
2.4.1线性矩阵不等式及相关术语
考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：
AT X XA XC T B
N
T
CX
I
D
N
0
BT
DT I
其中：A、B、C、D、N 是给定的矩阵，X=XT∈Rn×n 和 ∈R 是问题的变
N 称为外因子，块矩阵
AT X XA XC T B
L（X
Fk (x)0 同时成立当且仅 F (x)0 。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中：函数lmivar定义了两个矩阵 变量X和S，lmiterm则描述了每一 个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等 式系统的内部表示lmisys，lmisys 也称为是储存在机器内部的线性 矩阵不等式系统的名称。以下将 详细介绍这几个函数的功能和用 法。
setlmis和getlmis 一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以
表示 2×2 维的单位矩阵。 可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量：
setlmis([]) X1=lmivar(1,[3 1]) X2=lmivar(2,[2 4]) X3=lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])
lmiterm
在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各 项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块 矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
黑塞矩阵的证明-概述说明以及解释
黑塞矩阵的证明-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述黑塞矩阵是数学中一个重要的概念，它在数值计算、优化问题以及物理学等领域中扮演着重要的角色。
黑塞矩阵由德国数学家卡尔·黑塞（Carl Hesse）在19世纪提出并命名。
在数学中，黑塞矩阵是一个关于多元函数的二阶偏导数矩阵。
它描述了一个多元函数的曲率、凸凹性以及变化率等信息。
对于一个具有n个变量的函数，黑塞矩阵是一个n×n的矩阵，其中每个元素都是函数的偏导数。
黑塞矩阵的定义和性质在数学理论中已经有了严格的证明，并且已经广泛用于数值计算和优化算法中。
它有许多重要的性质，如对称性、正定性和半正定性等，使得它成为解决一些复杂问题的关键工具。
在本文中，我们将探讨黑塞矩阵的定义、性质以及证明方法。
首先，我们将介绍黑塞矩阵的定义和基本性质，包括对称性和正定性。
然后，我们将详细介绍黑塞矩阵的证明方法，包括计算黑塞矩阵的方法和应用于具体问题的例子。
通过对黑塞矩阵的研究，我们可以更深入地了解函数的曲率和变化情况，从而更好地解决数值计算和优化问题。
此外，黑塞矩阵的应用也不仅局限于数学领域，还可以在物理学、经济学和工程学等领域中发挥重要作用。
综上所述，本文旨在介绍黑塞矩阵的定义和性质，并探讨其证明方法。
希望读者通过本文的阅读，对黑塞矩阵有更深入的理解，并能将其应用于实际问题中，从而推动相关领域的发展。
文章结构部分的内容包括以下几个方面:1.2 文章结构文章结构是指整个论文的组织框架，它对于读者来说至关重要。
本文将按照以下结构进行组织和阐述黑塞矩阵的证明:引言：在引言部分，我们将给出黑塞矩阵的背景和相关概念，介绍黑塞矩阵的定义和性质，以及阐明本文的研究目的。
正文：正文部分分为两个主要部分。
2.1 黑塞矩阵的定义和性质：在本节中，我们将详细介绍黑塞矩阵的定义和相关性质。
首先，我们将给出黑塞矩阵的数学表达式和具体的定义，然后深入探讨其性质和特点。
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
courant-fischer定理的推论
courant-fischer定理的推论Courant-Fischer 定理是一个与对称矩阵的特征值和特征向量相关的重要定理。
该定理有一些推论，其中最著名的是 Rayleigh 商和最小-最大定理。
Courant-Fischer 定理：
其中 W 是 n 的一个n−k+1 维子空间。
推论：
1. Rayleigh 商：
Rayleigh 商是 Courant-Fischer 定理的一个直接推论，它给出了特征值和特征向量的一个优雅的表达式。
对于一个对称矩阵A 的特征值λk 对应的特征向量 vk，其 Rayleigh 商定义为：
Rayleigh 商有一个非常重要的性质，即对于任意非零向量 x，都有R(vk)=λk。
这是由 Courant-Fischer 定理保证的。
2. 最小-最大定理：
Courant-Fischer 定理还导出了一个重要的结果，即最小-最大定理。
对于一个对称矩A的特征值按非递增顺序排列为λ1≥λ2≥…≥λn，最小-最大定理给出：
其中W⊥ 表示 W 的正交补空间。
这两个推论展示了 Courant-Fischer 定理在描述对称矩阵的特征值和特征向量时的重要性。
Rayleigh 商为特征值提供了一种优雅的表达方式，而最小-最大定理则揭示了特征值与子空间的关系。
利普希茨条件和矩阵不等式
利普希茨条件和矩阵不等式1. 利普希茨条件概述利普希茨条件（Lipschitz Condition）是数学分析中的一个重要概念，尤其在微分方程、优化理论和机器学习中有着广泛的应用。
该条件定义了一个函数在其定义域内局部或全局的“光滑”程度，即函数值的变化不会比其自变量的变化更快。
具体来说，如果一个函数f满足：对于所有x1, x2在其定义域内，存在常数K使得|f(x1) - f(x2)| ≤ K|x1 - x2|，则称f满足K-利普希茨条件。
2. 矩阵不等式与利普希茨条件在矩阵分析中，不等式是研究矩阵性质和矩阵运算的重要工具。
矩阵不等式与利普希茨条件之间的联系主要体现在函数的线性逼近和矩阵的范数性质上。
对于线性函数或可微的非线性函数，其雅可比矩阵（Jacobian Matrix）或导数矩阵可以描述函数在某点的局部行为。
如果这些矩阵满足一定的不等式条件，那么函数就可能满足利普希茨条件。
3. 利普希茨条件在优化中的应用在优化理论中，函数的梯度或次梯度是评估函数局部变化速率的关键。
如果一个函数的梯度满足某种形式的矩阵不等式，那么该函数就可能在优化算法中表现出良好的性质，如收敛速度、稳定性等。
此外，在求解最优化问题时，如果目标函数或其近似满足利普希茨条件，那么可以使用更高效的优化算法，如梯度下降法、牛顿法等。
4. 利普希茨条件在机器学习中的应用在机器学习中，尤其是在深度学习领域，利普希茨条件对于理解神经网络的行为和性能至关重要。
神经网络的训练过程本质上是一个优化问题，而优化算法的效率很大程度上取决于目标函数（即损失函数）的性质。
如果损失函数满足利普希茨条件，那么可以使用更稳定的训练策略，并可能获得更好的泛化性能。
此外，一些研究工作还表明，通过控制神经网络的权重矩阵的范数，可以实现对模型复杂度的控制，进而提高模型的泛化能力。
5. 结论综上所述，利普希茨条件和矩阵不等式在数学分析、优化理论和机器学习中都有着重要的应用。
关于分块三角矩阵的几个行列式不等式
关于分块三角矩阵的几个行列式不等式刘俊同【期刊名称】《《阜阳师范学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】3页(P1-3)【关键词】分块三角矩阵; 行列式不等式; 半正定矩阵【作者】刘俊同【作者单位】阜阳师范大学数学与统计学院安徽阜阳 236037【正文语种】中文【中图分类】O151.22AT,,A*分别表示矩阵A的转置，共轭以及共轭转置。
对于两个n级厄尔米特矩阵A和B，若 A-B是半正定矩阵（正定矩阵），则记作A≥B(A＞B)，因此，A≥0(A ＞0)表示 A是半正定矩阵（正定矩阵）。
用In表示n级单位矩阵，在不需要界定矩阵的级数时常用I来表示单位矩阵。
对于两个相同级数的矩阵A和B，用A°B 表示矩阵A和B的Hadamard积，用来表示多个矩阵Ak(k=1,…,m)的Hadamard积。
n级方阵 A若满足 A*A=AA*，则称A为正规矩阵[1]。
给定一个半正定分块矩阵，则有如下著名的Fischer行列式不等式[2]国内外有许多专家学者致力于研究半正定矩阵行列式不等式[3-12]。
任一半正定矩阵A都可分解成A=T*T，其中是一分块三角矩阵，且和A具有相同的分块方式，利用（1），很容易证明设是一组具有相同分块方式的n级分块三角矩阵，Lin在文献[13]中证明了Fischer型行列式不等式（2）的反向不等式利用Fischer型反向不等式（3），Lin在文献[13]中还证明了其中：是n级分块三角矩阵；X和Z分别是r级和n-r级方阵。
其中，Xk和Zk是正规矩阵。
Liu等在文献[14]中对Fischer型反向不等式（3）给出了如下模拟，即涉及Hadamard积的Fischer型反向不等式利用Fischer型反向行列式不等式（6），再结合Hadamard积和复合矩阵的若干性质[15]，本文旨对不等式（4）和（5）给出关于Hadamard积的模拟，即涉及Hadamard积的行列式不等式。
数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》
矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。