随机模拟与系统仿真

随机模拟与系统仿真

一. 随机现象的模拟

例： 超市出口有若干个收款台，两项服务：收款、装袋。顾客的到达的时间间隔是随机的；因顾客购买的货物量不同，所以服务时间的长短是随机的。

模拟这些随机现象，即利用计算机产生一系列数，每重复这一过程，产生的数列都不同，但是数列的构成服从一定的规律（概率分布），称这些数为随机数。

1. 随机变量及其分布

随机事件：在一定条件下有可能发生的事件， 其全体记为Ω 。

概率：随机事件A ∈ Ω发生的可能性的度量 P(A)， 0 ≤P(A) ≤ 1.

定义: 在Ω的σ-集合类F 上的实值函数，P: ω → P(ω), ω ∈ F , 满足：

1. 非负性：P(ω)≥0,

2. 规范性：P(Ω)=1,

3. 可列可加性：对 ω =U A i ⊆Ω, {A i }是两两不相容的事件，则 P(ω)= ∑P(A i ) ，

称P 为F 上的概率测度.

随机变量： 称在Ω上定义的实值函数 ξ ：A → ξ (A) 为随机变量。

离散型： ξ ∈{a k ；k=1,2,…(,n)},

连续型： ξ ∈(a, b) .

随机变量的分布函数：F(x):=P(ξ

离散型 若

则称

a k a 1 a 2 … a n

P(ξ=a k ) p 1 p 2 … p n

为离散随机变量 ξ 的分布列, 称函数 F(x)=P(ξ

则称 函数p(x) 为随机变量 ξ 的分布密度, 称F(x)= P(ξ∈(-∞, x))为随机变量 ξ 的分布函数 几类常见的随机分布

两点分布 只有两种可能结果(成功、失败)的实验称为贝努里试验。试验成功的概率为p

二项分布 n 重贝努里试验成功的次数ξ 。

离散的均匀分布

连续的均匀分布

1

,)(1===∑=n k k k k p

p a P ξ⎰=∈b a dt t p b a P )(]),[(ξ1

)(=⎰+∞∞-dt t p )

1(,)1()(<-==-p p p C a P k n k k n k ξn

k n a P k ,,2,1,/1)( ===ξ⎩⎨⎧=失败

成功01ξ⎩⎨⎧=-===0

11)(x p x p x P ξ

泊松分布 在单位时间间隔内随机事件平均发生的次数ξ .

N(μ，σ) 表示均值为μ，方差为 σ的正态分布。

1/λ

2. 随机数和随机变量的模拟

10. 随机数可由计算机产生

均匀分布的(伪)随机数(rand) ，它在(0, 1) 中的分布是均匀的。

N(0,1)正态分布的(伪)随机数(randn)，它满足均值为0, 方差为1的正态分布。

20.模拟离散随机变量

设离散型随机变量 ξ 有分布列 {p i ;i=1,2,…,n}, 令

则得到数组{p (k); k=1,2,…n.}. 以 p (k)为分点，将[0，1]分为 n 个小区间. 取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数R ∈[0, 1], 则容易证明: P( p (k-1) < R < p (k) ) = p k = P (ξ = a k ). 即随机事件 “ p (k-1) < R < p (k) ” 与 “ξ =a k ” 有相同的概率分布。因此取可以取在[0, 1]区间上均匀分布的随机数R=rand ，当p (k-1) < R < p (k)时，则认为事件 ξ =a k 发生。

例如，“顾客到达收款台的的规律是：40%的时间没有人来，30%的时间有1个人来，30%的时间有2个人来。” 取随机数 y=rand, 记n 为新到的顾客数, 则当0≤y<0.4时， 令n=0； 当0.4 ≤ y<0.7时，令n=1；当0.7≤ y ≤ 1时，令n=2。

30.模拟连续随机变量

设连续型随机变量ξ具有分布函数F(x), 记 η为[0, 1]上服从均匀分布的随机变量。令γ=F -1(η), 则 P(γ∈(-∞, x))= P(F -1(η) ∈(-∞, x)) =P(η∈(-∞, F( x)))= F(x), 即γ与ξ 同分布。因此可以取在[0, 1]区间上均匀分布的随机数y=rand ， 令 x=F -1(y), 则x 为服从分布函数为F(x) 的随机数.

例如， “ 顾客到达收款台的平均间隔时间是0.5 分钟”, 即认为顾客到达的时间间隔服从1/λ=0.5 的指数分布，由随机数y=rand ，得到服从指数分布的随机数x= - ln y/ λ。 于是，后一位顾客到达时间-前一位顾客到达时间=x.

特别，当y=randn 是服从N(0,1) 正态分布的随机数时， x=μ+σ1/2y 是服从N(μ, σ) 正态分布.

二. 系统仿真（Simulation ）

1. 系统仿真：使用计算机对一个系统的结构和行为进行动态模拟，为决策提供必要的参考信息。 特点：对象真实、复杂，进行模仿。

2. 仿真模型：由计算机程序控制运行，从数值上模仿实际系统的动态行为。

3. 仿真过程

1. 现实系统的分析：了解背景，明确目的，提出总体方案。

2. 组建模型：确定变量，明确关系，设计流程，编制程序。

3. 运行检验：确定初始状态，参量数值，运行程序，检验结果，改进模型。

4. 输出结果

⎩⎨⎧<≥=-0

,00,)(x x e x p x λλ0,

)0(1)(==∑=p p p k i i k 1

,)()1()(=<+n k k p p p