(通用版)高考数学大二轮复习专题突破练6热点小专题一导数的应用理

数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

高考理科数学大二轮专题复习新方略课件导数的简单应用

历年高考真题回顾与解析
01
2022年全国卷导数大题
通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，解决不等式恒成立问题。
02
2021年全国卷导数大题
结合导数的几何意义，考查切线方程的求解和函数零点存在性定理的运用。
03
2020年全国卷导数大题
考查利用导数研究函数的极值和最值，以及分类讨论思想在解题中的运用。
应试技巧总结
01
熟练掌握导数的基本公式和运算法则，能够快速准确地求出函数的导数。
02
理解导数的几何意义，能够灵活运用导数解决切线、法线、单调性、极值等问题。
03
掌握利用导数研究函数性质的方法，如判断函数的单调性、求函数的极值和最值等。
04
具备分类讨论思想，能够根据问题的不同情况选择合适的解题方法。
高考理科数学大二轮专题复习新方略课件导数的简单应用
汇报人：XX 20XX-01-13
目录
• 导数概念及基本公式 • 导数在函数性质中的应用 • 导数在解决实际问题中的应用 • 微分学基本概念及运算规则 • 高考真题解析与应试技巧
01
导数概念及基本公式
导数定义与几何意义
导数定义
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数。
几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

2024届高考二轮复习理科数学课件：考点突破练-导数的简单应用

e2
B.
7.(2023陕西榆林三模)定义在(0,+∞)上的函数f(x),g(x)的导函数都存在,
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<1,且f(1)=2,g(1)=1,则不等式f(x)g(x)<x+1的解集为( D )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析由题意知f'(x)g(x)+f(x)·
1
h'(x)=[f(x)g(x)]'-1=(2x-)·
ln
D.2
1
x+x+2 ,设函数
1
x+x+2 -1,所以
h(x)=f(x)g(x)-x,
h'(1)=1.故选 B.
3.若曲线y=ln x+x2+1在点(1,2)处的切线与直线ax+y-1=0平行,则实数a的
值为( C )
A.-4
B.-3
解析由 y=ln x+x +1,得
f(x)+xf'(x)<0,因为f(x)<0,f'(x)<0,所以g'(x)<0.即g(x)在(0,+∞)上单调递减.
a=g(-log25.1)=g(log25.1),因为3=log29>log25.1>log24=2>20.8,
所以g(3)<g(-log25.1)<g(20.8),即b<a<c.故选D.
e(1+0.2)
3.24
3.2=ln 3.2 >ln 3.2 =ln 3.2 >ln 3.2 >ln

2023年高考数学二轮复习(新高考版)第1部分专题突破专题6 微重点17 抛物线的二级结论的应用

易错提醒
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解.
跟踪演练1 (1)已知 A，B 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的直线与抛物线的
交点，O 是坐标原点，且满足A→B＝3F→B，S△OAB＝ 32|AB|，则|AB|的值为
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为p＝2，所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1，所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F| ＝3＋2|B|AFF||＋||BAFF||≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2，
当且仅当|BF|＝ 2|AF|时，等号成立，
ABB′A′的面积为
A.4 3
B.8 3
√C.16 3
D.32 3
12345678
不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝1－cpos
θ＝1－c3os
， θ
|BF|＝1＋cpos
θ＝1＋c3os
， θ
又|AF|＝3|BF|，∴1－c3os
θ＝3·1＋c3os
， θ
解得 cos θ＝12，
又 θ∈[0，π)，∴θ＝π3，
√B.34
C.43
D.3
如图，过点P作准线的垂线交于点H，
由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，
过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|＝|QF|， ∵P→M＝2F→P，∴|PM|＝2m，根据△PHM∽△QEM，可得||PPMH||＝||QQME||＝12， ∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m. ∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m， ∴||PFQQ||＝3m3＋m m＝34.

2024年高考数学命题热点全覆盖专题06导数的几何意义灵活应用文

专题06 导数的几何意义敏捷应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能依据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【学问要点】1．平均改变率及瞬时改变率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均改变率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率是：lim x ∆→ Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.【详解】y=x 3的导数为y′=3x 2，设切点为（m ，m 3），可得切线的斜率为3m 2，切线的方程为y ﹣m 3=3m 2（x ﹣m ），若P （0，0），则﹣m 3=3m 2（0﹣m ），解得m=0，只有一解；若P （0，1），则1﹣m 3=3m 2（0﹣m ），可得m 3=﹣，只有一解；若P （1，1），则1﹣m 3=3m 2（1﹣m ），可得2m 3﹣3m 2+1=0，即为（m ﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或﹣，有两解；若P （﹣2，﹣1），则﹣1﹣m 3=3m 2（﹣2﹣m ），可得2m 3+6m 2﹣1=0，由f （m ）=2m 3+6m 2﹣1，f′（m ）=6m 2+12m ，当﹣2＜m ＜0时，f （m ）递减；当m ＞0或m ＜﹣2时，f （m ）递增．可得f （0）=﹣1为微小值，f （﹣2）=7为极大值，则2m 3+6m 2﹣1=0有3个不等实数解．故选：C ．练习3．过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条【答案】A 【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以令，而，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A6.与切线有关的范围问题例6．已知，若的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（） A ．ln31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由分段函数画出y=|f(x)|的图像，即直线y ax a =+与y=|f(x)|的图像有三个不同交点，，直线过定点C, ln3,3BC k =14AC k =-,02x ≤≤时，,设切点为()(),ln 1t t +，则切线方程为，过C(-1,0),代入得t=e-1,即切点为，两个图像要有三个交点，所以ln313k e≤<，即ln313a e≤<，选B.【点睛】本题把方程根的个数问题转化为两个函数交点个数问题，一般适用于，两个不同类函数求零点个数问题，而且两个函数均简单画出，尽量使得只有一个函数带有参数，即一个函数为定函数，另一个函数为动态函数，再依据要求找出合适位置的图像及参数范围。

2024年高考数学命题热点全覆盖专题06导数的几何意义灵活应用理

专题06 导数的几何意义敏捷应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能依据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【学问要点】1．平均改变率及瞬时改变率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均改变率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率是：0lim x ∆→ Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时改变率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 改变时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间改变的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________；③(x 2)′＝________； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝________；⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n)′＝________； ②(sin x )′＝__________；③(cos x )′＝________； ④(e x)′＝________； ⑤(a x)′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，假如通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.改变率例1. 【河南2024名校模拟】已知：函数，、为其图像上随意两点，则直线的斜率的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，而，易得，在上单调削减，在上单调增加，故,故选B.练习1．设()f x 在0x 可导，则等于（）A ．()04'f xB ．()0'f xC ．()02'f xD ．()03'f x 【答案】A 【解析】由题得==4()0f x '，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满意，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由，，故，即，故选：A ． 2.导数的定义例2．【山西2024联考】设为可导函数，且，求的值（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】依据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】依据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的改变量，分母是x的改变量即可.练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（）A ．()1f 'B ．()112f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，∴，∴．选B ．练习2．已知函数在处可导，若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2024第一次模拟】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍旧是一个函数的图象，则α的最大值为（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其随意切线的倾斜角小于等于90︒时，其图象都依旧是一个函数图象，因为0x ≥是11y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，其值为4π，由此可知4max πα=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题. 练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】依据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ，求出函数f （x ）的导数，利用导数的几何意义可得k ＝f ′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】依据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是驾驭导数的几何意义，属于基础题．练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则故选A.4.曲线上某点处的斜率例4．【陕西省彬州市2024-2025学年上学期高2025届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。

2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第3讲导数的简单应用

所以 y′＝2(x＋(2x)＋－2()22x－1)＝(x＋52)2，所以 y′|x＝－1＝5，
则曲线 y＝2xx＋－21在点(－1，－3)处的切线方程为：
y－(－3)＝5[x－(－1)]，即 5x－y＋2＝0.
专题六函数与导数
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5 ． (2021·全国新高考 Ⅰ卷 ) 函数 f(x) ＝ |2x － 1| － 2ln x的最小值为 __1__．
专题六函数与导数
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核心拔头筹考点巧突破
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考点一导数的计算、几何意义
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1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0， f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
专题六函数与导数
自主先热身真题定乾坤核心拔头筹考点巧突破专题勇过关能力巧提升
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自主先热身真题定乾坤
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真题热身
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线
方程为
(B )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
所以切线方程为 y－x0ln x0＋3x20 ＝(ln x0－6x0＋1)(x－x0)，
专题六函数与导数
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将点(0，2)代入切线方程并整理得 3x20 －x0－2＝0，解得 x0＝1，或 x0＝－23(舍去)，所以这条切线的方程为 y＋3＝－5(x－1)，即 5x＋y－2＝0. 故选 D.
C．y＝2x－3

2021年高考数学二轮复习导数及其应用专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习导数及其应用专题训练（含解析）一、选择题1．函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )A．1 B．2C．0 D.1 2解析由题意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.故选B.答案B2．函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )解析x<0时，f(x)为增函数，所以导函数在x<0时大于零；x>0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零．故选D.答案 D3．(理)(xx·山东淄博一模)若函数f (x )的导函数在区间(a ，b )上的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④解析因为函数y ＝f (x )的导函数在区间(a ，b )上的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，即导函数要么图象无增减性，要么在直线x ＝a ＋b2两侧单调性相反．由图①得，在a 处切线斜率最小，在b 处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线x ＝a ＋b2对称，故①不成立；由图②得，在a 处切线斜率最大，在b 处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x ＝a ＋b2对称，故②不成立；由图③得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称，③成立；由图④得，原函数有一对称中心，在直线x ＝a ＋b2与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称，④成立；所以满足要求的有③④，故选D.答案 D3．(文)函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0， ∴g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．答案 A4．(xx·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2解析由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.答案 A5．(xx·云南昆明一模)已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x，则下列结论中正确的是( ) A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数 B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数 C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数解析由已知f ′(x )＝1x －1x ln 2x ＝ln 2x －1x ln 2x (x >0，且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1∪(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，1和(1，e)内单调递减，所以A 、B 错；当0<x <1时，ln x <0，f (x )<0，故C 错；若x 0≥e，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数，D 正确．答案 D6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析设F (x )＝f x x ，则F ′(x )＝xf ′x －f xx 2≤0，故F (x )＝f xx为减函数．由0<a <b ，有f a a ≥f bb⇒af (b )≤bf (a )，故选A. 答案 A 二、填空题7．(理)(xx·广东卷)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析 y ′＝－5e－5x，∴y ′|x ＝0＝－5，∴所求切线方程为y －3＝－5x ，即5x ＋y －3＝0.答案 5x ＋y －3＝07．(文)已知函数f (x )＝x e x，则f ′(x )＝________；函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为________．解析 ∵f ′(x )＝1·e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x；f ′(0)＝1，f (0)＝0，因此f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝x －0，即y ＝x .答案 (1＋x )e xy ＝x8．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1.∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 答案29．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是________．解析由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，据题意方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ，结合二次函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧g －2＝12－8b ＋c ≥0，g －1＝3－4b ＋c ≤0，g 1＝3＋4b ＋c ≤0，g2＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易知3≤f (－1)≤12.答案 [3,12] 三、解答题10．已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)t ≠0时，求f (x )的单调区间．解 (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x . (2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t <0，则t2<－t .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－t .②若t >0，则－t <t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.11．(理)(xx·福建卷)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x. 解 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x )无极大值． (2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)>0，故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x.(3)①若c≥1，则e x≤c e x.又由(2)知，当x>0时，x2<e x.所以当x>0时，x2<c e x.取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.②若0<c<1，令k＝1c>1，要使不等式x2<c e x成立，只要e x>kx2成立．而要使e x>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－2x＝x－2x，所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln2)＋3(k－ln k)＋5k，易知k>ln k，k>ln2,5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝16c，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<c e x.11．(文)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围．解(1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，∴当x＝0时，f(x)取得极小值，即f′(0)＝0.∴b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝－x3＋ax2＋c，∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝2a 3.∵f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，∴x 2＝2a3>1，即a >32.∴f (2)＝－8＋4a ＋(1－a )＝3a －7>－52.故f (2)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞. B 级——能力提高组1．(理)(xx·江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13D ．1解析直接求解定积分，再利用方程思想求解． ∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f x d x ⎪⎪ 1＝13＋2⎠⎛01f(x)d x ， ∴⎠⎛01f(x)d x ＝－13.答案 B 1．(文)(理)2.(xx·中原名校二模)已知函数g(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)的导函数为f(x)，且a ＋2b ＋3c ＝0，f(0)·f(1)>0，设x 1，x 2是方程f(x)＝0的两根，则|x 1－x 2|的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，49C .⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫19，49 解析因为f(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以f(0)f(1)＝c(3a ＋2b ＋c)＝c(2a －2c)>0,0<c a<1，又|x 1－x 2|＝Δ|3a|＝2b 2－3ac |3a|＝|a －3c||3a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23.答案 A2．(理)(xx·中原名校二模)已知函数g(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)的导函数为f(x)，且a ＋2b ＋3c ＝0，f(0)·f(1)>0，设x 1，x 2是方程f(x)＝0的两根，则|x 1－x 2|的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，49C .⎝⎛⎭⎪⎫13，23D .⎝⎛⎭⎪⎫19，49解析因为f(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以f(0)f(1)＝c(3a ＋2b ＋c)＝c(2a －2c)>0,0<c a<1，又|x 1－x 2|＝Δ|3a|＝2b 2－3ac |3a|＝|a －3c||3a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23.答案 A2．(文)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________． ①当x ＝32时函数取得极小值；②f(x )有两个极值点； ③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析从图象上可以看到：当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案 ①3．(理)(xx·课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝e x－e －x－2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．解 (1)f′(x)＝e x＋e －x－2≥0，等号仅当x ＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e 2x－e －2x－4b(e x －e －x)＋(8b －4)x ，g′(x)＝2[e 2x＋e－2x－2b(e x＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x＋e －x－2)(e x＋e －x－2b ＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；②当b>2时，若x 满足2<e x＋e －x<2b －2，即0<x<ln (b －1＋b 2－2b)时g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x≤ln (b －1＋b 2－2b)时，g(x)<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln (b －1＋b 2－2b)＝ln 2， g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4. 所以ln 2的近似值为0.693.3．(文)(xx·课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k<1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点．解 (1)f′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f′(0)＝a. 曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k)x ＋4. 由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x 2－6x ＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k －1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．20226 4F02 伂31220 79F4 秴]38002 9472 鑲39341 99AD 馭30496 7720 眠24691 6073 恳 "35323 89FB 觻 26755 6883 梃35769 8BB9 讹]7。