在平面直角坐标系xOy中
在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y=-
x2+（m-2）x+4m-7与x轴交于A、B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是这条抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若E、F是 y 轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上面），且EF=2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；
（3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ=2S△AOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存在一点N，使得以 O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N的坐标
分析：（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A、B两点求出∠OBC的度数和∠OBD的度数，再证出直线BD与x轴关于直线BC对称，再设直线BD的解析式为y=kx+b，再把各点代入，最后求出结果即可． m−1
3 （2）本题可先过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=PF，再根据已有的条件证出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出点E、F的坐标．
（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N的坐标．
解答：
（1）∵抛物线y＝−m−1 3 x2+（m-2）x+4m-7关于y轴对称，
∴m-2=0．
∴m=2．
∴抛物线的解析式是y=-1 3 x2+1
令y=0，得x=± 3
∴A（- 3 ，0），B（ 3 ，0）
在Rt△BOC中，OC=1，OB= 3 ，可得∠OBC=30°．
在Rt△BOD中，OD=3，OB= 3 ，可得∠OBD=60°．
∴BC是∠OBD的角平分线．
∴直线BD与x轴关于直线BC对称．
因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，
则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=-1 3 x2+1的交点．
设直线BD的解析式为y=kx+b．
∴ 3 k+b＝0 b＝3 ，
∴ k＝− 3 b＝3 ，
∴直线BD的解析式为y＝− 3 x+3 ∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x，− 3 x+3)
又因为点P在抛物线y=-1 3 x2+1上，
∴− 3 x+3=-1 3 x2+1
∴x1＝ 3 ，x2＝2 3 ．
∴y1=0，y2=-3
∴点P的坐标是(2 3 ，−3)．
（2）过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，连接AH与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF=2．
∵PH∥EF，PH=EF，
∴四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF．
又∵PB、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小．
∵OE∥GH，
∴Rt△AOE∽Rt△AGH．
∴OE GH ＝AO AG ． ∴OE= 3 3 3 =1 3 ．
∴OF=OE+EF=1 3 +2=7 3 ．
∴点E的坐标为（0，-1 3 ），点F的坐标为（0，-7 3 ）．
（3）点N的坐标是N1(3 8 3 ，3 2 ）或N2(3 19 57 ，12 19
19 ）或N3(−24 19 3 ，18 19 )．
中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
1 / 10
中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题
【方法归纳】
据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，
难度之大，可想而知。在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求
出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，
然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函
数的基础知识有：
1．
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式．
(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．
(可以看成的图象平移后所对应的函数．)
(3)交点式：已知图象与x轴的交点坐标x
1、x
2，通常选用交点式：
（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．
3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：
【典例剖析】
【例1
】（2021·
北京·
中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(
1,𝑚)
和点(
3,𝑛)
在抛物线𝑦
=2
yaxbxc
2
yaxhk
2
yax
12yaxxxx
12b
xx
a
12c
xx
a
2 / 10
𝑎𝑥2
+𝑏𝑥(
𝑎>0)
上．
（1
）若𝑚=3,𝑛=15，求该抛物线的对称轴；
（2
）已知点(
−1,𝑦
1)
,(
2,𝑦
2)
,(
4,𝑦
3)
在该抛物线上．若𝑚𝑛<0，比较𝑦
1,𝑦
2,𝑦
3的大小，并说
明理由．
【例2
】（2022·
北京·
中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点(1,𝑚),(3,𝑛)在抛物线𝑦=𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥+𝑐(𝑎>0)上，设抛物线的对称轴为𝑥=𝑡.
(1)
当𝑐=2,𝑚=𝑛时，求抛物线与y
轴交点的坐标及𝑡的值；
(2)
点(𝑥
0,𝑚)(𝑥
0≠1)在抛物线上，若𝑚<𝑛<𝑐,求𝑡的取值范围及𝑥
2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合(学生版)
第1页（共18页）2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合
1．（2023•海淀区人大附中开学）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的
图象经过原点．
（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，W
与W'组成一个新函数的图象．
①若点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，求b的值；
②若点（m，y
1），（m+n，y
2）是新函数图象上两点，若存在n≥2+，使得y
1＞y
2，直
接写出m的取值范围．
2．（2023春•海淀区101月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2
﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（﹣1，3），B（4，3），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求a的取值
范围；
（3）点P（x1，y
1）在抛物线y＝ax2
﹣2ax+a+1上，点Q（x2，y
2）在一次函数y＝x+a+1
的图象上，若对于任意，总存在x2≥0，使得y
1≥y
2，直接写出a的取值范围．第2页（共18页）3．（2023•海淀区首师大附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（x
0，m），（a﹣1，n），
是抛物线y＝ax2
﹣2a2x上的点，x
0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
4．（2023•海淀区玉渊潭中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2
﹣2a2x（a≠0）．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+3，y
2），当y
1•y
2＜0，求a的取值范
围．
5．（2023•海淀区北师大三附一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3
（a＞0）上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
点a是一个平凡的点，它有着平凡的位置，位置就是在平面直角坐标系xoy中。点a被写成坐标形式，它的横坐标为x，纵坐标为y。
在平面直角坐标系xoy中，点a的位置可以由x和y轴决定，我们可以使用点a的横坐标和纵坐标来计算它在xoy平面上的位置。其实，点a还有更多有趣的信息，它也可以被用来对xoy平面中的物体进行补充和分析。
点a所在的位置也可以用一些函数来描述，比如可以用圆心为原点、半径为2的圆来描述点a，也可以用一元二次函数来表示，比如y = 3x2 - 1。由于x和y轴的定位，点a为平面图形的锚点，它的位置也可以用于标记物体的位置或变形。
点a在xoy平面上的位置是它所属的空间中的位置，它可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。这一点也可以抽象为一个数学公式，表示点a在xoy平面上的物理位置。
点a是一个一般的点，它的位置在平面直角坐标系xoy中，它的横坐标为x，纵坐标为y。由点a的横纵坐标，我们可以计算它在xoy平面上的位置，而且点a的位置也可以用一些函数描述，它也可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。
2020年中考数学压轴题每日一练(含答案)
2020年中考数学压轴题每日一练（4.17）
一、选择题
1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
第1题 第2题
2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（ ）
A．2 B．4π C．2π D．
二、填空题
3．如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为 ．
第3题 第4题
4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为 ． 三、解答题
5．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．
（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；
（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；
（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠BAO＝，且线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根．
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题
1 / 63 2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦BC（,BC分别是,BC的对应点），则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点112233,,,,,,ABCBCBC的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,BCBCBC中，O的以点A为中心的“关联线段”是______________；
（2）ABC是边长为1的等边三角形，点0,At，其中0t．若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在ABC中，1,2ABAC．若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
2．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦AB（,AB分别为点A，B的对应点），线段AA长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦12PP和34PP，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,PPPP中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； 2 / 63 （2）若点A，B都在直线323yx上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为1d，求1d的最小值；
（3）若点A的坐标为32,2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为2d，直接写出2d的取值范围．
3．在△ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，下图中DE是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，22ABACDE，，分别是ABAC，的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；
2023北京中考数学二模分类汇编——小代综(原卷版)
第1页（共7页）2023北京中考数学二模分类汇编——小代综1．（2023•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣1与交于点A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，0），过点P作垂直于x轴的直线交直线y＝kx﹣1于点M，交直线于点N．若MN＝2，直接写出n的值．2．（2023•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与一次函数y＝2x的图象交于点A（a，2）．（1）求a，k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点P是射线OA上一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交函数的图象于点B，C．将线段PB，PC和函数的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：①若点P的横坐标是2，直接写出区域W内整点个数；②若区域W内恰有5个整点，直接写出点P的横坐标xP的取值范围．第2页（共7页）3．（2023•东城区二模）如图，函数的图象G与直线交于点P，点P的纵坐标为4，PA⊥x轴，垂足为点A．（1）求m的值；（2）点M是图象G上一点，过点M作MB⊥AP于点B，若，求点M的坐标．4．（2023•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，﹣1），（2，0），与y轴交于点A．（1）求该函数的表达式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．第3页（共7页）5．（2023•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与x轴交于A，与y轴交于B．（1）求A、B点坐标；（2）点A关于y轴的对称点为点C，将直线BC沿y轴向上平移t（t＞0）个单位，得到直线l，当x＞﹣2时都有直线l的值大于直线y＝﹣x+1的值，求t的取值范围．6．（2023•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），（3，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞m时，对于x的每一个值，正比例函数y＝mx的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．第4页（共7页）7．（2023•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（3，﹣1），B（0，﹣2）．（1）求该函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．8．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点（﹣2，0）．（1）求该函数的解析式；（2）当x≥2时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．第5页（共7页）9．（2023•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由y＝﹣2x的图象平移得到，且过点（2，﹣1）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．10．（2023•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数过点（1，3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当0＜x≤1时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数y＝mx（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．第6页（共7页）11．（2023•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣1），且与函数y＝x的图象交于点B（1，a）．（1）求a的值及函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）当x≤0时，对于x的每一个值，函数y＝x+m的值小于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．12．（2023•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象都经过点A（1，m）．（1）求m的值及反比例函数的表达式；（2）过点P（0，n）作平行于x轴的直线l，若直线l与一次函数y＝x+1和反比例函数的图象分别交于点C（x1，y1），D（x2，y2），当x1＜x2时，直接写出n的取值范围．第7页（共7页）13．（2023•燕山二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（1，6）和点B．（1）若点B（﹣6，﹣1），求该一次函数和反比例函数的解析式；（2）当x＜﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b（k＞0）的值，直接写出k的取值范围．