在平面直角坐标系xOy中

在平面直角坐标系xOy 中，关于y 轴对称的抛物线y=- x 2+（m-2）x+4m-7与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是这条抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，

3）是y 轴上的一点．

（1）求抛物线的解析式及点P 的坐标；

（2）若E 、F 是 y 轴负半轴上的两个动点（点E 在点F 的上面），且EF=2，当四边形PBEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标；

（3）若Q 是线段AC 上一点，且S △COQ =2S △AOQ ，M 是直线DQ 上的一个动点，在x 轴上方的平面内存在一点N ，使得以 O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，请你直接写出点N 的坐标

分析：（1）本题需先根据已知条件求出抛物线的解析式，再根据A 、B 两点求出∠OBC 的度数和∠OBD 的度数，再证出直线BD 与x 轴关于直线BC 对称，再设直线BD 的解析式为y=kx+b ，再把各点代入，最后求出结果即可．

m −1 3

（2）本题可先过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，证出四边形PHEF为平行四边形得出HE=PF，再根据已有的条件证出Rt△AOE∽Rt△AGH，最后即可求出点E、F的坐标．（3）本题根据已有的条件，再结合图形，可以直接写出点N的坐标．

解答：

（1）∵抛物线y＝−m−1 3 x2+（m-2）x+4m-7关于y轴对称，∴m-2=0．

∴m=2．

∴抛物线的解析式是y=-1 3 x2+1

令y=0，得x=± 3

∴A（- 3 ，0），B（ 3 ，0）

在Rt△BOC中，OC=1，OB= 3 ，可得∠OBC=30°．

在Rt△BOD中，OD=3，OB= 3 ，可得∠OBD=60°．

∴BC是∠OBD的角平分线．

∴直线BD与x轴关于直线BC对称．

因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，

则符合条件的点P就是直线BD与抛物线y=-1 3 x2+1的交点．设直线BD的解析式为y=kx+b．

∴ 3 k+b＝0 b＝3 ，

∴k＝− 3 b＝3 ，

∴直线BD的解析式为y＝− 3 x+3

∵点P在直线BD上，设P点坐标为(x，− 3 x+3)

又因为点P在抛物线y=-1 3 x2+1上，

∴− 3 x+3=-1 3 x2+1

∴x1＝ 3 ，x2＝2 3 ．

∴y1=0，y2=-3

∴点P的坐标是(2 3 ，−3)．

（2）过点P作PG⊥x轴于G，在PG上截取PH=2，连接AH 与y轴交于点E，在y轴的负半轴上截取EF=2．

∵PH∥EF，PH=EF，

∴四边形PHEF为平行四边形，有HE=PF．

又∵PB、EF的长为定值，

∴此时得到的点E、F使四边形PBEF的周长最小．

∵OE∥GH，

∴Rt△AOE∽Rt△AGH．

∴OE GH ＝AO AG ．

∴OE= 3 3 3 =1 3 ．

∴OF=OE+EF=1 3 +2=7 3 ．

∴点E的坐标为（0，-1 3 ），点F的坐标为（0，-7 3 ）．

（3）点N的坐标是N1(3 8 3 ，3 2 ）或N2(3 19 57 ，12 19 19 ）或N3(−24 19 3 ，18 19 )．