《任意角》PPT课件-教学设计课件四
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人教版必修四年级数学《任意角》PPT教学课件
S＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°， k∈Z} ＝ {β|β ＝ 90°＋ 2k·180°， k∈Z}∪{β|β ＝ 90°＋ (2k ＋ 1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．
·新课讲授·
思考 2：
终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
知识迁移 1：
终边在射线上的角如何表示？
S | k 360 , k Z
·新课讲授·
思考 2：
终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α |α ＝2k ·180°，k ∈Z}∪{α |α ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{α |α ＝n ·180°，n ∈Z}.
《任意角》
·人教版必修四数学PPT课件·
优品老师
目 录
一 学习目标 二 新课导入 三 新课讲授
四 课堂检测 五 课堂总结
一 学习目标
·学习目标·
（1）推广角的概念、引入大于角和负角； （2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念； （4）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α ＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和．
注意： (1)α 为任意角． (2)k·360°与α 之间是“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )． (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． (4)k∈Z这一条件不能少.
·新课讲授·
思考 2：
终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
知识迁移 1：
终边在射线上的角如何表示？
S | k 360 , k Z
·新课讲授·
思考 2：
终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α |α ＝2k ·180°，k ∈Z}∪{α |α ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{α |α ＝n ·180°，n ∈Z}.
《任意角》
·人教版必修四数学PPT课件·
优品老师
目 录
一 学习目标 二 新课导入 三 新课讲授
四 课堂检测 五 课堂总结
一 学习目标
·学习目标·
（1）推广角的概念、引入大于角和负角； （2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念； （4）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α ＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和．
注意： (1)α 为任意角． (2)k·360°与α 之间是“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )． (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． (4)k∈Z这一条件不能少.
任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
任意角 -完整公开课PPT课件
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
0°
360° x
如图
几何法
如图
故
2
是第三象限的角 .
综上2 可知： 是第一或第三象限的角 .
例3.若角的终边与角的终边关于x轴对称，则 + =______
例3. 已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
y
90°
0°
O
360° x
270°
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
225° 45°
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
练习3：
（1）终边在x轴上的角的集合：
y
{ | n 180 ，n Z }.
角的概念推广的必要性:
0º到360º范围内的角在生 产、生活和科学实验的实践 中已不适用。
如体操、花样滑冰、跳台跳 水中“转体三周半”,
又如车轮、钟表、罗盘的 运动规律的研究等.
1、角的概念
任意角的概念:
平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置
OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形
3
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
Hale Waihona Puke 故3 是第一象限的角
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
任意角优秀课件PPT
课程目标
掌握任意角的基本概 念和性质。
能够运用任意角解决 实际问题。
理解任意角在各个领 域的应用。
02
任意角的基本概念
角度的定义
角度是描述两条射线、线段或平面之间的夹角量度，通常用度（°）或弧度（rad） 来表示。
在几何学中，角度是两条射线、线段或平面在同一直线上相交时所形成的空间。
角度的大小反映了射线、线段或平面之间的相对位置关系。
学习解三角形
介绍解三角形的基本概念和方法，包括正弦定理、余弦定理等， 并探讨其在几何、物理等领域的应用。
THANKS
感谢观看
角度在工程中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
工程中的角度是描述结构和 设备运行的关键参数。
在工程中，角度是描述结构 和设备运行的关键参数。例 如，在桥梁和建筑设计中， 角度可以用来确定结构的稳 定性和安全性。在机械设计 中，角度可以用来确定设备 的运行状态和工作效率。
工程中的角度可以用于解决 实际问题。
角度的测量
01
角度的测量可以采用度 量法、几何法和三角法 等方法。
02
度量法是通过使用量角 器来直接测量角度的大 小。
03
几何法是通过利用三角 形、平行四边形等几何 图形的性质来计算角度 的大小。
04
三角法是通过三角函数 的性质来计算角度的大 小。
角度的表示方法
角度可以用度数和弧度数来表 示，其中度数范围是0°~360°， 弧度数范围是$-infty$到 $+infty$。
任意角优秀课件
• 引言 • 任意角的基本概念 • 任意角的三角函数 • 任意角的性质和定理 • 任意角的计算方法 • 任意角在生活中的应用 • 总结与展望
课件数学：《任意角》PPT课件_优秀版
C． { | 0°≤α<90°} D． { | 0°≤α≤90°}
1．角的推广； 终边相同的角
相等；
回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？
2．象限角的定义； 例 1 在 0°～360°间，找出下列终边相同角：
1．460° 是（ ）.
但相等的角，终边
相同；
3．终边相同角的表示. 1 任 意 角
角可以看成平面内一条
360º)．
O
A
新知：
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
角可以看成平面内一条
绕着
从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按逆时针方向旋转所形成的角叫 正 角 于是，终边在y轴上的角的集合
而所有与270°角终边相同的角构成集合 探究任务三：终边相同的角
于是，终边在y轴上的角的集合
1040°=320 °+2×360 °
第一章 三角函数
3．终边相同角的表示.
变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出
②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？ （ 时针旋转
度）
S={ | = + k·360°,k∈Z }
1.1 任意角和弧度制 因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
S={ | = 30° + k·360°,k∈Z } ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转
度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？ （ 时针旋转
度）
角． 而所有与270°角终边相同的角构成集合
角的终边（除端点外）在第几象限， 回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
人教版高中数学-任意角(共15张PPT)教育课件
课堂练习
课本P5练习
课后作业
课本P9习题A组1，2，3,4,5
•
凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看开 了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
■
电
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那
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一
部
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有
没
有
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像
费
里
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一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
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是
从
底
层
爬
上
来
的
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清
楚
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么
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作
这
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东
西
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电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
人教A版必修四1.1.1任意角课件 (共22张PPT)
(1)理解任意角的概念; (2) 建立直角坐标系讨论任意角,判断 象限角,掌握终边相同角的集合的书写; (3) 掌握象限角的集合和非象限角的 集合的书写; (4)掌握区域角的集合的书写.
一、角的概念:
初中定义：从一点出发的两条射线组成
的几何图形叫做角。角的范围：[0,360)
顶
边
点
边
一、角的概念:
{ | 0 k • 360 90 k • 360 , k Z}
第二象限角的集合:
{ | 90 k • 360 180 k • 360 , k Z}
第三象限角的集合:
{ |180 k • 360 270 k • 360 , k Z}
第四象限角的集合:
{ | 270 k • 360 360 k • 360 , k Z}
例1:写出与－950º角终边相同的角的集合S， 并把S中在0º~360º间的角写出来：
S { | 950 k • 360 , k Z} 950 3 360 130,
为第二象限角
终边在坐标轴上角的取值
y 90 +k×360
180 +k×360 O
x 0 +k×360 或360+k×360
观察: 390,330,它们的终边
y
-3300 3900OΒιβλιοθήκη 与30角的终边有什么关系?
300 x
3900=300+3600 =300+1 x 3600
－3300=300－3600 =300－1 x 3600
300=
=300+0 x 3600
与300终边相同的角的一般形式为:
300＋k·3600，k ∈ Z
270 +k×360
一、角的概念:
初中定义：从一点出发的两条射线组成
的几何图形叫做角。角的范围：[0,360)
顶
边
点
边
一、角的概念:
{ | 0 k • 360 90 k • 360 , k Z}
第二象限角的集合:
{ | 90 k • 360 180 k • 360 , k Z}
第三象限角的集合:
{ |180 k • 360 270 k • 360 , k Z}
第四象限角的集合:
{ | 270 k • 360 360 k • 360 , k Z}
例1:写出与－950º角终边相同的角的集合S， 并把S中在0º~360º间的角写出来：
S { | 950 k • 360 , k Z} 950 3 360 130,
为第二象限角
终边在坐标轴上角的取值
y 90 +k×360
180 +k×360 O
x 0 +k×360 或360+k×360
观察: 390,330,它们的终边
y
-3300 3900OΒιβλιοθήκη 与30角的终边有什么关系?
300 x
3900=300+3600 =300+1 x 3600
－3300=300－3600 =300－1 x 3600
300=
=300+0 x 3600
与300终边相同的角的一般形式为:
300＋k·3600，k ∈ Z
270 +k×360
人教版必修四数学《任意角》PPT课件
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同学们举了这么多生活中的百分数， 老师也收集了一些百分数，来看一 下：
我市学生的近视情况如下：小学生 的近视率为18%，初中生的近视率 为49%，高中生的近视率为64.2%。
下课了！
人教版必修四数学PPT课件
授课人：XX老师 时间：20XX.XX.XX
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MOMODA POWERPOINT
1
记作: 1 读作:角1
2
记作: 2 读作:角2
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数一数下图中各有（ ）个角。
点击添加标题文字
解题思路：
从图中可以看出,所有的点都在同一条 直线上,因此图中只有一条直线。图中共有4 个点,从每个点出发,都有向左、向右的2条射 线,因此,共有8条射线。直线上两点间的一段 是一条线段。以A点为左端点的线段有3条, 以B点为左端点的线段有2条,以C点为左端点 的线段有1条,因此图中共有3+2+1=6(条)线 段。
点击添加标题文字
角
边 顶点 边
如果过一点引出两条射线会是什么图形呢？
点击添加标题文字
A 顶点
边 边
从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
第二部分——教学策略
THE FIRST PART IS TEACHING ANALYSIS THE FIRST PART IS
点击添加标题文字
角通常用符号“ ”来表示。
《任意角》
人教版必修四数学PPT课件
授课人：XX老师 时间：20XX.XX.XX
01.教学分析
CATALOGUE
目
02.教学策略
录
03.教学过程
04.教学总结
第一部分——教学分析
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高中数学：《任意角》ppt课件
一、任意角的概念
这些例子不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何 解决这一问题?
有必要将角的概念及范围推广 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化.
高中数学：《任意角》ppt课件
1.角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形叫做角.
高中数学：《任意角》ppt课件
例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两 个，即90°，270°角（图1.1-6）.因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}. 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？
这些角有什么内在联系？
y
328°
o
x
－32°
-392°
高中数学：《任意角》ppt课件
思考２：所有与-32°角终边相同的角，连同-32° 角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表 示集合S吗？
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
高一数学人教版必修四第一章《三角函数》
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角 主讲教师：乌兰浩特市第四中学
2017-3-21
李俊英
高中数学：《任意角》ppt课件
1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练 写出与已知角终边相同的角的集合.
高中数学：《任意角》ppt课件
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例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合 不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来. 【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有： -315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
3.已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（ B ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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思考4：终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半 轴、非正半轴上的角分别如何表示？
x轴非负半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴非正半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴非负半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
锐角一定是第一象限的角，第一象限角不一定是锐角. 钝角一定是第二象限的角，第二象限角不一定是钝角. 直角一定是轴线角，轴线角不一定是直角.
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思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的 大小.
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三、终边相同的角
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于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z } ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z } ={β|β=90°+n·180°，n∈Z }
－450°
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y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x o
-450° 轴线角
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思考3：锐角与第一象限的角是什么关系？ 钝角与第二象限的角是什么关系？ 直角与轴线角是什么关系？
经过1小时，秒针、分针各转了多少度？
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在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的. 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向 旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其 端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向 旋转60°所形成的角是否相等？
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1.下列命题正确的是（ C ）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
2.A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（ D ）
A.｛锐角｝
B.｛小于90°的角｝
C.｛第一象限角｝ D.以上都不对
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2.角的构成要素
B
终边
方向
O
顶点
始边
A
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规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
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复习回顾
什么是角？范围是多大？
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
角的范围：0°～360°
初中定义
边
顶
边
点
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跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?
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体操中有转体两周或 转体两周半，如何度 量这些角度呢？
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思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角 α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 周角的和.
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例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边 相同的角，并判定它是第几象限角.
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系
内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非
负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些
位置？
y
o
xx
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思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴 线角.那么下列各角：-50°，405°，210°, 200°，-450°分别是第几象限的角？
一、任意角的概念
这些例子不仅不在0°～360°范围内，而且有方向,如何 解决这一问题?
有必要将角的概念及范围推广 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化.
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1.角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形叫做角.
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例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两 个，即90°，270°角（图1.1-6）.因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}. 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.
思考1： -32°，328°，-392°是第几象限的角？
这些角有什么内在联系？
y
328°
o
x
－32°
-392°
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思考２：所有与-32°角终边相同的角，连同-32° 角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表 示集合S吗？
S= β β=-32o +k 360o ,k Z
高一数学人教版必修四第一章《三角函数》
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角 主讲教师：乌兰浩特市第四中学
2017-3-21
李俊英
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1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练 写出与已知角终边相同的角的集合.
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例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合 不等式-360°≤α＜720°的元素β写出来. 【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有： -315°，-135°,45°,225°,405°,585°.
3.已知角α是第三象限角,则角-α的终边在（ B ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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思考4：终边在x轴非负半轴、非正半轴，y轴非负半 轴、非正半轴上的角分别如何表示？
x轴非负半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴非正半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴非负半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
锐角一定是第一象限的角，第一象限角不一定是锐角. 钝角一定是第二象限的角，第二象限角不一定是钝角. 直角一定是轴线角，轴线角不一定是直角.
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思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的 大小.
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三、终边相同的角
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于是，终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z } ={β|β=90°+2k·180°，k∈Z } ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z } ={β|β=90°+n·180°，n∈Z }
－450°
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y
x o
-50° 第四象限角
y
x o -200° 第二象限角
y
x o
405° 第一象限角
y
y 210°
x o
第三象限角
x o
-450° 轴线角
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思考3：锐角与第一象限的角是什么关系？ 钝角与第二象限的角是什么关系？ 直角与轴线角是什么关系？
经过1小时，秒针、分针各转了多少度？
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在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的. 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向 旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其 端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向 旋转60°所形成的角是否相等？
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1.下列命题正确的是（ C ）
A.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
2.A=｛小于90°的角｝，B=｛第一象限角｝，则A∩B=（ D ）
A.｛锐角｝
B.｛小于90°的角｝
C.｛第一象限角｝ D.以上都不对
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2.角的构成要素
B
终边
方向
O
顶点
始边
A
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规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
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什么是角？范围是多大？
定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.
角的范围：0°～360°
初中定义
边
顶
边
点
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跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?
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体操中有转体两周或 转体两周半，如何度 量这些角度呢？
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思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角 α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 周角的和.
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例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边 相同的角，并判定它是第几象限角.
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系
内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非
负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些
位置？
y
o
xx
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思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这 个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴 线角.那么下列各角：-50°，405°，210°, 200°，-450°分别是第几象限的角？