41 函数的单调性极值及凹凸性拐点
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
函数的单调性与凹凸性判别
定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例 解 判定函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调性 因为在(0, 2p)内 y1cos x >0 所以, 函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加
3
证
x , x ( a , b ), 且 x x ,应用拉氏定理,得 1 2 1 2
f ( x ) f ( x ) f ( )( x x ) ( x x ) 2 1 2 1 1 2
x x 0 , 2 1
若 ( a , b ) 在 内 f ( x ) ， 0 , 则 f ( ) 0 ,
9
说明: • 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
3 2 例如, y x,x ( , )
33 x y x0
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .
3 y x ,x ( , ) 例如,
y
2
y y 3 x2
利用单调性证明不等式的步骤：
①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0, 另一端即为所作的辅助函数f(x). ②求 f (x) 验证f(x)在指定区间上的单调性. ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
6
二、单调区间求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调． 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.
高等数学第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性课件.ppt
例5. 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3,
y
2 9
x
3
x (,0) 0 (0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
例6. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
2)
求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 ,
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f (x) 0, x I f (x) 0, x I
2.曲线凹凸与拐点的判别
f (x) 0, x I
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
f (x) 0, x I
–
拐点 — 连续曲线的凹凸分界点
1. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
)
;
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
;
拐点为
(
1 2
,
1
函数的拐点与极值的判断
拐点与极值的联系
拐点和极值都是函数图像上的点，具有特定的几何意义。 拐点和极值都是函数的一阶导数在该点附近的行为发生变化的表现。 拐点和极值在某些情况下是相互关联的，例如在单峰函数中，拐点通常位于极值点附近。 判断拐点和极值的方法通常需要使用导数或二阶导数，并分析其符号变化。
社会科学：拐点 与极值可以用于 研究社会现象的 变化趋势，如人 口增长、经济发 展等，为政策制 定提供科学依据。
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02
函数的极值判断
极值的定义
极值点：函数在 某点的值大于或 小于其邻近点的 值
极值：函数在极 值点处的函数值
局部极值：在一 定区间内函数达 到最大或最小值 的点
全局极值：在整 个定义域内函数 达到最大或最小 值的点
极值的判断方法
判断导数：导数等于0的点可能是极值点
判断二阶导数：二阶导数大于0的点是极小值点，二阶导数小于0的点是极大值点
拐点与极值的区别
定义不同：拐点是函数图像上凹 凸的分界点，而极值是函数在某 点的值大于或小于其邻近点的值。
判断方法不同：拐点的判断需要 考察函数的一阶导数和二阶导数， 而极值的判断需要考察函数的一 阶导数。
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性质不同：拐点不一定是极值点， 但极值点一定是拐点。
应用场景不同：拐点常用于研究 函数的凹凸性，而极值常用于研 究函数的最大值和最小值。
判断一阶导数的符号变化：如果在某点的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则该点为 极大值点，反之则为极小值点 判断函数值：如果在某点的左侧函数值大于右侧函数值，则该点为极大值点，反之则为 极小值点
极值的Байду номын сангаас质
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
高等数学3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
ln(1 x ).
三、曲线的凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y
C
B
A
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
三、曲线的凹凸性
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
解方程f ( x ) 0 得，x1 1, x2 2.
x 1 时 f ( x ) 0, 在( ,1]上 单调增加 1 x 2 时 f ( x ) 0, 在[1, 2]上 单调减少
2 x 时 f ( x ) 0, 在[2, )上 单调增加
设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调减少.
四、曲线凹凸的判定
y
y f (x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
y 0 f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 定理1 在( a , b ) 内 有一阶和二阶导数， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续；
若在 ( a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凹的 (2) f ( x ) 0,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凸的
函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法 二、曲线凹凸性及其判别法
三、小结
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
二、曲线凹凸性及其判别法
1.曲线凹凸的定义 2.曲线凹凸的判定 3.曲线的拐点及其求法 4.利用凹凸性证明不等式 5.小结
1.曲线凹凸的定义
y
C B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点的步骤：
• 求二阶导数等于零和不存在的点 • 判断二阶导数在这些点的左右两侧是否
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
函数的凹凸性与拐点
图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。
函数的单调性与曲线的凹凸性
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的．
类似地，可给出曲线是凸的定义，若上式中不等 号反向，则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的．
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的， 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．
x2
的凹凸性．
（详细解答过程可参见课本 P108）
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性． （详细解答过程可参见课本 P109）
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点， 称为曲线的拐点．
一般地，连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点．
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时， f ( x) 0 ， (,0] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x) 0 ， [0, ] 上单调增加；
[0, ). 单调区间为( ,0]，
注意：学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . （1）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凹的； （2）若在区间 I 上， f ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 是凸的．
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在(0,?? )内, y?? 0, ? 函数单调增加.
注意 :函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
2．单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义 :若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间 .
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x )在区间(a, b)内有定义 , x0是
(a,b)内的一个点 , 如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的
任何点x ,除了点 x0外, f ( x ) ? f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值 ;
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?( )( x? x1 ? 0,
若在(a,b)内，f ?( x ) ? 0, 则 f ?(? ) ? 0,
? f ( x2 ) ? f ( x1). ? y ? f ( x )在[a,b]上单调增 .
1? x ? f ( x )在[0,?? )上连续 ,且(0,?? )可导 f ?( x ) ? 0,
? 在[0,?? )上单调增加 ? f (0) ? 0,
? 当x ? 0时，x ? ln(1 ? x ) ? 0, 即 x ? ln(1 ? x ).
二、函数的极值
1．函数极值的定义
y
y ? f (x)
定义 使导数为零的点 (即方程 f ?( x ) ? 0 的实根 )叫 做函数 f ( x ) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它
点,
但函数的驻点却不一定 是极值点 .
例如, y ? x 3 , y?x? 0 ? 0, 但x ? 0不是极值点 .
定理2(第一充分条件 )
(1)如果 x ? ( x0 ? ? , x0 ),有 f ' ( x ) ? 0; 而 x ? ( x0 , x0 ? ? ),
f ?( x ) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 解方程 f ?( x ) ? 0 得， x1 ? 1, x 2 ? 2. 当 ? ? ? x ? 1时， f ?( x ) ? 0, ? 在(?? ,1]上单调增加 当1 ? x ? 2时， f ?( x ) ? 0, ? 在[ 1,2]上单调减少
当2 ? x ? ?? 时， f ?( x ) ? 0, ? 在[ 2,?? )上单调增加
单调区间为 (?? ,1]， [ 1,2]， [ 2,?? ).
例3 确定函数 f ( x ) ? 3 x 2 的单调区间 .
解 ? D : (?? ,?? ).
f ?( x ) ?
2 ,
33 x
( x ? 0)
导（. 1）如果在(a, b)内f ?( x ) ? 0，那末函数 y ? f ( x )
在[a, b]上单调增加； (2) 如果在 (a, b)内 f ?( x ) ? 0，
那末函数 y ? f ( x ) 在[a, b]上单调减少.
? ? 证 ? x1, x2 ? (a,b), 且 x1 ? x2, 应用拉氏定理 ,得
有 f ' ( x ) ? 0，则 f ( x ) 在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ? ( x0 ? ? , x0 ),有 f ' ( x ) ? 0; 而 x ? ( x0 , x0 ? ? )
有 f ' ( x ) ? 0，则 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ? ( x0 ? ? , x0 )及 x ? ( x0 , x0 ? ? )时, f ' ( x )
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点x ,除了点 x0外, f ( x ) ? f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值 .
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得 极值的点称为 极值点.
2．函数极值的求法
定理1(必要条件 ) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法:用方程 f ?( x ) ? 0的根及 f ?( x )不存在的点 来划分函数 f ( x )的定义区间 ,然后判断区间 数的符号.
例2 确定函数 f ( x ) ? 2x 3 ? 9x 2
? 12x ? 3的单调区间.
解 ? D : (?? ,?? ).
2.4 导数的应用
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、曲线的凹凸性与拐点 四、函数图形的描绘 五、小结 思考题
一、函数的单调性
1．单调性的判别法
y
y ? f (x) B
yA y ? f (x)
A
B
oa
bx
f ?( x ) ? 0
oa
bx
f ?( x ) ? 0
定理 设函数 y ? f ( x )在[a, b]上连续，在 (a, b)内可
y ? 3 x2
当x ? 0时,导数不存在 .
当 ? ? ? x ? 0时，f ?( x ) ? 0, ? 在(?? ,0]上单调减少
当0 ? x ? ?? 时， f ?( x ) ? 0, ? 在[0,?? )上单调增加
单调区间为 (?? ,0]， [0,?? ).
注意:区间内个别点导数为零 ,不影响区间的单调性 . 例如, y ? x 3 , y?x? 0 ? 0, 但在(?? ,?? )上单调增 . 例4 当x ? 0时,试证x ? ln(1 ? x )成立. 证 设f ( x ) ? x ? ln(1 ? x ), 则 f ?( x ) ? x .
若在(a,b)内，f ?( x ) ? 0, 则 f ?(?) ? 0,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ). ? y ? f ( x )在[a,b]上单调减 .
例1 讨论函数y ? e x ? x ? 1的单调性. 解 ? y?? e x ? 1.又? D : (?? ,?? ).
在(?? ,0)内, y?? 0,