福建省三明市三明第一中学2023届高一上数学期末质量检测试题含解析

（ⅱ）设集合 ，不妨设
因为 为正整数，所以 ，
因为存在 使得 ，所以此时 中不能包含元素 、 、 、 且 ，
所以 ．所以
因为存在 使得 ，所以此时 中不能包含元素 及 、 、 、 且 ，
所以 ，所以
若 ，则 、 、 ，而 ，
所以不存在 ，使得 ，所以
若 ，则 、 、 ，而 ，
所以不存在 ，使得 ，所以
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
【详解】作出 在 上的图象（如图所示）
因为 ， ，
所以当 的图象与直线 相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最小为N，
由 ，得 ，
则 ， ， ， ；
当 的图象与直线 相交时，
设三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最大为 ，
由 ，得 ，
则 ， ， ；
所以函数y＝sin(2x－ )的单调增区间为
[kπ＋ ，kπ＋ ]，k∈Z
（2）利用公式 计算即可.
【详解】（1） 在单位圆上，且点 的横坐标为 ，则 ， ，
.
（2）由题知 ，则 则 .
【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数运算法则化简求值；
（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.
（2）若 ，求实数m的取值范围
20．已知非空数集 ，设 为集合 中所有元素之和，集合 是由集合 的所有子集组成的集合
（1）若集合 ，写出 和集合 ；
（2）若集合 中的元素都是正整数，且对任意的正整数 、 、 、 、 ，都存在集合 ，使得 ，则称集合 具有性质
①若集合 ，判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
C. D.1
6．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为
A. B.1
C. D.
7．下列函数中在定义域上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
8．函数 ，若 恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 ．若侧面 水平放置时，液面恰好过 的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（）
所以 .
故答案为： .
12、
【解析】由扇形弧长、面积公式列方程可得 ，再由平面几何的知识即可得解.
【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 ，
则由题意 ，解得 ，
则由垂径定理可得 .
故答案为： .
13、
【解析】
如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
由题可知， 边长均为1，则 ，
中， ，则 ，得 ，
所以二面角 的平面角即 ，
则 ， ，
其中 ，
故 ，也就是 ，
则 ，
因 ，故 .
故选：B.
【点睛】函数 有四个不同零点可以转化为 的图像与动直线 有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且 还是倒数关系.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】作出 在 上的图象， 为 的图象与直线y=m交点的横坐标，
在 中， ，
则 ，
所以 ．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角 ，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．
14、
【解析】直线 整理可得 .
令 ，解得 ，
16．（1）计算
（2）已知 ，求 的值
17．如图，在平面直角坐标系 中，角 的终边与单位圆交于点 .
（1）若点 的横坐标为 ，求 的值.
（2）若将 绕点 逆时针旋转 ，得到角 (即 )，若 ，求 的值.
18．计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
19．已知集合 ，
（1）若 ，求实数a，b满足的条件；
同理可知 ， ，
若 ，则 ，所以
当 时，若 ，
则取 ，可知不存在 ，使得 ，
所以 ，解得
又因为 ，所以
经检验，当 、 、 、 、 时，集合 符合题意
所以 最小值为 ，且集合 中元素的最大值的所有可能取值是 、 、 、 、 .
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.
A.6B.7
C.2D.4
10．已知函数 ，若函数 有四个零点 ，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知 ，若 ，使得 ，若 的最大值为M，最小值为N，则 ___________.
12．如图，扇形 的面积是 ，它的周长是 ，则弦 的长为___________ .
3、B
【解析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】 ， 且 ，故 ， ，
故 .
故选：B
4、A
【解析】由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
当 时，指数函数递增， ，B不合题意，
故选C
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、 (1) ；(2)3.
【解析】(1)由题意结合对数的运算法则和对数恒等式的结论可得原式的值为 ；
(2)令 ，计算可得原式 .
试题解析：
（1）
;
(2)设 则 ，
所以 .
17、（1） （2）
【解析】（1）由三角函数的定义知， ， ，又 ，代入即可得到答案；
【小问1详解】
【小问2详解】
19、（1） ， ;（2） .
【解析】（1）直接利用并集结果可得 ， ;
（2）根据 可得 ，再对集合 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；
【详解】解：（1） ； ，
∴ ， ;
（2） ,
∴分情况讨论① ，即 时 得 ；
②若 ，即 ， 中只有一个元素1符合题意；
③若 ，即 时 得 ，∴
13．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.
14．不论 为何实数，直线 恒过定点__________.
15．若函数 与函数 的最小正周期相同，则实数 ______
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
若 恰有3个零点，即函数 与直线 有三个交点，
则a的取值范围 ，
故选：B
9、A
【解析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案
【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
21、 (1) φ＝－ π;(2) 单调增区间为 .
【解析】(1)∵x＝ 是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2× ＋φ)＝±1，∴ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ ≤2kπ＋ ，k∈Z.
得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
当 时，取集合 ，则 ；
综上可得，集合 具有性质 ；
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A.1010.1B.10.1
C.lg10.1D.
5．已知角 的终边过点 ，则 （）
A. B.
②若集合 具有性质 ，且 ，求 的最小值及此时 中元素的最大值的所有可能取值
21．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝ ，
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
即直线 恒过定点
点睛：直线恒过定点问题，一般就是将参数提出来，使得其系数和其他项均为零，即可得定点.
15、
【解析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出a的值
【详解】：函数 的周期是 ；
函数 的最小正周期是： ；
因为周期相同，所以 ，解得
故答案为
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力
5、B
【解析】根据三角函数的定义求出 ，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角 的终边过点 ，所以 ，