系统工程第二章系统模型

第二章系统模型方法2.1 模型概述模型是对研究对象的一种描述方法。

模型的类型可分为物理模型、数学模型、结构模型、仿真模型等几大类。

物理模型是指通过实物建立的系统对象的实物模型或类比模型；数学模型是用数学语言描述的一类模型；结构模型是主要反映系统的结构特点和因果关系的模型（其中的一类重要模型是图模型，即用结构图表示系统的结构）；仿真模型是通过在计算机上运行的程序表达的模型。

采用适当的仿真语言或程序，物理模型、数学模型和结构模型一般都能转变为仿真模型。

系统工程建立的模型可统称为系统模型，通常是非物理模型。

数学模型是应用最多的一种模型，可进一步分为原理性模型、系统学模型、规划模型、预测模型、管理决策模型、仿真模型、计量经济模型等类型。

⑪原理性模型。

原理性模型是指自然科学中所有的定理及公式。

自然科学已建立起一套完整的原理性模型，如开普勒的行星运动三大定律、牛顿的经典力学三大定律以及近代的爱因斯坦相对论等。

⑫系统学模型。

系统学是研究系统结构与功能（演化、协同和控制）的一般规律的科学，其研究对象是各类系统，系统可分为简单系统和复杂巨系统，系统的研究方法主要有运筹学、信息论、数学以及耗散结构理论、协同学和突变论等。

系统学模型通常包括：系统动力学、大系统理论、灰色系统、系统辩识、系统控制、最优控制和创造工程学等。

⑬规划模型。

数学规划是研究合理使用有限资源以取得最佳效果的数学方法，其实质是用数学模型来研究系统的优化决策问题。

在规划问题中，必须满足的条件称为约束条件，要达到的目标用目标函数来表示，规划模型要解决的问题是，在约束条件的限制下，根据一定的准则从若干可行方案中选取一个最优方案。

规划模型通常包括：线性规划、非线性规划、目标规划、更新理论和运输问题等。

⑭预测模型。

预测是对事物的发展规律和结果的推断。

预测方法可分为定性预测和定量预测两大类。

⑮管理决策模型。

管理决策是在管理过程中做出的各种决策。

管理决策模型通常包括：关键路线法、计划评审技术、风险评审技术和层次分析法等。

⑯仿真模型。

仿真是利用模型再现实际系统中发生的本质过程，并通过对系统模型的实验来研究已存在的或设计中的系统。

而仿真模型就是被仿真对象的相似物或其结构形式。

⑰计量经济模型。

计量经济学是以数学和统计学方法确定经济关系中的具体数量关系的科学，又称经济计量学。

计量经济学对经济关系的实际统计资料进行计量，加以验证，为经济变量之间的依存关系提供定量数据，为制定经济规划和确定经济政策提供科学依据。

计量经济模型通常包括：经济计量法、投入产出法、动态投入产出法、可行性分析和价值工程等。

本章将主要针对矿业系统工程，介绍一些常用的系统模型。

本书的其他章节，也会介绍一些相关的系统模型。

332211x C x C x C z Min ++=2.2 线性规划模型2.2.1 基本概念下面以配矿问题为例，说明线性规划模型。

设某选矿厂由3个矿山供应矿石，各矿山生产的矿石质量和成本如表2-1所示。

选矿厂将这3种矿石混合使用，要求混合矿石的含铁量不低于48%，含磷量不高于0.25%。

现在的问题是，这3种矿石应该怎样混合才能使选矿厂的原矿成本最低。

表2-1 矿石质量和运输成本矿 山 含铁量（%） 含磷量（%）成本（元/吨）甲矿 54.00 0.13 C 1 乙矿 49.00 0.22 C 2 丙矿450.34C 3设甲、乙、丙3种矿石的百分配比分别为x 1、x 2 、x 3 , 我们的目标是使原矿成本最小，即：求 （2-1）要满足的条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≥++0,,125.034.022.013.048454954321321321321x x x x x x x x x x x x （2-2） 式（2-1）和方程式组（2-2）构成了一个线性规划模型。

式（2-1）称作目标函数，方程式组（2-2）称作约束条件。

线性规划模型中满足约束条件的解称作可行解。

在可行解中，又能满足目标函数的可行解，称作最优解。

建立模型的目的就是要求出最优解。

线性规划的标准解法是单纯形法。

下面给出线性规划模型的一般形式。

n n x c x c x c z Max +++= 2211..t s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++≥02122112222212111212111,n mn mn m m n n x x x bx a x a x a b a x a x a b a x a x a（2-3） 式（2-3）称作线性规划模型的标准形式。

当数学模型是其他形式时，可采用下述方法将其转化为标准形式。

⑪ 若目标函数是最小化时，即有：n n x c x c x c z Min+++= 2211这时令z ’=-z ，则目标函数变成：n n x c x c x c z Max ----= 2211'..t s 这样一来就将目标函数转化为标准形式。

⑫ 当约束条件为“≤”形式的不等式时，可在“≤”号的左端加入非负的松弛变量，把原“≤”形式的不等式变为等式；若约束条件为“≥”形式的不等式时，可在“≥”号的左端减去一个非负的松弛变量，把原“≥”形式的不等式变为等式。

⑬ 若存在无非负要求的变量，即x k 变量取正值或负值都可以时，可令x k =x ’k -x ’’k，其中x ’k ≥0,x’’k≥0，即用x ’k 和x’’k 替换x k 。

例如，有线性规划模型：31232x x x z Min--=无符号约束令z ’=-z , x 3=x 4- x 5, 将上式变成标准形式后有：765421'00)(32x x x x x x z Max ++-+-=:st ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++-=--+-=+-++0,,,,,5)(232)(7)(76542154217542165421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2.2.2 线性规划配矿模型例2-1．某露天铁矿，由甲、乙、丙3个溜矿子系统出矿，班产量分别为2525.25吨、2300.00吨和1671.15吨，矿石品位分别为TF e =32.5%、31.5%和29.0%。

选矿厂通过多年生产实践发现，当原矿TF e <30%时，结晶颗粒小，磨矿效率低。

TF e >32%时，精矿含矾高，对冶炼不利。

故确定原矿入选品位为α=30%～32%，且确定不同品位的原矿价格为：当TF e = 30%～32%时，P = (α-30)+9 元/吨 当TF e > 32%时， P=9 元/吨要求确定各溜井系统的班产量及最佳矿石品位，使矿石总售价最高。

设甲、乙、丙溜矿系统的班产量分别为x 1，x 2，x 3，混合后的矿石品位为β。

根据题意建立优化模型如下：)(321x x x P z Max ++=..t s ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤=-+-+-≤≤≤0,,32300)250.0()315.0()325.0(15.167100.230015.2525321321321x x x x x x x x x ββββ （2-4） 模型（2-4）的解法是先求出期望品位β为不同常数值时的矿石产量解x *(β)及目标函⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++-≥+-≤++321321321321,0,52327x x x x x x x x x x x x数数值z *(β)，然后作出z *(β)曲线。

观察z *(β)曲线，找出使z *(β)值最大的β，此即为最佳品位，与之相对应的解x 1，x 2，x 3即为各溜矿子系统的班产量最佳解。

例2-2．某矿山为一大型铁矿，有一个露天采区（一采区）和两个地下采区（二、三采区），同时还收购民采矿石(视作四采区产出的矿石)。

矿山作为商品矿石出售的品种有粉矿、精粉和内销原矿。

三个采区生产的矿石和民采矿石的产量和质量都不相同，用户对商品矿石的品种和质量有要求，且矿石质量影响矿石售价。

要求合理分配使用矿石量，使企业的综合利润指标最高。

设Y ij 为由第j 采区（j =1，2，3，4）原矿石中生产的i （i =1，2，3）种商品矿石量，X j 为j 采区原矿石生产量，C ij 为第j 采区原矿石生产第i 种成品矿石的获利指标（元/吨）。

根据题意，建立以企业的综合利润指标为最高的目标函数：∑∑===4131j i ij ij Y C S Max （2-5）目标函数中的经济效益指标C ij 应按下式确定： ij j i ij k b K C -=式中 K i — 第i 种成品矿石售价，元b j — 第j 采区生产的原矿石成本，元/吨)4,3,2,1(1==∑=j b b nk kjj式中 b i j — 第j 采区原矿石成本各单项成本，元/吨k — 单项成本编号。

单项成本是指采区车间成本、矿区运输费、矿管理费、磨矿成本和选矿加工成本（共n 项） k ij — 粉矿比或选矿比。

下面给出所考虑的约束条件。

⑪ 采区计划产量必须满足采区原矿石生产任务和生产能力约束：∑=≤≤≤≤41j jjjj AXQ A XQ （2-6）式中 A j — 第j 采区生产能力，万吨； Q j — 第j 采区生产任务，万吨； A — 全矿年生产能力，万吨； Q — 全矿年生产任务，万吨； j — 采区编号，j =1，2，3，4⑫ 原矿石按商品矿石类型分配条件约束：)3,2,1()4,3,2,1('41''31'=≤≤==∑∑==i A X Q j X X i j ij i i ijj （2-7）式中X’ij — 第j 采区生产的原矿石分配制作第i 种商品矿石的数量，万吨；)3,2,1()4,3,2,1,3,2,1()3,2,1(41'41'41'=≤≤====≥∑∑∑===i B YW j i Y KX i XX j iiji ij ijiji j ijj ijjαβA ’I — 生产第i 种商品矿石的车间生产能力，万吨； Q ’I — 生产第i 种商品矿石必须的原矿石量，万吨。

⑬ 商品矿石产量和质量指标约束：（2-8）2-9） （2-10）式中 βj — 第j 采区生产的原矿石品位，%；αi— 第i 种商品矿石平均品位，%；K ij — 粉矿比或选矿比，由下式确定)4,3,2,1,3,2,1(''==--=j i K i j i i ij αβααα’i— 尾矿品位或甩废矿石品位，%；B i — 第i 种商品矿石生产能力，万吨； W i — 第i 种商品矿石生产任务，万吨。

2.2.3 地下矿采掘计划线性规划模型线性规划是优化采掘进度计划广泛使用的方法。

由于具体矿山的技术条件和生产要求各不相同，因此也就会有各种不同的目标函数和约束条件，下面给出一个模型实例。