第五章一元一次方程
第五章 一元一次方程(教案)北师大版(2024年)数学七年级上册
第五章一元一次方程5．1认识方程1．理解并让学生掌握方程、一元一次方程、方程的解和解方程的概念；2．初步了解列方程的一般步骤，体会用方程解决实际问题的优越性．重点理解并掌握一元一次方程、方程的解和解方程的概念，以及列方程解决实际问题．难点列方程解决实际问题．一、导入新课在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，总票款为475元．你知道学生和老师的人数分别是多少吗？购买学生票和成人票的票款分别是多少？(1)这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设学生人数为x，那么总票款可以用含x的代数式表示为__________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生思考后举手回答，教师点评并进一步讲解：教师：请同学们用算术方法解决这个问题．学生独立思考后，与同桌交流，老师作简单讲解．教师：我们已经知道，方程是含有未知数的等式．上面等式中的x是未知数，这个等式是一个方程．以后我们将学习如何解方程求出未知数x.教师：比较这两种方法，用方程来解决问题有什么优点？学生相互交流，说出自己对方程的感受．二、探究新知1．一元一次方程的概念与列方程课件出示问题：根据下列问题，设未知数并列出方程．1．某长方形操场的面积是5850 m，长比宽多25 m．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？2．甲、乙两地相距22 km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1 km，因此提前12 min到达乙地．(1)这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)如果设张叔叔原计划每小时走x km，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为____________．(3)你能得到怎样的表示量相等的式子？学生完成后举手回答，教师点评总结：同学们在列方程时，一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义，体会列方程所依据的等量关系．等式10x ＋15(45－x )＝475，x (x ＋25)＝5850，22x －22x ＋1 ＝1260 是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程．教师：上面各方程都含有一个未知数(元)，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．如10x ＋15(45－x )＝475，2x ＋3＝7x ＋4都是一元一次方程．那么在实际问题中怎样列出方程呢？引导学生总结出列方程的一般步骤：实际问题――→设未知数、列方程一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程是用数学知识解决实际问题的一种方法．2．方程的解你能求出满足方程10x ＋15(45－x )＝475的未知数x 的值吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．教师：当x ＝30是方程的解吗？x ＝40呢？x ＝50呢？教师：我们可以发现，当x ＝40时，方程两边等号成立．也就是说，x ＝40是方程解． 引导学生得出：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．三、课堂练习1．教材第137页“随堂练习”第1，2题．2．(1)用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？(2)一台计算机已使用1700 h ，预计每个月再使用150 h ，经过几个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(3)某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？【答案】2.(1)设正方形的边长是x cm ，由题意列方程得4x ＝24.解得x ＝6，答：正方形的边长是6 cm(2)设经过x 个月这个计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h ．由题意列方程为1700＋150x ＝2450，解得x ＝5.答：经过5个月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h (3)设这个学校有x 名学生，由题意列方程得52%x －(1－52%)x ＝80.解得x ＝2000，答：这个学校有2000名学生四、课堂小结1．方程、一元一次方程、方程的解、解方程的概念分别是什么？ 2．实际问题中列一元一次方程的步骤是什么？ 五、课外作业教材第138页习题5.1第1，2，3题．本节课的内容是一元一次方程的初步认识，主要使学生了解什么是方程，什么是一元一次方程；体会字母表示数的好处，体会从算式到方程是数学的一大进步；会将实际问题抽象为数学问题，通过找相等关系列方程解决问题．在教学过程中，通过新旧知识的联系，使学生温故而知新，并能从学习过的知识中得到拓展和延伸．同时结合生活实例，理解一元一次方程的概念．使学生感受数学的魅力，提高学习的兴趣．课堂上，营造宽松、和谐的课堂氛围，激活学生的思维，提高了学生参与课堂的积极性．5．2 一元一次方程的解法 第1课时 等式的基本性质1．理解等式的基本性质；2．会根据等式的基本性质解简单的方程．重点运用等式的基本性质对等式进行变形． 难点根据等式的基本性质解简单的方程．一、导入新课方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质．等式有哪些基本性质呢？我们不难理解下面两个基本事实： (1)如果a ＝b ，那么b ＝a ；(2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c .除此之外，等式还有哪些基本性质呢？ 学生回答，教师点评． 二、探究新知下面，我们通过实验一起来探究等式的性质．(1)教师演示：天平两边分别放入一个铁球和砝码，天平平衡，再在两边都加上相同的木块，天平仍平衡，再拿掉木块天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，会得到什么结论呢？ 学生小组讨论，合作交流．教师总结得出等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式． (2)教师演示：天平两边各放入一个小球和砝码，天平平衡，把两边小球与砝码的数量都变成原来的3倍，天平仍平衡．再将两边小球与砝码的数量还原，天平仍平衡．教师：如果我们把天平看成是等式，那么又有什么结论呢？引导学生得出等式的性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．用字母可以表示为： 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝bc(c ≠0)(1)如图5－2，小明用天平解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程，你能明白他的意思吗？(2)请用等式的基本性质解释方程5x ＝3x ＋4的上述变形过程．归纳：利用等式的基本性质求解一元一次方程，实质就是对方程进行变形，变形为x ＝a 的形式．对于x ＋a ＝b ，方程两边都减去a ，得x ＝b －a ；对于方程ax ＝b (a ≠0)，两边都除以a ，得x ＝ba.例1 (课件出示教材第140页例1)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第140页例2)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评． 三、课堂练习 1．判断：(1)若x ＝y ，则5＋x ＝5＋y ；( √ ) (2)若x ＝y ，则5x ＝5y ；( √ ) (3)若x ＝y ，则x 5 ＝y5；( √ )(4)若x ＝y ，则5－x ＝5－y ；( √ ) (5)若2x ＝5x ，则2＝5.( × ) 2．下列各式变形正确的是( A )A ．由3x －1＝2x ＋1得3x －2x ＝1＋1B ．5＋1＝6得5＝6＋1C ．由2(x ＋1)＝2y ＋1得x ＋1＝y ＋1D ．由2a ＋3b ＝c －5b ，得2a ＝c ＋8b 3．应用等式的性质解下列方程并检验： (1)x －5＝6； (2)0.3x ＝45； (3)5x ＋4＝0; (4)2－14x ＝3.【答案】3.(1)x ＝11 (2)x ＝150 (3)x ＝－45 (4)x ＝－44．教材第141页“随堂练习”第1，2题． 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．等式的基本性质是什么？3．如何用等式的基本性质解方程？ 五、课外作业教材第146页第6，7题．本节课的学习内容是等式的性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的．它是解方程的基础和依据．在课堂上，教师通过学生的实践活动引导学生，发现规律，从而得出等式的基本性质，接着又通过实验解释了方程5x ＝3x ＋4的变形过程．由此得出利用等式的性质解一元一次方程，实质上就是逐步把方程化为x＝a的形式．通过教师设置的两次活动，学生对等式性质的理解和运用等式的性质解一元一次方程都留下了深刻的印象．第2课时用移项和合并同类项解一元一次方程1．掌握移项变号的基本原则，会用移项解一元一次方程；2．会用合并同类项解一元一次方程．重点移项法则和合并同类项法则及其应用．难点理解移项的同时必须变号．一、导入新课问题1：什么是一元一次方程？问题2：等式的基本性质是什么？学生举手回答，教师引入新课．二、探究新知1．移项的概念教师：你会解方程5x－2＝8吗？方程的两边都加2，得5x－2＋2＝8＋2，也就是5x＝8＋2比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于5x－2＝8，5x＝8＋2即把原方程中的－2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移顶．因此，解方程的过程可以简化为：移项，得5x＝8＋2化简，得5x＝10方程的两边都除以5，得x＝2.在上面解方程的过程中，移项的依据是什么？目的是什么？与同伴进行交流．归纳：学生思考后举手回答，教师点评，并进一步讲解：把原方程的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项．课件出示问题：下列移项是否正确，请说明理由．(1)6＋x＝8移项，得x＝8＋6；(2)3x＝8－2x移项，得3x＋2x＝－8；(3)5x－2＝3x＋7移项，得5x＋3x＝7＋2.要求学生认真观察找出错误，并说明理由，教师点评．2．用移项和合并同类项解一元一次方程 教师：你会解方程3x ＋20＝4x －25吗？引导学生思考：方程3x ＋20＝4x －25的两边都有含x 的项(3x 与4x )和不含字母的常数项(20与－25)，怎样才能使它向x ＝a (常数)的形式转化呢？要求学生思考后举手回答，教师点评．归纳：学生观察，讨论交流，教师引导学生说出将方程左边合并同类项，向x ＝a 的形式转化．思考：本问题的解决过程中，合并同类项起到了什么作用？ 学生讨论后回答．(让学生感受化归的思想)问题：对于本问题，你还有其他的方法解决吗？ 课件出示练习：将下列方程化为ax ＝b 的形式． (1)2x －3＝6； (2)5x ＝3x －1； (3)2.4y ＋2＝－2y ； (4)8－5x ＝x ＋2.学生完成后举手回答，教师点评，并进一步讲解： ①移动的项要改变符号；②为了方便计算，移项通常是将未知项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，使方程化为ax ＝b 的形式．例3 (课件出示教材第142页例3) 要求学生独立完成并思考： (1)移项的根据是什么？ (2)移项的目的是什么？ 学生汇报答案，教师点评．例4 (课件出示教材第142页例4)指名板演，教师巡视指导，集体订正，教师再次强调移项时符号的变化． 三、课堂练习1．教材第142页“随堂练习”． 2．用移项法解下列方程： (1)7－2x ＝3－4x ；(2)34x ＝x －3. 3．如果x ＝－7是方程4x ＋6＝ax －1的解，试求代数式a －3a的值．【答案】2.(1)x ＝－2 (2)x ＝12 3.把x ＝－7代入方程4x ＋6＝ax －1中，得4×(－7)＋6＝－7a －1.解得a ＝3；当a ＝3时，a －3a ＝3－33＝2四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．什么叫移项？3．移项时应注意什么问题？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第1，2题．本节课学生通过观察、讨论，归纳出移项的定义，体现了学生的主体地位．课堂上，教师通过讲练结合，使学生更好地掌握移项的法则．学生对移项的掌握比较牢固，但移项时要“变号”这个问题，个别学生掌握得不够好，不能灵活应用，需要加强练习．在用移项和合并同类项解方程的过程中，教师要逐步渗透数学中变未知为已知的重要数学思想．第3课时解带括号的一元一次方程1．理解并掌握解含有括号的一元一次方程的方法；2．能用多种方法灵活地解一元一次方程．重点含括号的一元一次方程的解法．难点结合方程的特点选择不同的方法解方程，并解释解法的合理性．一、导入新课问题1：什么叫移项？问题2：用移项法解下列方程：(1)2x－2＝3x＋3；(2)－3x＋5＝4x＋2.学生举手回答，教师讲评．二、探究新知1．利用去括号解一元一次方程小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水，她付给售货员20元，售货员找回3元．已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元，你能算出1袋牛奶多少钱吗？你列出了怎样的方程？如果设1袋牛奶x元，那么可列出方程4(x＋0.5)＋x＝20－3.(1)上面这个方程列得对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？(2)怎样解所列的方程？学生完成后汇报答案，教师点评并引导学生总结出去括号解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1.强调：括号前是“＋”号，去括号时，不改变符号；括号前是“－”号，去括号时，要改变符号．用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a＋(b＋c)＝a＋b＋ca－(b＋c)＝a－b－c多媒体出示例5解方程：1＋6x＝2(3－x).解：去括号，得1＋6x ＝6－2x . 移项，得6x ＋2x ＝6－1. 合并同类项，得8x ＝5. 方程的两边都除以5，得x ＝58.例6 解方程：－2(x －1)＝4. 解法一：去括号，得－2x ＋2＝4. 移项，得－2x ＝4－2. 化简，得－2x ＝2.方程的两边都除以－2，得x ＝－1. 解法二：方程的两边都除以－2，得 x －1＝－2.移项，得x ＝－2＋1. 化简，得x ＝－1.要求学生用两种方法解答，并写出解题过程，引导学生比较这两种方法的区别与联系． 教师：我们来试一试解下面的方程(课件出示). (1)－3(x －5)＝6； (2)2(3－x )＝9； (3)－2(x －1)＝4.2．去括号解一元一次方程的应用课件出示：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2 h ；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5 h ．已知水流的速度是3 km/h ，求船在静水中的速度．教师：如果设船在静水中的速度为x km/h ，船顺流的速度为多少？ 学生：(x ＋3)km/h.教师：船逆流的速度为多少？ 学生：(x －3)km/h.教师：这个方程的等量关系是什么？ 学生：往返的路程相等．师生共同探讨，列出方程：2(x ＋3)＝2.5(x －3). 学生完成解方程，指名板演，集体订正． 三、课堂练习1．教材第143页“随堂练习”．2．若方程3(2x －1)＝2－3x 的解与关于x 的方程6－2k ＝2(x ＋3)的解相同，则k 的值为－59． 3．一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h ，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．【答案】3.设无风时飞机的速度为x km/h ，则可列方程为256 (x ＋24)＝3(x －24)，解得x＝840，所以两城的距离为3×(840－24)＝2448(km)四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何去括号解一元一次方程？ 五、课后作业教材第138页习题5.2第3，4题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去括号．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去括号解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，教师通过讲练结合，使学生熟悉去括号解一元一次方程的步骤及其注意事项．通过分析具体问题中的数量关系，使学生了解运用方程解决实际问题．第4课时 解含分母的一元一次方程1．会解含有分母的一元一次方程；2．掌握解一元一次方程的基本步骤和方法，能根据方程的特点灵活地选择解法．重点解一元一次方程的基本步骤和方法． 难点含有分母的一元一次方程的解法．一、导入新课问题1：什么是移项法则？什么是去括号法则？ 学生举手回答，教师点评． 问题2：解方程： (1)2(x ＋15)＝x －10； (2)4(x ＋7)＝2(x －1).学生独立完成，指名板演，集体订正． 二、探究新知1．解含分母的一元一次方程课件出示问题：一个数与它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起来的和是33，求这个数．教师：设这个数为x ，怎样列出方程呢？学生：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.教师：如何解这个方程呢？解这个方程的关键是什么？依据是什么？要求学生合作探究，并与同桌交流自己的解法是否正确．教师指名学生回答．教师：根据等式的基本性质，在方程两边同乘各分母的最小公倍数42，即可将方程化为熟悉的类型．教师边讲解板书：23 x ＋12 x ＋17x ＋x ＝33.去分母，得28x ＋21x ＋6x ＋42x ＝1386. 合并同类项得97x ＝1386. 系数化为1得，x ＝138697 .2．解一元一次方程的一般步骤课件出示练习：例7解方程：17 (x ＋14)＝14 (x ＋20).解法一：去括号，得17 x ＋2＝14 x ＋5.移项、合并同类项，得－328 x ＝3方程的两边都除以－328，得x ＝－28.解法二：去分母，得4(x ＋14)＝7(x ＋20). 去括号，得4x ＋56＝7x ＋140. 移项、合并同类项，得－3x ＝84. 方程的两边都除以－3，得x ＝－28.学生独立完成，写出解题过程，教师点评并引导学生总结解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.例8 (课件出示教材第144页例8)要求学生用两种方法解答并写出解题过程，教师点评． 三、课堂练习1．教材第139页“随堂练习”．2．解方程：3x ＋12 －2＝3x －210 －2x ＋35 .【答案】2.x ＝716四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．如何解含有分母的一元一次方程？ 3．解一元一次方程的步骤有哪些？ 五、课后作业教材第145页习题5.2第5题．本节课主要内容是解一元一次方程的重要步骤——去分母，及解一元一次方程．在教学过程中，学生通过思考、讨论、练习，归纳出去分母的依据和解一元一次方程的步骤，体现了学生的主体地位，培养了学生的自主学习能力．课堂上，通过讲练结合，使学生熟悉解一元一次方程的步骤及其注意事项．强调根据具体情况选择解一元一次方程的方法，培养学生具体问题具体分析的能力．5．3 一元一次方程的应用 第1课时 图形的等积变形问题1．通过分析图形问题中的等量关系，建立方程解决问题；2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．重点列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题．难点从复杂问题中寻找等量关系．一、导入新课1．课件出示两瓶矿泉水(容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄).教师：哪瓶矿泉水多？为什么？2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱．教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？学生思考后回答问题，教师点评．二、探究新知某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？(1)这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设新包装的高度为x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？有关量旧包装新包装底面半径/cm 3.33高/cm12x容积/cm3π×3.32×12π×32×x(3)引导学生找出等量关系：旧包装的容积＝新包装的容积．设新包装的高度为x cm.根据等量关系，列出方程：π×3.32×12＝π×32×x解这个方程，得x＝14.52因此，易拉罐的高度将变为14.52 cm.归纳：列一元一次方程解应用题的步骤：1、审题，2、设未知数，3、列方程，4、解方程，5、作答．课件出示实验题：一个圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积)，当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少？要求学生用玻璃杯按要求分组实验后，全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、讲解．教师巡视课堂，指导、参与学生的实验．例1 用一根长为10 m 的铁丝围成一个长方形．(1)如果该长方形的长比宽多1.4 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？你能分别用含未知数的式子表示它们的数量关系吗？让学生独立完成解答过程，然后教师点评．在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流．三、课堂练习1．教材第149页“随堂练习”．2．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m 的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m 减少为3.2 m ．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m 变为多少米？【答案】2.设水箱的高度由原先的4 m 变为x m ，由题意列方程为π×(42 )2×4＝π×(3.22)2×x ，解得x ＝6.25.答：水箱的高度由原先的4 m 变为6.25 m 四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．列一元一次方程解实际问题时，关键是什么？ 五、课后作业教材第154页习题5.3第1，4，5题．本节课是一元一次方程的应用——易拉罐变形．在课堂上，让学生观察易拉罐由“矮”变“高”的变化过程，引导学生找出问题中的等量关系，列出方程，并解方程，使问题得到解决．通过学生自己动手操作实验、思考、计算、讨论，调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程．第2课时 盈余与不足问题1．理解盈余与不足之间的数量关系；2．会通过列表格解一元一次方程的有关问题．重点理解盈余与不足之间的数量关系．难点列表格解一元一次方程的有关问题．一、导入新课教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评．教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——盈余与不足问题．二、探究新知课件出示问题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．合伙人数、物品的价格分别是多少？(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？(2)设人数为x，其他未知量能用含x的代数式表示吗？请完成下表．有关量每人出8钱每人出7钱人数x x出钱总数8x 7x物价8x－37x＋4(3)设人数为x.根据等量关系，列出方程：8x－3＝7x＋4解这个方程，得x＝7因此，人数为7人，物价为53钱．如果设物价为y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流．例2《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱．合伙人数、金价各是多少？分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？有关量每人出400钱每人出300钱人数x x出钱总数400x 300x金价400x－3400300x－100解：设合伙人数为x，则金价可表示为400x－3400，还可表示为300x－100，根据等量关系，列出方程：400x－3400＝300x－100.解这个方程，得x＝33.300×33－100＝9800.因此，人数为33，金价为9800钱．对于例2，如果设金价为y，能列出怎样的方程？归纳：《九章算术》给出了一种算法：人数＝两次剩余钱数之差∶两次每人所出钱数之差；物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数，物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足的钱数．教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．三、课堂练习1．教材第150页“随堂练习”．四、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．盈余与不足问题中如何找等量关系？3．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？五、课后作业教材第154页习题5.3第7题．本节课是一元一次方程的应用——盈余与不足．在教学过程中，通过由具体实例中的数量关系分析、思考，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．通过分组学习，让学生学会在活动中与他人合作、交流，调动学生学习的积极性和主动性，体现了以人为本的现代教学理念．第3课时行程问题1．通过画线段图分析追及问题中的数量关系，找出等量关系；2．进一步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．学会用一元一次方程解决复杂的实际问题．重点找出追及问题中的等量关系，列出方程，解决实际问题．难点通过画线段图找等量关系．一、导入新课问题1：以前学习的行程问题中，路程、速度、时间三者间有什么关系？问题2：若小明每秒跑4 m，那么他5 s能跑多少米？。
第五章一元一次方程5.2解方程
方程两边都加上2,得
5x -2 +2=8+2
即:
5x=10
观察知
5x--22 =8 5x=8++22
移项法则:把方程中的某一项,改变符号后,从 方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项.
移项变号
例、解方程: （1）2x+6=1
（2）3x+3=2x+7
例2、解方程：
（1） 1 x 1 x 3
(1)一个月内通话200分和300分， 按两种计费方式各需交多少元?
通话200分,按两种计费方式各需交费: 50+0.40×200=130(元) 0.60×200=120(元)
(2)对于某个通话时间，两种计费方式的收 费会一样吗?
设累计通话x分,则用“全球通”要收费 (50+0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t元, 如果两种计费方式的收费一样，则
0.6t=50+0.4t
你理解吗？
(3)怎样选择计费方式更省钱?
如果一个月内累计通话时间不足250分，那 么选择“神州行”收费少;如果一个月内累 计通话时间超过250分，那么选择“全球通” 收费少。
课本习题5.3.
4
2
（2） 1 3 x x 5
23
注意：分数系数的方程、方程中多于三项 的方程如何处理？
问题:
小平的爸爸新买了一部手机,他从电 信公司了解到现在有两种计费方式:
全球通
月租费
50元/月
本地通话费 0.40元/分
神州行
0 0.60元/分
他正为选哪一种方式犹豫呢!你能帮助 他作个选择吗? 你会吗???
【数学】第五章 一元一次方程回顾与思考课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册
在商场一买运动服花费410－30×4＝290(元)，商场二买书包花费60×0.8＝48(元)，
共花费290＋48＝338(元)。因为338<350<376，
所以该同学应去商场一买运动服，去商场二买书包，费用为338元。
教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小
合并同类项，得－5x＝－12。
移项，得3x－5x－2x＝－2－2。
方程的两边都除以－5，得x＝ ．
合并同类项，得－4x＝－4。
方程的两边都除以－4，得x＝1。
17．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林
下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰
齐足。”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知
－2 。
3.某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬
衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x
元，根据题意，可列方程( D )
A.(80－x)×0.8－x＝10
B.(80－x)×0.8＝x－10
C.80×0.8＝x－10
D.80×0.8－x＝10
4.某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲
去括号，得2x＋2－6x＋3＝1…………………………………..②
移项，合并同类项，得－4x＝－4……………………………...③
解得x＝1………………………………………………………….④
(1)欣欣的解答过程在第 ① 步开始出错；(填序号)
(2)请你写出正确的解答过程。
(2)解：去分母，得2(x＋2)－3(2x－1)＝6。
【课件】第五章一元一次方程微专题：一元一次方程参数问题++课件人教版七年级数学上册
x 1
x 1
x 1 2x 1
a
2
3
（
3 x 1） （
2 2 x 1） 6a
3 x 3 4 x 2 6a
3 x 4 x 2 6a 3
x 5 6a
x 5 6a
含参方程解法：把参数当常数处理，按常规步骤解方程.
问题2：什么情况下
是正整数？
分母是分子2的因数
归纳：把含参方程的解求出来，找分子的因数
变式2-1 已知整数a（ ≠ ),若关于x的方程a x＝2有正整数解，则 a的
值为 1，2，-1，-2 .
解：由ax ＝ 2
得x ＝
因为方程的解为正整数，所以：
= ，或 = ，或 = −，或 = −
变式3小明解关于x的 方程3x－a＝x＋1 ,误将＋1看成－ 1，得到方程的解
是x=-1，求a的值．
解：由题， x=-1是方程3x－a＝x-1的解，
∴将x=-1代入方程3x－a＝x-1得：
3× （ − ） －a ＝-1- 1
解得a=-1.
答：a的值为-1.
1解含参方程：把参数当常数处理，按常规步骤求解
综上, a的值为1，2，-1，-2.
变式2-2 已知整数a（ ≠ ),若关于x的方程(a-1 )x＝2有正整数解，则
a的值为 2，3，0，1 .
练习3： 已知关于x的方程a x＝b(a、b为任意数），讨论该方程解的情
况.
解：由题， x=1是方程3（x+1）＝2（2x-1）+ a的解，
∴将x=1代入方程3（x+1）＝2（2x-1）+ a得：
第五章 一元一次方程复习-
初一数学复习资料5 第五章：一元一次方程知识要求：1、能根据具体问题的数量关系，列出方程、建立模型、解方程和运用方程来解决实际问题。
2、了解一元一次方程及其有关概念，会解一元一次方程（数字系数）。
3、能一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。
知识重点：掌握等式的基本性质、方程的概念、会解一元一次方程及应用一元一次方程来解应用题。
知识难点：灵活运用求解一元一次方程的步骤，应用一元一次方程来解应用题。
考点：解方程和运用方程解应用题是考试的重点内容。
知识点：一、方程的有关概念 1、方程的概念：（1）含有未知数的等式叫方程。
（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。
2、等式的基本性质：（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
若a=b ，则a+c=b+c 或a – c = b – c 。
（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。
若a=b ，则ac=bc 或cb ca（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。
若a=b ，则b=a 。
（4）传递性：如果a=b ，且b=c ，那么a=c ，这一性质叫等量代换。
二、解方程1、移项的有关概念：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。
这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。
要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。
二、列方程解应用题1、列方程解应用题的一般步骤：（1）将实际问题抽象成数学问题；（2）分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系； （3）设未知数，列出方程； （4）解方程； （5）检验并作答。
2、一些实际问题中的规律和等量关系：（1）日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。
第五章 一元一次方程
七上第五章一元一次方程本章知识点梳理：（7-12次课）知识点1：方程的相关概念（0.5-1次课） 知识点2：解方程（1-2课时）知识点3：特殊方程的解法（1-2课时） 知识点4： 等量关系认识及基础应用题（1课时） 知识点5：打折销售问题 （1-2课时） 知识点6：方案问题（1课时）知识点7：行程问题（1-2课时） 知识点8：其他应用题（0.5-1课时）第一节 方程及一元一次方程的相关概念知识要点1：1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如： 8+5x=18， 2(y+1.5)=5等都是一元一次方程。
3.判断一元一次方程的条件①是方程。
②只含有一个未知数③未知数的指数是1注意：1、分母中含有未知数的方程不是一元一次方程，是分式方程2、对于复杂方程必须经过化简，化简后符合一般形式的才是一元一次方程3、π是字母，但不是未知数，是一个常数。
典型例题例1：基本概念填空⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 例2:判定下列那些是方程，那些是一元一次方程？0=x ，712=+x π， 3)813(4)5(21,01002,2,01-+=-=++=+=+x x x y x xx 0)(22=+-x x x练习： 下列方程①313262-=+x x ②4532x x =+ ③2（x+1）+3=x1④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )个.A.1B.2C.3D.4例2、 如果(m-1)x |m|+5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．练习：1、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。
第五章 一元一次方程(知识归纳+题型突破)(解析版)
第五章一元一次方程（1）经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及在解方程中的作用；（3）会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想。
了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活应用；（4）会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理；（5）通过实践与探索，经历“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力；（6）在学习和探索一元一次方程的解法和应用中，通过自主学习，提高学习能力，增强合作意识。
知识点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值知识点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那次么ac=bc;如果a=b，c0，那么；知识点3含参一元一方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数知识点4 解一元一次方程解一元一次方程的步骤：1.去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意 ：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ．4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 a b x =； （2）注意：分子、分母不能颠倒知识点5：一元一次方程的应用【题型1 和、差、倍、分问题】【题型2 行程问题】距离=速度·时间【题型3 工程问题】工作量=工效×工时工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量【题型4 顺水逆水问题】顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程【题型5 商品利润问题】售价=定价 ；%100⨯-=成本成本销售价利润率利润问题常用等量关系：售价-进价=利润【题型6 分配问题】【题型7 配套问题】【题型8 数字与日历问题】【题型9 方案选择问题】【题型10 分段计费问题】【题型11 隧道或过桥问题】【题型12 几何图形问题】【题型1 方程及一元一次方程的定义】【典例1-1】下列各式中，是方程的是（ ）A．7x﹣4＝3x B．4x﹣6C．4+3＝7D．2x＜5【答案】A【解答】解：A、7x﹣4＝3x是方程；B、4x﹣6不是等式，不是方程；C、4+3＝7没有未知数，不是方程；D、2x＜5不是等式，不是方程；故选：A．【典例1-2】下列方程中是一元一次方程的是（ ）A．B．4x2＝24C．x+y＝80D．【答案】A【解答】解：A．方程﹣＝1是一元一次方程，故本选项符合题意；B．方程4x2＝24是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．方程x+y＝80是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．方程+2＝6是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：A．【变式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（ ）A．x+1＝0B．x2﹣x＝0C．x+y＝1D．﹣2＝1【答案】A【解答】解：A、含有一个未知数且最高次数为1的等式，故符合题意；B、含未知数的项最高次数为2，故不符合题意；C、含有两个未知数，故不符合题意；D、该式子是分式方程，故不符合题意；故选：A．【变式1-1】在下列方程中，是一元一次方程的是（ ）A．2xy＝4B．x2＝1C．2x＝0D．x+y＝2【答案】C【解答】解：A．是二元二次方程，故本选项不符合题意；B．未知数的最高次数2次，不是一元一次方程，故本选项不合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，故本选项不合题意．故选：C．【题型2 利用一元一次方程的定义求值】【典例2】若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】A【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣2，故选：A．【变式2-1】若方程（a﹣2）x|a|﹣1＝a+3是关于x的一元一次方程，则a的值是（ ）A．2B．﹣2C．±2D．±1【答案】B【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解得a＝﹣2．故选：B．【变式2-2】已知关于x的方程3﹣（m+1）x|m|＝0是一元一次方程，则m的值为（ ）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．以上结果均不正确【答案】A【解答】解：根据题意，得|m|＝1且m+1≠0．解得m＝1．故选：A．【题型3 方程的解】【典例3】已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．1【答案】A【解答】解：将x＝3代入方程得：3a+2×3﹣3＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．【变式3-1】已知x＝﹣3是方程ax﹣6＝a+10的解，则a＝ ﹣4 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝﹣3代入方程ax﹣6＝a+10，得：﹣3a﹣6＝a+10，解方程得：a＝﹣4．故填：﹣4．【变式3-2】如果x＝﹣1是方程x+a＝3的解，则a＝ 4 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝1代入方程，得：﹣1+a＝3，解得：a＝4．故答案为：4．【变式3-3】若2是方程2a﹣3x＝2的解，则a＝ 4 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝2代入方程，得2a﹣6＝2，解得a＝4．故答案为：4．【题型4 利用等式的性质变形】【典例4】下列变形中，不正确的是（ ）A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝bC．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3D．若，则a＝b【答案】B【解答】解：A、若a﹣3＝b﹣3，则a＝b，故A不符合题意；B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B符合题意；C、若a＝b，则a﹣3＝b﹣3，故C不符合题意；D、若，则a＝b，故D不符合题意；故选：B．【变式4-1】运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（ ）A．如果a＝b，那么ac＝bcB．如果a＝b，那么3﹣2a＝3﹣2bC．如果a2＝2a，那么a＝2D．如果，那么4a＝3b【答案】C【解答】解：A．符合性质2，该变形成立，故A不符合题意；B．符合性质1、性质2，该变形成立，故B不符合题意；C．不符合性质2，等式两边同时除以a，当a不为零时，该变形才成立，故C符合题意；D．符合性质2，该变形成立，故D不符合题意；故选：C．【变式4-2】下列运用等式性质正确的是（ ）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果ac＝bc，那么a＝bC．如果＝，那么a＝bD．如果a2＝ab，那么a＝b【答案】C【解答】解：根据等式的基本性质1和等式的基本性质2可知：A，B，D都不符合题意，C符合题意，故选：C．【变式4-3】下列说法正确的是（ ）A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣cB．如果a＝b，那么ac＝bcC．如果a＝b，那么D．如果a＝﹣b，那么a2+b2＞0【答案】B【解答】解：A．如果a＝b，那么a+c＝b+c或a﹣c＝b﹣c，故A不正确；B．如果a＝b，那么ac＝bc，故B正确；C．如果a＝b，x2﹣1＝0，那么不成立，故C不正确；D．如果a＝﹣b＝0，那么a2+b2＞0不成立，故D不正确．故选：B．【题型5 方程的解中遮挡问题】【典例5】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）A．1B．﹣1C．﹣D．【答案】D【解答】解：∵x＝﹣1是方程的解，∴2×（﹣1）﹣＝3×（﹣1）+，﹣2﹣＝﹣3+，解得＝．故选：D．【变式5-1】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝x﹣，答案显示此方程的解是x＝，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】B【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a，根据题意得：﹣＝﹣a，解得：a＝﹣2．故选：B．【变式5-2】下面是一个被墨水污染过的方程：2x＝3x+■，答案显示此方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）A．5B．﹣5C．D．【答案】C【解答】解：∵x＝1是方程2x＝3x+■的解，∴2＝3+■，∴■＝﹣，故选：C．【变式5-3】下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+★，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）A．1B．﹣1C．﹣D．【答案】D【解答】解：设被墨水遮盖的常数为t，将x＝﹣1代入方程，得﹣2﹣＝﹣3+t，解得t＝．即这个常数是．故选：D．【题型6 解一元一次方程】【典例6】解方程：（1）3x+5＝4x+1；（2）．【答案】（1）x＝4；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）原方程移项，合并同类项得：﹣x＝﹣4，系数化为1得：x＝4；（2）原方程去分母得：7x﹣2x+40＝2x﹣16，移项，合并同类项得：3x＝﹣56，系数化为1得：x＝﹣．【变式6-1】解方程：（1）5x+3＝﹣2x﹣11；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝．【解答】解：（1）5x+3＝﹣2x﹣11，移项，得5x+2x＝﹣11﹣3，合并同类项，得7x＝﹣14，系数化成1，得x＝﹣2；（2），去分母，得2x+1＝6﹣2（5x﹣2），去括号，得2x+1＝6﹣10x+4，移项，得2x+10x＝6+4﹣1，合并同类项，得12x＝9，系数化成1，得x＝．【变式6-2】解方程：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）3（2x﹣7）＝1﹣（x+8），6x﹣21＝1﹣x﹣86x+x＝﹣7+21，7x＝14，x＝2；（2），3（3x+5）＝2（2x﹣1），9x+15＝4x﹣2，9x﹣4x＝﹣2﹣15，5x＝﹣17，x＝﹣．【变式6-3】解下列方程：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16．（2）．【答案】（1）x＝3；（2）x＝﹣1．【解答】解：（1）3（x﹣1）+5（x﹣1）＝16，去括号，得3x﹣3+5x﹣5＝16，移项，得3x+5x＝16+3+5，合并同类项，得8x＝24，系数化成1，得x＝3；（2），去分母，得3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括号，得9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移项，得9x﹣10x＝﹣14+3+12，合并同类项，得﹣x＝1，系数化成1，得x＝﹣1．【题型7 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】【典例7】若2（a+3）的值与﹣5互为相反数，则a的值为（ ）A．B．C．D．5【答案】C【解答】解：∵2（a+3）的值与﹣5互为相反数，∴2（a+3）+（﹣5）＝0，∴a＝﹣，故选：C．【变式7-1】若多项式3x+5与5x﹣7的值相等，则x的值为（ ）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解答】解：∵多项式3x+5与5x﹣7的值相等，∴3x+5＝5x﹣7，移项，可得：3x﹣5x＝﹣7﹣5，合并同类项，可得：﹣2x＝﹣12，系数化为1，可得：x＝6．故选：A．【变式7-2】当x＝ ﹣4 时，代数式2x﹣1的值与代数式3x+3的值相等．【答案】﹣4．【解答】解：2x﹣1＝3x+3，3x﹣2x＝﹣1﹣3，∴x＝﹣4，∴当x＝﹣4时，代数式2x﹣1的值与代数式3x+3的值相等．故答案为：﹣4．【变式7-3】若代数式3a+1的值与代数式3（a﹣1）的值互为相反数，则a＝ ．【答案】．【解答】解：根据题意得：3a+1+3（a﹣1）＝0，去括号得：3a+1+3a﹣3＝0，移项得：3+3a＝3﹣1，合并同类项得：6a＝2，系数化为1得：．故答案为：．【题型8 错解一元一次方程的问题】【典例8】某同学解方程3x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错后解得x＝﹣2，那么他把□处看成了（ ）A．4B．﹣4C．5D．﹣5【答案】C【解答】解：依题意，得3×（﹣2）﹣1＝（﹣2）×□+3，即（﹣2）×□＝﹣10，解得：□＝5．故选：C．【变式8-1】某同学在解方程5x﹣1＝■x+3时，把■处的数字看错了，解得x＝﹣，则该同学把■看成了（ ）A．3B．﹣3C．﹣8D．8【答案】D【解答】解：设■处的数字为a，把x＝﹣代入方程5x﹣1＝ax+3中得：﹣﹣1＝﹣a+3，a＝3+1+，a＝，a＝8，故选：D．【变式8-2】同学小明在解关于x的方程5x﹣4＝（ ）x时，把（ ）处的数看错，得错解x＝﹣1，则小明把（ ）处看成了 9 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设（ ）内的数为a，则错解得方程为5x﹣4＝ax，根据题意，将x＝﹣1代入得：﹣5﹣4＝﹣a，解得：a＝9，故答案为：9．【题型9 一元一次方程的解在新定义中运用】【典例9】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．【答案】（1）15；（2）±3．【解答】解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一个解为n，∴“友好方程”的另一个解为﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．【变式9-1】定义一种新运算⊗：a⊗b＝4a+b，试根据条件回答问题（1）计算：2⊗（﹣3）＝ 5 ；（2）若x⊗（﹣6）＝3⊗x，请求出x的值；（3）这种新定义的运算是否满足交换律，若不满足请举一个反例，若满足，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：2⊗（﹣3）＝8﹣3＝5；故答案为：5；（2）由题意得4x﹣6＝3×4+x，移项、合并得3x＝18，解得x＝6；（3）不满足交换律，反例如：2⊗1＝9，1⊗2＝6，显然2⊗1≠1⊗2．【变式9-2】对有理数a，b规定新运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※x＝2﹣x的解是（ ）A．B．3C．﹣3D．【答案】A【解答】解：∵a※b＝a+2b，且3x※x＝2﹣x，∴3x+2x＝2﹣x，移项，可得：3x+2x+x＝2，合并同类项，可得：6x＝2，系数化为1，可得：x＝．故选：A．【变式9-3】新华商店店庆促销，有一种新型书包，原价每个x元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为70元．则所列方程是（ ）A．70﹣0.8x＝10B．0.08x﹣10＝70C．0.8x﹣10＝70D．x﹣0.8x﹣10＝70【答案】C【解答】解：根据题意得：0.8x﹣10＝70．故选：C．【变式9-4】新定义一种运算“☆”，规定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，则x的值为 2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，整理，可得：2x＝4，解得x＝2．故答案为：2．【变式9-5】新定义一种运算符号“△”，规定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，则m的值为 ﹣2 ．【答案】﹣2．【解答】解：由题意，得2m+4﹣3m＝6，﹣m＝2，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【题型10 和、差、倍、分问题】【典例10】某班举行了“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排张小明购买奖品，如图两幅图是张小明买回奖品时与班长的对话情况：请根据图1、图2的信息，解答下列问题：（1）张小明买了两种笔记本各多少本？（说明：要求列一元一次方程解决问题）（2）请你解释为什么班长说不可能找回68元钱．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，依题意得，5x+8（40﹣x）＝300﹣68+13，解得x＝25，则40﹣x＝15（本）．答：张小明买了5元的笔记本25本，8元的笔记本15本；（2）设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，根据题意，得5x+8（40﹣x）＝300﹣68，解得x＝，不是整数，故不能找回68元．【变式10-1】A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设A种饮料单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ）A．2（x﹣1）+3x＝13B．2（x+1）+3x＝13C．2x+3（x+1）＝13D．2x+3（x﹣1）＝13【答案】C【解答】解：设A种饮料单价为x元/瓶，则B种饮料单价为（x+1）元，根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，可得方程为：2x+3（x+1）＝13．故选：C．【变式10-2】方方同学用50元钱去购买笔记本和彩色水笔共20件，已知每本笔记本4元，每支彩色水笔2元，设方方同学买了x本笔记本，则（ ）A．2x+4（20﹣x）＝50B．2（20﹣x）+4x＝50C．2x+4（50﹣x）＝20D．2（50﹣x）+4x＝20【答案】B【解答】解：∵方方同学购买笔记本和彩色水笔共20件，且购买了x本笔记本，∴购买了（20﹣x）支彩色水笔．根据题意得：2（20﹣x）+4x＝50．故选：B．【变式10-3】青骄课堂2023年禁毒知识竞赛答题，共设20道选择题，要求每题必答，每答对一题得5分，答错一题扣1分，小新一共得了82分，他答对了 17 道题．【答案】17．【解答】解：设小新答对了x道题，则答错（20﹣x）道题，根据题意得：5x﹣（20﹣x）＝82，解得：x＝17，∴小新答对了17道题．故答案为：17．【题型11 行程问题】【典例11】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时相向开出，当两车相遇后，又继续前进，甲车行了全程的时，乙车恰好行了全程的．这时两车相距364km．A、B两城相距多少千米？【答案】A、B两城相距780千米．【解答】解：设A、B两城相距x千米，根据题意得x+x﹣x＝364，解得x＝780，答：A、B两城相距780千米．【变式11-1】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．【答案】高铁的平均速度为296km/h．【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），解得：x＝296，答：高铁的平均速度为296km/h．【变式11-2】甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/时：快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米时．设慢车行驶的时间为x小时，快车到达乙地后停止行驶，根据题意解答下列问题．（1）当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；（2）当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程．【答案】（1）慢车行驶的时间为4小时；（2）当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米．【解答】解：（1）由题意得，120（x+0.5）+90x＝900，解得：x＝4，∴慢车行驶的时间为4小时；（2）①两车相遇前相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900﹣315，解得：x＝2.5，此时快车行驶的路程：120×（2.5+0.5）＝360（千米）；②两车相遇后相距315千米，120（x+0.5）+90x＝900+315，解得：x＝5.5，此时快车行驶的路程：120×（5.5+0.5）＝720（千米）；③当快车到达乙地，快车行驶了7.5小时，慢车行驶了7小时，7×90＝630＞315，此种情况不存在；∴当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米．【变式11-3】两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，2小时后相遇．已知两辆车的速度比是2：3，求较慢的一辆车每小时行驶多少千米？【答案】较慢的一辆车每小时行驶60千米．【解答】解：设较慢的一辆车每小时行驶x千米，∵两辆车的速度比是2：3，∴较快的一辆车每小时行驶x千米，根据题意得2（x+x）＝300，解得x＝60，答：较慢的一辆车每小时行驶60千米．【题型12 工程问题】【典例12】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【答案】应先安排2人工作．【解答】解：设应先安排x人工作，根据题意得：+＝1化简可得：+＝1，即：x+2（x+2）＝10解可得：x＝2答：应先安排2人工作．【变式12-1】学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来甲和乙两名工人．已知甲单独完成需要4天，乙单独完成需要6天．（1）两个人一起做需要 2.4 天完成；（2）现由乙先做1天，再由两个人一起做，还需要多少天可以完成这项工作？【答案】（1）2.4；（2）2．【解答】解：（1）1÷（+）＝1÷＝2.4（天）．答：两个人一起做，需要2.4天可以完成．故答案为2.4；（2）设乙先做1天，再两人一起做，还需x天完成这项工作，由题意可得：+＝1，解得：x＝2．答：还需2天可以完成这项工作．【变式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？【答案】（1）每个房间需要粉刷的面积为50m2；（2）需要6天完成．【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，由题意得：﹣＝30，解得：x＝50，∴每个房间需要粉刷的面积为50m2，答：每个房间需要粉刷的面积为50m2；（2）每名徒弟一天粉刷的面积为：＝90（m2），每名师傅一天粉刷的面积为：＝120（m2），∴＝6（天），答：需要6天完成．【题型13 顺水逆水问题】【典例13】两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行．已知两飞机在无风的速度都是500千米每小时，风速是a千米每小时．（1）甲、乙飞机飞行时的速度分别是多少？（2）3小时后两机的行程分别是多少？（3）求3小时后两机相距多远？（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行多少千米？【答案】（1）甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）3小时后两机相距为3000千米；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行6a千米．【解答】解：（1）∵甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行，∴甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）根据（1）中写出的甲、乙飞机飞行时的速度，则甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）∵两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，∴3小时后两机相距为：1500+3a+1500﹣3a＝3000（千米）；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行的距离为：（1500+3a）﹣（1500﹣3a）＝6a（千米）．【变式13-1】一架飞机在A，B两城市之间飞行，风速为20km/h，顺风飞行需要8h，逆风飞行需要8.5h．求无风时飞机的飞行速度和A，B两城市之间的航程．【答案】无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km．【解答】解：设无风时飞机的飞行速度为xkm/h，由题意得：8（x+20）＝8.5（x﹣20），解得：x＝660，则8（x+20）＝8×（660+20）＝5440，答：无风时飞机的飞行速度为660km/h，A，B两城市之间的航程为5440km．【变式13-2】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24），解得：x＝696．答：无风时飞机的航速是696千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）＝2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．【变式13-3】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度．【答案】120千米/时．【解答】解：设无风时飞机的速度为x千米/时，根据题意得：（x+24）×2＝（x﹣24）×3，解得：x＝120．答：无风时飞机的速度为120千米/时．【变式13-4】一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时，逆风飞行需要3小时．（1）求无风时飞机的飞行速度；（2）求两城之间的距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设无风时飞机的飞行速度为x千米/小时，由题意得2（x+24）＝3（x﹣24）解得：x＝120答：无风时飞机的飞行速度是120千米/时；（2）2（x+24）＝288千米答：两城之间的距离是288千米．【题型14 商品利润问题】【典例14】某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，达两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价）型号进价（元/只）预售价（元/只）甲型2025乙型3540（1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？（2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只．【答案】（1）购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只，由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600，解得：x＝60，100﹣60＝40（只），答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只；（2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380，解得：y＝10，答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．【变式14-1】一件大衣按其进价提高50%后标价．由于季节原因，现以标价的七折售出，结果仍盈利18元．这件上衣的进价是多少元？（提示：利润＝售价﹣进价）【答案】360．【解答】解：设这件上衣的进价为x元，由题意得，70%•（1+50%）x﹣x＝18，解之得，x＝360，答：这件上衣的进价是360元．【变式14-2】一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【答案】900．【解答】解：设每块手表的标价为x元，根据题意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每块手表的标价为900元．【变式14-3】我校七年级社会实践小组去某商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每条80元的价格购进了某品牌裤子500条，并以每条120元的价格销售了400条，商场准备采取促销措施，将剩下的裤子降价销售．（1）前400条裤子的利润是多少元？（2）当每条裤子降价多少元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标？【答案】（1）16000元；（2）当每条裤子降价20元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标．【解答】解：（1）由题意可得，前400条裤子的利润是：（120﹣80）×400＝40×400＝16000（元），答：前400条裤子的利润是16000元；（2）设当每条裤子降价x元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标，由题意可得：（120﹣x﹣80）×（500﹣400）+16000＝500×80×45%，解得x＝20，答：当每条裤子降价20元时，销售完这批裤子正好达到盈利45%的预期目标．【题型15 分配问题】【典例15】《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）A．6x+45＝8x+3B．6x+45＝8x﹣3C．6x﹣45＝8x+3D．6x﹣45＝8x﹣3【答案】A【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为6x+45＝8x+3．故选：A．【变式15-1】我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（ ）A．7x+4＝9x﹣8B．7x﹣4＝9x+8C．D．【答案】D【解答】解：∵银子共有x两，每人7两，还剩4两，∴分银子的人共人；∵银子共有x两，每人9两，还差8两，∴分银子的人共人．又∵分银子的人数不变，∴可列方程组＝．故选：D．【变式15-2】近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，设该分派站有x名快递员，则可列方程为（ ）A．10x﹣6＝12x+6B．10x+6＝12x﹣6C．D．【答案】B【解答】解：设该分派站有x名快递员，则可列方程为：10x+6＝12x﹣6．故选：B．【变式15-3】某学校有x间男生宿舍和y个男生，若每间宿舍住8个人，则还多4个人无法安置；若每间宿舍安排10个人，则还多6张空床位，据此信息列出方程，下列4个方程中正确的是（ ）①8x﹣4＝10x+6；②；③；④8x+4＝10x﹣6．A．①③B．②④C．①②D．③④【答案】B【解答】解：按照男生人数不变列出方程8x+4＝10x﹣6；按照男生宿舍间数不变列出方程＝．∴正确的方程是②④．故选：B．【变式15-4】为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个；若每个志愿者派送6个，则剩下4个未送，设安排x个志愿者派送，则下面所列方程中正确的是（ ）A．8x﹣5＝6x+4B．8x+5＝6x+4C．8x+5＝6x﹣4D．8x﹣5＝6x﹣4【答案】A【解答】解：由题意可得：8x﹣5＝6x+4，故选：A．【题型16 配套问题】【典例16】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）求调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？【答案】（1）调入6名工人；（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【解答】解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴调入6名工人；（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．【变式16-1】现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为（ ）A．4x＝5（90﹣x）B．5x＝4（90﹣x）C．x＝4（90﹣x）×5D．4x×5＝90﹣x【答案】A【解答】解：设用x立方米的木料做桌子，则用（90﹣x）立方米的木料做椅子，依题意，得：4x＝5（90﹣x）．故选：A．【变式16-2】某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（ ）。
人教版七年级数学上册 5.1方程(第五章 一元一次方程 自学、复习、上课课件)
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知2－练
(2)有一块长方形空地，长为20 m，宽为15 m. 在内部分割出一块小 正方形地用来放置杂物，其余部分种植草坪. 已知草坪的面积为 200 m2，求小正方形地的边长.
解题秘方：设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系， 即得方程. 解：设小正方形地的边长为x m，那么草坪的面积为( 20×15 － x2)m2 . 根据“草坪的面积为200 m2”，列得方程20×15 －x2=200 .
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特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，
其中特征①③是把方程化简后进行判断， 特征②是通过化简前的方程进行判断， 即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤：
5×2－2 =8，右边=7＋2×2 =11 .
因为左边≠右边，所以x=2 不是方程5x－2 =7＋2x 的解.
(2)x=3 .
将x=3 分别代入方程的左边和右边， 得左边=5×3 －2 =13 ，右边=7＋2×3 =13 . 因为左边= 右边，所以x=3 是方程5x－2 =7＋2x 的解.
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知3－练
例 3 [母题 教材P114 例2]检验下列各未知数的值是不是方 程5x－2=7＋2x 的解，并写出检验过程. 解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代 入方程左右两边，看方程左右两边的值是否相等进 行检验.
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(1)x=2；
知3－练
解：将x=2 分别代入方程的左边和右边，得左边=
方法点拨：检验一个数是不是方程的解的方法： 把这个数分别代入方程的左右两边，当左边= 右边时， 这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方 程的解.
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3-1.下列方程中解为x=2 的是( D )
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第五章 一元一次方程第一节 认识一元一次方程（一）【学习目标】1、了解一元一次方程的定义；2、会列简单方程解决实际问题。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合． 【学习重难点】重点：一元一次方程的概念. 难点：列一元一次方程. 【学习过程】模块一 预习反馈 二、学习准备1、等式的概念：含有 的式子，叫做等式.2、代数式的概念：用 把 或 连接而成的式子叫做 代数式，单独的 也是代数式.3、方程的概念：含有 的等式叫做方程.4、使方程左右两边的值相等的 ，叫做方程的解.5、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有 ，并且 这样的方程叫一元一次方程. （1）阅读教材:第1节 《认识一元一次方程》 二、教材精读7、理解一元一次方程和方程的解的概念（1）情景剧：小明在公园里认识了新朋友小彬小明：小彬，我能猜出你的年龄。
小彬：不信。
小明：你的年龄乘2减5得数是多少？ 小彬：21 小明：你今年13岁。
小彬心里嘀咕：他怎么知道我的年龄是13岁的呢？如果设小彬的年龄为X 岁，那么“乘2再减5”就是 ， 所以得到等式 .归纳：在小学我们已经知道，像这样含有未知数的等式叫做 . 在一个方程中，只含有 ，并且 这样的方程叫一元一次方程.使方程左右两边的值相等的 ，叫做方程的解.补充：方程分类()()⎪⎩⎪⎨⎧=+011如：一元一次方程分母不含未知数整式方程x 如：分母含有未知数分式方程方程（2）x=1是（ ）（A ）方程的解 （B ）方程 （C ）解方程 （4）代数式分析：我们知道，表示相等关系的式子叫做等式，所以首先可以肯定“x=1”是一个等式，所以 它不是代数式.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，即方程的解是指一个具体的数. 求方程的解的过程叫做解方程。
实践练习：练习1：已知关于X 的方程2X+a=0的解是X=2，则a 的值为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个()()()()()()()()38527326012350324-33128427231__的是________，其中是一元一次方程程的是_______练习2、下列各式是方2>=≠+=--=-=+=-x x x x n m x x ；；；；；；；注意：理解定义时一定要注意：（1）一元一次方程是特殊的等式，它不是代数式，也不是不等式，也不是分式. （2）这个等式含有未知数，并且未知数的指数为1. 三、教材拓展8、例1 .0422的值及方程的解是一元一次方程，求若m m xm =+- 解：根据一元一次方程的定义，可得m-2= ,所以m= 再把m= 代入原方程，可得 ，解出x= 实践练习：()()()()()４个Ｄ个 Ｃ个 Ｂ个 Ａ有（ ）其中是一元一次方程的，，，，，下列各方程：321.23812⑥12⑤53241④032③1②1①142x x x x x x x x y x =-=+=-=---==+()()______5312=-=+-a x a a 是一元一次方程，则若模块二 合作探究9、思考下列情境中的问题，列出方程。
情境1：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周长高约5厘米，大 约几周后树苗长高到1米？如果设x 周后树苗长高到1米，那么可以得到方程：情境 2：某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25米，这个足球场的长与宽 分别是多少米？如果设这个足球场的宽为X 米，那么长为(X+25)米。
由此可以得到方程：情境 3：第五次全国人口普查统计数据（2001年3月28日新华社公布） 截至2000年11月1 日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为3611人，比1990年7月1日0 时增长了153.94%.1990年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？如果设1990年6月每10万人中约有x 人具有大学文化程度，那么可以得到方程：_____ 议一议：上面情境中的三个方程有什么共同点？在一个方程中，只含有一个未知数X(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫 做 。
实践练习：（1） 只列方程不求解；，求的差是倍与的x x 1534①②从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一个长方形，余下的面积是80cm ²,那么原来的正 方形铁皮的边长是多少？方程）的取值吗？（只要列出是同类项，你知道和 已知：x b a b a x x 21321252)2(-+-分析：因为两个单项式是同类项，根据同类项定义可知,相同字母的指数也相同这一关系即可列出方程.模块三 形成提升 1、 填空题：（1）在下列方程中：①2χ+1=3; ②y 2-2y+1=0; ③2a+b=3; ④2-6y=1;⑤2χ2+5=6; 属于一元一次方程有__ _______。
（2）方程3x m-2 + 5=0是一元一次方程，则代数式 4m-5=_____。
（3）方程(a+6)x 2+3x-8=7是关于x 的一元一次方程，则a= _____。
2、根据题意，列出方程：（1）在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中，记载着一些数学问题。
其中 一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的71，其和等于19。
” 你能求出问 题中的“它”吗？（2）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0 分。
甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22 分，甲队胜了多少场？平了多少场？模块四 小结评价一、本课知识点：1、一元一次方程的概念：在一个方程中，只含有 ， 并且 这样的方程叫一元一次方程. 使方程左右两边的值相等的 ，叫做方程的解. 2、理解定义时一定要注意：（1）一元一次方程是特殊的等式，它不是代数式，也不是不等式，也不是分式. （2）这个等式含有 ，并且未知数的指数为 . 二、本课典型例题：三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）附：课外拓展思维训练：().1223232的值，求代数式的解为的方程已知关于+--+=-a a xx a x第一节 认识一元一次方程（二）【学习目标】1、掌握等式的基本性质；2、会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合． 【学习重难点】重点：等式的两个基本性质.难点：利用等式的两个性质解一元一次方程. 【学习过程】模块一 预习反馈 一、学习准备1、等式的基本性质1： 可以用符号表示为：2、等式的基本性质2： 可以用符号表示为：3、阅读教材:第1节 《认识一元一次方程》 二、教材精读4、理解等式的基本性质及应用()mym x y x yx y x yx aya x y x y x ===-===+=+=，则Ｄ．若，则Ｃ．若－，则Ｂ．若，则Ａ．若 的是 下列变形中不正确例33551（提示：要特别注意两边都除以同一个数时，除数不能为0.）归纳：等式的基本性质1：等式的基本性质2：实践练习： 解下列方程:(1) X+2=7 (2)4=X-5解：方程两边 ，得 解：方程两边 ，得（提示：（3） -3X=15解：方程两边 ，得.00，叫做解方程的解，求方程解的过程叫一元一次方程的形式，）变形，最终化为（等式性质把方程用一元一次方程，就是利注意：利用等式性质解=+-=-=≠=+b ax a bx a b x a b ax 三、教材拓展5、.12的值中 例x a ax -= 分析：我们当然会用等式性质2，两边同除a ，可a 是字母可能为0，但0不能作为除 数，所以这类题我们一定要分类讨论.解：当a ≠0时，当a=0时，实践练习：__________01322的值是的解，则的方程是关于若k k x x x =-+=模块二 合作探究 6、 例3 解下列方程： 1024=--x n方程两边 ，得化简，得方程两边 ，得实践练习：练习1、解下列方程：()()()7132313432321=--=+=x x x １ _________432=-x x x 互为相反数，则与、若练习模块三 形成提升1、 已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，则a=______2、________125374的值是是一元一次方程，则若m xm =+- 3、解方程(1).21481+=y (2). 4y －6=2(5－2y)模块四 小结评价 一、本课知识点：1、等式的基本性质1： 可以用符号表示为：2、等式的基本性质2： 可以用符号表示为： 2、应用性质时注意：运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上（或减去） ，才能保证所得结果乃是等式，这里要科别注意 和 .运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘（或除以）同一个数，才能保证所得结果乃是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以 ，因为 不能做除数.二、本课典型例题：三、我的困惑：（你一定要认真思考哦！把它写在下面，好吗？）附：课外拓展思维训练： 第二节 已知关于x 的方程3a-x=2x +3的解是x=4，求a 2-2a 的值。
第三节 若方程3（2X-1）=2-3X 的解与关于X 的方程6-2K=2(X+3)的解相同，则K 的值为多 少？第二节 求解一元一次方程方程(一)【学习目标】1、能运用等式的基本性质解一元一次方程；2、通过具体的例子，归纳移项法则。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合． 【学习重难点】重点：正确掌握移项的方法求方程的解。
难点：采用移项方法解一元一次方程的步骤。
【学习过程】模块一 预习反馈 一、学习准备1、移项的概念： 方程中的任何一项，都可以在 ，从方程的一边移到 另一边，这种变形叫 .2、移项应特别注意：3、阅读教材：第2节《求解一元一次方程》 二、教材精读4、理解移项的概念 解方程：4X-2=10方程两边 ，得 也就是 4X=10+2比较这个方程与原方程，可以发现，这个变形相当于4X -2=104X=10+2归纳：即把方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项. 因此，方程4X-2=10也可以这样解：解:移项，得化简，得实践练习： 化简，得方程两边 ，得 三、教材拓展5、例1 如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ） A.103 B. 310 C. -103 D.- 310 分析：什么是解相同？就是这两个方程的x 的值相同，所以我们应先求出方程3x+5=11 的解，就是x 的具体值，再把这个值代入方程6x+3a=22，即可求出a 的值，那试试吧！实践练习： （1） 已知y 1=5x 61y ,1x 322-=+-,若y 1+y 2=20,则x=( ) A.-30 B.-48 C.48 D.30 （2）若2x 3-2k+2k=41是关于x 的一元一次方程，则x= 模块二 合作探究6、例2．用移项的方法解下列方程（1）2x ＋ 6＝3x-7解：移项，得 化简，得方程两边 ，得 （2）34131+-=x x 解：移项，得化简，得方程两边 ，得 注意：1.移项时注意移动项 ；2.通常把含有未知数的项移到 边，把 边。