河南省天一大联考2017-2018高二下学期阶段性测试(三)数学(理)---精校解析 word版
河南省天一大联考2017-2018学年高二上学期阶段性测试(一)(11月)数学(文)+Word版含解析汇报
天一大联考2017——2018学年高二年级阶段性测试（一）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边长分别为4,5,6，则cos C = A.916 B. 34 C. 18 D.1102.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，945S =，则5a = A. 9 B. 8 C. 6 D. 53. 若,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是A. c c a b >B. 20c a b >-C. 22a b >D.2211a bc c >++ 4. 已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若7,32A a c π===，则该三角形解的情况是A. 无数解B.2解C.1解D.无解5. 已知实数,x y 满足条件2222x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则y x 的取值范围是A.[]0,1B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 已知数列{}n a 满足12123n n a a ++=+，且11a =，则4a =A. 13- B. 79 C. 12 D. 11 7. 若实数,x y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3z x y =+的取值范围是A. []0,6B. []1,6C. []1,7D. []0,58. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，343,10a S ==则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项的和为 A.200101 B. 100101 C. 1101 D.21019. 2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北60的方向移动，距台风中心t 千米以内的地区都将受到影响。
2017-2018学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试(三)(4月)历史 Word版
绝密★启用前天一大联考 2017—2018学年高二年级阶段性测试（三）历史考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小題答案后，用铋笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共24小题，每小题2分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在孔子看来，从政的人如果真正能以“德”治国，就犹如北极星受众星拱卫一样，将得到人民的拥护。
这说明孔子A.注重社会和谐B.强澗以民为本C.主张以德治民D.宣传克己复礼2.在诸子百家中，他们秉着“不法古，不循今”的历史观，坚决反对保守落后的复古思想，锐意改革。
材料评价的是A.儒家B.道家C.墨家D.法家3.有学者指出，董仲舒以一种特殊的方式表达了儒家的政治理念和价值析愿，此一方式能够相对有力地在一定程度上实现儒家所自任之道义对王权的规约。
这主要在于董仲舒A.倡导“独尊慊术”B.提出“天人感应”学说C.主张兴办太学D.宣扬“三纲五常”理念4.朱熹是中国封建社会后期最有影响的思想家，其学说的出现，使理学发展到了成熟阶段，并被后世封建统治者扶为“显学”。
理学成为“显学”主要是因为其A.适应君主专制加强箱要B.受到朱熹完善达致成热C.吸收佛道思想更为系统D.强调格物实现内心修荞5.表1为不同文献对李贽的评价。
据此能够被认定的是，李贽A.缺乏良好道德素养B.深受当时学者推崇C.批评社会吏治腐畋D.具有离经叛道思想6.“他们拥有渊博的知识、伶俐的口才，尤其搜长雄辩，他们教会人们如何应用自己的知识为自己在城邦中更好地参与管理，应对日常的事务他们”的出现A.挽救了颓废的城邦制度B.推动了人文主义的产生C.开始了对人性本身研究D.奠定了理想主义的基础7.14世纪30—40年代，佛罗伦萨市政府采取了一些措施，如对宗教裁判、对教会监督文化的作用实行限制，这反映出，当时佛罗伦萨A.政府与教会双方决裂B.新兴资产阶级出现C.新文化发展受到重视D.新教理论初步形成8.作为一次资产阶级和第三等级各劳动阶级和阶层的思想代表联合起来的运动.启蒙运动近一个世纪的发展从来没有偏离自己的任务。
2017-2018学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试(三)(4月)历史 Word版含答案
绝密★启用前天一大联考 2017—2018学年高二年级阶段性测试（三）历史考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小題答案后，用铋笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共24小题，每小题2分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在孔子看来，从政的人如果真正能以“德”治国，就犹如北极星受众星拱卫一样，将得到人民的拥护。
这说明孔子A.注重社会和谐B.强澗以民为本C.主张以德治民D.宣传克己复礼2.在诸子百家中，他们秉着“不法古，不循今”的历史观，坚决反对保守落后的复古思想，锐意改革。
材料评价的是A.儒家B.道家C.墨家D.法家3.有学者指出，董仲舒以一种特殊的方式表达了儒家的政治理念和价值析愿，此一方式能够相对有力地在一定程度上实现儒家所自任之道义对王权的规约。
这主要在于董仲舒A.倡导“独尊慊术”B.提出“天人感应”学说C.主张兴办太学D.宣扬“三纲五常”理念4.朱熹是中国封建社会后期最有影响的思想家，其学说的出现，使理学发展到了成熟阶段，并被后世封建统治者扶为“显学”。
理学成为“显学”主要是因为其A.适应君主专制加强箱要B.受到朱熹完善达致成热C.吸收佛道思想更为系统D.强调格物实现内心修荞5.表1为不同文献对李贽的评价。
据此能够被认定的是，李贽A.缺乏良好道德素养B.深受当时学者推崇C.批评社会吏治腐畋D.具有离经叛道思想6.“他们拥有渊博的知识、伶俐的口才，尤其搜长雄辩，他们教会人们如何应用自己的知识为自己在城邦中更好地参与管理，应对日常的事务他们”的出现A.挽救了颓废的城邦制度B.推动了人文主义的产生C.开始了对人性本身研究D.奠定了理想主义的基础7.14世纪30—40年代，佛罗伦萨市政府采取了一些措施，如对宗教裁判、对教会监督文化的作用实行限制，这反映出，当时佛罗伦萨A.政府与教会双方决裂B.新兴资产阶级出现C.新文化发展受到重视D.新教理论初步形成8.作为一次资产阶级和第三等级各劳动阶级和阶层的思想代表联合起来的运动.启蒙运动近一个世纪的发展从来没有偏离自己的任务。
(全优试卷)河南省高二下学期阶段性测试(三)(4月)数学(理)试题Word版含答案
天一大联考2017—2018学年高二年级阶段性测试(三)数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A ．-2B ．2 D ．32. 对于小于41 ）A3. ) ）A ． 0B ．4. 则导函数()f x '的大致图象可能为（ ）A ．5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ） A ．等腰三角形的顶角不是锐角 B ．等腰三角形的底角为直角 C. 等腰三角形的底角为钝角 D ．等腰三角形的底角为直角或钝角6. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（ ） A ．2 B ．3 C. 4 D ．57. ）A ． 9B ． 60 C. 120 D ．1008. 在64(1)(1)x y ++的展开式中，m n +称为m nx y 项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为（ ）A ．9. ）A ．10. 在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列〔数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A．22 B．32 C. 42 D．6111. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6张扑克牌红桃3红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一张,将这张牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学随后发生了下面一段对话甲:“我不知道这张牌是什么”乙:“我本来也不知道这张牌是什么,但是听了你说的话,我就知道了.”甲:“现在我也知道了,”根据他们的对话,这张牌是A．红桃3 B．红桃6 C. ．梅花612.范围是（）A．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 围成的图形的面积等于．14. 对偶数构成的数列……试观察猜想每组的关系式为 ．15. 已知某质点的位单位与时单位的关系式为子表示)16.图中共有 个矩形.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数22(z a a =--+.18.960.19.36整除？若存.20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,单位：千克)与销售价格单位：元/千克).已知销售价格为5元/干克时，每日可售出该商品11千克.（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？21..（Ⅰ）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：化为)（Ⅱ）(2018值.22..全优试卷天一大联考2017—2018学年高二年级阶段性测试(三)数学(理科)•答案一、选择题1-5: BABCD 6-10: ADCAC 11、12：BD二、填空题三、解答题17.【命题意图】本题考査复数的基本概念和几何意义.【解析】18.【命题意图】本题考查二项式定理的应用.【解析】19.【命题意图】本题考查归纳推理和数学归纳法.被369，9下面用数学归纳法证明：（1.（23636整除.]393(27)3918(3k ⎡⎤+=+++-⎣⎦2118(31)k --能被36整除.36整除.由（1）（2369.20.【命题意图】本题考查函数模型，导数与函数的实际应用.【解析】所以商场每日销售该商品所获得的利润为由上表可得，也是最大值，所以，取得最大值且最大值等于42，故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.21.【命题意图】本题考查导数的计算和逻辑推理能力.【解析】到，称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.2018 ⎝2018⎛ ⎝所以(2018，2018 ⎝22.【命题意图】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性.【解析】....。
河南省天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试(二)数学(理科)试题 Word版含答案
2017-2018学年 数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y =，{}2,1,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}12，B ．()1,2C ．{}12--，D ．[1,)+∞2.在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ） A ．3B ．6C ．27D ．93.已知p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，200460x x ++≥ B ．0x R ∃∈，200460x x ++> C ．x R ∀∈，200460x x ++>D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥4.设函数3log ,09,()(4),9,x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩则1(13)2()3f f +的值为（ ）A ．1B ．0C ．2-D ．25.已知向量a ，b 的夹角为23π，且(3,4)a =-，||2b =，则|2|a b +=（ ）A ．B ．2C ．D ．846.函数13()||f x x x =-的图象大致是（ ）7.将函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象，则ω，ϕ的值分别为（ ）A ．12，6π B ．23π,C ．2,6πD ．1,26π- 8.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2πC ．2πD ．2π-9.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐进线交于C ，D 两点，若3||||5AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．5[,)3+∞ B ．5[,)4+∞C ．5(1,]3D ．5(1,]410.设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．)+∞D ．11.对于正整数k ，记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(1)1g =，(2)1g =，(10)5g =．设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =++++…．给出下列四个结论：①(3)(4)10g g +=；②*m N ∀∈，都有(2)()g m g m =；③12330S S S ++=；④114n n n S S ---=，2n ≥，*n N ∈．则其中所有正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④D ．②④12.等腰直角△AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||OM MF 的最大值为（ ）A B C D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1sin cos 2θθ+=，则sin(2)πθ-= ． 14.过点C (3,4)作圆225x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为 ．15.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a +，21a +，41a +称等比数列，且2312a a +=-，则n a = ．16.在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()2cos f x x x m =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；（2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值． 18.已知圆22(1)25x y -+=，直线50ax y -+=与圆相交于不同的两点A ，B ． （1）求实数a 的取值范围；（2）若弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，求实数a 的值．19.已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+…（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 20.已知函数2()log ()(1)f x g x k x =+-．（1）若2(log )1g x x =+，且()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）当1k =，2()(1)g x ax a x a =+++时，若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．21.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，且椭圆C 经过点(2,3)P ，过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求△1PFG 的面积S 的取值范围． 22.已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时，求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围．天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理科）答案一、选择题二、填空题 13.34-14.4 15.21n -- 16.17(,)48三、解答题 17.解：（1）2()2cos f x x x m =--1cos 222x x m +=--1sin(2)62x m π=---，（2）因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则当262x ππ-=，3x π=时，函数取得最大值0，即1102m --=，解得12m =．18.解：（1）把直线50ax y -+=代入圆的方程，消去y 整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故224(51)4(1)0a a ∆=--+>，即21250a a ->，解得512a >或0a <， 所以实数a 的取值范围是5(,0)(,)12-∞+∞．（2）由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 斜率为a ，则直线l 的斜率为1a-， 直线l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=w ， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =， 由于35(,)412∈+∞，所以34a =符合题意． 19.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得1212234,()()12,a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩即12234,8,a a a a +=⎧⎨+=⎩所以1111()4,()(2)8,a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-．（2）由（1）得112122n n n a n ---=， 所以122235232112222n n n n n S ----=+++++…，①3252321223222n n n n n S ----=+++++…，②②-①得22122221222222n n n n S ---=+++++-111112123222612212n n n n n -----+=+⨯-=-- ．20．解：（1）令2log t x =，则2t x =，代入2(log )1g x x =+，得()21tg t =+， ∴2()log (21)(1)x f x k x =++-．∵函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， ∴22log (21)(1)log (21)(1)x x k x k x -++-=+--，即221log 2(1)21x x k x -+=--+，2log 22(1)x k x =--，∴2(1)x k x =--对一切x R ∈恒成立，∴2(1)1k -=-，即12k =． （2）设当1k =时，22()log (1)f x k ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，当0a ≠时，要使函数()f x 的值域为R ，则0,0,a >⎧⎨∆≥⎩即220,(1)40,a a a >⎧⎨+-≥⎩解得01a <≤． 综上所述a 的取值范围为[]0,1．21.解：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），则221,2491,c a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+（0k ≠）．由22(2),34480y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 并整理得2222(34)1616(3)0k x k x k +++-=． 易知0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122164+3k x x k -+=，2122164843k x x k -=+，设00(,)M x y 是AB 的中点，则2020028,436(2).43k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩线段AB 的垂直平分线MG 的方程为001()y y x x k-=--，令0y =，得2200222862343434c k k x x ky k k k-=+=+=-+++． 因为0k ≠，所以102c x -<<， 因为1113|||||2|22PF C P G S S F G y x ∆==⋅=+，1(,0)2G x ∈-，所以S 的取值范围是9(,3)4．22.解：（1）当1b =时，2()()G x x x f x =--2ln (0)x x x x =-->，(21)(1)'()x x G x x+-=，令'()0G x =，得1x =，当x 变化时，()G x ，'()G x 的变化情况如下表：因为111()ln ln 212424G =--=-+<，(1)0G =， 2()1(1)11G e e e e e =--=-->，所以2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为：2max ()()1G x G e e e ==--，min ()(1)0G x G ==．（2）设1()ln bh x x b x x+=-+． 若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()b x f x x +-<-，即0001ln 0bx b x x +-+<成立， 则只需要函数1()ln bh x x b x x+=-+在[]1,e 上的最小值小于零． 又2221(1)'()1b b x bx b h x x x x +--+=--=[]2(1)(1)x x b x +-+=， 令'()0h x =，得1x =-（舍去）或1x b =+．①当1b e +≥，即1b e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由1()0bh e e b e +=+-<，可得211e b e +>-． 因为2111e e e +>--，所以211e b e +>-． ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<， 可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在(1,1)b +上单调递减，在(1,)b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+． 因为0ln(1)1b <+<，所以0ln(1)b b b <+<，所以2ln(1)2b b b +-+>，即(1)2h b +>，不满足题意，舍去．综上可得2b <-或211e b e +>-，所以实数b 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-．。
河南省天一大联考2017届高三高中毕业班阶段性测试A型(三)理数试题 Word版含答案
数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =+-<，{}03B x x =<<，则A B = （ ） A ．()0 1， B ．()0 3， C ．()1 1-， D ．()1 3-，2.定义：()0a b ad bc c d bc =≠.已知复数1017100032i i z i i =-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在菱形ABCD 中，E ，F 分别是 AD CD ，的中点，若60BAD ∠=︒，2AB =，则AF BE ⋅=（ ）A ．52 B ．52- C ．32 D ．32- 4.已知正六边形ABCDEF 中， P Q R ，，分别是边 AB EF CD ，，的中点，则向正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点落在PQR △内的概率为（ ）A ．13B ．38C.23 D5.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S 的值为（ ） （参考数据：sin150.2588 sin 7.50.1305︒=︒=，）A ．2.598B ．3.106 C.3.132 D ．3.1426.已知1cos 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25cos 2sin 33x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．19- B ．19 C.53D ．53-7.已知函数()()sin 0 0 2f x M x M πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，其中 43A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，13 012C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点A 是最高点，则下列说法错误的是（ ）A ．6πϕ=-B ．若点B 的横坐标为23π，则其纵坐标为2- C.函数()f x 在1023 36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D ．将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数4sin 2y x =的图象8.已知函数()22x x f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-，现有如下命题： ①() m n R m n ∃∈≠，，()()f m f n =；②() m n R m n ∃∈<，，()()()f m g m f n ->()g n --. 则上述两个命题（ ）A ．①真②假B ．①假②真 C.①、②都假 D ．①、②都真 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12 n n S S ++，的等差中项，且143 3a S ==-，，则8S 的值为（ ）A ．129B ．129- C.83 D ．83-10.如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===，点O 是点P 在平面ABC 上的投影，且tan APO ∠=P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．B ．24π C. D ．48π11.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的左、右顶点分别为 M N ，，过左顶点且斜率为1的直线1l 与双曲线C 交于M ，A 两点，过右顶点且与直线1l 平行的直线2l 与双曲线C 交于 B N ，两点，其中 A B ，分别在第一象限、第三象限.若四边形MANB 的面积为26b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A D 12.设()y f x =是定义在区间()0 +∞，上的函数，满足()()()2016'2017f x f x f x <<，则（ ）A ．()()201820172016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()()201720162016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.()()20182017222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()20172016222016112018f e f e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.731x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．14.已知抛物线()2:20C y px p =>上的第四象限的点()02 M y ，到焦点F 的距离为0y ，则点M 到直线10x y --=的距离为 ．15.已知实数 x y ，满足2601324120x y y x x y --≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪+-≤⎪⎩，则()()2281z x y =-++的取值范围为 ． 16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，是该四棱锥的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且1342 1 1a a a -+，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22n n n b a n =++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）如图所示，在ADE △中， B C ，分别是 AD AE ，上的点，若 4 163A AB AC π===，，.（Ⅰ）求sin ABC ∠的值；（Ⅱ）记ABC △的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S .若121633S S =，求BD CE ⋅的最大值. 19.（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是直角三角形，四边形11A ACC 和四边形11A ABB 均为正方形， E F ，分别是1 C C BC ，的中点，1AB =.（Ⅰ）若11112A D A B =，证明：DF ABE ⊥平面；（Ⅱ）若11174A D A B =，求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）为了解居民对某公司网上超市的“商品评价”与“服务评价”是否相关，某研究人员随机抽取了200名消费者做调查，得到的数据如下表所示：（Ⅰ）完成上述联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为“商品评价”与“服务评价”有关；（Ⅱ）将频率视为概率，某人在该公司网上超市进行了4次购物，设其对商品和服务全满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.()()()()()22 n ad bc K n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫- ⎪==+++ ⎪++++⎝⎭，其中 21.（本小题满分12分）如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>C 的长轴长、短轴长分别为两邻边长的矩形的面积为8.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若 P Q M ，，是椭圆上的点，且圆M 与直线 OP OQ ，相切，14OP OQ k k ⋅=-，求圆M 的半径r .22.（本小题满分12分） 已知函数()ln x f x e ex x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在()()1 1f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：()2f x ex ≥.天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）·答案 A 卷一、选择题 1.【答案】A【命题意图】 本题考查不等式的解法、集合的基本运算，着重考查学生的基本运算能力以及逻辑推理能力.【解析】 依题意，{}2230A x x x =+-<{}31x x =-<<，{}03B x x =<<，故{}01A B x x =<< ，故选A. 2.【答案】A【命题意图】 本题考查复数的除法运算、复数的几何意义，着重考查学生的基本运算能力. 【解析】 依题意()1017201720161000133323232131332i i i i z i i i i i i i =====+----.故在复平面内，复数z 所对应的点为32 1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，，位于第一象限，故选A. 3.【答案】D【命题意图】 本题考查平面向量的加减运算和数量积，考查运算求解能力和数形结合思想. 【解析】） 依题意，()()AF BE AD DF BE DF BE DF BA AE DF BA DF AE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=⋅+⋅=21⨯()1⨯-131122+⨯⨯=-，故选D. 4.【答案】B【命题意图】 本题考查几何概型，考查应用意识以及运算求解能力. 【解析】 依题意，设正六边形的边长为1，则PQR △是边长为32的正三角形，可得PQR △的面积232S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ABCDEF的面积2'61S ==，故所求概率38P ==，故选B.【命题意图】 本题考查算法循环结构，考查数学文化、阅读理解、数形结合能力.【解析】 模拟执行程序，可得 6 3sin 60n S ==︒=，24n >，12 6sin 303n S ==⨯︒=，，不满足条件24n >；24 12sin15120.2588 3.1056n S ==⨯︒=⨯=，，不满足条件24n >；48n =，24sin 7.5240.1305 3.132S =⨯︒=⨯=，满足条件24n >，退出循环，输出S 的值为3.132，故答案为C. 6.【答案】C【命题意图】 本题考查诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，着重考查运算求解能力.【解析】） 依题意，1cos cos 333x s x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故228sin 1cos 339x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.252227cos 2cos 2cos 2cos 212cos 333339x x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=--=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故255cos 2sin 333x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C. 7.【答案】C【命题意图】 本题考查三角函数的图象与性质，着重考查运算求解能力以及数形结合思想.【解析】 依题意，31334 41234M T πππ==-=，，故2 2T T ππω===，，将 43A π⎛⎫⎪⎝⎭，代入 ()()4sin 2f x x ϕ=+中，因为2πϕ<，故6πϕ=-，故A 正确；此时()4sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2414sin 423362f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；函数()f x 在1023 36ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 错误；因为4sin 24sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 正确，综上所述，故选C.8.【答案】B【命题意图】 本题考查函数的性质，着重考查化归与转化思想.【解析】 依题意，函数()22x x f x -=-为奇函数，且在R 上为减函数，故() m n R m n ∀∈≠，，()()f m f n ≠，故①错误；依题意，()22 022 0x xx xx g x x --⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，，，当0m n <≤时，()()()()f m g m f n g n ->-，即()()()()f m g m f n g n ->--，故②正确，综上所述，故选B.【命题意图】 本题考查等比数列的定义、求和公式、等差中项，着重考查化归与转化思想以及基本运算能力.【解析】 依题意，122n n n S S S +++=，即()()120n n n n S S S S ++-+-=，故2120n n a a +++=，即212n n a a ++=-，故该数列从第二项起成等比数列，由143 3a S ==-，，可解得22a =-，故8324816326412883S =-+-+-+-=-，故选D.10.【答案】A【命题意图】 本题考查球的体积公式，考查空间想象能力与运算求解能力.【解析】 因为tan APO ∠=sin APO ∠=，cos APO ∠=，故 AO =，PO =，易知四面体P ABC -的外接球的球心'O 在线段PO 上，故222''O O AO AO +=，故222R R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得R =P ABC -的外接球的体积为，故选A. 11.【答案】B【命题意图】 本题考查双曲线的方程与性质，着重考查学生的数形结合能力以及化归转化思想卡萨布兰卡【解析】 如图所示，设直线1l 与双曲线C 的交点A 的坐标为() m n ，，因为12l l ∥，结合双曲线的对称性可知，四边形MANB 为平行四边形，故226an b =，故23b n a=，代入1:l y x a=+中，解得223b am a-=，将()m n ，代入双曲线C 的方程中，有()222242391ba b a a--=，解得2253b a =，故e =，故选B.12.【答案】D【命题意图】 本题考查导数的应用和构造函数，着重考查创新意识和转化与化归思想. 【解析】 由()()20172016f x f x >得()0f x >，由()()'20160f x f x ->可得()()()()()()201620162201620162016'2016'2016'0x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --⎡⎤==>⎢⎥⎣⎦，则()2016x f x e 在区间()0 +∞，上单调递增，从而 ()()201620162016201820162018f f e e ⨯⨯<，即()()201620162016201620182201612018f e f e e ⨯⨯⎛⎫<= ⎪⎝⎭，由()()2017'0f x f x ->可得()()()()()()201720172201720172017'2017'2017'0x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --⎡⎤==<⎢⎥⎣⎦，则()2017x f x e 在区间()0 +∞，上单调递减，从而 ()()201720162017201820162018f f e e ⨯⨯>，即()()20170172016201720182201612018f e f e e 2⨯⨯⎛⎫>= ⎪⎝⎭，综上，故选D.二、填空题 13.【答案】448-【命题意图】本题考查二项式定理，着重考查运算求解能力和应用意识.【解析】依题意，展开式中的常数项为()16721448C ⋅⋅-=-.14. 【命题意图】本题考查抛物线的定义与方程、点到直线的距离公式，着重考查运算求解能力.【解析】依题意，2422y ppyy⎧=⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，解得()4 4 2 4p y M==--，，，到直线10x y--=折距离=.15.【答案】16375⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【命题意图】本题考查线性规划，着重考查应用意识和数形结合思想.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，()()2281z x y=-++表示点()8 1D-，与平面区域内的点的连线的距离的平方，比较可知，点()8 1D-，到直线BC的距离最小，，点()8 1D-，到()2 2C-，的距离最大，，故()()2281z x y=-++的取值范围为16375⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.16.【答案】403【命题意图】本题考查三视图，锥体的体积公式，着重考查学生的运算求解能力以及空间想象能力.【解析】作出该四棱锥的直观图，如图中A BCDE-所示，观察可知，该四棱锥的体积14041033V=⨯⨯=.三、解答题17.【命题意图】本题考查等差数列的基本公式，等比中项，错位相减法，着重考查学生的基本运算能力以及化归与转化思想.故()1234272102312n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅…，()234124272102312n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅…，……………………………………6分 ∴()1231242323232312n n n n n T T T n +-=-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅…()()1231232222312n n n +=+++++-+⋅…()()()1122123312322421n n n n n ++-=+⋅-+⋅=--⋅--，………………………………9分∴()13224n n T n +=-⋅+.………………………………10分18.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式、基本不等式，着重考查运算求解能力和转化与化归思想.【解析】（Ⅰ）依题意，2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，解得BC =分由sin sin AC BCABC A=∠，解得sin ABC ∠=.…………………………5分（Ⅱ）依题意，11sin 2S AB AC A =⋅⋅⋅=121633S S =，故2S =分设 BD x CE y ==，，12ADE S S S =+=△ 又()()1416sin 23ADE S x y π=⨯+⨯+⨯=△，故()()416196x y ++=，……………………9分故132164xy x y -=+≥，即1320xy +≤，故)6220≤6，故36xy ≤，……………………11分当且仅当 3 12x y ==，时等号成立，故BD CE ⋅的最大值为36.…………12分 19.【命题意图】本题考查空间位置关系的判断与证明，求二面角，着重考查学生的空间想象能力以及化归与转化思想.【解析】（Ⅰ）方法一：取AC 的中点M ，连接1A M ，FM ，故M F AB ∥，且12MF AB =，又1A D AB ∥，且112A D AB =，故1MF A D ∥且1MF A D =，故四边形1A DFM 为平行四边形，故1A M DF ∥且1A M DF =.………………………………3分 下面证明1A M ABE ⊥平面：依题意1AB AC AA ==，又ABC △是直角三角形，所以AB AC ⊥，又1AB AA ⊥，1AA AC A = ，故11AB A ACC ⊥平面，故1AB A M ⊥.因为1ACE A AM △≌△，故1CAE AA M ∠=∠，故190CAE A MA ∠+∠=︒，故1AE A M ⊥. 因为AB AE A = ，故1A M ABE ⊥平面，因为1A M DF ∥，故DF ABE ⊥平面.…………………………6分方法二：因为四边形11A ACC 和四边形11A ABB 均为正方形，故11 AA AB AA AC ⊥⊥，，因为三角形ABC 是直角三角形，故AC AB ⊥.…………………………2分以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()0 0 0A ，，，()1 0 0B ，，，10 1 2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，11 022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()10 0 1A ，，，()11 0 1B ，，，1 0 12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，. 故10 12DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，()1 0 0AB =，，，0DF AB ⋅= ，即DF AB ⊥，……………………4分又10 1 2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，，故0DF AE ⋅= ，即DF AE ⊥， 因为AB AEA A = ，故DF ABE ⊥平面.…………………………6分（Ⅱ）易知平面ABC 的一个法向量()0 0 1m =，，，设面DEF 的法向量为() n x y z =，，， ∵11177 0 044A D A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，，，∴点D 的坐标为7 0 14⎛⎫⎪⎝⎭，，.………………8分 ∵111 222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，51 142DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，，00n FE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，∴111022251042x y z x y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩， 即23x zy z =-⎧⎨=-⎩，令1z =-，则()2 2 1n =-，，，…………………………11分故平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为cos m n m n m n⋅<>==，分20.【命题意图】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望，着重考查数据处理能力及应用意识.【解析】（Ⅰ）所求列联表如下：………………………………………………2分 2K 的观测值()22008010407011.11110.8281505012080k ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，………………………………5分所以可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品评价与服务评价有关.………………6分（Ⅱ）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为8022005=，且X 的取值可以是0，1，2，3，4.…………7分其中()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………………………………10分X 的分布列为：由于 4 5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以28455EX =⨯=.…………………………12分 21.【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合性问题，着重考查运算求解能力及数形结合思想.【解析】（Ⅰ）依题意可知228a b =⎪⋅=⎩，………… ……………………2分解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.…………………………………………4分∴椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………………6分（Ⅱ）设()00 M x y ，，由条件可得直线OP 的方程为OP y k x =，由直线OP 与圆M 相切，可得r =，由此可得()22222000020OP OP x r k x y k y r --+-=， (7)分同理可得()22222000020OQ OQ x r k x y k y r --+-=，所以 OP OQ k k ，是方程()22222000020xr k x y k y r --+-=的两个不相等实根，……………………………………9分由根与系数的关系得220220OP OQy r k k x r -=-，…………………………10分又14OP OQk k =-，由此得22022014y r x r -=--，即2220045x y r +=，结合220014x y +=得254r =，r =.……12分 22.【命题意图】本题考查导数的几何意义，导数的应用，着重考查运算求解能力，函数与方程思想以及转化与化归思想.【解析】（Ⅰ）依题意()()'1ln x f x e e x =++，故()'12f e =，…………………………2分 又()1f e =，故曲线()y f x =在点()()1 1f ，处的切线方程为2y ex e =-.……………………4分（Ⅱ）()222ln ln 0x x f x ex e ex x ex e ex x ex ≥⇔+≥⇔+-≥，令()()2ln 0x g x e ex x ex x =+->，于是问题转化为()0g x ≥在()0 +∞，上恒成立，…………5分易知()()'1ln 2x g x e e x ex =++-，设()()'m x g x =，则()'2x em x e e x=+-①， 令()x x e ex ϕ=-，则()'x x e e ϕ=-，由()'0x ϕ=，得1x =， 当01x <≤时，()'0x ϕ≤，当1x >时，()'0x ϕ>， ∴函数()x ϕ在(]0 1，上递减，在()1 +∞，上递增， ∴当01x <≤时，()()10x ϕϕ≥=，当1x >时，()()10x ϕϕ>=，∴()0 x ∀∈+∞，都有()0x ϕ≥，即0x e ex ≥>②.………………………… 8分 由①②知当0x >时，()'20e m x ex e x ≥+-≥， ∴函数()'y g x =在()0 +∞，上递增， ∴当01x <≤时，()()''10g x g ≤=，当1x >时，()()''10g x g >=， ∴函数()y g x =在(]0 1，上递减，在[)1 +∞，上递增， ∴当01x <≤时，()()10g x g ≥=③，当1x >时，()()10g x g >=④，…………11分 由③④知()0 x ∀∈+∞，，都有()0g x ≥⑤，当且仅当1x =时，不等式⑤取等号， ∴()2f x ex ≥.…………………………………………12分。
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的实部与虚部相等，则实数
详解：由题意可得：
的方程可得：
的自然数，积
B. C. D.
【答案】
，本题选择A选项.
；
3. 若 (为虚数单位，则使的值可能是（
C. D.
的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于
三角方程即可求得.
可得：，对比选项可知：
.
若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（
B.
D.
的大致图象
详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与
上单调递增，在区间在区间
人，于是有
，整理可得：，
观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中
，
据此可得：
x
的展开式中，称为项的次数，则所有次数为A. 45 B. 60
，这些项的系数和为
.
B.
D.
，则；
)在上为增函数或常数函数，在
，即
本题选择C选项.
黑桃
已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（
B. C. D.
详解：因为
可得-2≤x≤2，所以要使函数f(）在区间上单调递增，
，求解不等式组可得：，
据此可得：-1≤m<1.
由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于
【答案】
【解析】分析：首先确定函数图象，然后结合函数图象和定积分的几何意义即可求得曲线所围成的图形的
的图象如图所示，
结合定积分的几何意义可得，所求面积值为：
故答案为：．
2,4,6,8,10,…进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；
含三个数；第四组含四个数.……试观察猜想每组内各数之和
【答案】
【解析】分析：由题意结合所给的前四组数据归纳出和的特点，然后结合归纳出的算式计算
组的编号数
详解：由于，
，，
据此猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数
已知某质点的位移单位：与时间 (单位：)的关系式为，则该质点
.(用含有
【答案】
在
.
点睛：导数的几何意义为切线的斜率，
详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形，
中，含有矩形的个数为，
中，含有矩形的个数为
中，含有矩形的个数为
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设复数（其中
（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；
在复平面内对应的点在第二或第四象限，求实数的取值范围
（Ⅰ）；（Ⅱ）.
，解得；
的不等式组，求解不等式组可得实数（Ⅰ）因为复数为纯虚数，所以所以
（Ⅱ）因为对应的点在第二或第四象限，所以或
，
的取值范围是
（Ⅰ）若，展开式中含项的系数为960，求
（Ⅱ）若展开式中各项系数和为，且
（Ⅰ）由题意结合二项式展开式的通项公式可得，据此计算可得；
（Ⅱ）由题意可得据此可得，,则二项式系数之和为
（Ⅰ）的展开式通项为，
，得
，所以
或，又因为，所以，,
.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件
是否存在正整数，使得对任意正整数整除？若存在，求出
值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【解析】分析：由题意计算可得，，
的正整数.
成立，假设时成立，可证得
详解：由，得，
，要使得对
，即
）假设能被整除，即能被
时，
是的倍数，故
这就是说，当时，也能被36
都有整除，
．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤
(与销售价格
，其中，为常数
（Ⅰ）求
（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得
时，，所以，故
从而
于是，当变化时，
是函数在区间
所以，当时，函数
视频
对于函数，设是函数的导数是的导数，若方，则称点为函数的“拐点”.
（Ⅰ）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心提示：可将函数
（Ⅱ）若设，计算
．
由题意结合拐点的定义可得的拐点为据此计算可得
的图象按向量平移得到，则图象关于点
三次函数的拐点是其图象的对称中心.
的拐点即的对称中心为
详解：（Ⅰ）对于三次函数，
，得.
所以的拐点为.
的图象可由的图象按向量
是奇函数，图象关于点对称，所以图象关于点
，所以，令，得
的拐点为点，
的对称中心为
所以，若，
所以
所以，所以，
点睛：求和的方法技巧：
，，其中.
（Ⅰ）证明；
，若在的值
（Ⅰ）构造函数，则，讨论可得，故成立.
构造函数在
最小值为故构造函数，则在上递减，据此计算可得.
（Ⅰ）令，所以
上单调递增，且
时，，当时，，
的最小值为，所以.
或时，均有
上单调递增，所以
的导函数，令，
时，递减；当时，
的最小值为.
.
，则在上递增，在
所以，当且仅当时取等号
. ...........................。