推荐-解析几何专题——圆锥曲线的综合运用专题训练-人教版[整理] 精品
2020届高考数学一轮总复习第九单元解析几何第70讲圆锥曲线的综合应用(三)练习理(含解析)新人教
第70讲圆锥曲线的综合应用（三) (与直线、圆及其他知识的交汇与综合）1．(经典真题)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a>b〉0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N。
(1）若直线MN的斜率为错误!，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN｜＝5|F1N｜，求a，b。
（1)根据c＝错误!及题设知M（c，错误!），因为错误!＝错误!,所以2b2＝3ac，将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，得2c2＋3ac－2a2＝0，解得错误!＝错误!或错误!＝－2（舍去)．故C的离心率为错误!.(2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0,2) 是线段MF1的中点，故错误!＝4,即b2＝4a，①由｜MN|＝5｜F1N｜得｜DF1|＝2｜F1N｜.设N（x1，y1），由题意知y1〈0，则错误!即错误!代入C的方程,得错误!＋错误!＝1.将①及c＝错误!代入②得错误!＋错误!＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7,b＝2错误!。
2．(2018·天津卷·文）设椭圆错误!＋错误!＝1（a>b>0）的右顶点为A，上顶点为B,已知椭圆的离心率为错误!,|AB|＝错误!.(1)求椭圆的方程．(2）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点,l与直线AB交于点M,且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．(1）设椭圆的焦距为2c，由已知有c2a2＝错误!，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB｜＝a2＋b2＝13，从而a＝3,b＝2.所以，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。
（2）设点P的坐标为（x1，y1）,点M的坐标为(x2，y2），由题意知，x2>x1〉0，点Q的坐标为（－x1，－y1)．由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得｜PM｜＝2｜PQ｜，从而x2－x1＝2[x1－(－x1）]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组错误!消去y，可得x2＝错误!。
圆锥曲线 综合(3) 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专
心尺引州丑巴孔市中潭学校第二章 圆锥曲线 综合练习〔3〕【例题精选】： 例1：求经过两圆xy x y 2230++-=和332022x y x y +++=交点的直线的方程。
分析：对于相交两圆xy D x E y F 221110++++=、x y D x E y F 222220++++=，方程()xy D x E y F x y D x E y F 22111222220+++++++++=λ表示过这两圆交点的曲线方程，当λ=0时为圆x y D x E y F 221110++++=；当λ=-1时，为这两圆的相交弦所在直线方程，当λ取其它值时，通常表示过这两圆交点的圆方程。
解：设经过两圆xy x y 2230++-=和332022x y x y +++=交点的直线方程为：根据所有的直线方程都是关于x y 、的二元一次方程，有xy 22、项的系数要均为零，即：130+=λ解得：λ=-13代入得323130xy x y ---= 即740x y -=为所求直线方程。
例2：求经过两圆xy x 22640++-=和x y y 226280++-=的交点，并且圆心在直线x y --=40上的圆的方程。
解：设所求圆方程为()()xy x x y y 2222646280++-+++-=λ整理，得xy x y 22616142810+++++-++=λλλλλ其圆心为-+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪3131λλλ，由有，-+++-=313140λλλ解得：λ=-7代入得--+-+=66642192022x y x y即：xy x y 227320+-+-=为所求圆方程。
例3：圆的方程是x y r 222+=，求经过圆上一点()M x y 00,的切线的方程。
解：设所求过()M x y 00,的圆的切线上任意一点()P x y ,那么有OP OM MP 222=+整理，得220020202x x y y r x y +=++∵()M x y 00,在圆x y r 222+=上，∴ x y r 02022+=∴ 所求切线方程为220022x x y y r r +=+即x xy y r 002+=例4：：一个圆的直径端点是()()A x y B x y 1122,,、证明：圆的方程是()()()()x x x x y y y y --+--=12120证明：设所求圆上任意一点为()M x y ,那么有∠AMB = 90∴k k AM BM·=-1故()y y x x y y x x x x x x ----=-≠≠1122121·，因此，所求圆方程为 即()()()()x x x x y y y y --+--=12120当x x =1时，代入有y y =1 当x x =2时，代入有y y =2而点()()x y x y 1122,,，是圆和直径端点，在圆上，即所求方程()()()()x x x x y y y y --+--=12120。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析
第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。
高考数学三轮冲刺 专题16 圆锥曲线中的综合问题专项讲解与训练-人教版高三全册数学试题
专题16. 圆锥曲线中的综合问题“参数法”解决定点问题[核心提炼]证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解析】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到． 【对点训练】已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a >0)的右焦点，M (m ，0)、N (0，n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设过点F 作任一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x ＝－a 分别交于点S 、T (O 为坐标原点)，证明FS →·FT →为定值．所以FS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 1，FT →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，－4a 2y 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax 得y 2－4aty －4a 2＝0， 所以y 1y 2＝－4a 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4－4a2＝4a 2－4a 2＝0.因此，FS →·FT →是定值，且定值为0.“函数(不等式)法”解决取值(X 围)问题[核心提炼]解析几何中的取值(X 围)问题最基本的解法是函数法与不等式法．有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案．(2017·高考某某卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值X 围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．【解析】 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值X 围是(－1，1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）. 因为|PA |＝ 1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝ 1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.解决圆锥曲线中的取值X 围问题的五类思维途径(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值X 围；(2)利用已知参数的X 围，求新参数的X 围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值X 围；2．(2019·某某质量检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．5【答案】C.3．(2019·某某模拟)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】：15【解析】因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72， 所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15， 当且仅当|x |＝154时取等号．4．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________． 答案：(1，2)或(1，－2)解析：设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16， 则有3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1，0)． 设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，所以OA →·AF →＝y 204(1－y 204)－y 20＝－4，解得y 0＝±2， 所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1，2)或(1，－2)．5．设O 为坐标原点，动点M 在圆C ：x 2＋y 2＝2上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝22NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)过点D (1，0)的直线l 与圆C 交于A 、B 两点．AB 的中垂线交直线x ＝3于点Q .OA →·AQ →是否为定值，给予说明．【解析】：(1)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，由MN ⊥x 轴， 由NP →＝22NM →得(x －x 1，y )＝22(0，y 1)， 所以⎩⎨⎧x ＝x 1，y 1＝2y .又x 21＋y 21＝2.所以x 2＋2y 2＝2，即x 22＋y 2＝1.(2)设A (m ，n )，Q (3，t )．因为OQ ⊥AB ，即AB →·OQ →＝0，所以AD →·OQ →＝0， 所以(m －1，n )·(3，t )＝0. 即tn ＋3m ＝3.①又A 在圆C ：x 2＋y 2＝2上， 所以m 2＋n 2＝2.② 所以OA →·AQ →＝(m ，n )·(3－m ，t －n ) ＝3m －m 2＋tn －n 2＝(3m ＋tn )－(m 2＋n 2) ＝3－2＝1. 所以OA →·AQ →＝1. 即OA →·AQ →为定值1.6．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【解析】：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|， S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得 2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．此时E 点坐标为(1，0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.7.已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点为F (0，1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点， 求MN 的最小值.【解析】：(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)易知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝2|x M －x N |＝2|84－x 1－84－x 2| ＝82|x 1－x 2x 1x 2－4（x 1＋x 2）＋16|＝82k 2＋1|4k －3|.令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝22（5t ＋35）2＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是852.8．(2019·某某适应性考试)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (1，22)在椭圆E 上，直线l 过椭圆的右焦点F 且与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使得MA →·MB →为定值？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】：(1)由题意，知c a ＝22，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线AB 过椭圆的右焦点F (1，0)，当直线AB 不与x 轴重合时，可设直线AB ：x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，并整理得(2＋m 2)y 2＋2my －1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2m 2＋m 2，y 1y 2＝－12＋m2. 设M (t ，0)，若MA →·MB →＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝(my 1＋1－t )(my 2＋1－t )＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (1－t )·(y 1＋y 2)＋(1－t )2＝－1＋m 22＋m 2－2m 2（1－t ）2＋m 2＋(1－t )2＝（2t 2－4t ＋1）＋（t 2－2）m 22＋m2为定值， 则2t 2－4t ＋1＝2(t 2－2)，解得t ＝54.故存在定点M (54，0)，使得MA →·MB →为定值－716，经检验，当直线AB 与x 轴重合时也成立， 所以在x 轴上存在一个定点M (54，0)，使得MA →·MB →为定值．[能力提升]1．(2019·某某质量预测(二))已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．【解析】：(1)由题意得，点M 与点(0，1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 则p2＝1，p ＝2. 所以圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx －2⇒x 2－4kx ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)．即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1（x 1－x 2）4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，因为x 1x 2＝8， 所以y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24x ＋2，即直线AC 恒过点(0，2)．2．(2018·东北四市联考)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)，B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F 1在以B 1B 2为直径的圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，点N 的横坐标的取值X 围是(－14，0)，求线段AB 的取值X 围．【解析】：(1)由题知b ＝c ＝1， 所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设AB 的中点为Q ，则Q (－2k 22k 2＋1，k 2k 2＋1)， 所以直线QN 的方程为y －k 2k 2＋1＝－1k (x ＋2k 22k 2＋1)＝－1k x －2k 2k 2＋1， 所以N (－k 22k 2＋1，0)，已知条件得－14<－k 22k 2＋1<0， 即0<2k 2<1.又|AB |＝1＋k2（－4k 22k 2＋1）2－4×2k 2－22k 2＋1＝2(1＋12k 2＋1)． 因为0<2k 2<1，所以12<12k 2＋1＜1， 所以|AB |∈(322，22)，32 2，22).所以线段AB的取值X围为(。
(江苏专用)高考数学总复习 专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题10.4 圆锥曲线的综合应用【三年高考】1. 【2015某某高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】试题解析：（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得2a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当x AB ⊥轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则1,2x=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k k+AB ===+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+． 因为C 2P=AB ，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系2．【2014某某，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）12． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c 的两个等量关系，本题中椭圆过点41(,)33C ，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外2222BF OB OF a =+=2=（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1F C AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，2AB F B bk k c==-，要求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C AB k k ⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由222,cb ac e a=-=可得的方程，可求得. 试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b ，2222BF b c a =+==41(,)33C ，∴22241()()3312b +=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=．（2）直线2BF 方程为1x yc b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组，解得A 点坐标为2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为2322222(,)a c b a c a c++，133222232223F C b b a c k a c a c cc a c +==+++，又ABb k c=-，由1F C AB ⊥得323()13b b a c c c ⋅-=-+，即42243b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+，化简得55c e a ==． 3. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
高考数学(精讲精练精析)专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.(Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率002m m m k x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以'k k为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()21202221m x k x -=+ ，所以()()21122221k m y kx m m k x -=+=++，同理()()()()2222222262,181181m k m x y m k x k x---==+++.所以()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅当6k =时取得.26648m=-，即147m =，符号题意.所以直线AB 63．【2016高考四川文科】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1(3,)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．（II ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 得222220x mx m ++-=，① 方程①的判别式为24(2)m ∆=-，由∆>0，即220m ->，解得22m -<.由①得212122,22x x m x x m +=-=-.所以M 点坐标为(,)2mm -，直线OM 方程为12y x=-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得22(2,),2,22C D --.所以2555(2)(2)(2)224MC MD m m m ⋅=-⋅=-.又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+-22255[44(22)](2)164m m m =--=-.所以=MA MB MC MD ⋅⋅. 4．【2016高考上海文科】有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
解析几何《圆锥曲线的综合应用》
解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。
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解析几何专题——圆锥曲线的综合运用专题训练生化 班 姓名 学号 一、选择题（在四个选项中有且只有一个是正确的，共10题，50分）1、斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A.2B.554 C.5104 D.51082、抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有 ( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0 D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03、过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有 （ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条4、设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 5、若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2y 的最大值为 ( ) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ； (C) 442+b ；(D) 2b 。
6、已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C（D7、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+ 8、已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º9、从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为 （ ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 9010、设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程，共6题，30分） 11、直角坐标平面xoy 中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OA OP ⋅=4。
则点P 的轨迹方程是 ． 12、如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是__________________.13、在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 14、正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________.15、过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_______． 16、已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________. 三、解答题（包括计算题、证明题、应用题等，应写出文字说明、演算步骤、推证过程，共5题，70分）17、已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p . (1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.18、已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6). (1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论.19、已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称. (1)求双曲线C 的方程. (2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标.20、点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
21、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.〖2018年高考二轮复习专题讲义之针对训练〗解析几何专题——解析几何的综合运用同步训练答案一、选择题：C B C C A CD D B B 二、填空题：11、x+2y-4=0 12、 13、y =8x －15. 14、18或50 15、2 16、 三、解答题17、解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2 又∵p ＞0,∴a ≤－4p . (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p时，S 有最大值为2p 2.18、解：(1)如图，设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1. (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0)， ∴其重心G 的坐标为(2，2)假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).则有 34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ，∴k l =34 ∴l 的方程为y =34(x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0. ∵Δ=16－4×28＜0, ∴所求直线l 不存在.19、解：(1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2). ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.(2)设直线l ：y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l ′间的距离为2. 设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2.②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0.可得m 2+2k 2=2 ③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10.故B (22,10).20、 [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x ,y ),则AP ={x +6, y },FP ={x －4, y },由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则22x +9x －18=0, x =23或x =－6.由于y >0,只能x =23,于是y =235.∴点P 的坐标是(23,235)(2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0.设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m .于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2.椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 222222549(2)4420()15992d x yx x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值1521、（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；③ ④ ③④当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分。