圆锥曲线综合(例、练及答案)

圆锥曲线综合（例、练及答案）1．直线过定点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．2．面积问题例2：已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为4，直线与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上．斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围．x C F x C P Q PQ =C l 228x y +=()2,2M l M C MA MB A B AB ()222210x y a b a b +=>>1F 2F 1:bl y xc =A B 2F 1l E 1-2l AB P C D ACBD3．参数的值与范围例3：已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点． （1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值．4．弦长类问题例4：已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线． （1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于，两点，与相交于，两点，且，求的取值范围．()2:20C y px p =>()1,0F ()1,2A C F l C M N C AF C x B MF FN λ=2240BM BN +=λ()22122:10x y C a b a b +=>>222:13x C y -=1C 2C 1C l 1C 1M 2M 2C 1Q 2Q 125OQ OQ ⋅=-12M M5．存在性问题例5：已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找 到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．练习一、解答题1．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为． （1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于，求证：直线经过定点．()2222:10x y C a b a b +=>>()11,0F -()21,0F A ⎛ ⎝⎭C C l l C M N 53y =P C Q PM NQ =l P ()22,0F ()221:24F x y ++=P C C ()22,0F 1l C A B 1:2l x =()1,0D -AD l M BM2．已知点在椭圆上，设，分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线． （1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆在第一象限内一点，直线，分别交轴、轴于，两点，求四边形的面积．3．已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，． （1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭()2222:10x y E a b a b +=>>A B O AB E P E PA PB y x D C ABCD C ()2218x y ++=P Q CP ()1,0A AP M 0MQ AP ⋅=2AP AM =P Q k l 221x y +=Q F H 3445OF OF ≤⋅≤O k4．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2． （1）求椭圆及圆的方程；（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，，求的取值范围．5．如图，己知、是椭圆的左、右焦点，直线经过左焦点，且与椭圆交，两点，的周长为()2222:10x y C a b a b +=>>2c 12222:O x y c +=1A 2A AB O 1A AB △C O l O l E P Q PQ 1F 2F ()2222:10x y G a b a b +=>>():1l y k x =+1F G A B 2ABF △（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】（1）；（2）证明见解析，． 【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，代入椭圆方程得，又因为，所以，，所以，，所以的方程为．（2）依题设，得直线的方程为，即， 设，，，由切线的斜率存在，设其方程为，G I 2ABF△l 22184x y +=()2,1C ()222210x y a b a b +=>>PQ =(P c -22221c a b+=c e a ==21212b +=b c =24b =2228a b ==C 22184x y +=l ()22y x -=--40x y +-=()00,M x y ()11,A x y ()22,B x y MA ()11y y k x x -=-联立得，，由相切得，化简得，即，因为方程只有一解，所以，所以切线的方程为， 即，同理，切线的方程为，又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为， 即，令，得，所以直线恒过定点．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，，连结，设， 则，又，得，，， 解得，，所以椭圆方程为．（2）设直线方程：，、，()1122184y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩()()()2221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=()()()222211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦()221184y kx k -=+()22211118240x k x y k y --+-=1111122111822x y x y x k x y y ===---MA ()11112x y y x x y -=--1128x x y y +=MB 2228x x y y +=()00,M x y 101020202828x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩AB 0028x x y y +=004x y +=AB ()00248x x x y +-=()02880x x y y -+-=20880x y y -=-=⎧⎨⎩21x y ==⎧⎨⎩AB ()2,122184x y +=3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦()12,0F -()22,0F 1EF 12EF F α∠=tan b cα=222a b c =+sin b a α=cos c a α=()12122sin9012||sin sin 90F F c a ce b c a EF EF b c aa aαα︒∴======++︒-++222a bc c b c =+⇒==28a =22184x y +=2l +y x m =-()11,C x y ()22,D x y由，得，所以， 由（1）知直线：，代入椭圆得，，得，由直线与线段相交于点，得，而与，知，由，得， 四边形面积的取值范围．3．【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）抛物线的焦点，，则，抛物线方程为； 点在抛物线上，． （2）依题意，，设，设、，联立方程，消去，得．所以①，且，又，则，即，代入①得，消去得，22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩2234280x mx m -+-=1221243283x x m m x x +=-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1l y x =A ⎛ ⎝B AB =2l AB P m ⎛∈ ⎝12CD x =-21l k =-11l k =21l l ⊥12ACBD S AB CD ∴=⨯=m ⎛∈ ⎝232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤⎥⎝⎦∴ACBD 3232,93⎛⎤⎥⎝⎦24y x =2AF =2λ=()2:20C y px p =>()1,0F 12p∴=24p =24y x =()1,2A C 122pAF ∴=+=()1,0F :1l x my =+()11,M x y ()22,N x y 241y xx my ==+⎧⎨⎩x 2440y my -=-121244y y m y y +==-⎧⎨⎩112211x my x my =+=+⎧⎨⎩MF FN λ=()()11221,1,x y x y λ--=-12y y λ=-()222414y y mλλ⎧-=--=⎪⎨⎪⎩2y 2142m λλ=+-，则，，则，当，解得，故． 4．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意可知：，又椭圆的上顶点为， 双曲线的渐近线为：，，∴椭圆方程． （2）易知直线的斜率存在，设直线 的方程为，代入，消去并整理得：，要与相交于两点，则应有：， 设，，则有：，． 又． 又：，所以有：， ，②()1,0B -()111,BM x y =+()221,BN x y =+()()222222221122||11BM BN BM BN x y x y +=+=+++++()222212121222x x x x y y =++++++()2222121212(1)(1)222my my my my y y =+++++++++()()()2221212148m y y m y y =+++++()()22421168448164016m m m m m m =+++⋅+=++4216401640m m ++=212m =2λ=2213x y +=(23a =1C ()0,b 2C 0y x =⇔±=1b =⇒=2213x y +=y kx m =+2213x y -=y ()222136330k xkmx m ----=2C ()()222222221301303641333013k k k m k m m k -≠⎧-≠⎪⇒⎨----->+>⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩()111,Q x y ()222,Q x y 122613km x x k +=-21223313m x x k--⋅=-()()()()22121212121212121OQ OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++125OQ OQ ⋅=-()()()22222221133613513k m k m m k k⎡⎤+--++-=-⎣⎦-2219m k ⇒=-将，代入，消去并整理得：，要有两交点，则．③ 由①②③有． 设、．有，，将代入有．，令，，令，．所以在内恒成立，故函数在内单调递增，故． 5．【答案】（1）；（2）不存在，见解析．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，∵在椭圆上，∴， ∴，故椭圆的方程为．（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，y kx m =+2213x y +=y ()222136330k x kmx m +++-=()()2222223641333031Δk m k m k m =-+->⇒+>2109k <≤()133,M x y ()244,M x y 342613km x x k -+=+23423313m x x k -⋅=+12M M ==2219m k =-1212M M M M ==12M M ⇒=2t k =10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()()()()2311'1313t t tf t f t t t +-=⇒=++10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()'0f t >10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f t 10,9t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1250,72f t M M ⎛⎤∈⇒∈ ⎥⎝⎦2212x y +=C 2c 1c =A ⎛ ⎝⎭C 122a AF AF =+==a =2221b a c =-=C 2212x y +=l 2y x t =+设，，，，的中点为，由，消去，得， ∴，且，故且， 由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点， ∴，得， 又，可得，∴点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线．练习答案一、解答题1．【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）由已知，，轨迹为双曲线的右支，，，，曲线标准方程．（2）由对称性可知，直线必过轴的定点，当直线的斜率不存在时，，，，知直线经过点，当直线的斜率存在时，不妨设直线，，， 直线，当时，，， ()11,M x y ()22,N x y 353,P x ⎛⎫⎪⎝⎭()44,Q x y MN ()00,D x y 22222y x t x y =++=⎧⎨⎩x 229280y ty t -+-=1229ty y +=()2243680Δt t =-->12029y y t y +==33t -<<PM NQ =PMQN D MN D PQ 405329y t y +==42159t y -=33t -<<4713y -<<-Q l ()22103y x x -=>12| | 2PF PF =+12| | 2PF PF -=P C 22a =1a =12| 24F F c ==2c =∴C ()22103y x x -=>BM x 1l ()2,3A ()2,3B -13,22M ⎛⎫⎪⎝⎭BM ()1,0P 1l ()1:2l y k x =-()11,A x y ()22,B x y ()11:11y AD y x x =++12x =()11321M y y x =+()1131,221y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭得，，， 下面证明直线经过点，即证，即， 即，由，，整理得，，即 即证经过点，直线过定点．2．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为椭圆经过点，有，由等面积法，可得原点到直线联立两方程解得，的方程为．（2）设点，则，即． 直线，令，得． 从而有，同理，可得．所以四边形的面积为．所以四边形的面积为．()22233yk x x y =--=⎧⎪⎨⎪⎩()()222234430k x k x k -+-+=212243k x x k -+=-2122433k x x k +=-BM ()1,0PPM PB k k =1212311y yx x -=+-12112233y x y x y y -+=+112y kx k =-222y kx k =-()12124540x x x x -++=()22222243434450333k k k k k k -+⋅-⋅+=---BM ()1,0P BM ()1,022143x y +=()2222:10x y E a b a b +=>>31,2⎛⎫⎪⎝⎭229141a b +=O AB =2a =b =E 22:143x y E +=()()00000,,0P x y x y >>2200143x y +=2203412x y +=()00:22y PA y x x =++0x =0022D yy x =+00022y BD x =+=+AC =000211222y AC BD x ++⋅=+1122====ABCD3．【答案】（1）是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为；（2）． 【解析】（1）由题意是线段的垂直平分线， 所以，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆， ∴，，故点的轨迹方程是．（2）设直线：，，， 直线与圆，即，联立，消去得：，，得，，，∴，所以，得，，解得故所求范围为． 4．【答案】（1），；（2）．C A 2212x y +=32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦MQ AP 2CP QC QP QC QA CA =+=+=>=Q C A a =1c =1b =Q 2212x y +=l y kx b =+()11,F x y ()22,H x y l 221x y +=1=221b k =+2212x y y kx b +==+⎧⎪⎨⎪⎩y ()222124220k x kbx b +++-=()()()2222222164122182180Δk b k b k b k =-+-=-+=>0k ≠122412kb x x k +=-+21222212b x x k -=+()()()()()222221212121222122411212k bkb OF OH x x y y k x x kb x x bkbb k k +--⋅=+=++++=++++()()222222222124111121212k k k k k k k k k +++=-++=+++223144125k k +≤≤+21132k ≤≤k ≤≤k ≤≤k ≤≤32,⎡⎡⎢⎢⎣⎦⎣⎦22143x y +=221x y +=⎡⎢⎣⎦【解析】（1）设点到轴距离为，则，易知当线段在轴时，，，，，，，所以椭圆方程为，圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时；设直线方程为：，直线为圆的切线，，，直线与椭圆联立，，得，判别式，由韦达定理得：， 所以弦长， 所以； 综上，，5．【答案】（1）；（2）不存在，见解析． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为直线与轴的交点为，故． 又的周长为，即，故．因此，椭圆的标准方程为．（2）不存在．理由如下：先用反证法证明不可能为底边，即．B x h 1111222A AB A OB S S AO h a h ==⋅⋅⋅=⋅△△AB y max h BO c ==12A AB S a c ∴=⋅=△12c e a ==2a c ∴=2a ∴=1c =b =22143x y +=221x y +=L L 1x =±223b PQ a ==L y kx m =+1d ∴==221m k ∴=+22143y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩()2224384120k x kmx m +++-=()248320Δk =+>122212284341243km x x k m x x k -+=+-⋅=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩12PQ x =-=2433t k =+≥PQ ⎛= ⎝⎦PQ ⎡∈⎢⎣⎦22132x y +=G c l x ()1,0-1c =2ABF △224AB AF BF a ++==a =222312b a c =-=-=G 22132x y +=AB 22AF BF ≠由题意知，设，，假设，则又，，代入上式，消去，得：． 因为直线斜率存在，所以直线不垂直于轴，所以，故． (与，矛盾）联立方程，得：，所以矛盾．故．再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点．设，则，在中，由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．()21,0F ()11,A x y ()22,B x y 22AF BF =2211132x y +=2222132x y +=21y 22y ()()121260x x x x -+-=l l x 12x x ≠126x x +=1x 2x ≤126x x +≤()221321x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩()2222326360k x k x k +++-=21226632k x x k +=-=+22AF BF ≠AB 2ABF △A 1AF m =2AF m =-12AF F △()224m m +=。