九年级数学上册上册数学压轴题专题练习(word版

九年级数学上册上册数学压轴题专题练习（word 版

一、压轴题 1．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=?===，，点

P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速

度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点

P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时

间为ts ． （1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38

83

a t ==

，时，证明：ADF CDF S S ??=．

3．如图，等边ABC 内接于

O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接

AP 、BP ，过点C 作CM

BP 交PA 的延长线于点M ．

（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；

（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．

4．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ?

=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点

D ，使CD CF =，点

E 是射线B

F 与射线DA 的交点．

（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；

②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣

1

3

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．

（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值． （2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于

点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3

4

，CF=8

3

．

（1）求⊙O的半径OD；

（2）求证：AC是⊙O的切线；

（3）求图中两阴影部分面积的和．

7．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣3），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

8．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）

（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；

图①

（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：

图②

问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

41202

2π

+

。

（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。

图③

②若把边长为1的正方形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。

图④

（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，

（1）求证：AE=DE；

（2）若PB=2，求AE的长；

（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．

10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．

①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；

②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4

x

（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，

D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

11．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．

（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；

（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；

（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．

12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，

DE

DC

等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DE

DC

的值； （3）如图③，若DE CF =，求

DE

DC

的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】

（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.

（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.

（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点

N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴

对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】

（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

135BAC ∠=，

180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，

BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，

BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，

BD AD ∴=，

在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，

222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，

42AB =，

2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，

6AC =，

11

641222

ABC S AC BD ∴=?=??=．

（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，

D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，

PD PQ ∴=，

PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，

点P 为AB 上的动点，

PC PD CQ ∴+≥，

∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，

点C 为半圆AB 的中点，

90COB ∴∠=，

90BOD COD COB ∠+∠=∠=，

11

903033

BOD COB ∴∠=∠=?=，

10AB =，

11

10522

OD AB ∴=

=?=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，

155

,222DH OD QH DH ∴==∴==，

2

2

2

2

553522OH OD DH ??∴=-=-=

???

， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，

553,2OM QH MQ OH ∴==

==

， 515

522

CM OM OC ∴=+=+

=， 2

2

22

15535322CQ CM MQ ????∴=+=+= ? ? ?????

， PC PD ∴+的最小值为53．

（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交

OB 于点F ，

PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，

,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，

．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，

SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，

∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长

度，

45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，

454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．

扇形AOB 的半径为20，

20OS ON OP ∴===，

在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=

PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．

【点睛】

本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.

2．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）①当PBM PCN ?△△时或当MBP PCN ?△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ?△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ?△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ??=，AFO CFO S S ??=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ????-=-，即ADF CDF S S ??=；

【详解】

解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=?，

∴当PBM PCN ?△△时，有BM NC =，即5t t -=①

5 1.54t at -=-②

由①②可得 1.1a =， 2.5t =．

当MBP PCN ?△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，

由③④可得0.5a =，2t =．

综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与

PCN △全等； ②AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=?，

90APB CBD ∴∠+∠=?，

90ABC ∠=?，

90APB BAP ∴∠+∠=?， BAP CBD ∴∠=∠，

在ABP △和BCD 中，

BAP CBD AB BC

ABC BCD ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()ABP BCD ASA ∴?△△，

BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；

（2）当38a =，8

3

t =时，1DN at ==，而4CD =，

DN CD ∴<，

∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，

如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=?， 180ABC BCD ∴∠+∠=?， //AB BC ∴，

AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD

BAC DCA ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()AOM COD ASA ∴?△△，

OA OC ∴=，

ADO CDO S S ??∴=，AFO CFO S S ??=， ADO AFO CDO CFO S S S S ????∴-=-， ADF CDF S S ??∴=．

【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（315344）219

π

【解析】 【分析】

（1）由△ABC 是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS 证得两三角形全等即可；

（3）根据CM ∥BP 说明四边形PBCM 是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可； （4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ，利用勾股定理求出AB 的长，在△ABC 中，利用等边三角形的性质求出BN ，在△BON 中利用勾股定理求出OB ，最后根据弧长公式求出弧AB 的长. 【详解】

解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°， ∵=BC BC ，=AC AC ，

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°； （2）证明：∵CM ∥BP ， ∴∠BPM+∠M=180°， ∠PCM=∠BPC ， ∵∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC ）=180°-120°=60°，

∴∠M=∠BPC=60°，

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC+∠PBC=180°，

∵∠MAC+∠PAC=180°

∴∠MAC=∠PBC

∵AC=BC，

在△ACM和△BCP中，

M BPC

MAC PBC

AC BC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACM≌△BCP（AAS）；

（3）∵CM∥BP，

∴四边形PBCM为梯形，

作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM=CP，AM=BP，

又∠M=60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=

33

，

∴S四边形PBCM=

1

2

（PB+CM）×PH=

1

2

(2+3)×

33

2

=

153

4

；

（4）过点B作BQ⊥AP，交AP的延长线于点Q，过点A作AN⊥BC于点N，连接OB，∵∠APC=∠BPC=60°，

∴∠BPQ=60°，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=

1

2

PB=1，

∴在△BPQ中，22

21=3

-

∴在△AQB中，AB=()

()2 2

22=113=7

AQ BQ

+++，∵△ABC为等边三角形，

∴AN经过圆心O，

∴BN=1

2

AB=

7

2

，

∴AN=22

21 =

2

AB BN

-，

在△BON中，设BO=x，则ON=21

x

-，

∴

22

2 721

=

22

x x

????

+-

? ?

? ?

????

，

解得：x=21

，

∵∠BOA＝2∠BCA＝120°，

∴AB=

21

120221

3=

1809

ππ

?

.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．

4．（1）①详见解析；②图见解析，猜想∠BEC=45°；（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）①证明△ACD≌△BCF，得到∠CAD=∠CBF即可得到∠AEF=∠BCF=90°即可；

②根据已知条件画图即可；

（2）取AB的中点M，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到点A，B，C，E四点在同一个圆M上，再利用圆周角定理即可证明．

【详解】

解：（1）①∵,90

AC BC ACB?

=∠=，CD CF

=

∴在△ACD与△BCF中，

AC BC

ACD ACB

CD CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ACD≌△BCF（SAS）

∴∠CAD=∠CBF

又∵∠AFE=∠BFC

∴∠AEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥AD

②图如下所示：

猜想∠BEC=45°，

（2）选择图1证明，

连接CE，取AB的中点M，连接MC，ME

∵△ABC和△ABE都是直角三角形

∴

1

2

MC ME AB AM BM

====，

∴点A，B，C，E四点在同一个圆M上，

∴∠BEC=∠BAC=45°，

∴∠BEC=45°

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是根据已知条件选择全等三角形的判定定理，并充分利用数形结合的思想解答．

5．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)． 【解析】 【分析】

（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90?，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45?，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45?，所以∠OEF ＝45?，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．

（2）由直线l 与直线AC 成45?可知∠AMN ＝45?，由直线AC 解析式可设M 点坐标为（x ，1

22

x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标．

【详解】

解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，

在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90?，AC ＝BC ， ∵CE ⊥x 轴，

∴∠ACK +∠ECB ＝90?，∠ECB +∠CBE ＝90?， ∴∠ACK ＝∠CBE 在△AKC 和△CEB 中，

AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠??

∠=∠??=?

， △AKC ≌△CEB （AAS ） ∴AK ＝CE ，CK ＝BE ， ∵四边形AOEK 是矩形， ∴AO ＝EK ＝BE ， 由直线l ：y ＝﹣1

3

x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）

∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4）， ∵∠CDB ＝∠CEB ＝90?， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆， ∵CD CD =，∠CBA ＝45?， ∴∠CED ＝45?， ∴FE 平分∠CEO ，

过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ． ∴PH ＝PQ ，

∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ， ∴OE ＝4， ∴AP +PQ ≥4，

∴AP+PQ

的最小值为4．

（2）∵A点坐标为（0，2），C点坐标为（4，4），设直线AC解析式为：y＝kx+b

把（0，2），（4，4）代入得

2

44

b

k b

=

?

?

=+?

解得

1

2

2 k

b

?

=?

?

?=?

∴直线AC解析式为：y＝1

2

2

x+，

设M点坐标为（x，1

2

2

x+），N坐标为（0，y）．

∵MN∥AB，∠CAB＝45?，

∴∠CMN＝45?，

△CMN为等腰直角三角形有两种情况：

Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90?，MN＝CN．

同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．

∴

4

1

24

2

x y

x y

-=-

?

?

?

+-=

??

，解得：

12

8

x

y

=-

?

?

=-

?

，

∴M点坐标为（﹣12，﹣4）

Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90?，MN＝CN．

过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．

∴

44

1

244

2

x y

x

-=-

?

?

?

+-=

??

，解得：

12

12

x

y

=

?

?

=

?

，

∴M点坐标为（12，8）

综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．

【点睛】

本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．

6．（1）OD=4,

（2）证明过程见详解

（3）50

4 3

π

-

【解析】【分析】

（1）根据AB与圆O相切,在Rt△OBD中运用tan∠BOD=3

4

,即可求出OD的长,

（2）作辅助线证明四边形ADOG是矩形,得DO∥AC,sin∠OCG=3

5

,在Rt△OCG中,求出OG

的长等于半径即可解题,

（3）利用S阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1

4

S圆O,求出AC长度即可解题.

【详解】

解：（1）∵AB与圆O相切,∴OD⊥AB,

在R t△OBD中,BD=3,tan∠BOD=BD

OD

=

3

4

,

∴OD=4,

（2）过点O作OG垂直AC于点G,∵∠A=90°，AB与圆O相切,

∴四边形ADOG是矩形,

∴DO∥AC,

∴∠BOD=∠OCG,

∵tan∠BOD=BD

OD

=

3

4

,

∴sin∠OCG=3 5 ,

∵CF=8

3

,OF=4,

∴OG=OGsin∠OCG=4=r,

∴AC是⊙O的切线

（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,

在R t△ABC中,tan∠C=3

4

,AB=4+3=7,

∴AC=

AB

tan C

∠

=

7

3

4

=

28

3

,

∴S

阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1

4

S圆O=2

1281

7444

234

π

??-?-=

50

4

3

π

-

【点睛】

本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.

7．（1）菱形的周长为8；（2）t=6

5

，∠MAC=105°；（3）当t=1

3

或t=1

3

圆M与AC相切．

【解析】

试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：3

AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明

△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）

如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=

3

3

，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可． 试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，

∵()

B 1,3-，()A 2,0， ∴BE 3=，AE 1=， ∴22AB AE BE 2=

+=，

∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB BC CD AD ===， ∴菱形的周长248=?=．

（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，

∵()M 3,1-， ∴()F 3,0-，

∵AD 2=，且E 为AD 中点，

∴()E 30，

，EF 6=， ∴2t 3t 6+=， 解得6t 5

=

． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，

垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点， ∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=， ∴tan EAB 3∠=， ∴EAB 60∠=?， ∴FAB 120∠=?， ∵四边形ABCD 是菱形，

∴11

FAC FAB 1206022

∠∠==??=?， ∵AD 为M 切线， ∴MF AD ⊥，

∵F 为AD 的中点， ∴AF MF 1==，

∴AFM 是等腰直角三角形， ∴MAF 45∠=?，

∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=?+?=?．

（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为

E ，

∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=?， ∴DAC 60∠=?． ∵AC 、AD 是圆M 的切线 ∴MAE 30∠=?， ∵ME MN 1==．