高中数学《立体几何》大题及答案解析
高中数学《立体几何》大题及答案解析(理)
1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD -中，底面
ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，
2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
()II 求二面角S AM B --的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB⊥AC,D、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,
求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小
3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，
120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．
4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当
2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面
PDB
所成的角的大小.
5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面
ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，
2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．
A
C
B
A 1
B 1
C
D E
O
A
P
B
M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．
6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，
,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥
BCE 平面
（III ）求二面角F BD A --的大小。
7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).
(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。
8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。
9.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，
求证： PM ∥BCE 平面
（III ）求二面角F BD A --的大小。
10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，
2
BAD π
∠=，
2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，
3,7FC ED ==
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面
ABCD ．
(1)证明：PA ⊥BD ； (2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．
12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点
（1） 证明：PE ⊥BC
（2）
若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值
参考答案
1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，
连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,2NE AD ==
设MN x =，则NC EB x ==,
在RT MEB ?中，60MBE ∠=
?ME ∴=。 在RT MNE ?中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+
解得1x =，从而12
MN SD =∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.
（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于
K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所
求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.
解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。
x
（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则
)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，
)2,2,0(-=SC ，由题得
??
?
?
?
>= ???? -=-=++-?--) 2(22212)2(2)2(22 2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。 法2：设MC SM λ=，则)12 ,12,2(),12,12, 0(λ λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||?=?，即 2 2)12()12(214λ λλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则 ???? ?=?=?0011AS n MA n 且?????=?=?0 012AB n MA n ，即?????=+-=--022*******z x z y x 且????? ==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即 )2,0,2(),1,1,2(21==n n ， ∴3 6 6 2202,cos 21= ?++>= 二面角S AM B --的大小3 6arccos -π。 2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF 1 2 1B B ，从而EF DA 。 连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF 1BCC 1BCC 设AC=2，则AG= 3 。又AB=2，BC=22，故AF=2。 由AB AD AG BD ?=?得2AD= 22.23 AD +，解得AD=2。 故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。 因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。 连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。 连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。 因ADEF 为正方形，2EH=1，又EC=11 2 B C =2， 所以∠ECH=300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300. 解法二： （Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。 设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12 ， 2 b ，c ）. 于是DE → =（12，2 b ，0），BC →= （-1，b,0）.由DE ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→?=0，求得b=1，所以 AB=AC 。 （Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z → =则0,0.AN BC AN BD →→→→ ?=?= 又BC → =（-1，1， 0）， BD → =（-1，0，c ）,故0 x y x cz -+=?? -+=? 令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1 c ). 又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0） 由二面角C BD A --为60°知，AC AN ， =60°， 故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2 1c = 于是 ），，（211=AN ， ） ，，211(1-=CB 2 1 cos 1 11=??= CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ， ° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30° 3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 21 //==， 又BE DC 2 1//==，所以DC PQ == //，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD （Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC 而?EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以55 5 1sin = == ∠AD DP DAP 4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD ABCD ⊥底面， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE 12 OE PD =PD ABCD ⊥底面12 2 OE PD AB AO == =45AOE ?∠=45?【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==， ∴0,0AC DP AC DB ?=?=， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，( ) 11,,,222P E a a ?? ? ??? ， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1 1 2,,,0,0,22 22EA a a a EO ???? =-- =- ? ? ? ?????， ∴2 cos 2 EA EO AEO EA EO ?∠= = ?， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?. ∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABCD ＋V E —BCF=5、解：方法（一）： （1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ . （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以 PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠ 所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =， 则O 点到平面ABM 。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ， 设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20 220 x y z =?? +=?，令 1z =-，则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α，则2sin PC n PC n α?= =， 所求角的大小为arcsin 3 . （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n ?= = 6、【解析】解法一： 因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD=AB ， 所以BC ⊥平面ABEF. 所以BC ⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB=AE ， 所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45, 所以∠FEB=90°，即EF ⊥BE. 因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B 所以EF BCE ⊥平面 …………………………………………6分 （II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN 1 2 A B PC ∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, ∴ PM∥平面 BCE. …………………………………………8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD. 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF= 2 2 ,则 1 FG AF sin FAG 2 =?= 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+1 2 = 3 2 , 3232 GH BG sin GBH 224 =?=?=, 在Rt⊿FGH中, FG2 tan FHG GH3 ==, ∴ 二面角F BD A --的大小为2arc tan 3 …………………………………………12分 解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥ 又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ， 所以AD AE ⊥ 即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B ∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠， 从而），，－（2 1210F )2 1 ,21,0(--=，)0,0,1(),1,1,0(=-= 于是02 1 210=-+=?，0=?BC EF ∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC ∵BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，B BE BC =? ∴EF BCE ⊥平面 （II ）)0,2 1,1(),2 1,0,0(P M ，从而)2 1,21,1(--= 于是04 1 4 10)2 1,2 1,0()2 1,21,1(=- +=--?--=? ∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE （III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x ?????=?=?0011BF n BD n 即??? ??=+-=-021 2 30z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3） 取平面ABD D 的一个法向量为)1,0,0(2=n 故二面角F BD A --的大小为11 11 3arccos 7、（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。 SD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得AC ⊥BE. (II)解法1： SD ⊥平面ABCD ，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，∴ SD ⊥CD. 又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤ AD=D ，∴CD ⊥平面SAD 。 过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60° 在Rt △ADE 中， AD=a , DE= a λ， AE=a 12+λ 。 于是，DF= 1 2 +=?λλa AE DE AD 在Rt △CDF 中，由cot60°= 1 2 +=λλCD DF 得3 3 1 2= +λλ， 即332+λ=3λ (0,1]λ∈， 解得λ= 2 2 8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面ABC . 又DE ?平面ABC ，所以DE 1AA ⊥.而DE ⊥1A E ，111AA A E A =, 所以DE ⊥平面11ACC A .又DE ?平面1A DE ， 故平面1A DE ⊥平面11ACC A . （Ⅱ）解法 1: 过点A 作AF 垂直1A E 于点F , 连接DF .由（Ⅰ）知，平面1A DE ⊥平面11ACC A ， 所以AF ⊥平面1A DE ,故ADF ∠是直线AD 和 平面1A DE 所成的角。因为DE ⊥11ACC A ， 所以DE ⊥AC.而?ABC 是边长为4的正三角形， 于是AD =23，AE=4-CE =4-12 CD =3. 又因为17AA =，所以1A E = 2211A E AA AE =+22(7)3=+= 4, 1137 AE AA AF A E ?= = , 21sin 8AF ADF AD ∠==. 即直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值为 21 8 解法2 : 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系， 则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), 1A 73E(-1,0,0). 易知1A D =（-337），DE =（0，3，0），AD =（-33，0）. 设(,,)n x y z =是平面1A DE 的一个法向量，则 解得7 ,03 x z y =- =. 故可取(7,0,3)n =-.于是 cos ,n AD n AD n AD ?= ?= 3721 8423 -=-? 由此即知，直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值为21 8 所以ME 与BN 不共面，它们是异面直 线。 ……..12分 9、【解析】解法一： 因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD=AB ， 所以BC ⊥平面ABEF. 所以BC ⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形，AB=AE ， 所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45, 所以∠FEB=90°，即EF ⊥BE. 因为BC ?平面ABCD, BE ?平面BCE, BC ∩BE=B 所以EF BCE ⊥平面 ………………6分 （II ）取BE 的中点N,连结CN,MN,则MN 1 2 A B PC ∴ PMNC 为平行四边形,所以PM ∥CN. ∵ CN 在平面BCE 内,PM 不在平面BCE 内, ∴ PM ∥平面 BCE. …………………………………………8分 （III ）由EA ⊥AB,平面ABEF ⊥平面ABCD,易知EA ⊥平面ABCD. 作FG ⊥AB,交BA 的延长线于G,则FG ∥EA.从而FG ⊥平面ABCD, 作GH ⊥BD 于H,连结FH,则由三垂线定理知BD ⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF= 22,则1FG AF sin FAG 2 =?= 在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+12=32 , 3232GH BG sin GBH 224 =?= ?=, 在Rt ⊿FGH 中, FG 2 tan FHG GH 3 = =, ∴ 二面角F BD A --的大小为2 arc tan 3 ………………12分 解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥ 又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥ 即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B ∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠， 从而），，－（2 1210F )2 1 ,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-= 于是02 1 210=-+=?，0=? ∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC ∵BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，B BE BC =? ∴EF BCE ⊥平面 （II ）)0,2 1,1(),2 1,0,0(P M ，从而)2 1,21,1(--= 于是04 1 4 10)2 1,2 1,0()2 1,21,1(=- +=--?--=? ∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE （III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x ?????=?=?0011BF n n 即??? ??=+-=-021 2 30z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3） 取平面ABD D 的一个法向量为)1,0,0(2=n 故二面角F BD A --的大小为11 11 3arccos 10、解法一:（Ⅰ）,AB DC DC ?平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2 BAD π ∠=AB ∥DC ，故 CD AD ⊥； 又FA ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故CD FAD ⊥面，知CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离。 在Rt ABC △ 中，FD ===由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中， 1FA === E x ∴FA AD AG FD ?= == AB 到平面EFCD 的距离为 5。 （Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2 BAD π ∠=，知AD AB ⊥， 故AD ⊥平面ABFE ∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，记为θ. 在Rt AED △中, AE ==,由ABCD 得,FE BA ,从而2 AFE π ∠= 在Rt AEF △中, FE ==故tan FE θ==所以二面角F AD E --解法二: （Ⅰ）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF 的向为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)F z z >可得 0(2,2,)FC z =-,由||3FC =.3=,解得(0,0,1)F AB ∥DC ， DC ?面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。 设A 点在平面EFCD 上的射影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z = 因0AG DF ?=且0AG CD ?=,而(0,2,1)DF =- (2,0,0)CD =-,此即11120 20 y z x -+=??-=? 解得10x = ① ,知G 点在yoz 面上,故G 点在FD 上. GF DF ,111(,,1)GF x y z =---+故有 1 112 y z =-+ ② 联立①,②解得, 24(0,,)55 G ∴||AG 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24 (0,,)55 AG = 所以25||AG = （Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形,则可设 00(,0,1)(0)E x x <,0(2,1)ED x =-- .由 ||7ED =得2 20217x ++=解得02x =-.即(2,0,1)E .故(2,0,1)AE =- 由(0,2,0)AD =,(0,0,1)AF =因0AD AE ?=,0AD AF ?=,故FAE ∠为二面角 F AD E --的平面角，又(2,0,0)EF =,||2EF =,||1AF =,所以 || tan 2|| EF FAE FA ∠= =11.解：(1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得3BD =. 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ． 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ． 所以BD ⊥平面PAD ．故PA ⊥BD ． (2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .则A (1，0，0)，B (03，0)，C (－130)，P (0，0，1)． AB ＝(－130)，PB ＝(03，－1)，BC ＝(－1，0，0)． 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0 n AB n PB ??=???=?? 即3030 x z ?-+=??-=?? 因此可取n ＝(3，13． 设平面PBC 的法向量为m ，则0 m PB m BC ??=???=?? 可取m ＝(0，－13，27 cos ,27 m n = =. 故二面角A -PB -C 的余弦值为27 7 - . 12.解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B （Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n 则 1(0,,0),(, ,0).22m D m E 可得 1(,,),(,1,0).22m PE n BC m =-=- 因为0022 m m PE BC ?=-+= 所以 PE BC ⊥ （Ⅱ）由已知条件可得 331,33 m n C =- =-故 ( 设 (,,)n x y x =为平面PEH 的法向量 则 ,,n HE o n HP o ??=???=?? 即13020 x z -=????=? 因此可以取3,0)n =， 由(1,0,1)PA =-， 可得 2 cos ,4 PA n = 所以直线PA 与平面PEH 2 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 解析几何题型 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =， 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=． 例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 §0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠） 高中数学解析几何答题全攻略，2020高考生必看！ 解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。 1 考试时间分配 问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题 老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！ 问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？ 老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。这个过程比做新题更重要。 问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？ 老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！ 问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我 老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。还有就是如果正视侧视和俯视都和正方形或者等腰直角三角形有关，那么可以画一个正方体，去找这个立体图形的可能性。 2 解析几何如何把握 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹 叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。 具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< （1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）. 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注 2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点 的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 2 2=+b x a y （0>>b a ）； 若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点 的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法 得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ， ),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位． 置．上． ． 1. (2017 年 11 月月考)已知双曲线的方程为22 164x y -= ，则该双曲线的焦距为 . 2. (2018 年 01 月期末)抛物线 x 2 = 2 y 的焦点到其准线的距离为 . 3. (2017 年 11 月月考)已知抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)的准线方程为 y = -1，则实数 p 的值为 . 4. (2017 年 11 月月考)已知点 F 为双曲线22 142 x y -=的左焦点，则点 F 到双曲线的右准线的距离为 . 5. (2017 年 11 月月考)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 x 的准线上，则双曲线的方程是 . 6. (2018 年 01 月期末)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为 2，则该双曲 线的渐近线方程为 . 7. (2017 年 11 月月考)设 F 1 ， F 2 分别为椭圆 C : 22 193 x y +=的左、右焦点，若点 P )在椭圆上，则 ?PF 1 F 2 的 面积为 . 8. (2017 年 11 月月考)已知抛物线经过点 P (-2,4)，则该抛物线的标准方程是 . 9. (2018 年 01 月期末)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上一点 p 到焦点的距离为 5，到 y 轴的距离为 3，则 p = . 10. (2016 年 09 月月考)若关于 x = x + b 有两个不同解，则实数 b 的取值范围是 . 11. (2018 年 01 月期末)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 22 12516 x y +=的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且点 P 到左焦点的 距离是其到右准线25 倍，则 P F 2 = . 12. (2017 年 11 月月考)已知椭圆的方程为22 1169 x y +=，则椭圆内接正方形的周长为 . 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 解析几何常规题型及方法 核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221- =，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 高中解析几何专题(精编版) 1、 (天津文)设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2。点(,) P a b 满足212||||.PF F F = (Ⅰ)求椭圆的离心率e ; (Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A,B 两点,若直线PF 2与 圆 22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且5 ||||8 MN AB =,求椭圆的方 程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两点间的距 离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。 (Ⅰ)解:设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,因为212||||PF F F =, 2c =,整理得2 210,1c c c a a a ?? +-==- ???得(舍) 或11 ,.22 c e a ==所以 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) 知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直线FF 2 的方程为).y x c =- A,B 两点的坐标满足方程 组2223412, ). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理,得 2580x cx -=。解得1280,5x x c ==, 得方程组的解21128,0,5,. x c x y y ?=?=??? ?? =???=?? 不妨设8,55A c c ?? ? ??? , (0,)B , 所以16||.5AB c == 于就是5 ||||2.8 MN AB c == 圆心(-到直线PF 2 的距离|||2| .22 c d += = 因为2 2 2 ||42MN d ??+= ??? ,所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=,得26 7 c =-(舍),或 2.c = 高中解析几何专题（精编版） 1. （天津文）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,) P a b 满足212||||.PF F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与 圆 22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5 ||||8 MN AB =，求椭圆的 方程。 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距 离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。 （Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得2 210,1c c c a a a ?? +-==- ???得（舍） 或11 ,.22 c e a ==所以 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直 线FF 2 的方程为).y x c =- A ， B 两点的坐标满足方程 组2223412, ). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得 2580x cx -=。解得1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,. x c x y y ?=?=??? 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