平面向量复习公开课
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。
让我们来搞清楚什么是平面向量。
想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。
现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。
那么，这条线段就变成了一个向量。
那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。
那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。
用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。
这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。
假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。
那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。
所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。
这就是平面向量的数量积。
那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。
比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。
所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。
好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。
如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。
这样一来，问题就变得简单多了。
平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。
希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。
好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。
平面向量基本定理教案(区公开课)
仁爱/诚信/勤奋/创新授课教师：蒋金凤课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题.2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法.3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合.重点平面向量基本定理难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和“任意性”的验证突破方法通过实例画图和类比平面直角坐标系的象限归纳总结教学模式讲授式、探究式板书设计平面向量基本定理平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影小结：教学过程教学活动学生活动设计意图一、情景引入两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？二、新课探究1.给定向量21e,e请根据平面坐标的线性运算（1）作出向量)e()e(2132+下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量21e,e和1OC，你能将1OC用21e,e表示成2211eeλλ+的形式吗？看图观察并思考，说出自己的判断和依据学生口述，作图过程得结果独立完成，个别展示从实际生活问题入手，贴近学生的日常生活，能很好地激发学生的求知欲望复习向量的线性运算和共线向量定理，为后续的向量的分解和唯一性作铺垫进入向量分解的探究，刚刚作图的过程还记忆犹新，按照来的痕迹寻找构造平行四边形的方法教学过程（2）作出向量212ee-+按照（1）同样的方法，帮助学生找到作出平行四边形的方法.2..给定．．向量21e,e，请同学们随意画出一个向量，并将其表示成2211eeλλ+的形式.学生以同桌两人为一小组，前后桌每四人一大组进行合作研究，需画出两个向量。
首先讨论选定向量，然后开始操作，最后完成同组同学之间互查，选出代表与同学们交流。
3.将学生完成的情况都平移到点O,如下图口述，并完成向量的分解小组讨论，合作探究。
坐标法在平面向量运算中的应用(公开课教案)
坐标法在平面向量运算中的应用（专题复习）一、教学目标1．知识与技能：运用坐标法解决平面向量的数量积、夹角、模、参数等有关的值、范围、最值等高考热点问题。
2．过程与方法：通过实例讲解，让学生在用坐标法、基向量法及其它方法解决向量问题过程中，体会坐标法的优越性，并掌握用坐标法解决平面向量有关问题。
3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验坐标法在平面向量运算中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点重点：运用坐标法解决平面向量有关问题。
难点：恰当建立直角坐标系，将平面向量有关的问题用坐标法解决。
三、教学过程（一）回归教材1.向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j 这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的 坐标，记作(,)x y =a .显然，i =（1,0），j =（0,1），0 = （0,0）2.平面向量的坐标运算(1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ， a(2) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--.(3) 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212x x y a y b +=(4) 向量的夹角公式：21cos a b a b x θ==+ (5)向量的模：221a a a a x ==⋅=+(6)平面向量的平行与垂直问题：若11(,)a x y =，22(,)b x y =//a b ，则12210x y x y -= a b ⊥，则121200x x y a b y ==+⇒λ）（21,x x λλ=3.平面几何问题的向量坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能将向量有关的几何问题转化为相应的代数运算，从而使问题得到解决。
平面向量的数量积公开课一等奖优秀课件(2024)
数量积满足交换律、分配律和结合律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$， $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$， $(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
空间向量的数量积性质
满足交换律、分配律和结合律，且当两向量垂直时，其数量积为零。
2024/1/29
空间向量的数量积应用
在物理中，用于计算力在某一方向上的做功；在计算机图形学中，用 于计算光照强度等。
与平面向量的数量积比较
空间向量的数量积与平面向量的数量积在定义和性质上有很多相似之 处，但空间向量的数量积涉及三维空间，更为复杂和抽象。
6
02
平面向量的基本概念与性质
2024/1/29
7
向量的定义与表示方法
2024/1/29
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示，有向线段 的长度表示向量的大小，有向线 段的方向表示向量的方向。
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字母 加箭头表示，如$vec{a}$或 $vec{AB}$，其中起点为A，终点 为B。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与$vec{b}$共线的 充要条件是存在唯一实数$k$，
使得$vec{a} = kvec{b}$。
2024/1/29
9
向量的模与方向角
01
向量的模
向量的模定义为向量的长度，记作$|vec{a}|$，对于任意向量$vec{a}$
平面向量的加法公开课课件
D
abc
c
bc
例子
(a b) (c d) (b d) (a c)
A
a
ab
b
B
a b c d [d (a c)] b
C
三、看图填写 ad cb
C
D
dO
c
a A
b B
例2：如图，一艘船从A点出发以2 3 kmh的速度向垂直于对岸
的方向行驶，同时河水的流速为2km h，求船实际航行速度的
平面向量的加法
1.三角形法则 2.平行四边形法则
• 向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量。
• 向量的表示方法: 用一条有向线段，或用 a ,或用有向线段的起 点和终点字母表示
• 零向量和单位向量: 长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度 的向量叫单位向量。
• 平行向量: 方向相同或相反的向量叫平行向量，平行向量 也叫做共线向量。
A
B
C
AC a b
B
CA
AC a b
注： a 0 0 a a
思考
• 使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可 以推广到n个向量相加。 (首尾相接，首尾连）
AB BC CD DE AE
C
Ed
D
c
C
A
b
aB
AB BC CA 0
A
B
(1)研究向量是否满足交换律: a b b a
CAB 60
答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向 与流 速 间的夹角为60°．
四、课堂练习
一、用三角形法则求向量的和
（2） b
ab b
a
（4） a b
b
ab
二、用平行四边形法则求向量的和
7.1__平面向量的概念(公开课)
练习：下列量哪些是数量哪些是向量?
距离、位移、身高、质量、
时间、速度、面积、温度、力.
数量 向量
距离,身高 质量,时间 面积,温度
位移,力 速度
S
二.向量的表示
1、用有向线段表示
始点 终点
始点
A
B
a
或
终点
2、用字母表示
始点
AB,
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
（3）错
例3:如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别 写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量 B A 与OA相等的向量有
DO, CB.
O
C F
与OB相等的向量有 EO,DC.
与OC相等的向量有 FO, ED.
D
E
练习:
1、下列命题正确的是
a
终点
三. 向量的有关概念
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 | AB | 或 | a |
注意： 向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
b
| a || b |
a b
√ ×
2.两个基本向量： 零向量: 模为零的向量(方向不确定). 表示：
长度相等且方向相同的向量.表示为： a b a
负向量(相反向量)
a
a
b
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
巩固知识
典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中 的单位向量 (小方格边长为1)．
N E
B M
K A H
平面向量数量积的坐标表示(优秀经典公开课课件)
所以23xx－ ＋y2＝y＝2，5， 解得xy＝ ＝4797，， 答案 (1)C (2)97，47
所以 c＝97，47.
题型二 向量模的坐标表示
[例 2] (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b 6
C． 17
D． 26
(2)已知A→B＝(2,3)，A→C＝(3，t)，|B→C|＝1，则A→B·B→C＝( )
3．分清向量平行与垂直的坐标表示. 素养.
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
若 i，j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的向量， 则 a，b 如何用 i，j 表示？
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通 常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用 数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[触类旁通]
1．(1)设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3,4)，向量 c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c
A．－3
B．－2
C．2
D．3
[解析] (1)因为 a∥b， 所以 1·y－2×(－2)＝0， 解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. (2)由B→C＝A→C－A→B＝(1，t－3)， |B→C|＝ 12＋t－32＝1，得 t＝3， 则，A→B·B→C＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2. 故选 C． [答案] (1)A (2)C
解析 (1)由已知得O→A＝(1,2)，O→B＝(2,1)，
平面向量的数量积公开课ppt课件
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
平面向量的线性运算公开课
F1
C
F1 F2 F F1 F2
F
F2
M
F
思考6：人在河中游泳，人的游速为 那么人在水中的实际速度 OC 与 何？
OA 水流速为 OB ，
OA 、OB 之间的关系如
B
O
A
C
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用平行四
边形法则求其和向量？
的三角形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用三角形
法则求其和向量？
a a＋b b
b
a
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方 向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相
同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2
之间的关系如何？ 图1 M EO 图2 E O
AB BC AC
C
A
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C， 则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向 量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫 做向量的加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加法
E
g
e
(1)a b (2)c d
OB为邻边做平行四边形OACB,连接OC,则 OC OA OB
ab
b a O A
O
A
B
B
C
向量加法的代数运算性质
思考1：零向量 0 与任一向量 a 可以相加吗？ 规定：a＋0 0＋a a，
思考2：若向量 a与b 为相反向量，则 a＋b 等于什么？反之
高考数学一轮复习第五章平面向量与解三角形5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理公开课课件省
y 1)=0. 4.几个重要结论:如图,
(1)若a、b为不共线向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的 对角线向量; (2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2); (3)G为△ABC的重心⇔G A+ G +B G=C0 ⇔GxA.x3BxC,yAy3ByC
解析 如图,设O A=a, O =B b, O=Cc.因为向量c=λa+μb(λ,μ∈R),且λ+μ=1, 所以A,B,C三点共线.
零的实数λ、μ,使得λa+μb=0.
考点二 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个② 不共线 向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =③ λ1e1+λ2e2 ,其中e1、e2是一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2);
位向量.
4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与
任一向量平行.
5.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
6.向量的加法法则:三角形法则和平行四边形法则.
7.向量加法的交换律:a+b=b+a.
向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
8.与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.规定:0的相反 向量是0. 9.实数λ与非零向量a的乘积λa是一个向量,它的长度是|a|的|λ|倍,即|λa|=| λ||a|.它的方向:当λ>0时,与a同向;当λ<0时,与a反向.显然,当λ=0时,λa=0. 10.设a、b是任意向量,λ、μ是实数,则实数与向量的积适合以下运算律: (1)结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)·a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a +b)=λa+λb. 11.向量共线的判断 (1)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是 ① 有且只有一个实数λ,使得b=λa ; (2)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是