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湖南省湖南师大附中高二年级第一学期期末数学考试试卷[1]

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2018-2019学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试 数学(理)(答案)

2018-2019学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试 数学(理)(答案)

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．A 3．C 4．A 5．C6．B 7．C 8．A 9．B10．A 【解析】g (x )＝f (x )＋m ＋x 有两个零点， 等价于f (x )＋m ＋x ＝0有两个根， 即y ＝f (x )与y ＝－x －m 有两个交点， 画出y ＝f (x )与y ＝－x －m 的图象，如图，由图可知，当y ＝－x －m 在y 轴的截距不大于1时， 两函数图象有两个交点，即－m ≤1，m ≥－1，m 的取值范围是[－1，＋∞)，故选A. 11．C 【解析】因为M 是PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点， 所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线． 因为OM ⊥PF 1，所以PF 2⊥PF 1.又因为|PF 2|－|PF 1|＝2a ，2|PF 1|＝|PF 2|，|F 1F 2|＝2c ， 所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a .在△F 1PF 2中，PF 2⊥PF 1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2. 代入得(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，所以c 2a2＝5.即e ＝ 5.选C.12．A 【解析】根据题意，对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≤0， 即f (x 1)≤g (x 2)，f (x )max ≤g (x )min 恒成立，g ′(x )＝－3x 2＋2x ，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2内先增后减，g (2)<g ⎝⎛⎭⎫12，故g (x )min ＝1. 则f (x )≤1，ax＋x ln x ≤1，解a ≤x －x 2ln x .令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，h ″(x )＝－2ln x －3.在区间⎣⎡⎦⎤12，2内，h ″(x )<0，h ′(x )递减，h ′(1)＝0，故x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )>0， x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，h (x )min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫12，h （2）＝h (2)＝2－4ln 2， ∴a ≤2－4ln 2，则实数a 的取值范围是(－∞，2－4ln 2]．故选A. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．x n ＋nx>n ＋114．2 【解析】作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋3≤0x －1≤0y －1≥0表示的平面区域，得到如图的区域，其中A (－1，1)，设z ＝F (x ，y )＝－x ＋y ，将直线l ：z ＝－x ＋y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值＝F (－1，1)＝1＋1＝2. 故答案为：2. 15.π4－2 【解析】由定积分的几何意义可知，⎠⎛011－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于π4.⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0＝－cos π＋cos 0＝2.∴⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝π4－2.答案为：π4－2.16．－12<a<0 【解析】f(x)＝x ln x ＋ax 2(x ＞0)，f ′(x)＝ln x ＋1＋2ax.令g(x)＝ln x ＋1＋2ax ，函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点g(x)＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．g′(x)＝1x＋2a ＝1＋2ax x，当a ≥0时，g ′(x)＞0，函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因此g(x)＝0在区间(0，＋∞)上不可能有两个实数根，应舍去．当a<0时，令g ′(x)＝0，解得x ＝－12a .令g′(x)＞0，解得0＜x ＜－12a，此时函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0，解得x ＞－12a，此时函数g(x)单调递减．∴当x ＝－12a 时，函数g(x)取得极大值．要使g(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个实数根，则g ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＞0，解得－12<a<0.∴实数a 的取值范围是－12<a<0. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】(Ⅰ)∵b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝12bc sin A ，∴代入已知等式得：2bc cos A ＝433·12bc sin A ，得：tan A ＝3，∵A 是三角形内角，∴A ＝60°.6分(Ⅱ)∵B 为三角形内角，cos B ＝45，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35，∴sin C ＝sin (B ＋A)＝sin (B ＋60°)＝12sin B ＋32cos B ＝3＋4310，∵a ＝53，sin A ＝32，sin C ＝3＋4310， ∴由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝3＋4 3.12分18．【解析】(Ⅰ)∵3a n ＝2S n ＋n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，3a n －1＝2S n －1＋n －1，即a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a n ＋12＝32·3n －1，∴a n ＝12×3n －12，∴S n ＝3a n －n 2＝34·3n －14()2n ＋3，8分∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34()3＋32＋ (3)－14×()5＋2n ＋3n 2＝98()3n －1－n ()n ＋44.12分19．【解析】(Ⅰ)如图，作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，∴SO ⊥AB. 又AB ⊥AD ，SO ∩AD ＝O ，∴AB ⊥平面SAD.又∵AB 平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面SAD.5分 (Ⅱ)连结BO ，CO ，∵SB ＝SC ，∴Rt △SOB ≌Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴Rt △AOB ≌Rt △DOC ，∴OA ＝OD. 取BC 中点E ，得OE ∥AB ，连结SE ，∴SE ＝3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS ＝3－12＝ 2.由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∴DC →＝(0，1，0)，SC →＝(－1，1，－2)，BC →＝(－2，0，0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面SCD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝0，m ·SC →＝0，即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1－2z 1＝0，令z 1＝1得m ＝(－2，0，1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面SBC 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·SC →＝0.即⎩⎨⎧－2x 2＝0，－x 2＋y 2－2z 2＝0，令z 2＝1得n ＝(0，2，1)．则|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝13×3＝13.12分20．【解析】(Ⅰ)圆M: x 2＋y 2＋22y －10＝0的圆心为M ()0，－2，半径为23，点N()0，2在圆M 内， ||PM ＋||PN ＝23>||MN ，所以曲线E 是以M, N 为焦点，长轴长为23的椭圆，由a ＝3， c ＝2，得b 2＝3－2＝1，所以曲线E 的方程为x 2＋y 23＝1.4分(Ⅱ)①设B ()x 1，y 1， C ()x 2，y 2，直线BC: x ＝ty ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 2＋y 23＝1， 得()1＋3t 2y 2＋6mty ＋3m 2－3＝0，Δ＝36t 2－12m 2＋12，y 1＋y 2＝－6mt1＋3t 2， y 1y 2＝3m 2－31＋3t 2，由k 1k 2＝9知y 1y 2＝9()x 1－1()x 2－1＝9()ty 1＋m －1()ty 2＋m －1＝9t 2y 1y 2＋9()m －1t ()y 1＋y 2＋9()m －12，且m ≠1，代入化简得()9t 2－1()m ＋1－18mt 2＋3()m －1()1＋3t 2＝0，解得m ＝2.8分 ②由Δ＝36t 2－12m 2＋12＝36(t 2－1)>0，解得t 2>1，S △ABC ＝12||y 2－y 1＝3t 2－11＋3t 2＝3t 2－14＋3()t 2－12＝34t 2－1＋3t 2－1≤34(当且仅当t 2＝73时取等号)．综上，△ABC 面积的最大值为34.12分21．【解析】(Ⅰ)由已知x >0，f ′(x )＝2x ＋a ＋1x ＝2x 2＋ax ＋1x，①当a ≥－22时，f ′(x )≥0，则函数f (x )在(0，＋∞)单调递增. 2分 ②当a <－22时，Δ＝a 2－8>0时，2x 2＋ax ＋1＝0有两个正根，记x 1＝－a －a 2－84，x 2＝－a ＋a 2－84，当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增．综上，当a ≥－22时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－22时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a －a 2－84，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－84，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－84，－a ＋a 2－84上单调递减.5分 (Ⅱ)函数g (x )＝e x －1＋x 2＋a －f (x )＝e x －1－ln x －ax ＋a ，则g ′(x )＝e x －1－1x －a ＝h (x )，则h ′(x )＝e x －1＋1x2>0，所以g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，g ′(x )→－∞；x →＋∞时，g ′(x )→＋∞；所以g ′(x )∈R ， 所以g ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0， 所以g (x 0)为g (x )的最小值．由已知函数g (x )有且只有一个零点m ，则m ＝x 0.所以g ′(m )＝0，g (m )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧e m －1－1m －a ＝0，e m －1－ln m －am ＋a ＝0，则e m －1－ln m －⎝⎛⎭⎫e m －1－1m m ＋⎝⎛⎭⎫e m －1－1m ＝0，得(2－m )e m －1－ln m ＋m －1m＝0， 令p (x )＝(2－x )e x －1－ln x ＋x －1x (x >0)，所以p (m )＝0，则p ′(x )＝(1－x )⎝⎛⎭⎫e x －1＋1x 2，所以x ∈(0，1)时，p ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)时，p ′(x )<0，所以p (x )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，因为p (1)＝1>0，p (e)＝(2－e)e e －1－1＋e －1e ＝(2－e)e e －1－1e<0，所以p (x )在(1，e)上有一个零点，在(e ，＋∞)无零点，所以m <e.12分22．【解析】(Ⅰ)∵圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，∴消去参数α得普通方程为：x 2＋(y －1)2＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴(ρcos θ)2＋(ρsin θ－1)2＝1，化简得圆C 的极坐标方程为：ρ＝2sin θ.4分(Ⅱ)∵射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P .∴把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得：ρP ＝2sin π6＝1.又射线OM ：θ＝π6与直线l 的交点为Q ，∴把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得：ρsin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝2.ρQ ＝2.∴线段PQ 的长|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.10分23．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x ≤2.∴－1≤x ≤1，∴不等式解集为[－1，1].4分 (Ⅱ) ∵|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2， ∴m ＝2，6分 又1a ＋4b ＝2，a >0，b >0，∴12a ＋2b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ＝52＋2a b ＋b 2a ≥52＋2＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝2，b ＝2a ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3时取等号，所以(a ＋b )min ＝92.10分。

湖南省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理 Word版含答案

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湖南省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数 学(理科)命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月 15日 )满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是 A.x >1 B.x <1 C.x >3 D.x <33.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于 A.－sin α B.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 .9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 .13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面P AD所成角的正切值为62，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝⎛⎭⎫13，5二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题1－4.BABC 5－7.BDC 二、填空题8.－1 9.1＋x y ，1＋y x都不小于2 10.10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 3011.2 12.6 13.2n 3 三、解答题14.解：∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， 所以a ＝1，b ＝0，于是f (x )＝x 3－27x ，f ′(x )＝3x 2－27.(4分)∴当x ∈(－3,3)时，f ′(x )<0；当x ∈(－4，－3)和(3,5)时，f ′(x )>0. 又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝62，因此AH ＝ 2.又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°， 所以P A ＝2.(8分)解法一：因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ， 过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304，在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分)解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎫32，12，1. 设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则错误!因此错误!取z 1＝－1，则m ＝(0,2，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD ＝(－3，3,0)， 所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD＝2×35×12＝155.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝⎛⎭⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k ) 故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15.(6分) 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM ·TN 取得最小值为－15.由(*)式，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎫cos θ＋452－15.(6分) 故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝⎛⎭⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x －2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4.所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x 4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24. v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24时，有0个公共点；当m ＝e 24时，有1个公共点； 当m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分)(3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x －2·e x x ＝e x (x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0. 即x >0时，e x －2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e) 所以h (e)>78.(14分)。

2019-2020学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．（5分）在10(1)x 的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．906．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．40407．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．348．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 3C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+=D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 ． 14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）已知ABC ∆是边长为的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为； （2）球O 的体积为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)2i z +=Q ， ∴22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 则复平面内表示z 的点位于第四象限． 故选：D ．2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r【解答】解：Q 1()2NM NA NB =+u u u u r u u u r u u u r ，1()2AN AO AC =+u u u r u u u r u u u r ，1()2BN BO BC =+u u u r u u u r u u u r ，AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r ，BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r111222a b c =--+r r r ，∴111222NM a b c =+-u u u u r r r r ，故选：B ．3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-【解答】解：由4b <-可得||||4a b +>，但由||||4a b +>得不到4b <-，如1a =，5b =． 故选：D ．4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin b C c B a A +=Q ，则由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=， 即sin()sin sin B C A A +=，可得sin 1A =，故2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B ．5．（5分）在101)的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．90【解答】解：101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)t kkkkk k T C C x--+=-=-g g ，令1012k-=，则8k =， 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯， 故选：C ．6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．4040【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为63218S S -=， 则1234561232()18a a a a a a a a a +++++-++=， 即33318d d d ++=，则2d =．因为12015a =-，则2200202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=， 故选：C ．7．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．34【解答】解：由P （A ）25=，211()5420P AB =⨯=，由条件概率()1(|)()4P AB P B A P A ==， 故选：A ．8．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24【解答】解：15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有2个奇数和2个偶数．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有224=种． 第二步安排偶数日出行，分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2种； 第二类，不安排甲的车，只有1种选择，共计123+=． 根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有4312⨯=， 故选：B ．（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，甲类水果的平均质量为10.4kg μ=，A 正确；乙类水果的平均质量为20.8kg μ=，所以12μμ<，C 正确； 由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些， 所以12σσ<，得出B 正确；所以D 错误． 故选：ABC ．10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF FC ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]【解答】解：由椭圆方程可知，2,a b ==，从而1c =． 据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==， 所以△12PF F 的周长是6，A 项正确． 设点0(P x ，00)(0)y y ≠，因为122F F =， 则12120012PF F S F F y y ==V g ．因为00y b <…，则△12PF F B 项正确． 由图可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =， 则△12PF F 为正三角形，1260F PF ∠=︒， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，C 项错误．由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以1[1PF ∈，3]，D 项正确， 故选：ABD ．11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<【解答】解：对于A 项，当0x >时，则(3)31ln x ln lne +>>=， 又1sin 1x -剟，所以(3)sin ln x x +>恒成立，即A 正确；对于B 项，因为221772()244x x x ++=++…，所以方程22x x +=-无解，即B 错误；对于C 项，因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立，即C 错误； 对于D 项，指数函数1()()2x f x =在1(0,)3上单调递减，所以()(0)1max f x f <=，对数函数13()g x log x =在1(0,)3上单调递减，所以1()()13min g x g >=，所以D 正确，故选：AD ．12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x =【解答】解：对于A ，因为23y x '=，当0x =时，0y '=，所以在点(0,0)P 处的切线为:0l y =． 当0x <时，0y <；当0x >时，0y >，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即A 正确； 对于B ，1y x'=，当1x =时，1y '=，在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-．令()1h x x lnx =--，则11()1(0)x h x x x x-'=-=>， 当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<，所以()min h x h =（1）0=． 故1x lnx -…，即当0x >时，曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外），即B 错误； 对于C ，cos y x '=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正弦函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即C 正确； 对于D ，21cos y x'=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正切函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即D 正确． 故选：ACD ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 20x y -= ． 【解答】解：3(1)y x ln x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=， 则曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-， 即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =12【解答】解：113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 令322p +=，则12p =．故答案为：12． 15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 3 ．【解答】解：如图，过点P 作PB x ⊥轴，垂足为B ．由已知，2122PF F F c ==，260BF P ∠=︒， 则2,3BF c BP c ==， 所以3tan 2cPAB a c∠=+． 由33327c a c =+， 解得3c a =，所以双曲线的离心率3e =． 故答案为：3．16．（5分）已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为 32； （2）球O 的体积为 ．【解答】解：（1）如图，在四面体ABCD 中，AD DC ⊥，AD DB ⊥，则60BDC ∠=︒． 因为3DB DC ==，则3BC =． 设BCD ∆的外心为E ，则OE ⊥平面BCD ． 因为AD ⊥平面BCD ，则//OE AD ．取AD 的中点F ，因为OA OD =，则OF AD ⊥， 所以1322OE DF AD ===．（2）在正BCD ∆中，由正弦定理，得112DE ==．在Rt OED ∆中，OD ==，所以343V π=⋅=球 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 【解答】解：()I 因为1sin 2S ab C =，所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--，即222sin cos 2c a b C C ab--==-，所以tan 1C =-，又因为0180C ︒<<︒，所以34C π=．()II 因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，所以c =，即sin C A所以sinA C =因为1sin 2ABC S ab C ∆=，且sin ABC S A B ∆，所以1sin sin 22ab C A B =，即sin sin sin abC A B由正弦定理得2()sin sin c C C解得1c =．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：()I 由题意，14n n a a n -+=，则128a a +=，又13a =，则25a =．∴等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，又13a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．()II 由题意，11222n n n b b b na -++⋯+=， 则121122(1)n n n b b b n a ++++⋯+=+，两式相减，得112(1)(1)(23)(21)43n n n n b n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， ∴当2n …时，1412n n n b --=． 经检验，13b =也符合该式， ∴数列{}n b 的通项公式是1412n n n b --=，*n N ∈． Q 11137(41)()22n n S n -=++⋯+-g g ，∴211111137()(45)()(41)()22222n n n S n n -=++⋯+-+-g g g g ， 两式相减，得211111134[()()](41)()22222n n n S n -=+++⋯+--g1114734[1()](41)()7222n n n n n -+=+---=-g ． ∴147142n n n S -+=-． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．【解答】解：()I因为//AB DE，AB在平面DEF外，则//AB平面DEF．因为平面PAB⋂平面DEF MN=，则//AB MN，从而//DE MN．因为MN在平面CDE外，所以//MN平面CDE．()II解法一：分别取线段AB，DE的中点G，H，则//GH CP，所以P，C，G，H四点共面．因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆，则PA PB=，所以PG AB⊥．因为//AB DE，则PG DE⊥．若PG CH⊥，则PG⊥平面CDE，从而平面PAB⊥平面CDE．此时，CPG HCG∠=∠，则PC CG CGGH=．因为ABC∆是边长为2的正三角形，则2sin603CG=︒=，又1GH=，则23CGPCGH==，从而2PF PC FC=-=，所以当2PF=时，平面PAB⊥平面CDE．()II解法二：如图，分别取AB，DE的中点O，H，以O为原点，直线OB，OC，OH分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知，2,1,3AB OH OC===(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H，从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB=-==u u u r u u u r u u u r，设平面CDE的法向量为111(,,)m x y z=r，由m CHm HE⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，得111(3)010y zx⎧-+=⎪⎨=⎪⎩gg取11y=，则3)m=r设CP t =，则点(0,3,)P t ，从而(0,3,)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量222(,,)n x y z =r，由00n OP n OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g r g ，得2223010y tz x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩g ，取2y t =，则(0,,3)n t =-r．因为平面PAB ⊥平面CDE ，则0m n =r rg ， 得，3t =，从而2PF PC FC =-=， 所以当2PF =时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：()I 据题意，游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p ===，设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ， 则1212122()(1)(1)3P A p p p p p p =-+-+=， 所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23． ()II 据题意，ξ的可能取值为0，3，6，7，10． 121(0)(1)(1)3P p p ξ==--=，123123555(3)(1)(1)(1)(1)183612P p p p p p p ξ==--+--=+=， 1235(6)(1)36P p p p ξ==-=， 123123211(7)(1)(1)363612P p p p p p p ξ==-+-=+=， 1231(10)36P p p p ξ===． ξ∴的分布列为ξ 0 3 6 7 10P13512 536 112 136ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线l 的方程为2y kx =-，抛物线方程为22(0)x py p =->（2分）有222y kx x py=-⎧⎨=-⎩得2240x pkx p +-= （3分） 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则122x x pk +=-，21212()424y y k x x pk +=+-=-- ∴21212(,)(2,24)OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r（4分） Q(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ， ∴2242412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得12p k =⎧⎨=⎩（5分）故直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-． （6分）（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，APB ∆得面积最大（7分）设点0(P x ，0)y ，由y x '=-，故由02x -=得02x =-，则200122y x =-=-(2,2)P ∴--（9分）∴点P 到直线l 的距离d ===10分） 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩，得2440x x +-= （11分）∴||AB ==12分）ABP ∴∆的面积的最大值为11||22AB d =⨯=g g （14分） 22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．【解答】解：()I 当1a =时，21()x x x f x e ++=，(1)()xx x f x e--'=． 由()0f x '>，得，(1)0x x -<，即01x <<．所以()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞．(1)[(1)]()()xx x a II f x e----'=． 因为1a >-，则12a -<．（1）当112a <-<，即10a -<<时，由()0f x '>，得11x a <<-， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)和(1a -，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，(1)}f a -．因为(1)(2)f a e -=-，211(1)(1)1(1)(2)a aa a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-，所以()(2)max f x a e =-．（2）当11a -=，即0a =时，2(1)()0xx f x e --'=…，所以()f x 在[1-，2]上单调递减， 所以()(1)(2)max f x f a e =-=-．（3）当111a -<-<，即02a <<时，由()0f x '>，得11a x -<<， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)a -和(1，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，f （1）}，因为222(1)2(1)(1)(1)(2)a a e e f f a e e e ++----=+-=，则 当222(1)01e a e -<<+时，(1)f f ->（1），()(1)(2)max f x f a e =-=-；当222(1)21e a e -<+„时，f （1）(1)f -…，2()(1)max a f x f e+==． （4）当11a --„，即2a …时，()f x 在[1-，1)上单调递增，(1，2]上单调递减， 则2()(1)max af x f e+==． 综上分析，（1）当10a -<<时，()(2)max f x a e =-； （2）当0a =时，()(2)max f x a e =-． （3）当02a <<时，2()(1)max af x f e+==． （4）当2a …时，2()(1)max af x f e+==．。

湖南省师大附中11-12学年高二数学上学期期末考试 理【会员独享】

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湖南师大附中高二第一学期期末考试·数学（理科）试卷（考试时间：2012.1.13 8：00-10：00） 时量：120分钟 总分：150分命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 备课组长：吴锦坤考试范围：高中数学选修2-1 、 2-2一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数734z i =+，则z = （ C ）2.22sin xdx ππ-⎰的值是 （ B ）A.1B.0C.-1D.2 【解析】选B3. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图，则其导函数y=)(x f '的图象可能为下图中的 （ D ）A B C D【解析】选D .4. 已知函数()f x 在1x =处的导数为2，则0(1)(1)limh f h f h h→--+的值为 （ A ）A. 4-B.1-C. 4D. 1 【解析】选A.5. 设命题p ：x ∀∈R ，2210ax x -+≥， 则命题p 为真命题的充分非必要条件的是 （ B ） A ．1a ≥ B ．2a > C ．1a ≤ D ．2a <【解析】因为当0a =时，不等式210x -+≥不恒成立，则命题p 为真的充要条件是440a a >⎧⎨∆=-≤⎩ ，即1a ≥，故选B. 6. 已知空间向量111112(,,),(,,),366333a b =--=---则a 和b 的夹角为( A )A ． 60︒B ．120︒C ． 90︒D ． 30︒【解析】A ．7.设F 是抛物线24x y =-的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q,则PQF∠等于（ D ）A. 300;B. 450;C. 600;D. 900.【解析】 依题意(0,1),(2,0),0,90.F Q PQ FQ PQF --∴⋅=∠=︒即8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ B ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a <<【解】由()(2)f x f x =-可得，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(1)f f =-． 又当(),1x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<，即'()0f x >，则()f x 在(),1-∞上单调递增． 所以1(1)(0)()2f f f -<<．即c a b <<，故选B.二.填空题：本大题共8个小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题【解析】1i +=212i =-=22i -+，其虚部是12.10. 计算⎰=4π12. 已知曲线()y f x =在点(5,(5P f 处的切线方程是8y x =-+，则(5)f f '+13. 已知1220()(34)d f a a x ax x =-⎰(a ∈R )，则f (a )的最小值为 －1 .【解析】因为12223212200()(34)d (2)2(1)1f a a x ax x a x ax a a a =-=-=-=--⎰，故当1a =时，f (a )取最小值－1．14. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线l ，点P 为直线l 与椭圆的一个交点，2F 为椭圆的右焦点，若1260F PF ∠=，则直线1x y a b +=的斜率是【解析】由已知，点2(,)b P c a-±，因为1260F PF ∠=，则22t a n 603c b a==，即22ac . 从而22244()3a a b b -=，即42244430a a b b --=，即2222(23)(2)0a b a b -+=.所以2223a b =，故3b k a =-=-. 15．设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①2222a b c h +>+；②3333a b c h +<+；③ 4444a b c h +>+；④5555a b c h +<+. 其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是n n n n ()a b c h n N *+<+∈.【解析】在直角三角形ABC 中，sin ,cos ,a c A b c A ab ch ===，所以sin cos h c A A =. 于是(sin cos ),(1sin cos )n n n n n n n n n n a b c A A c h c A A +=++=+.(sin cos 1sin cos )(sin 1)(1cos )0n n n n n n n n n n n n a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<. 所以n n n n ()a b c h n N *+<+∈.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）已知函数2()(5),x f x x mx e x R =++∈， （I ）当5m =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 没有极值点，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）因为2()(2)(5)x x f x x m e x mx e '=+⋅+++⋅2(2)5xx m x m e ⎡⎤=++++⋅⎣⎦当5m = 时，()(2)(5)x f x x x e '=++⋅ （3分） 而0xe >，()0f x '>时，(,5)(2,);x ∈-∞-⋃-+∞()0f x '<时，(5,2).x ∈--所以()f x 的单调递增区间为(,5)(2,);-∞--+∞和单调递减区间为(5,2).-- （6分）（Ⅱ）因为2()(2)(5)x xf x x m e x mx e '=+⋅+++⋅2(2)5xx m x m e ⎡⎤=++++⋅⎣⎦而0xe >，2()(2)5g x x m x m =++++的二次项系数大于0，C 1A 1B 1AB CC 1A 1B 1ABCM若()f x 无极值点，则()0g x ≥对R x ∈恒成立， （9分） 所以 22(2)4(5)160m m m ∆=+-+=-≤，44m -≤≤即m 的取值范围为[4,4]-. （12分）17.(本题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各侧棱都垂直于底面，AC ＝AA 1＝4，AB ＝5，BC ＝3.（Ⅰ）证明：BC⊥AC 1；（Ⅱ）求直线AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值. 【解法一】（Ⅰ）因为AC ＝4，AB ＝5，BC ＝3，则 AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC⊥BC. （2分) 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各侧棱都垂直于底面，则平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，BC⊥平面A 1ACC 1. （4分） 因为A 1C ⊂平面A 1ACC 1，所以BC⊥AC 1. （6分）（Ⅱ）因为AA 1＝AC ＝4，则四边形A 1ACC 1为正方形，所以A 1C⊥AC 1. （7分）又BC⊥AC 1，BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC. （8分）设AC 1与A 1C 交于点M ，连结BM ，则∠ABM 为AB 与平面A 1BC 所成的角. （9分） 在Rt△ABM 中，AM ＝22，AB ＝5，sin∠ABM＝522. 故直线AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值为522. (12分) 【解法二】用空间向量法证明亦可。

湖南省师大附中高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

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湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4} 2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=07．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．299．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP （O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．湖南师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}=[1，4]，∴A∩B=[1，2]，故选：B．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．解答：解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选D点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值考点：顺序结构；算法的概念．专题：算法和程序框图．分析：逐步分析各步算法，根据赋值语句的功能，即可得解．解答：解：逐步分析算法中的各语句的功能，第一步是把a的值赋值给m，第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．故选：D．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案，本题属于基本知识的考查．4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．解答：解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．解答：解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设出幂函数，利用点P确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程．解答：解：设幂函数的方程为f（x）=xα，因为f（x）图象经过点P（4，2），即f（4）=4α=22α=2，即2α=1，解得，所以幂函数方程为，幂函数的导数为，所以切线斜率．所以切线方程为，即x﹣4y+4=0．故选B．点评：本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键．7．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数的图象的平移变换规律，可得结论．解答：解：将x=tan3x的图象上的所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y=tan3（x+）=tan（3x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．解答：解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP （O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F （c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），∴，消去y1得：…（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：∵0＜sin2θ＜1∴而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率∵双曲线中，c＞a∴离心率e＞1，可得．故选C点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（2，8]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据对数函数的真数大于0建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可．解答：解：要使函数有意义则f（x）＞0结合图象可知当x∈（2，8]时，f（x）＞0∴函数的定义域是（2，8]故答案为：（2，8]点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及数形结合的思想，同时考查了识图能力，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=﹣1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．解答：解：∵向量=（1，2），﹣=（3，1），∴﹣=（3，1）﹣（1，2）=（2，﹣1），∴=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2）；∴2+=2（1，2）+（﹣4，2）=（﹣2，6）；又=（x，3），（2+）∥，∴﹣2×3﹣6x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．考点：概率的基本性质；几何概型．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值范围为（﹣，0）．考点：带绝对值的函数．专题：计算题．分析：由题意可得|4a﹣3|=|2b+3|，故4a﹣3和2b+3互为相反数，解得b=﹣2a，代入要求的式子可得 T=3a2+b=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），由此求得T=3a2+b的取值范围．解答：解：∵f（x）=|2x﹣3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a﹣3|=|2b+3|．因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a﹣3＜2b+3，所以必须有4a﹣3和2b+3互为相反数．∴4a﹣3+2b+3=0，故 b=﹣2a．再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜﹣2a+1，即 0＜a＜．∴T=3a2+b=3a2 ﹣2a=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），即﹣＜T＜0，故答案为（﹣，0）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由题意x与y由所给的表格可以知道数学与地理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（2）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，数学成绩的优秀得人数为7+20+5，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（3）由题意知a+b=31，且a≥10，b≥8，然后列举出所求满足条件的（a，b），找出数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的个数，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：解：（1）依题意，=0.18，得n=100；（2）由=0.3，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），，（21，10），（22，9），（23，8）共14组．其中数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少有：：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组∴数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率为=点评：本题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，属于基础题．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，从而=2，由此得到数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列，从而能求出S n=．（2）由b n===（），利用裂项求和法能求出使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值．解答：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣），即2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，…①由题意S n﹣1•S n≠0，将①式两边同除以S n﹣1•S n，得=2，∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）∵b n===（），∴T n=（）=（1﹣）＜．∵T n＜，∴，∴使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值为10．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，设DF的中点为N，则MNAO为平行四边形，则OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF，满足定理所需条件；（3）过A做AH⊥DF于H，根据面面垂直的性质可知AH⊥平面BDF，AH为点A到平面BDF的距离，即可得出结论．解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB又AF⊥BF，CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．证明：设DF的中点为N，则MN平行且等于CD又AO平行且等于CD．∴MN平行且等于AO，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF∴OM∥平面DAF；（3）解：过A做AH⊥DF于H，∵AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，∵AF⊥BF，AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，∴平面ADF⊥平面BDF，∴AH⊥平面BDF，∴AH为点A到平面BDF的距离．在△ADF中，AD=AF=1，∴AH=．点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和A到平面BDF 的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）考点：圆方程的综合应用．专题：应用题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径；（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0°，180°），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）；（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号．∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴当P为圆弧ABC的中点时，四边形APCD的面积最大，且为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h （t）的最值，从而求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值范围为[33，+∞）．点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率，及点在该椭圆上满足椭圆的方程与a2=b2+c2即可求出；（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），由A（﹣2，0），PQ=HP，得到Q（x0，2y0），进而得到直线AQ的方程为．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线即可得到点N的坐标，只要证明且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．解答：解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得，又a2=b2+c2，∴4b2=a2．∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得b2=1．∴a2=4，故椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），∵A（﹣2，0），∵PQ=HP，∴Q（x0，2y0），∴直线AQ的方程为．令x=2，得．∵B（2，0），，∴．∴，．∴∵，∴∴．∵﹣2＜x0＜2，∴．又O、Q、N不在同一条直线，∴∠OQN为锐角．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．。

湖南师大附中21-22学度高二上年末考试--数学理

湖南师大附中21-22学度高二上年末考试--数学理

湖南师大附中21-22学度高二上年末考试--数学理（考试时刻：2020.1.13 8：00-10：00） 时量：120分钟 总分：150分命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 备课组长：吴锦坤考试范畴：高中数学选修2-1 、 2-2一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（4分）（没有指明x 范畴的扣1分）（2）110(1)[(101)]()11010(1)10(1)m m x x m f x x x x -+---'=-==+++， 令y ′=0得x =10m –1 （ 6分）1°若10m –1≤1即0＜m ≤15，则f （x ）在()101,9m -上为减函数， 当x =1时，f （x ）有最大值；2°若1＜10m –1＜9即115m <<，则f （x ）在()1,101m -上是增函数, 在()101,9m -上是减函数，当x =10m –1时，f （x ）有最大值；3°若10m –1≥9即m ≥1，则f (x )在()1,9上是增函数，当x =9时，f （x ）有最大值． （10分） 因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元；当115m <<时，投放B 型电视机（10m –1）万元，当m ≥1时，投放B 型电视机9万元．农民得到的总补贴最大。

（12分）19.(本题满分13分)把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有12-i 个正整数.设ija （i 、j ∈N*）表示 位于那个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数.（Ⅰ）若6,8i j ==，求ija 的值；（Ⅱ）记1121311n n A a a a a =++++∈n (N*)，试比较n A 与21n -的大小，并用数学归纳法证明。

【解】（Ⅰ）因为数表中前i －1行共有221122221i i --++++=-个数，则第i 行的第一个数是12-i ，因此ija ＝121-+-j i .1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…………………………………………（2分）61682739a -=+= （5分）（Ⅱ）因为112i i a -=， （6分）因此211222n n A -=++++21n=-.因此22(1)2n n A n n --=-. （7分）检验知，当1=n 时，2221n n =>=，2n =时，2244n n === 3n =时，2289n n =<= 4n =时，221616n n ===5n =时，223225n n =>=，即21n A n >- （8分）猜想：当5n ≥时，21n A n >-. （9分）证明：① 当5n =时，5223225n =>=，因此21n A n >-成立. （10分） ② 假设当(5)n k k =≥时，不等式成立，即22k k >. 则122222k k k +=⨯>.因为2222(1)21(2)1k k k k k k -+=--=--， 而5,(2)10k k k ≥∴-->因此122(1)k k +>+，即当1+=k n 时，猜想也正确. 由①、②得当5n ≥时, 22n n >成立. 综上分析，当5n ≥时，21n A n >- （13分）20. (本题满分13分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，点F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F2． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左焦点F 1作直线l ，交椭圆于P 、Q 两点，若222F P F Q ⋅=，求直线l 的倾斜角. 【解】（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>. （1分）因为2e =，因此2c a =.据题意，点(2c 在椭圆上，则222121c a b+=，因此2112112b b+=⇒=. （4分）因为a =，2221a c b -==，则c ＝1，a =（5分）故椭圆的方程为22x y 12+=. （6分）（Ⅱ）由椭圆方程知，点F 1(－1，0)，F 2(1，0).若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =-.代入椭圆方程得212y =.不妨设点(2P -、(1,)2Q --，则22F P F Q⋅7(2,(2,2222=-⋅--=≠.因此直线l 的斜率存在. （8分）设直线l 的方程为(1)y k x =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y .由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)4220k x k x k +++-=. （9分）因此2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+.因此212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =+⋅+=+++.2222222224(1)212121k k k k k k k -=-+=-+++. （10分）又211222(1,),(1,)F P x y F Q x y =-=-，2211221212(1,)(1,)(1)(1)F P F Q x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+2222121212222222471()1121212121k k k k x x x x y y k k k k --=-+++=++-=++++.（11分）由2271221k k -=+，得21k =，因此1k =±.现在直线l 与椭圆相交. （12分）故直线l 的倾斜角是45°或135°. （13分）21. (本题满分13分) 已知函数2()2ln ().f x x x a x a R =++∈（Ⅰ）当4a =-时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间（0,1）上为单调函数，求实数a 的取值范畴； （Ⅲ）求证：1111(58)(1)(2,)11111111(1)(2)ln 2ln 3ln 4ln 34343434n n n n N n n n +-++++≥≥∈++++++.【解】（Ⅰ）当4a =-时，2()24ln (0).f x x x x x =+->42(2)(1)()22.x x f x x x x+-'=+-= (2分) 当1x >时，()0,f x '>当01x <<时，()0,f x '<()f x ∴在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1) 3.f x f ∴== （4分）（Ⅱ）222()22.a x x a f x x x x++'=++=若函数()f x 在区间（0,1）上单调递增，则2220x x a ++≥在(0,1)x ∈上恒成立，222a x x ∴≥--在(0,1)x ∈上恒成立，令222,(0,1),u x x x =--∈则2112(),(0,1),22u x x =-++∈40,0;u a ∴-<<∴≥ （6分）若函数()f x 在区间（0,1）上单调递减，则2220x x a ++≤在(0,1)x ∈上恒成立，222a x x ∴≤--在(0,1)x ∈上恒成立，令222,(0,1),u x x x =--∈则40, 4.u a -<<∴≤-综上，a 的取值范畴为(][),40,.-∞-+∞ （8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）可知当1x ≥时，2()24ln 3.f x x x x =+-≥224ln 3.x x x ∴+≥+22211111,24ln 30,,4ln 324ln 32x x x x x x x n n n≥+≥+>∴≥∴≥++++.11111(),(1,2,3)4ln 3(2)22n n n n n n ∴≥=-=+++ 111111111()4ln 234ln 334ln 434ln 322312n n n ++++≥+--++++++1111(58)(1)(2,)4ln 234ln 334ln 434ln 312(1)(2)n n n n N n n n +-++++≥≥∈++++++1111(58)(1)(2,)11111111(1)(2)ln 2ln 3ln 4ln 34343434n n n n N n n n +-++++≥≥∈++++++（13分）。

2020-2021学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ∃∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1aB ．1aC ．2aD ．2a2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32-B ．32C ．2-D ．23．（3分）已知2)n x的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为( ) A ．34-B ．672-C ．84D ．6724．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19B ．827C ．1627D ．17815．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-，则1)4(sin()2παπα+-=+ ) A ．25-B ．15-C ．25D ．1456．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )A．2y =B．2y =C ．28x y =D ．216x y =7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈A ．4.1小时B ．4.2小时C ．4.3小时D ．4.4小时8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A ．423B ．163C ．163D ．323二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．（3分）已知复数(12)(2)z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为3i B ．||5z = C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限10．（3分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12π、712π，图象在y 轴上的截距为3．则下列结论正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间5[,]1212ππ-上单调递增 D ．()6f x π+为偶函数11．（3分）设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是( ) A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF -的最大值为2C ．||||ME MF +的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切 12．（3分）已知函数()2af x x x=+-，则下列结论正确的是( ) A ．当1a >时，()f x 无零点 B ．当1a =时，()f x 只有一个零点C ．当1a <时，()f x 有两个零点D ．若()f x 有两个零点1x ，2x ，则122x x += 三、填空题．13．（3分）已知球O 的表面积为16π，点A ，B ，C 在球O 的球面上，且3AC =，60ABC ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为 ．14．（3分）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 种．15．（3分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使||||PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为 ．16．（3分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e '=-相切，则a 的取值范围是 ．四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin c A ． （1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =ABC ∆的面积．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12(21)(21)n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340nT >的正整数n 的最小值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，3PA =．点E 在侧棱PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；（2）若2PF FD =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值．20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 [12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)[24.5，27.5)[27.5，30.5)[30.5，33.5]频数56912864（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(,27.04)N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：若X服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+≈；(22)0.9544P X μσμσ-<+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<+≈．21．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数2()(1)f x xlnx a x =+-，e 为自然对数的底数．（1）当22e a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意1x ，都有()0f x 成立，求实数a 的取值范围．2020-2021学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）设a 为常数命题:[0p x ∃∈，1]，20x a -，则p 为真命题的充要条件是( ) A ．1aB ．1aC ．2aD ．2a【解答】解：命题p 为真⇔当[0x ，1]时，20x a -能成立，即2x a 能成立，所以(2)2x max a =， 故选：C ．2．（3分）已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =，若(3)a b a λ+⊥，则实数(λ= ) A ．32-B ．32C ．2-D ．2【解答】解：已知向量a 与b 的夹角是3π，且||1a =，||4b =， 则：||||cos23a b a b π==，已知：(3)a b a λ+⊥， 则：(3)0a b a λ+=， 即：230a a b λ+=， 解得：32λ=-，故选：A ．3．（3分）已知2)n x的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为( ) A ．34-B ．672-C ．84D ．672【解答】解：由已知，可得2512n =，则9n =，∴展开式的通项公式为93921992()(2)rr rr r rr T C C x x--+=⋅-=-．令930r -=，得3r =，∴常数项为339(2)884672C -=-⨯=-， 故选：B ．4．（3分）围棋起源于中国据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为23，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( ) A ．19B ．827C ．1627D ．1781【解答】解：甲以3:0获胜为事件A ，甲以3:1胜为事件B ，则A ，B 互斥， 且328()()327P A ==，2232128()()33327P B C =⋅⨯=，所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为： 8816()272727P A B +=+=， 故选：C ．5．（3分）已知α是第四象限，且3cos()5πα-=-，则1)4(sin()2παπα+-=+ ) A ．25-B ．15-C ．25D ．145【解答】解：由已知得3cos 5α=，4sin 5α=-，则原式21cos2sin 22cos 2sin cos 6822cos 2sin cos cos 555ααααααααα+++===+=-=-．故选：A ．6．（3分）已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是( )A．2y =B．2y =C ．28x y =D ．216x y = 【解答】解：双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =． 因为抛物线的焦点(0,)(0)2pF p >0y -=的距离为2，2=，即8p =， 所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ．7．（3分）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息( )（参考数据：20.301lg ≈，130.477)g ≈A ．4.1小时B ．4.2小时C ．4.3小时D ．4.4小时【解答】解：设经过x 小时，血液中的酒精含量为y ， 则0.3(125%)0.30.75x x y =⨯-=⨯， 由0.30.750.09x ⨯，得0.750.3x ， 则0.750.3xlg lg ， 因为0.750lg <，所以0.3310.47715234.184 4.20.75340.4770.602125lg lg xlg lg lg --=≈==≈--， 所以开车前至少要休息4.2小时， 故选：B ．8．（3分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A B C D 【解答】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ， 平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ⋂平面ABC BC =， AC ⊂平面ABC ，AC BC ⊥， AC ∴⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为2h AC x ==，2PC BC ==，2PB x =，(02)x <<，M 为PB 的中点，CM PB ∴⊥，CM =，解得122PBC S x ∆=⨯1(23A PBCV x -=⨯⨯=，设t =(02)t <<，则224x t =-，232(4)8223A PBCt t t V ---∴==，(02)t <<， 关于t 求导，得286()3t V t -'=，令()0V t '=，解得233t =或233t =-（舍)，由()V t 单调性得当233t =时，323()27A PBC max V -=．故选：D ．二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．（3分）已知复数(12)(2)z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是( ) A ．z 的虚部为3i B ．||5z = C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限 【解答】解：因为(12)(2)43z i i i =+-=+， 所以z 的虚部为3，选项A 错误；由22||||435z z ==+=，所以选项B 正确； 由43z i -=为纯虚数，所以选项C 正确；由43z i =-对应的点(4,3)-在第四象限，所以选项D 正确． 故选：BCD ．10．（3分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为12π、712π，图象在y 轴上的截距为3．则下列结论正确的是( )A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为2C ．()f x 在区间5[,]1212ππ-上单调递增 D ．()6f x π+为偶函数【解答】解：由图知，()f x 的最小正周期72()1212T πππ=-=，则2ω=． 由2122ππϕ⨯+=，得3πϕ=．由(0)f =sin3A π，则2A =，所以()2sin(2)3f x x π=+．由于函数的最小正周期为22ππ=，故A 不正确； 显然，()f x 的最大值为2，故B 正确； 当5[,]1212x ππ∈-时，2[32x ππ+∈-，]2π，则()f x 单调递增，故C 正确；． 因为2()2sin[2()]2sin(2)6633f x x x ππππ+=++=+，则()6f x π+不是偶函数，故D 不正确，故选：BC ．11．（3分）设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是( ) A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF -的最大值为2C ．||||ME MF +的最小值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切【解答】解：因为抛物线开口，4p =，则准线l 的方程是2x =-，所以A 正确；因为焦点(2,0)F ，则||||||ME MF EF -=当点F 在线段ME 上时取等号，所以||||ME MF -，所以B 不正确； 过点M ，E 分别作准线l 的垂线，垂足为A ，B ， 则||||||||||5ME MF ME MA EB +=+=，当点M 在线段EB 上时取等号，所以||||ME MF +的最小值为5．所以C 正确；设点0(M x ，0)y ，线段MF 的中点为D ，则02||22D x MF x +==， 所以以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，所以D 正确； 故选：ACD ．12．（3分）已知函数()2af x x x=+-，则下列结论正确的是( ) A ．当1a >时，()f x 无零点 B ．当1a =时，()f x 只有一个零点C ．当1a <时，()f x 有两个零点D ．若()f x 有两个零点1x ，2x ，则122x x += 【解答】解：令()0f x =，则20a x x+-=，即220(0)x x a x -+=≠，即22(0)a x x x =-+≠， 考察直线y a =和抛物线22(0)y x x x =-+≠的位置关系，由图可知，当1a >时，()f x 无零点，故A 正确； 当1a =或0a =时，()f x 只有一个零点，故B 正确； 当1a <且0a ≠时，()f x 有两个零点，故C 错误；若()f x 有两个零点1x ，2x ，则1x ，2x 是方程220x x a -+=的两根， 由韦达定理，得122x x +=，故D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题．13．（3分）已知球O 的表面积为16π，点A ，B ，C 在球O 的球面上，且3AC =，60ABC ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为 1 ．【解答】解：设球O 的半径为R ，ABC ∆的外接圆半径为r ，球心O 到平面ABC 的距离为d ．由2416R ππ=，得2R =；由32sin 60r ==︒r =，所以1d =．故答案为：1．14．（3分）当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 36 种．【解答】解：先将4名医务人员分成无记号3组，其中有一组2人，另两组各1人，有246C =种方法；再将三组人员安排到3个乡镇，有336A =种方法． 据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有6636⨯=种． 故答案为：36．15．（3分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使||||PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为 2 ．【解答】解：设双曲线的左焦点为E ， 在EFP ∆中，||2EF c =，||||PF OF c ==，由余弦定理，得2222221||||||2||||cos 42244PE EF PF EF PF OFP c c c c c =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=， ||2PE c ∴=，由双曲线的定义知，||||2PE PF a -=， 22c c a ∴-=，即2c a =，∴离心率2ce a==． 故答案为：2．16．（3分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e '=-相切，则a 的取值范围是 (3,1)- ．【解答】解：设点000(,(1))x B x x e -为曲线C 上任意一点，(1)x x x y e x e xe '=+-=，∴000|x x x y x e ='=，则曲线C 在点B 处的切线l 的方程为00000(1)()x x y x e x e x x --=-．据题意，切线l 不经过点A ，则关于0x 的方程00000(1)()x x x e x e a x --=-，即200(1)10x a x -++=无实根，∴△2(1)40a =+-<，解得31a -<<，a ∴的取值范围是(3,1)-．故答案为：(3,1)-．四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin c A ． （1）求角C 的大小；（2）若2b =，c =ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由已知及正弦定理可得2sin sin C A A =． 因为A 为锐角，则sin 0A ≠，所以sin C =． 因为C 为锐角，则3C π=．（2）由余弦定理，2222cos a b ab C c +-=， 则244cos73a a π+-=，即2230a a --=，即(3)(1)0a a -+=． 因为0a >，则3a =．所以ABC ∆的面积11sin 32sin 223S ab C π==⨯⨯=．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12(21)(21)n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340nT >的正整数n 的最小值．【解答】解：（1）依题意，当2n 时，由124n n S a n +=+-，可得 12(1)4n n S a n -=+--，两式相减，可得112n n n n n a S S a a -+=-=-+，整理，得122n n a a +=-， 两边同时减2，可得122212(2)n n n a a a +-=--=-， 122a -=，∴数列{2}n a -是首项和公比都为2的等比数列，12222n n n a -∴-=⋅=，∴22n n a =+，*n N ∈，（2）由题意及（1），可得1112211(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n a b +++-===-++++++， 则12n n T b b b =++⋯+ 2231111111()()()212121212121n n +=-+-+⋯+-++++++ 111321n +=-+， 1340n T >，即1111332140n +->+， 即11113121340120n +<-=+， 121120n +∴+>，即12119n +>，当5n =时，5162264119+==<， 当6n =时，61722128119+==>，∴当6n 时，不等式1340n T >成立， ∴正整数n 的最小值为6．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，3PA =．点E 在侧棱PC 上（端点除外），平面ABE 交PD 于点F ． （1）求证：四边形ABEF 为直角梯形；（2）若2PF FD =，求直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ， 则//AB 平面PCD ．因为AB ⊂平面ABEF ，平面ABEF ⋂平面PCD EF =，则//AB EF ． 又EF CD AB <=，所以四边形ABEF 为梯形． 因为PA ⊥平面ABCD ，则AB PA ⊥，又AB AD ⊥， 因为PAAD A =，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD ，则AB AF ⊥． 所以四边形ABEF 为直角梯形．（2）解法一：因为AB ⊥平面PAD ，则平面ABEF ⊥平面PAD ． 作PM AF ⊥，垂足为M ，则PM ⊥平面ABEF ． 连接EM ，则PEM ∠为直线PC 与平面ABEF 所成的角．在Rt PAD ∆中，因为3PA AD ==．则32PD =．因为2PF FD =，则22PF = 在APF ∆中，因为45APF ∠=︒，所以由余弦定理，得2223(22)2322455AF =+-⨯⨯︒=，则5AF =．由sin45AF PM PA PF ⨯=⨯︒25322PM =⨯5PM = 因为//EF CD ，CD PD ⊥，则222222333PE EC PC PD CD ==+= 在Rt PME ∆中，15sin 523PM PEM PE ∠===⨯， 所以直线PC 与平面ABEF 15．解法二：以A 为原点，向量AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．则点(3B ，0，0)，(3C ，3，0)，(0D ，3，0)，(0P ，0，3)． (3,0,0)AB =，(0,0,3)AP =，(0,3,3)PD =-，(3,3,3)PC =-．因为2PF ED =，则2(0,0,3)(0,2,2)(0,2,1)3AF AP PF AP PD =+=+=+-=．设(,,)m x y z =为平面ABEF 的法向量，则00m AB m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30,20.x y z =⎧⎨+=⎩取1y =，则2z =-，所以(0,1,2)m =-．因为15cos ,||||533m PC m PC m PC ⋅〈〉===⋅⨯，所以直线PC 与平面ABEF 所成角的正弦值为15．20．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(,27.04)N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：若X服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+≈；(22)0.9544P X μσμσ-<+≈；(33)0.9974P X μσμσ-<+≈．【解答】解：（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32， 则145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨， （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则10.6826(28)()0.15872P X P X μσ->=>+==． 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个．（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个， 则垃圾量在[27.5，30.5)内的“超标”社区也有4个， 则X 的可能取值为1，2，3，4．1444581(1)14C C P X C ===，2344583(2)7C C P X C ===，3244583(3)7C C P X C ===，4144581(4)14C C P X C ===． 则X 的分布列为：所以1331512341477142EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．如图，已知动圆M 过点(1,0))E -，且与圆22:(1)8F x y -+=内切，设动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过圆心F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点P ，使当直线l 绕点F 任意转动时，PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆F 的方程知，圆心为(1,0)F ，半径为22 设圆M 和圆F 内切于点D ，则D ，M ，F 三点共线，且||22DF = 因为圆M 过点E ，则||||ME MD =，于是||||||||||2||2ME MF MD MF DF EF +=+==>=， 所以圆心M 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆．因为222a =2a 1c =，则2221b a c =-=，所以曲线C 的方程：2212x y +=．（2）当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，代入2212x y +=，得22(1)22ty y ++=，即22(2)210t y ty ++-=．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+． 设点(,0)P m ，则11(,)PA x m y =-，22(,)PB x m y =-，则12121212()()(1)(1)PA PB x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+2222212122212(1)(1)(1)()(1)(1)22t t m t y y t m y y m m t t +-=++-++-=--+-++222(32)1(1)2m t m t -+=-+-+． 若PA PB ⋅为定值，则32112m -=，解得54m =，此时2157(1)2416PA PB ⋅=-+-=-为定值．当直线l 与x 轴重合时，点(A ，B ． 对于点5(,0)4P ，则5(,0)4PA =-．5(2,0)4PB =，此时25721616PA PB ⋅=-=-． 综上分析，存在点5(,0)4P ，使得716PA PB ⋅=-为定值．22．已知函数2()(1)f x xlnx a x =+-，e 为自然对数的底数．（1）当22e a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意1x ，都有()0f x 成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当22e a =时，22()(1)2e f x xlnx x =+-，2()1f x lnx e x '=++，因为当0x >时，21()0f x e x''=+>，则()f x '单调递增，又221()20f lne e -'=+=，则当210x e<<时，()0f x '<；当21x e >时，()0f x '>， 所以()f x 在21(0,)e 上单调递减，在21(,)e +∞上单调递增． （2）()12f x lnx ax '=++，1()2f x a x ''=+，当1x 时，11x，则()12f x a ''+， ①若210a +，即12a -，则()0f x ''，()f x '在[1，)+∞上单调递减， ()f x f ''（1）120a =+，从而()f x 在[1，)+∞上单调递减，所以()f x f （1）0=，符合题意；②若0a ，则当1x 时，0xlnx ，2(1)0a x -，从而()0f x ，不合题意；③若102a -<<，当1x 时，由()0f x ''>，得120a x +>，即210ax x +>，解得112x a<-， 则当1(1,)2x a∈-时，()f x '单调增，从而()f x f ''>（1）120a =+>，所以()f x 单调递增，此时()f x f >（1）0=，不合题意； 综上分析，a 的取值范围是1(,]2-∞-．。

2021年高二上学期期末考试试题 数学(理) 含答案

2021年高二上学期期末考试试题 数学（理） 含答案1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是 A.x >1 B.x <1 C.x >3 D.x <33.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于 A.－sin α B.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 . 9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有成立.2021年高二上学期期末考试试题 数学（理） 含答案 湖南师大附中xx 届高二第一学期期末考试试题数 学(理科)11.曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为.12.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为.13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为A n；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为B n，则A n＋B n＝.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，E，F 分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面P AD所成角的正切值为62，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝⎛⎭⎫13，5二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中xx 届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案－湖南师大附中xx 届高二第一学期期末考试试题 数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题1－4.BABC 5－7.BDC 二、填空题8.－1 9.1＋x y ，1＋y x都不小于2 10.10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 3011.2 12.6 13.2n 3 三、解答题14.解：∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， 所以a ＝1，b ＝0，于是f (x )＝x 3－27x ，f ′(x )＝3x 2－27.(4分)∴当x ∈(－3,3)时，f ′(x )<0；当x ∈(－4，－3)和(3,5)时，f ′(x )>0. 又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3， 此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝62，因此AH ＝ 2.又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°， 所以P A ＝2.(8分)解法一：因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ， 过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ， 则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32， 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304，在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分)解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎫32，12，1. 设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则{m ·AE ＝0，m ·AF ＝0，因此⎩⎨⎧3x 1＝0，32x 1＋12y 1＋z 1＝0. 取z 1＝－1，则m ＝(0,2，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD ＝(－3，3,0)，所以cos 〈m ，BD 〉＝||m ·||BD＝2×35×12＝155.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于，求b ＋1a ＋1的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝⎛⎭⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解. f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k ) 故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分) 4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15.(6分) 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM ·TN 取得最小值为－15. 由(*)式，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分) 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则 TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎫cos θ＋452－15.(6分) 故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝⎛⎭⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分) (3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分) 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x －2cos α)， 令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ， 同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分) 故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧kx 0＋1＝ln x 0k ＝g ′(x 0)＝1x 0⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分) (2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数 即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e xx 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x 4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24. v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24时，有0个公共点；当m ＝e 24时，有1个公共点； 当m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分)(3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x －2·e x x ＝e x (x －2)x 显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0. 即x >0时，e x －2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e) 所以h (e)>78.(14分)35277 89CD 觍/MT40635 9EBB 麻34107 853B 蔻29557 7375 獵-25092 6204 戄25177 6259 扙 R37148 911C 鄜40273 9D51 鵑。

湖南师大附中2018—2019学年度高二第一学期期末考试理科数学

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3＋i 1＋i ＝A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i2．已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(1－x)的定义域为M ，集合N ＝{x|x 2－x<0}，则下列结论正确的是A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(?U N)＝C ．M ∪N ＝UD ．M(?U N) 3．已知命题p ：a ∈R ，且a>0，a ＋1a ≥2，命题q ：x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q)是真命题D ．(綈p)∧q 是真命题4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则{a n }的前10项和为A ．10B ．8C ．6D ．－85．已知函数f(x)＝e x ＋a ex (a ∈R )，若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程为A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →＝A.12AB →－AD →B ．－12AB →＋AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →7．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x(千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为A.216aB.66aC.156aD.153a 9．已知直线l 1：x ＝－1，l 2：x －y ＋1＝0，点P 为抛物线y 2＝4x 上的任意一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A ．2 B.2C ．1 D.2210．已知f(x)＝2x ，x ≤0，log 2x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋m ，若g(x)存在两个零点，则m 的取值范围是A ．[－1，＋∞)B ．[－1，0)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 11．在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1，2|PF 1|＝|PF 2|，则双曲线的离心率为A.6B ．2 C.5D. 312．已知函数f(x)＝a x＋xln x ，g(x)＝－x 3＋x 2＋5.若对任意的x 1，x 2∈12，2，都有f(x 1)－g(x 2)≤0成立，则实数a 的取值范围是A.(]－∞，2－4ln 2B ．(－∞，1]C.2－4ln 2，12＋14ln 2D.－∞，12＋14ln 2答题卡题号123456789101112得分答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x>1，观察下列不等式：x ＋1x>2；x 2＋2x>3；x 3＋3x>4；…按此规律，第n 个不等式为________．14．若x ，y 满足约束条件2x －y ＋3≤0，x －1≤0，y －1≥0，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．15.011－x 2dx －0πsin xdx ＝________．16．若函数f(x)＝ax 2＋xln x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且b 2＋c 2－a 2＝433S. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a ＝53，cos B ＝45，求c.18.(本小题满分12分)已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n＝2S n＋n(n∈N*)．(Ⅰ)求证：数列a n＋12是等比数列；(Ⅱ)记T n＝S1＋S2＋…＋S n，求T n的表达式．。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab ≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x ＝y ＝1，则|x +yi |＝|1+i |＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f （x ）＝ln x ﹣（a ＞0），若∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），则实数a 的取值范围是 （0，1）∪（2，+∞） ．【分析】∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈R ．且f （a ）不在区间[1，2]内．f ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈Rf ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）． 可得：函数f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减．x ＝a 时，函数f （x ）取得极大值即最大值，f （a ）＝lna ﹣1．∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），可得f （a ）不在区间[1，2]内．∴a ∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，直线l 的极坐标方程为ρsin （）＝．（1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆C 公共点的极坐标．【分析】（1）圆C 的极坐标方程转化为ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为ρsin θ﹣ρcos θ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l 与圆C 公共点的极坐标． 【解答】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，∴ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B （x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

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欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 湖南师大附中高二年级数学期末考试试卷 命题人：李昌平 审题人：张宇 （时量120分钟 满分100分）

第 I 卷 一. 选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若直线x = 1的倾斜角为α ，则α

A. 等于0 B. 等于4

C. 等于2 D. 不存在 2．双曲线3x2 －y2 ＝3的渐近线方程是 A. y = ±3x B. y = ±3x

C. y =±31x D. y = ±33x 3．圆x2 + y2－2 x = 0和 x2 + y2 ＋4y = 0的位置关系是 A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 4. 下列命题中不正确的是

A. 若lBblAalba则，,,, B. 若a∥c，b∥c，则a∥b C. 若a，b，a∥b，则a∥ D. 若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外 5. 已知圆C：x2 + y2－2 x－4y－20 = 0，则过原点的直线中，被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为

A. 10＋45 B. 10＋25

C. 5＋45 D. 5＋25 6．长轴在x轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是 A. 1222yx B. 1222yx

C. 1322yx D. 1422yx 7．已知F1、F2是双曲线16x2 －9y2 ＝144的焦点，P为双曲线上一点，若 |PF1||PF2| =32, 则∠F1PF2 =

A. 6 B. 3

C. 2 D. 32 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 8．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得| PQ | = | PF2 |，那么动点Q的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

9. 设椭圆12222nymx，双曲线12222nymx，抛物线y2 = 2 (m+n) x (m>n>0 )的离心率分别为e1、e2、e3，则 A. e1e2 > e3 B. e1e2 < e3 C. e1e2 = e3 D. e1e2与e3的大小关系不确定 10．在同一坐标系中，方程a2 x2 + b2 y2 = 1与a x + b y2 = 0 (a > b > 0 )的曲线大致是

A. B.

C. D. 11．已知两点A ( –2, 0 ) , B ( 0 , 2 ), 点P是椭圆9y16x22=1上任意一点，则点P到直线AB距离的最大值是 A. 223 B. 32.

C. 227 D . 72 12. 对于抛物线 y2 ＝4x上任意一点Q，点P ( a, 0 )都满足 | PQ | ≥ | a |，则a的取值范围是 A. （－∞，0） B. （－∞，2 ] C. [ 0，2 ] D. （0，2）

x y O x y

O

x y O x

y O 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 湖南师大附中高二年级数学期末考试答卷 班 学号 姓名 第 I 卷 一. 选择题 （将正确答案的代号填入下表内） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

第 II 卷 二. 填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填 在题中横线上.) 13. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B和AC所成的 角的大小是 . 14. 已知圆 x2 + y2－6x－7 = 0与抛物线y2 = 2px ( p> 0 ) 的准线 相切，则 p = .

15. 不等式组123400yxyx 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点） 共有 个. 16. 对于椭圆19y16x22和双曲线19y7x22有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .

三. 解答题 (本大题共6小题，. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分8分）

已知过点P的直线l绕点P按逆时针方向 旋 转 角﹝0＜＜2﹞，得直线为

x－y－2 = 0，若继续按逆时针方向旋转 2－角，得直线2x＋y－1 = 0，求直线l的方程.

A B

C D

A1 B

1

C1

D

1 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 18.（本小题满分10分） 如图，已知直线l与抛物线y2 = x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2 = －1， （1）求证：M点的坐标为（1，0）； （2）求证：OA⊥OB； （3）求△AOB的面积的最小值.

19．（本小题满分8分） 设F1、F2为椭圆 14922yx的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个

直角三角形的三个顶点，且 | PF1 | > | PF2 |，求||||21PFPF的值.

x y O A

B M 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 20．（本小题满分8分） 有三个信号监测中心A、B、C，A位于B的正东方向, 相距6千米, C在B的北偏西30，相距4千米. 在A测得一信号，4秒后, B、C才同时测得同一信号，试建立适当的坐标系，确定信号源P的位置. (即求出P的坐标. 设该信号的传播速度为1千米/秒)

21．（本小题满分8分） 已知A、B是圆x2 + y2 = 1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

A B C 30°

P

y x O A C

D B

P 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 22．（本小题满分6分） 已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件 （1）焦点F1的坐标为 ( 3, 0 )； （2）长半轴长为5.

则可求得此椭圆方程为 1162522yx （※） 问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？ （注：每列出一种正确替代条件，得2分，列出三种正确替代条件，得满分6分. 列出多于三种正确替代条件的，每多一种，另加2分，但本题最高不超过10分，全卷不超过100分.） 欢迎光临《中学数学信息网》下载资料 浙江省瓯海中学 徐进光 湖南师大附中高二年级数学期末考试 参 考 答 案

一、选择题 CBDDA ACABD CB 二、填空题 13. 60° 14. 2 15. 3 16. ① ② 三、解答题

17. 由01202yxyx 得 P ( 1,－1)

据题意，直线l与直线012yx垂直，故l斜率21k ∴ 直线l方程为 )1(211xy 即 032yx.

18. (1 ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 , 代入y2 = x得 y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根, ∴ x0 ＝－y1y2 ＝1，即M点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y1y2 ＝－1 ∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 ＝y1y2 (y1y2 +1) = 0 ∴ OA⊥OB. （3）由方程①，y1＋y2 = m , y1y2 ＝－1 , 且 | OM | = x0 =1,

于是S△AOB = 21| OM | |y1－y2| =212214)(21yyyy=4212m≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1.

19. 由已知 得 | PF1 | + | PF2 | = 6 , | F1F2 | = 25, ∵△PF1F2为直角三角形，且| PF1 | > | PF2 | ∴∠PF2F1为直角或∠F1PF2为直角 (1) 若∠PF2F1为直角， 则 | PF1 |2 ＝| PF2 |2 + | F1F2 |2,

∴| PF1 |2 = (6－| PF1 | )2 + 20  | PF1 | = 314, | PF2 | = 34

故 27||||21PFPF （2）若∠F1PF2为直角， 则 | F1F2 |2 = | PF1 |2 + | PF2 |2 ∴20 = | PF1 |2 + (6－| PF1 | )2  | PF1 | = 4, | PF2 | = 2,

故 2||||21PFPF.

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