2020浙教版九年级数学上 二次函数
1.1 二次函数(课件)九年级数学上册(浙教版)
2．y=(m-1)
是二次函数，则m的值是（ ）
A．m=0
B．m=-1
C．m=1
D．m=±1
2 +1
【详解】解：y=(m-1)
∴2 + 1=2，m-1≠0，
解得m=±1，m≠1，
∴m=-1．
故选：B．
是二次函数，
当堂检测
3．线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB
运动至点B．以点A为圆心、线段AP长为半径作圆心角为90°的扇形PAC，
③y=4x2-3x+1是二次函数，故③是二次函数；
④y=(m-1)x2+bx+c，时，该式不是二次函数；
⑤y=(x-3)2-x2，该式不是二次函数；
故答案为：③．
讲授新课
知识点二 列二次函数关系式
典例精析
【例3】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降
价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x
2 +2−1
1)
+3是二次函数时，
【详解】（1）解：(1)当y=( −
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 2
解得m=-3，
∴当m=-3时，此函数是二次函数；
2 +2−1
（2）当y=( − 1)
+3是一次函数时，
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 1
解得,=-1+ 3或-1- 3，
数学（浙教版）
九年级 上册
第1章 二次函数
1.1 二次函数
学习目标
1．掌握二次函数的概念与一般形式，注意二次函数的字母系数
1.1 二次函数-2020秋浙教版九年级数学上册习题课件(共21张PPT)
16．把 8 m 长的钢筋焊成一个如图 1－1－3 所示的框架，使其下半部分为矩形，上 半部分为半圆形． (1)请你写出钢筋所焊成框架的面积 y(m2)与半圆的半径 x( m)之间的函数关系式；
图 1－1－3 (2)当 x＝1 时，求钢筋所焊成框架的面积(精确到 0.1 m2)．
解：(1)∵半圆面积为12πx2m2， 长方形面积为12×2x(8－2x－πx)＝[8x－(2＋π)·x2] m2， ∴y＝12πx2＋8x－(2＋π)x2， 即 y＝－12π＋2x2＋8x； (2)当 x＝1 时， y＝－12π＋2×12＋8×1＝6－12π≈4.4. 答：钢筋所焊成框架的面积为 4.4 m2.
b，c 的值． 解：把 x＝－1，y＝－12；x＝12，y＝－32代入 y＝2x2＋bx＋c，得
22－×b14＋＋cb＝×－12＋12c，＝－32，解得bc＝＝－8，6.
9．某广告公司设计一幅周长为 16 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2 000 元，设矩形一边长为 x m，面积为 S m2. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？ (3)若 x 取整数，估计当 x 是多少时设计费最多？最多是多少元？ 解：(1)∵矩形一边长为 x m，周长为 16 m， ∴另一边长为(8－x)m， ∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中 0<x<8；
6．说出下列二次函数的二次项系数 a，一次项系数 b 和常数项 c. (1)y＝－2x2 中，a＝___－__2__，b＝___0____，c＝___0____； (2)y＝－5x2＋3x 中，a＝___－__5___，b＝___3____，c＝___0____； (3)y＝－x－122中，a＝___－__1___，b＝___1___，c＝___－__14____； (4)y＝(x－1)(2－x)中，a＝___－__1__，b＝___3__，c＝__－___2__．
2020浙教版九年级数学上 二次函数
【文库独家】二次函数(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8,¼DM是圆周的14,A 为¼DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE ⊥BD 于E,设AB=x,CD=y. (1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值. EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=32,M 、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.BMA CN答案:一、1.解:(1)y=20-10010x -×1=-0.1x+30. (2)z=y ·x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1×1602+34×160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0, ∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1×160+30=14(万件); 当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1×180+30=12(万件). 二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC.∴AB OBBC AB=, 即 48x y x =+, ∴y=2184x - ∵A 为¼MD上任意一点,BM≤AB≤BD, 而BM=22224442OB OM +=+=, BD=8, ∴42≤x≤8. ∴y=2184x - (42≤x≤8). (2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=43,即当x=43时,CA 是⊙O 的切线. (3)由(2)得x=43,CA 是⊙O 的切线,此时y=4, 而OE=BE-OB=12(8+4)-4=2,AE=2222(43)623AB BE -=-=, ∴tan∠OAE=23323OE AE ==. 3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有AD=32×sin450=23232⨯=. 设△MNC 的MN 边上的高为h, ∵MN∥BC,∴343x h-=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ·h=21123332482x x x x -=-+g ,即S=23382x x -+ (0<x<4).(2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根,即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4×3×16=-48<0,说明此方程无实根, 所以不存在这样的线段MN.。
二次函数的图像课件浙教版九年级数学上册
能否说出二次函数y=3x2-6x+5图象的顶点坐标， 对称轴呢？
我们知道,像y=a(x-m)2+k这样的函数,容易确定相应抛
物线的顶点为(m,k),二次函数 y 3x2 6x 5 也能化成这
样的形式吗?
思考:如何求一般形式的二次函数顶点坐标?
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
归纳
y=ax²+bx+c
二次函数一般式的配方法：
=a（x2+
b a
x）+c
(1)“提”：提出二次项系数；
=a〔x2+
b a
x+
b
2
2a
–
b 2
2a
〕+c (2)“配”：括号内配成完全平方
= a(x+ b )2 + 4ac b2
(3)“化”：化成顶点式.
2a
4a
函数y ax2 bx c图象的性质？
y ax2 bx c
y a(x b )2 4ac b2
配方法
2a
4a
➢图象是一条抛物线，
➢对称轴是直线x= b
2a
➢顶点坐标是为（ b
2a
， 4ac b2 ）
4a
➢当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
m左加右减，k上加下减
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
向上 向下
直对线称x轴=-3 顶( -点3,坐5 标) 直线x=1 ( 1 , -2 )
【精品推荐】2020年秋九年级数学上册第一章二次函数1.4二次函数的应用第2课时b课件新版浙教版
1≤x＜50 50≤x≤90
x＋40
90
200－2x
已知 该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每
天利润为y元
巩教固学提目升
标
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最 大利润是多少？ (3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润 不低于4800元？请直接写出结果
（2） 教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生： 像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
课教堂学小目结
标
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
谢谢观看，敬请指导
天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。 例2继续教学等式，教材的安排有三个特点： 第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。
2020年浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数(含答案)
拓展训练 2020年浙教版数学九年级上册 1.1 二次函数基础闯关全练1．下列y 关于x 的函数中，属于二次函数的是 ( )A.y=x-1B.C.y=(x-1)²-x ²D.y=-2x ²+12．关于函数y=（500-10x ）（40+x ），下列说法不正确的是( )A ．y 是x 的二次函数B ．二次项系数是-10C ．一次项是100D ．常数项是20 0003．二次函数y=x ²+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是 ( )A ．3B ．5C ．-3或5D ．3或-5 x... -1 0 1 2 3 ... y ... 0 -3 -4 -3 m ... 则该二次函数的解析式为________ ；m 的值为___________．5．某自营书店销售某种图书，经过一段时间的销售发现，该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）有如下关系：w=ax ²+bx-3 000，当销售价为32元／本时，每天的销售利润为72元，当销售价为36元／本时，每天的销售利润为168元，则销售该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）的函数表达式是______ ．6．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为160元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价为x 元，宾馆每天的利润为 y 元，则y 与x 的函数关系式为___________.能力提升全练1．已知x 是实数，且满足（x-2）（x-3）=0，则相应的函数y=x ²+x+1的值为 ( )A ．13或3B ．7或3C ．3D ．13或7或32．如图，四边形ABCD 中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD ，AC= 4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 ( )A. B.C. D.3．若y 关于x 的二次函数的解析式为()mx x m y m +-=2，则m=_______.三年模拟全练一、选择题1．（2019浙江湖州四中教育集团开学考试，2，★☆☆）下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ( )A ．xy+x ²=2B ．x ²-2y+2=0C ．D ．y ²-x=0二、解答题2．（2019浙江绍兴蕺山外国语学校月考，17，★☆☆）已知函数()12242-+-=-+x x m y m m 是一个二次函数，求该二次函数的解析式．3．（2018浙江宁波陆埠中学第一次质检，21，★★☆）如图所示的是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30 m ，门宽是2m ，设这块场地的宽为xm ．(1)求场地的面积y( m ²)与宽x( m)之间的函数关系式；(2)求出自变量x 的取值范围.五年中考全练填空题（2017湖南常德中考，15．★☆☆）如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x ，正方形EFGH 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为__________.核心素养全练如图①，在平面直角坐标系中，直线(m ＞0)与直线y= 2x 交于点A ，与x 轴交于点B ，O 为坐标原点，点C 在线段OB 上，且不与点B 重合，过点C 作垂直于x 轴的直线，交直线AB 于点D ，将△BCD 以CD 为对称轴翻折，得到△CDE.设点C 的坐标为（x ₀，0），△CDE 与△AOB 重叠部分的面积为S ，S 关于x ₀的函数图象如图②所示．(1)点A 的坐标是_____________，m=____；(2)求S 与x ₀之间的函数关系式．1.1 二次函数基础闯关全练1．D 选项A 中自变量x 的次数是1，属于一次函数；选项B 是反比例函数；选项C ，由已知函数关系式得到y= - 2x+1，属于一次函数；选项D ，符合二次函数的定义，故选D ．2．C 原函数展开整理得y= -10x ²+100x+20 000，∴y 是x 的二次函数，故A 正确；二次项系数是- 10，故B 正确；一次项是100x ，故C 错误；常数项是20 000，故D 正确．故选C ．3.D 根据题意，得x ²+2x-7=8，即x ²+2x-15=0，解得x=3或x= -5，故选D ．4．答案y=x ²-2x-3；0解析 分别把点（-1，0），（2，-3），（0，-3）代入y=ax ²+bx+c 中，得解得∴二次函数的解析式为y=x ²-2x-3．把x=3代入，得y=0，即m=0．5．答案 w= -2x ²+160x-3 000解析 将(32，72)，(36，168)代入w=ax ²+ bx -3 000，得解得所以该书每天的销售利润w （元）与销售价x （元／本）的函数表达式是w=-2x ²+160x-3 000．6．答案解析 ∵每个房间每天的定价为x 元，宾馆每天的利润为y 元，∴y 与x 的函数关系式为.能力提升全练1.C 由已知得x ≤1，∵(x-2) (x-3) =0，∴x=1，当x=1时，y=x ²+x+1= 1+1+1=3．故选C ．2.C 作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，AE 、DE 交于点E ，作DF ⊥AC ，垂足为点F ，∵∠BAD=∠CAE= 90°，即∠BAC+ ∠CAD= ∠CAD+∠DAE= 90°，∴∠BAC=∠DAE ，又∵AB=AD ，∠ACB=∠E=90°，∴△ABC ≌△ADE ，∴BC=DE ，AC=AE ，设BC=a ，则DE=a ，DF=AE=AC=4BC=4a ，CF =AC-AF=AC-DE=3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理得CF ²+DF ²= CD ²．即(3a)²+(4a)²=x ²，解得（负值舍去）， ∴.故选C.3．答案 -2解析 ∵y 关于x 的二次函数的解析式为()mx x m y m +-=2，∴|m| =2，且m-2≠0，∴m= -2.三年模拟全练一、选择题1.B 选项A 整理后为，右边不是整式且最高次也不是2次，故不是二次函数；选项B 整理后为，符合二次函数的特点；选项C 等号右边不是整式，故不是二次函数；选项D 整理后为y ²=x ，故y 不是x 的二次函数，故选B ．二、解答题2．解析 由二次函数的定义得m ²+m-4=2，解得m ₁=2，m ₂=-3，又m-2≠0，即m ≠2，∴m= -3.3．解析 (1) y=x( 32-2x)= -2x ²+32x ．(2)∵，∴2＜x ＜16.五年中考全练填空题答案 y=2x ²-4x+4解析如图所示：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2= ∠3，在△AHE与△BEF中，∵∴△AHE≌△BEF，∴BF=AE=x，AH=BE=2-x，在Rt △AHE中，由勾股定理得，EH²=AE²+AH²=x²+（2-x）²=2x²-4x+4，即y=2x²-4x+4(0＜x＜2).核心素养全练解析(1) y=x+m，当y=0时，，即x= 2m，∴B(2m，0)，当x₀=m时，，此时C是线段OB的中点，如图，则E与O重合，OC=OB=m，CD=-m+m=m，∴，∵m＞0，∴，∴直线AB的解析式为，令，得x=1，∴A(1，2)．(2)分三种情况：①当0≤x₀≤1时，△CDE与△AOB的重叠部分是△OCF，如图，∴.②当时，△CDE与△AOB的重叠部分是四边形OFDC，如图，∵OC=x₀，∴BC= CE= 5-x₀，∴OE= 5-2x₀，将x=x₀代入，得，∴，设直线DE的解析式为，则，得，即，由得即，∴·.③当时，△CDE与△AOB的重叠部分是△CDE，如图，∴.综上，S与x₀之间的函数关系式为。
新浙教版九年级数学上册《二次函数的图象》课件
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数表达式为 y= -2x2.
（2）因为 42(1)2 ，所以点B（-1 ，-4）
反比例函数
y
k x
（k ≠ 0）其图象是双曲线.
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？.
二次函数y=ax2的图像
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与 (3,6)
3 O
y=-2x2
( 3,6)
( 3,6)
练习一、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（－1，3）.
（1）则a的值是
；（2）对称轴是来自，开口.（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧， y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧， y随着x的增大而减小，当x= 0 时， 函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线 y
2 3
x 2 在x轴的
下
方（除顶点外），在对称轴的
增大。
当a<0时，在对称轴的
浙教版数学初三上学期二次函数知识点
浙教版数学初三上学期二次函数知识点浙教版数学初三上学期二次函数知识点知识点I、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教案
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是浙教版数学九年级上册第2.4节的内容，主要目的是让学生掌握二次函数在实际问题中的应用。
本节内容是在学生已经学习了二次函数的图象和性质的基础上进行的，通过本节内容的学习，使学生能够运用二次函数解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题，对他们来说还是一个新的领域。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已知的二次函数知识与实际问题相结合，通过解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为二次函数问题，并通过二次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高他们的数学素养。
3.情感态度与价值观：使学生能够体验到数学在生活中的应用，增强他们对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：使学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并通过二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，通过解决实际问题，引导学生运用二次函数知识，提高他们的数学应用能力。
同时，采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生运用二次函数知识解决实际问题。
2.学生准备：学生需要复习二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用二次函数知识解决这些问题。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，并与学生一起分析这些问题，将实际问题转化为二次函数问题。
3.操练（10分钟）教师引导学生运用二次函数知识解决呈现的实际问题，学生进行练习，巩固所学知识。
二次函数的图象课件浙教版九年级数学上册
y ax2 当m＜0时,向左平移 当m＞0时,向右平移
y a(x m)2 的图象
y a(x m)2
对称轴是 ____直__线__x_=_m___， 顶点坐标是 ___(_m_,_0_)___。
a＞0时，开口__向__上____, 最 _低___ 点是顶点; a＜0时，开口__向__下____, 最 __高__ 点是顶点;
值有关。
m左加右减; k上加下减
巩固练习:
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(1) y 2( x 3)2 5
(2) y 0.5( x 1)2
(3) y 3 x2 1 4
(4) y 2( x 2)2 5
2.二次函数 y 3(x 2)图2 像的对称轴是（ A ）
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
3.将抛物线 y 3x向2 左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（ D ）
A. y 3x2 3 B. y 3(x 3)2
C. y 3x 2 3 D. y 3(x 3)2
4.抛物线y (x 1)2是由抛物线 y_=_-X2 向 右 平移__1 个单位得到
2
2
y 1 x 2 向左平移2个单位
2
向上平移3个单位
由此你有什么发现?
y 1 ( x 2)2 3 2
共同归纳:
y ax2
当m＜0时,向左平移 当m＞0时,向右平移
y a(x m)2
y a(x m)2 k
当k>０时向上平移 当k<０时向下平移
y a(x m)2 k的图象
对称轴是 ____直__线__x_=_m___， 顶点坐标是 ____(_m_,_k_)__。
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二次函数
一、基础练习
1．把抛物线y=2x2向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x2•向下平移3 个单位，得到抛物线________．
2．抛物线y=3x2-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x2•向_______平移______个单位得到的．
3．把抛物线x2向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线x2•向右平移3个单位，得到抛物线________．
4．抛物线x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为_________，•它是由抛物线
2向______平移______个单位得到的．
5．把抛物线y=-1
3
（x+
1
2
）2向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-
1
3
x2．
6．把抛物线y=4（x-2）2向______平移_______个单位，就得到函数y=4（x+2）2的图象．
7．函数y=-（x-1
3
）2的最大值为________，函数y=-x2-
1
3
的最大值为________．
8．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，•开口方向相同，则点（a，m）关于原点的对称点为________．
9．已知抛物线y=a（x-3）2过点（2，-5），则该函数y=a（x-3）2当x=________•时，•有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y•万元，则y与x的函数关系式为（）
A．y=50（1-x）2 B．y=50（1-x）2 C．y=50-x2 D．y=50（1+x）2
12．下列命题中，错误的是（）
A．抛物线x2-1不与x轴相交;
B．抛物线x2-1与x-1）2形状相同，位置不同;
C．抛物线y=1
2
（x-
1
2
）2的顶点坐标为（
1
2
，0）;
D．抛物线y=1
2
（x+
1
2
）2的对称轴是直线x=
1
2
13．顶点为（-5，0）且开口方向、形状与函数y=-1
3
x2的图象相同的抛物线是（）
A．y=-1
3
（x-5）2 B．y=-
1
3
x2-5 C．y=-
1
3
（x+5）2 D．y=
1
3
（x+5）2
14．已知a<-1，点（a-1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=1
2
x2-2的图象上，则（）
A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3
15．函数y=（x-1）2+k与y=k
x
（k是不为0的常数）在同一坐标系中的图象大致为（）
二、整合练习
1．已知反比例函数y=k
x
的图象经过点A（4，
1
2
），若二次函数y=
1
2
x2-x•的图象平移后经过该反比例函
数图象上的点B（2，m），C（n，2），求平移后的二次函数图象的顶点坐标．
2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为（3，4）．
求：（1）这条新抛物线的函数解析式；
（2）这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．
答案:
一、
1．y=2x 2+1 y=-2x 2-3
2．y 轴 （0，-1） 下 1
3．
x+1）2
（x-3）2
4．上 直线x=1 （1，0） 右 1
5．右，12
6．左 4 7．0 13 8．（2，-3） 9．3 大 0 10．6
11．A 12．D 13．C
14．C （因为a<-1，所以a-1<a<a+1<0，y=
12
x 2-2中，当x<0时，y 随x 的增大而减小，• 所以y 1>y 2>y 3） 15．B （因为抛物线y=（x-1）2+k 过原点，所以0=1+k ，k=-1，双曲线y=-1x ） 二、
1．由反比例函数y=k x 的图象过点A （4，12），所以12=4
k ，k=2，• 所以反比例函数的解析式为y=2x
． 又因为点B （2，m ），C （n ，2）在y=2x
的图象上， 所以m=22，n=22=1，设二次函数y=12x 2-x 的图象平移后的解析式为y=12
（x-h ）2+k ，它过点B （2，1），C （1，2）， 所以2251,1(2),2271,2(1),82h h k k h k ⎧⎧==-+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-+⎪⎪⎩⎩
解得 所以平移后的二次函数图象的顶点为（
52，78
）． 2．（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ，
根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．
过N 作NG ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNE 中，∠MBP+∠BMN=90°，
∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNE ，MF=AE=x ．
在Rt △AME 中，由勾股定理得
ME 2=AE 2+AM 2，
所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-14x 2． 所以四边形ADNM 的面积 S=
22AM DN AM AF AD ++⨯=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-14x 2）+x=-12
x 2+x+2． 即所求关系式为S=-12
x 2+x+2． （2）S=-12x 2+x+2=-12（x 2-2x+1）+52=-12（x-1）2+52． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是52．
3．（1）y=-2x 2+8x-5=-2（x-2）2+3，将抛物线开口反向，且向上、•下平移后得新抛物线方程为y=2（x-2）
2+m ．因为它过点（3，4），所以4=2（3-2）2+m ，m=2，这条新抛物线方程为y=2（x-2）2+2，即y=2x 2-8x+10．
（2）直线y=kx+1过点（3，4），4=3k+1，k=1，求得直线方程为y=x+1．
解方程组3,2810,3,2145
2
x y x x x y x y y ⎧=⎪=-+=⎧⎧⎪⎨⎨⎨=+=⎩⎩⎪=⎪⎩得和 所以另一个交点坐标为（
32，52）。