3.4相互独立的随机变量
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理学概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
9
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
例：
➢ ➢
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
7
§1 随机试验
确定性现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
随机变量的相互独立性
p ij = p i • × p • j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 与 的边缘分布律分别为
X p.i -1 2/5 0 1/5 2 2/5 Y 1/2 Pj. 1/4 1 1/4 2 2/4
2 1 p11 = p12 = = p1. ⋅ p.1 = p1. ⋅ p.2 20 20 4 p13 = = p1. ⋅ p.3 20 p21 = p2. ⋅ p.1 p22 = p2. ⋅ p.2 p23 = p2. ⋅ p.3
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
y ≤ 0 或 y ≥1 时
fY ( y ) = 0
0 < y ≤ 1 时，
0
fY ( y ) = ∫ y −1 4dx = 2(1 − y )
2
所以，关于 的边缘分布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为
2(1 − y ), fY ( y ) = 0,
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 的联合分布函数为F(x,y) F(x,y)， 边缘分布函数分别为F 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y (y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 (y)，则称随机变量X 相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量， 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分 别等价于
(0 < y ≤ 1) 其它
所以
1 8(2x +1)(1− y),(− < x ≤ 0,0 < y ≤ 1 ) f X ( x) ⋅ fY ( y) = 2 0, 其它
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y ) , x,y R .
所以 X 与 Y 相互独立.
10:42:20 3
X 与 Y 相互独立. 此时，若再求两个部件的 寿命都超过100小时的概率，则
P ( X 0 . 1, Y 0 . 1 ) P ( X 0 .1) P (Y 0 .1)
X Y
其中F ( x , y ), FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X , Y )的分布函数及边缘分布 函数.
10:42:20 1
例1 一电子元件由两个部件构成，以X, Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时). 已知 (X, Y)的联合分布函数为
(1 e )(1 e ), x 0, y 0, F ( x, y) 其它. 0,
若 0，则
2 2 1 1 ( x μ1 ) ( y μ2 ) f ( x, y) exp 2 2 2σ1σ 2 σ2 2 σ1 2 2 1 ( x μ1 ) 1 ( y μ2 ) exp exp 2 2 2 σ1 2σ1 2 σ 2 2σ 2
两个离散型随机变量相互独立时，它们的 联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .
10:42:20
6
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X
P
1 0.3
3 0.7
Y
P
2 0.6
4 0.4
求随机向量( X, Y ) 的联合分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P ( Y y j ),
=1/2.
概率论第三章-随机向量的独立性
相互独立,X~U( 0,a ) , 例3 设随机变量 X , Y 相互独立 Y~ U( 0, π/ 2 ) 且 0 < b < a 试求 P { X < b cosY } 解：
1 , 0 < x < a; f X (x) = a 其他; 0, 2 , 0 < y < π ; 2 fY ( y ) = π 0, 其他.
f X ( x) =
1 e 2π σ 1
−
( x − µ 1 )2
2 2σ 1
fY ( y ) =
2π σ 2
1
−
( y − µ 2 )2
2 2σ 2
e
X~ N（µ1，σ12 ) , （
Y~ N（µ2，σ22 ) （
二维正态随机向量（ 二维正态随机向量（X，Y）的两个分量独立的充要条件是 ）
ρ= 0
P {X ≤ a , X ≤ b} = P {X ≤ a}P { X ≤ b}
对所有实数对(a, b) 均成立. 对所有实数对( 均成立. 随机事件{ 有下述关系： 2) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系：
{X
从而
≤ a} = {− a ≤ X ≤ a} ⊂ {X ≤ a}
P{ X ≤ a , X ≤ a } = P{ X ≤ a }
x = b cosy
D
0
y
π/2
例4 .设（X，Y）服从N（μ1，σ12；μ2，σ22；
ρ ），X与Y独立的条件。
f ( x, y) = 1 2πσ 1σ 2 1 − ρ 2 ⋅ exp{− x − µ1 2 x − µ1 y − µ 2 y − µ 2 2 1 (( ) − 2ρ ) )} +( 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 − ρ ) σ 1
3-4 随机变量的独立性
解: X与Y的边缘分布律分别为
X -1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2 Y -1 0 p.j 2/5 1/5 2 2/5
逐一验证可知， pij= pi. · p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。 从而X与Y相互独立。
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例3.14: 设X和Y都服从参数为1的指数分布，且相互 独立，试求P{X+Y<1}。 解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度，则
第四节 随机变量的独立性
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实 数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于 X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上 式等价于 由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数 x1<x2,y1<y2,事件{ x1<X≤x2}与事件{ y1<Y≤y2}相互独立”。
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P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2}
=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)] = P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2} 所以事件{x1<X≤x2}与{y1<Y≤y2}是相互独立的。 结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和 I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。
大学本科第五节 相互独立的随机变量
若Ｘ的取值与Ｙ相互没有影响，则称 Ｘ与Ｙ独立；否则，称Ｘ与Ｙ不独立。
一般随机变量X取任意值的概率都可以由 事件{X ≤x}的概率表出，因此：
两个随即变量X, Y相互独立，等价于对任 意的实数 x, y, 事件{X ≤x}与{Y ≤y}独立。
定义5.1, 设随机变量X与Y满足对任意的实
数 x, y，有
XY 0 1
Pi·
0 1/4 1/4
1/2
1
1/4 1/4
1/2
P·j
1/2 1/2
例 2 随机变量X等可能取1，2，3，4， 随机变量Y等可能取1～X, 则
随机变量X与随机变量Y相互不独立。 例 3 随机变量X与Y独立，试填空：
X Y 0 1 2 Pi·
0 1/24 1/8 1/12 1/4
1 1/8 3/8 1/4 3/4
)
(
y
u2
2 2
)2
21 2 1 2
由 fX (x) fY ( y)
f (x, y)
1
e
(
x1 1
2
2 1
)
2
2 1
1
e
(
y 2
2
2 2
)2
2 2
fX (x) fY ( y)
的充要条件是 0, 所以，两个正态变量X与Y独立的
充要条件是 0。
例6 若(X,Y)的概率密度为
定理 设二维离散型随机变量(X,Y)的
所有可能取值为(xi, yj),(i,j=1,2, …), 则X与Y 相互独立的充要条件是
P X xi ,Y y j P X xi P Y y j
pij pij • pij
j
i
例 1 一枚硬币掷两次，随机变量X与Y分 别表示两次中正面出现的次数，则X与Y相互 独立，即
一般随机变量X取任意值的概率都可以由 事件{X ≤x}的概率表出，因此：
两个随即变量X, Y相互独立，等价于对任 意的实数 x, y, 事件{X ≤x}与{Y ≤y}独立。
定义5.1, 设随机变量X与Y满足对任意的实
数 x, y，有
XY 0 1
Pi·
0 1/4 1/4
1/2
1
1/4 1/4
1/2
P·j
1/2 1/2
例 2 随机变量X等可能取1，2，3，4， 随机变量Y等可能取1～X, 则
随机变量X与随机变量Y相互不独立。 例 3 随机变量X与Y独立，试填空：
X Y 0 1 2 Pi·
0 1/24 1/8 1/12 1/4
1 1/8 3/8 1/4 3/4
)
(
y
u2
2 2
)2
21 2 1 2
由 fX (x) fY ( y)
f (x, y)
1
e
(
x1 1
2
2 1
)
2
2 1
1
e
(
y 2
2
2 2
)2
2 2
fX (x) fY ( y)
的充要条件是 0, 所以，两个正态变量X与Y独立的
充要条件是 0。
例6 若(X,Y)的概率密度为
定理 设二维离散型随机变量(X,Y)的
所有可能取值为(xi, yj),(i,j=1,2, …), 则X与Y 相互独立的充要条件是
P X xi ,Y y j P X xi P Y y j
pij pij • pij
j
i
例 1 一枚硬币掷两次，随机变量X与Y分 别表示两次中正面出现的次数，则X与Y相互 独立，即
概率论与数理统计-第3章-第4讲-随机变量的独立性
1, (x, y) G
f (x, y) 0,
其它.
1
2x
02 随机变量的独立性
例题 设二维离散型随机变量 X， Y 的联合分布律为
应用
Y X
1
1
1 6
2
3
1
1
9
18
2
1 3
试确定常数 ， 使得随机变量 X 与Y 相互独立．
02
随机变量的独立性 由表，可得随机变量 X 与Y 的边缘分布律为
P{XY Y 0} P{( X 1)Y 0}
P{X 1 0,Y 0} P{X 1 0,Y 0}
P(X ) P(X ) 1
2
P{X 1}P{Y 0} P{X 1}P{Y 0} 1111 1
22 22 2
第4讲 随机变量的独立性
本节我们学习了二维随机变量的独立性, 后续会推广到更多维. 随机变量的独立性在概率论和数理统计中会发挥重要的作用.
用分布函数表示, 即 设 X,Y 是两个随机变量, 若对任意的x, y, 有 F ( x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X, Y 相互独立 .
它表明, 两个随机变量相互独立时, 联合分布函数等于两个 边缘分布函数的乘积 .
01 两个随机变量独立的定义
离散型
X与Y 独立
对一切 i , j 有
01 两个随机变量独立的定义 两个随机变量独立的定义
设 X,Y是两个随机变量, 若对任意的x,y ,有 P ( X x,Y y) P( X x)P(Y y)
则称X,Y相互独立 .
如何判断
两事件A, B独立的定义是： 若 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A, B独立 .
01 两个随机变量独立的定义
二维随机变量及条件分布
F (x,y)A [Bar(c x)t]C g [ar(c y)t]g
2
3
1)求常数A，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3}
解: F( , )A [B]C []1
F F ( (x , , y )) A A [[B B a 2]r C 2 [ ( x c )aC ] tr 2 g [( 3 y c ] ) t]0 0 gBC2 A12
称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. 边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低 维分量的分布。
27
例1. 已知(X,Y)的分布函数为
1ex xey
F(x,y)1ey yey
0
求 FX(x) 与 FY(y)。
1 ex x 0
解：FX(x)=F(x,)=
0
x0
0xy 0yx
其它
解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为
P{Xi,Yj}2i 2j7223i
j
, 0
i 0,1,2, j 0,1,2, i j 2.
13
分布律也可写成以下表格的形式.
X Y
0
1
2
0 1/7 2/7 1/21
1 2/7 4/21 0
概率论与数理统计
第五讲 二维随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布
2
3.1 二维随机变量
设 E是一个随机,试 它验 的样本空S间{是 e},
设XX(e)和YY(e)是定义S在上的随机变 , 量
3-4随机向量的函数的分布
fX (x) fY ( y)dxdy.
X Y z
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将二重积分化为累次积分得
FZ (z)
fX
(x)
zx
fY
(y)dy dx
fX (x)FY (z x)dx,
上式两端关于z求导得
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx,
(1)
由X和Y的对称性可得
N(0,1)分布, 求 Z X Y 的概率密度.
解 由假设知, 随机变量X和Y的密度函数分别为
fX (x)
1
2
x2
e 2 (x R),
fY ( y)
1
y2
e 2 ( y R),
2
于是,由卷积公式有
fZ (z)
Байду номын сангаас
fX (x) fY (z x)dx
1
2
x2 ( zx)2
e 2 e 2 dx
它们的概率密度分别为
f
X
(
x)
1e
0,
1x
,
x 0, x 0;
fY ( y)
2e2x ,
0,
y 0, y 0;
其中1 0, 2 0, 求系统的寿命Z的概率密度.
L1
(P73, 例22)
L2
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解 系统寿命为 Z X Y , 利用卷积公式, Z的概率密度
函数为
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy.
1 z2
e4
e dx
x
z 2
2
2
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1 z2 e e dx 4
x
z 2
概率与统计3。3-0
2、利用随机变量的独立性命题 判断独立性
命题3.2 若（X , Y )为连续型随机变量，其概率密度 为f ( x, y )，则X与Y相互独立的充要条件为： 存在连续函数h( x), g ( y ), 使 h( x) g ( y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f ( x, y ) = （3.5） 0 其它 其中a, b, c, d均为与x, y无关的常数（可为∞）。
+∞ 解 : (1) f X ( x) = ∫−∞ f ( x, y ) dy
y
y=1/x
x ln x 1 1 x ∫1 2 dy = 2 ln y 1 = 2 = 2x y 2x x x x 0 +∞ f Y ( y ) = ∫−∞ f ( x, y )dx 1 +∞ 1 ∫1 2 x 2 y dx = 2 y 1 +∞ 1 = ∫y dx = 2 2 2y 2x y 0
x >1 x ≤1
1 0 1 x
0 < y <1 1 ≤ y < +∞ y≤0
1 2 x 2 ln x 1 (2) f X ( x) ⋅ f Y ( y ) = 2 2 ln x 2x y 0 故此X与Y不相互独立。
x > 1,0 < y < 1 x > 1, y ≥ 1 ≠ f ( x, y ) 其它
3、二维离散型随机变量 分量不相互独立的判别 ： 若X和Y相互独立，则对于所有 的i, j，均该满足 pij = pi. p. j 也即意味着，只要存在 一对(i, j )，满足pij ≠ pi. p. j 则X与Y必不相互独立。
命题 3.1 若二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合概率 分布表中存在某个 p i0 j0 = 0, 则X与Y必不相互独立。
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15 January 2014
y 1 2 e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第20页
所以,X与Y的联合概率密度为 y 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 2 其它. 0, (2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为
3.4 随机变量的相互独立
第19页
练习： 设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均 y 匀分 布,Y的概率密度为 1 2
(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 解 (1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有
1, 0 x 1, f X ( x) 其它, 0,
y 0 y0
所以X 与Y 独立。
15 January 2014
注意：f(x, y) 可分离变量.
概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第9页
例
设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
Y 1 3 2 PY 0.6 0.3 0.7 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.
4 0.4
解
X
0.1445
15 January 2014 概率统计教研室
15 January 2014
概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立为: (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. 解:(1)X,Y的概率分布分别为: (2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0)=0.35
X 0 1
Y X
0 0.3 0.2
0 1
1 0.4 0.1
p i.
0
1
Y
0.3 0.4 0.2 0.1 0.5 0.5
0.7 0.3 1
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0)
X,Y不独立.
15 January 2014
p .j
注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.
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X x1 Y y1 y2 y3
pi
1/24 1/8 1/6
1/8 3/8 1/2
1/12 1/4 1/4 3/4 1/3 1
x2
p j
15 January 2014
概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第11页
例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘 书到
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.
若随机变量X,Y相互独立，则联合分布可 由边缘分布唯一确定
15 January 2014 概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第5页
2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,.
1.定义 设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量
( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的 任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
15 January 2014
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3.4 随机变量的相互独立
第7页
例
(X, Y) 的联合分布律为:
问 X与Y 是否独立？ 解: 边缘分布律分别为: X 0 1 Y
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X 2 }
15 January 2014
y x 2
f ( x, y )dxdy
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3.4 随机变量的相互独立 例2-续2
y 1 2 P{Y X } f ( x , y )dxdy e dxdy 2D y x 2
15 January 2014
8
12 x
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3.4 随机变量的相互独立
第13页
而 G的面积 ABC的面积 ABC 的面积 2 2 y A C C 1 13 1 11 1 9 B G . 6 2 12 2 12 B 7 于是 P{ X Y 1 12} O 8 12 x 1 1 ( G 的面积 ) . 48 8
15 January 2014
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3.4 随机变量的相互独立
第17页
注 意 点 (2)
(4) 若联合概率密度 f(x, y) 可分离变量，即 f(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。 (5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0. )
达办公室的时间, 由假设 X 和Y 的概率密度分别为
1 4 , 8 x 12, f X ( x) 0, 其它,
1 2 , 7 y 9, fY ( y ) 0, 其它,
由于 X ,Y 相互独立, 得 ( X ,Y ) 的概率密度为
15 January 2014 概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第1页
第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、小结
15 January 2014
概率统计教研室
3.4 随机变量的相互独立
第2页
随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广. 本节主要讨论两个随机变量相互独立的一 般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
三、小结 1、若满足以下之一:
i) F(x, y) = FX(x)FY(y)， 通式 ii) pij = pi.p.j， 离散变量
iii) f(x, y) = fX(x)fY(y)， 随机变量 则称 X 与Y 是独立的， 2、变量X 与Y是独立的其本质是：
任对实数a, b, c, d，有
P a X b, c Y d P a X b P c Y d
X ~ N ( 1, 12 )
2 Y ~ N ( 2, 2 )
参数 与独立性有什么关系？
定理
2 , ),则 设 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2, 12 , 2
X , Y 相互独立
15 January 2014
0
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3.4 随机变量的相互独立
第15页
3.4 随机变量的相互独立
第12页
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 8 , 8 x 12,7 y 9, 其它. 0,
P{ X Y 1 12}
y 9
7
O
A C
B
C
f ( x , y ) d x d y
G
G
B
1 ( G 的面积 ). 8
因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
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3.4 随机变量的相互独立
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2 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2 , 12 , 2 , )
2 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2 , 12 , 2 , )
例
已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f X (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
e y , fY (y) 0,
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A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
且 P{Y y} 0 则有
F ( x Y y ) P{ X x Y y } P{ X x }
P{ X x , Y y } F ( x , y ) P{Y y} FY ( y )
一般的，由于随机变量X,Y之间存在相互联系， 因而，一个随机变量的取值可能会影响另一个随机 变量的取值统计规律性。在何种情况下，随机变量 X,Y之间没有上述影响，而具有所谓的“独立性”， 我们有如下定义：
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一、随机变量的相互独立性
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
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( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
（4）随机变量X于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
第21页
2
1 dx e 20 0
y 1 2 e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
e , y 0, fY ( y ) 2 其它, 0,
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所以,X与Y的联合概率密度为 y 1 e 2 , 0 x 1, y 0 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 2 其它. 0, (2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为
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练习： 设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均 y 匀分 布,Y的概率密度为 1 2
(1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 解 (1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有
1, 0 x 1, f X ( x) 其它, 0,
y 0 y0
所以X 与Y 独立。
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注意：f(x, y) 可分离变量.
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例
设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
Y 1 3 2 PY 0.6 0.3 0.7 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律.
4 0.4
解
X
0.1445
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3.4 随机变量的相互独立为: (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. 解:(1)X,Y的概率分布分别为: (2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0)=0.35
X 0 1
Y X
0 0.3 0.2
0 1
1 0.4 0.1
p i.
0
1
Y
0.3 0.4 0.2 0.1 0.5 0.5
0.7 0.3 1
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0)
X,Y不独立.
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p .j
注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.
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X x1 Y y1 y2 y3
pi
1/24 1/8 1/6
1/8 3/8 1/2
1/12 1/4 1/4 3/4 1/3 1
x2
p j
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例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘 书到
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的.
若随机变量X,Y相互独立，则联合分布可 由边缘分布唯一确定
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2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{ X i ,Y j } pij , i , j 1,2,.
1.定义 设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量
( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
P{ X A, Y B} P{ X A}P{Y B}
(5)若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的 任意m(1<m≤n)个随机变量也相互独立.
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例
(X, Y) 的联合分布律为:
问 X与Y 是否独立？ 解: 边缘分布律分别为: X 0 1 Y
(2 X ) 4Y 0,
2
故所求概率为;
P{Y X 2 }
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y x 2
f ( x, y )dxdy
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3.4 随机变量的相互独立 例2-续2
y 1 2 P{Y X } f ( x , y )dxdy e dxdy 2D y x 2
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8
12 x
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而 G的面积 ABC的面积 ABC 的面积 2 2 y A C C 1 13 1 11 1 9 B G . 6 2 12 2 12 B 7 于是 P{ X Y 1 12} O 8 12 x 1 1 ( G 的面积 ) . 48 8
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注 意 点 (2)
(4) 若联合概率密度 f(x, y) 可分离变量，即 f(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。 (5) 若 (X, Y) 服从二元正态 N ( 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0. )
达办公室的时间, 由假设 X 和Y 的概率密度分别为
1 4 , 8 x 12, f X ( x) 0, 其它,
1 2 , 7 y 9, fY ( y ) 0, 其它,
由于 X ,Y 相互独立, 得 ( X ,Y ) 的概率密度为
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第四节
相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、小结
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随机变量相互独立是概率论中非常重要的 概念,它是随机事件相互独立的推广. 本节主要讨论两个随机变量相互独立的一 般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个 连续性随机变量相互独立进行不同的处理.
三、小结 1、若满足以下之一:
i) F(x, y) = FX(x)FY(y)， 通式 ii) pij = pi.p.j， 离散变量
iii) f(x, y) = fX(x)fY(y)， 随机变量 则称 X 与Y 是独立的， 2、变量X 与Y是独立的其本质是：
任对实数a, b, c, d，有
P a X b, c Y d P a X b P c Y d
X ~ N ( 1, 12 )
2 Y ~ N ( 2, 2 )
参数 与独立性有什么关系？
定理
2 , ),则 设 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2, 12 , 2
X , Y 相互独立
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f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
1 8 , 8 x 12,7 y 9, 其它. 0,
P{ X Y 1 12}
y 9
7
O
A C
B
C
f ( x , y ) d x d y
G
G
B
1 ( G 的面积 ). 8
因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
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2 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2 , 12 , 2 , )
2 ( X , Y ) ~ N ( 1, 2 , 12 , 2 , )
例
已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f X (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
e y , fY (y) 0,
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A {Y y} 设A是随机变量Y所生成的事件：
且 P{Y y} 0 则有
F ( x Y y ) P{ X x Y y } P{ X x }
P{ X x , Y y } F ( x , y ) P{Y y} FY ( y )
一般的，由于随机变量X,Y之间存在相互联系， 因而，一个随机变量的取值可能会影响另一个随机 变量的取值统计规律性。在何种情况下，随机变量 X,Y之间没有上述影响，而具有所谓的“独立性”， 我们有如下定义：
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X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
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( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
（4）随机变量X于Y相互独立的充分必要条件是X所 生成的任何事件与Y生成的任何事件独立， 即，对任意实数集A,B
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