版高中数学第二章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案苏教版选修1_439

金戈出品 学 习 资 料 汇编 第二章 圆锥曲线与方程 1 圆锥曲线定义的妙用 1．求动点轨迹 例1 一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________． 解析 x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，

是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则 

PO＝r＋1，

PA＝r＋2

⇒

PA－PO＝1＝3，符合双曲线的定义．结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．

答案 双曲线的一支 2．解三角形

例2 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于13，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的

任意一点，则在△ABC中，sin A＋sin Bsin C的值等于________． 解析 在△ABC中，由正弦定理得sin A＋sin Bsin C＝CB＋CAAB，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以sin A＋sin Bsin C＝2a2c＝1e＝3.

答案 3

3．求离心率 例3 如图，F1、F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________． 金戈出品

解析 由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝23. 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以AF21＋AF22＝F1F22＝12， 所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF21＋AF22) ＝16－12＝4， 所以(AF2－AF1)2＝AF21＋AF22－2AF1·AF2 ＝12－4＝8， 所以AF2－AF1＝22. 因此对于双曲线有a＝2，c＝3，

所以C2的离心率e＝ca＝62.

答案 62 例4 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1

＝4PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是________． 解析 由双曲线的定义有PF1－PF2＝2a. 又∵PF1＝4PF2，

∴PF1＝83a，PF2＝23a. 在△PF1F2中，应有PF1＋PF2≥F1F2， 即103a≥2c，∴e≤53，

又e>1，∴离心率e的取值范围是(1，53]． 答案 (1，53] 4．求最值

例5 线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________． 解析 由于PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且金戈出品

a＝3，c＝2，∴b＝a2－c2＝5.于是PM的长度的最小值是b＝5.

答案 5

例6 已知F是双曲线x23－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PM＋PF的最小值． 解 设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′(－2,0)．

由双曲线的定义知， PF′－PF＝2a＝23，

所以PF＝PF′－23， 所以PM＋PF＝PM＋PF′－23， 要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值， 由图可知，当P、F′、M三点共线时，PM＋PF′最小， 此时MF′＝210， 故PM＋PF的最小值为210－23.

2 抛物线的焦点弦性质 例1 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明： (1)AB＝x1＋x2＋p； (2)通径长为2p；

(3)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；

(4)若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝2psin2θ； (5)以AB为直径的圆与准线相切； (6)1AF＋1BF＝2p. 证明 (1)由定义可得 金戈出品

AB＝AF＋FB＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.

(2)过焦点F(p2，0)与x轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为2p. (3)①当AB⊥x轴时，易得A(p2，p)，B(p2，－p)， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝p24. ②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)， 则直线AB的方程为y＝k(x－p2)， 代入抛物线方程y2＝2px， 消元得y2＝2p(yk＋p2)，即y2－2pyk－p2＝0，

∴y1y2＝－p2，x1x2＝p24. 综合①②知，x1x2＝p24，y1y2＝－2p2. (4)①当θ＝90°时，k不存在，易得

A(p2，p)，B(p2，－p)，

AB＝2p＝2psin290°＝2psin2θ.

②当θ≠90°时，k＝tan θ， 直线AB方程为y＝tan θ(x－p2)， 联立方程组，由根与系数的关系，得 AB＝p＋x1＋x2＝2psin2θ.

(5)如图， 金戈出品

MM1＝AA1＋BB12＝AF＋BF2＝AB2，

故以AB为直径的圆与准线相切． (6)∵AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，

∴1AF＋1BF＝1x1＋p2＋1x2＋p2

＝x1＋x2＋px1＋p2x2＋p2 ＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24 ＝x1＋x2＋pp24＋p24＋p2x1＋x2 ＝x1＋x2＋pp2x1＋x2＋p＝2p. 例2 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 证明：(1)若AO交准线于C，则直线CB平行于抛物线的对称轴； (2)过B作BC⊥准线l，垂点为C，则AC过原点O.

证明 (1)设直线AB的方程为x＝my＋p2， 代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2.

由y＝y1x1x，x＝－p2联立，得C(－p2，－py12x1)，

yC＝－py12x1＝－py12·y212p＝－p2y1＝y1y2y1＝y2，

∴BC∥x轴． (2)设直线AB的方程为x＝my＋p2， 代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2. 金戈出品

∵BC∥x轴，∴C(－p2，y2)，即C(－p2，－p2y1)， kOC＝－p2y1－p2＝2py1＝y21x1×1y1＝y1x1＝kOA，

∴OC→∥OA→且公共点为O， ∴直线AC过点O.

例3 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→

|＋|FC→|＝________. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．

由FA→＋FB→＋FC→＝0，知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0， 即x1＋x2＋x3＝3，

|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋x2＋x3＋32p＝6. 答案 6

3 巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用 在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用． 当直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．

例 已知椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为π6，原点到该

直线的距离为32. (1)求椭圆的方程； (2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若ED→＝2DF→，求直线EF的方程； (3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且DP＝DQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 思路点拨 金戈出品

解 (1)由ba＝33，12ab＝12×32×a2＋b2，得a＝3，b＝1，所以椭圆的方程是x23＋y2＝1. (2)设EF：x＝my－1(m>0)，代入x23＋y2＝1， 得(m2＋3)y2－2my－2＝0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)．

由ED→＝2DF→，得y1＝－2y2， 由y1＋y2＝－y2＝2mm2＋3，y1y2＝－2y22＝－2m2＋3，

得(－2mm2＋3)2＝1m2＋3， ∴m＝1，m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1， 即x－y＋1＝0. (3)记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)．

将y＝kx＋2代入x23＋y2＝1， 得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*) x1′，x2′是此方程的两个相异实根．

设PQ的中点为M，则

xM＝x1′＋x2′2＝－6k3k2＋1，yM＝kxM＋2＝23k2＋1.

由DP＝DQ，得DM⊥PQ，

∴kDM＝yMxM＋1＝23k2＋1－6k3k2＋1＋1＝－1k， ∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝13.