数学九年级典中点
2022秋北师版九年级数学上册 典中点 第六章达标检测卷
第六章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P150随堂练习T1变式】下列函数中，y是x的反比例函数的是()A．y＝15x B．y＝2x－3 C．xy＝－3 D．y＝8x22．已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点P(2，－3)，则k的值是() A．6 B．－6 C．5 D．－53．【2020·海南】下列各点中，在反比例函数y＝8x的图象上的是()A．(－1，8)B．(－2，4) C．(1，7) D．(2，4) 4．【2020·孝感】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的表达式为()A．I＝24R B．I＝36RC．I＝48R D．I＝64R5．【2020·阜新】若A(2，4)与B(－2，a)都是反比例函数y＝kx(k≠0)图象上的点，则a的值是()A．4 B．－4 C．2 D．－26．【2021·黔西南州】对于反比例函数y＝－5x，下列说法错误的是()A．图象经过点(1，－5)B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大7．已知点A(－1，y1)，B(2，y2)都在双曲线y＝3＋mx上，且y1>y2，则m的取值范围是()A．m<0 B．m>0 C．m>－3 D．m<－38．【教材P161复习题T6变式】【2021·大庆】已知反比例函数y＝kx，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝－kx＋k的图象经过第() A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限9．如图，分别过反比例函数y＝2x(x＞0)图象上任意两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，设AC与OB的交点为E，△AOE 与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是() A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定10．【2021·丹东】如图，点A在双曲线y1＝2x(x＞0)上，点B在双曲线y2＝kx(x＜0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接AC，BC．若△ABC的面积是6，则k的值是()A．－6 B．－8 C．－10 D．－12二、填空题(每题3分，共24分)11．一个反比例函数的图象过点A(1，2)，则这个反比例函数的图象位于第________象限．12．若反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝mx的图象的一个交点的坐标为(1，2)，则它们的另一个交点的坐标为__________．13．如图，面积为5的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y＝kx的图象上，另三个顶点在坐标轴上，则k＝________．14．【2021·陕西】若A(1，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝2m－1x⎝⎛⎭⎪⎫m＜12图象上的两点，则y1，y2的大小关系是y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．15．市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承包了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量V(m3)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1 000 m3，则公司完成全部运送任务需________天．16．如图，已知矩形ABCD，AB在x轴的正半轴上(点A与点O重合)，AB＝3，BC＝1，连接AC，BD，交点为M．将矩形ABCD沿x轴向右平移，当平移距离为________时，点M在反比例函数y＝1x的图象上．17．如图，已知点A在双曲线y＝4x上，点B在双曲线y＝kx(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为点D，C，若四边形ABCD 的面积是8，则k的值为________．18．【2020·玉林】已知：函数y1＝|x|与函数y2＝1|x|的部分图象如图所示，有以下结论：①当x<0时，y1，y2都随x的增大而增大；②当x<－1时，y1>y2；③y1＝|x|与y2＝1|x|的图象的两个交点之间的距离是2；④函数y＝y1＋y2的最小值是2．则所有正确结论的序号是__________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当x＝4时，求y的值．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与双曲线y＝mx的一个交点为A(2，4)，与y轴交于点B．(1)求m的值和点B的坐标；(2)点P在双曲线y＝mx上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．21．【教材P162复习题T11变式】【2020·咸宁】如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝mx的图象在第一、三象限分别交于A(6，1)，B(a，－3)两点，连接OA，OB．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)△AOB的面积为________；(3)直接写出y1>y2时x的取值范围．22．【2020·济宁】在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．(1)y关于x的函数关系式是________，x的取值范围是________；(2)在平面直角坐标系(如图)中画出该函数图象；(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．23．【2020·鞍山】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴的交点分别为点A，B，与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，连接DE，AC＝32．(1)求反比例函数的表达式；(2)求△CDE的面积．24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与开机后的时间x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示．(1)分别写出图中表示水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？答案一、1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 点拨：如图，连接OA ，OB ，AB 与y 轴交于点M ．∵AB ∥x 轴，点A 在双曲线y 1＝2x (x ＞0)上，点B 在双曲线y 2＝kx (x ＜0)上，∴S △AOM ＝12×|2|＝1，S △BOM ＝12×|k |＝－12k ．∵S △ABC ＝S △AOB ＝6，∴1－12k ＝6． ∴k ＝－10．二、11．一、三 12．(－1，－2) 13．－5 14．< 15．40 16．1217．12 18．②③④三、19．解：(1)设y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，则y ＝k 1x ＋k 2x ．∵当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋k 2，5＝2k 1＋k 22，解得⎩⎨⎧k 1＝2，k 2＝2. ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x ＋2x．(2)把x ＝4代入y ＝2x ＋2x ， 得y ＝2×4＋24＝172．20．解：(1)∵双曲线y ＝mx 经过点A (2，4)，∴m ＝8．∵直线y ＝x ＋b 经过点A (2，4)，∴b ＝2． ∴此直线与y 轴的交点B 的坐标为(0，2)． (2)点P 的坐标为(8，1)或(－8，－1)．21．解：(1)把点A (6，1)的坐标代入y 2＝mx ，解得m ＝6，∴反比例函数的表达式为y 2＝6x ．把点B (a ，－3)的坐标代入y 2＝6x ，解得a ＝－2， ∴B (－2，－3)．把点A (6，1)，B (－2，－3)的坐标分别代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧6k ＋b ＝1，－2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－2. ∴一次函数的表达式为y 1＝12x －2． (2)8(3)y 1>y 2时x 的取值范围是－2<x <0或x >6．22．解：(1)y ＝4x ；x >0(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示．(3)将直线y ＝－x ＋3向上平移a (a >0)个单位长度后的直线所对应的函数关系式为y ＝－x ＋3＋a ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3＋a ，y ＝4x ，整理得x 2－(3＋a )x ＋4＝0．∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点， ∴Δ＝(3＋a )2－16＝0，解得a 1＝1，a 2＝－7(不合题意，舍去)． 故此时a 的值为1．23．解：(1)∵一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和B ，∴A (－1，0)，B (0，1)． ∴OA ＝OB ． ∴∠CAE ＝45°．∴△CAE 为等腰直角三角形．∴AE ＝CE ． 由AC ＝32，得AE 2＋CE 2＝(32)2， 解得AE ＝CE ＝3．在y ＝x ＋1中，令y ＝3，得x ＝2，∴C (2，3)． ∴k ＝2×3＝6．∴反比例函数的表达式为y ＝6x ．(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝6x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.∴点D 的坐标为(－3，－2)． ∴S △CDE ＝12×3×[2－(－3)]＝152．24．解：(1)观察图象可知，当x ＝7时，水温y ＝100．当0≤x ≤7时，设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ． 由题意得⎩⎨⎧b ＝30，7k ＋b ＝100，解得⎩⎨⎧k ＝10，b ＝30.即当0≤x ≤7时，y 关于x 的函数关系式为y ＝10x ＋30． 当x ＞7时，设y 关于x 的函数关系式为y ＝ax ，由题意得100＝a7，解得a ＝700．即当x ＞7时，y 关于x 的函数关系式为y ＝700x ．当y ＝30时，x ＝703，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋30（0≤x ≤7），700x ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＜x ≤703. (2)将y ＝50代入y ＝10x ＋30，得x ＝2；将y＝50代入y＝700x，得x＝14．∵14－2＝12(min)，703－12＝343(min)，∴怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待343min．。
2022秋苏科版九年级数学上册 典中点 第1章达标检测卷
第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列是关于x的一元二次方程的是()A．x2－1x＝2 022 B．x(x－8)＝0C．a2x－7＝0D．4x－x3＝22．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为－1，则下列等式成立的是()A．a＋b＋c＝0B．a－b＋c＝0C．－a－b＋c＝0D．－a＋b＋c＝03．用配方法解一元二次方程x2－4x＋4＝0时，下列变形正确的是() A．(x＋2)2＝10B．(x－2)2＝0C．(x＋2)2＝2D．(x－2)2＝24．方程x2－42x＋9＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根5．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两个根，则它的周长为() A．12 B．12或9 C．9 D．76．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是关于x的一元二次方程x2＋2x－3＝0的一个根，则▱ABCD的周长为()A．4＋2 2B．12＋6 2C．2＋2 2D．4＋22或12＋6 27．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是()8．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2.其中，正确的是()A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③二、填空题(每题2分，共20分)9．关于x的方程(3x＋2)(2x－3)＝5化为一般形式是________．10．一个三角形的三边长都是关于x的方程x2－6x＋9＝0的根，则该三角形的周长为___________．11．已知1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则(a＋b)2 023的值为___________．12．若m，n是关于x的一元二次方程x2－5x－1＝0的两个实数根，则m＋n的值是___________．13．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是__________cm2.14．若关于x的一元二次方程2x2－5x＋k＝0无实数根，则k的最小整数值为________．15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝________．16．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是______三角形．17．若x2－3x＋1＝0，则x2x4＋x2＋1的值为________．18．若关于x的方程x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0有整数解，则整数n的值为________．三、解答题(23题6分，25题10分，其余每题8分，共56分)19．用适当的方法解下列方程：(1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；(3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.20．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？21．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：关于x的一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝－1，则称方程x2＋x＝0是“邻根方程”．(1)通过计算，判断关于x的方程2x2－23x＋1＝0是不是“邻根方程”；(2)已知关于x的方程x2－(m－1)x－m＝0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．22．某童装专卖店在销售中发现：当一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，减少库存，专卖店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么每天可多售出2件．设每件童装降价x 元．(1)降价后，每件盈利_______元，每天可销售_______件；(用含x 的代数式填空) (2)每件童装降价多少元时，每天盈利1 200元？(3)该专卖店每天盈利能否等于1 300元？若能，求出此时每件童装降价多少元；若不能，说明理由．23．“等价变换化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解关于x 的方程x －x ＝0，就可以利用该思维方式，设x ＝y ，将原方程转化为y 2－y ＝0这个熟悉的关于y 的一元二次方程，解出y ，再求x ，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题． 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x 2y 2＋2x ＋2y ＝133，x ＋y 4＋2x 2y 2＝51，求x 2＋y 2的值．24．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．(1)两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的4 9(2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 5 cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．答案一、1．B2．B3．B4．C5．A6．A7．B8．B点拨：①若a＋b＋c＝0，则x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，由一元二次方程的根的判别式可知b2－4ac≥0.故①正确.②∵方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，∴该方程的根的判别式0－4ac＞0.∴－4ac＞0.则方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式b2－4ac＞0.∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．故②正确.③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，即c(ac＋b＋1)＝0.当c＝0且ac＋b＋1≠0时，等式仍然成立.∴ac＋b＋1＝0不一定成立．故③不正确.④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则由求根公式可得x0＝－b＋b2－4ac2a或x0＝－b－b2－4ac2a，∴2ax0＋b＝b2－4ac或2ax0＋b＝－b2－4ac.∴b2－4ac＝(2ax0＋b)2.故④正确．故选B.二、9．6x2－5x－11＝010．911．－112．513．914．415．21416．直角17．18点拨：由x2－3x＋1＝0，得x2＝3x－1，则x2x4＋x2＋1＝x2（3x－1）2＋x2＋1＝x210x2－6x＋2＝3x－110（3x－1）－6x＋2＝3x－124x－8＝3x－18（3x－1）＝18.18．4或－2点拨：由x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0得到(x2－2x－8)＋2 021(n－x)＝0.设关于x的方程x2－( 2 021＋2)x＋ 2 021n－8＝0的一个整数根是m，则有(m2－2m－8)＋ 2 021(n－m)＝0.∵n 和m 均为整数，∴(m 2－2m －8)是整数，(n －m )也是整数. ∵ 2 021是无理数， ∴m 2－2m －8＝0，n －m ＝0. ∴(m －4)(m ＋2)＝0，n ＝m . ∴m 1＝4，m 2＝－2. ∴当m ＝4时，n ＝4. 当m ＝－2时，n ＝－2. 故整数n 的值是4或－2. 三、19．解：(1)原方程可化为(x －4)(x ＋5)＝0. ∴x －4＝0或x ＋5＝0. 解得x 1＝4，x 2＝－5.(2)原方程可化为(2x ＋1＋2)2＝0. 即(2x ＋3)2＝0. 解得x 1＝x 2＝－32.(3)∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝12＞0. ∴x ＝2±122×1＝2±232＝1±3. ∴x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(4)原方程化为一般形式为y 2－2y ＝0. 因式分解，得y (y －2)＝0. ∴y －2＝0或y ＝0.∴y 1＝2，y 2＝0.20．(1)证明：在关于x 的一元二次方程x 2－(t －1)x ＋t －2＝0中，∵b 2－4ac ＝[－(t －1)]2－4×1×(t －2)＝t 2－6t ＋9＝(t －3)2≥0， ∴对于任意实数t ，方程都有实数根.(2)解：设方程的两个根分别为m 、n ，则mn ＝t －2. ∵方程的两个根互为倒数， ∴mn ＝t －2＝1，解得t ＝3.∴当t ＝3时，方程的两个根互为倒数. 21．解：(1)解方程2x 2－23x ＋1＝0得x ＝3±12.∵3＋12－3－12＝1，∴方程2x 2－23x ＋1＝0是“邻根方程”. (2)分解因式得(x －m )(x ＋1)＝0， 解得x ＝m 或x ＝－1.∵方程x 2－(m －1)x －m ＝0(m 是常数)是“邻根方程”， ∴m ＝－1＋1或m ＝－1－1. ∴m ＝0或m ＝－2. 22．解：(1)(40－x )；(20＋2x )(2)依题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200. 整理，得x 2－30x ＋200＝0. 解得x 1＝10，x 2＝20.又∵为了增加利润，减少库存， ∴x ＝20.答：每件童装降价20元时，每天盈利1 200元.(3)该专卖店每天盈利不能等于1 300元．理由如下：假设能， 依题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 300. 整理，得x 2－30x ＋250＝0.∵b 2－4ac ＝(－30)2－4×1×250＝－100＜0， ∴该方程没有实数根.即该专卖店每天盈利不能等于1 300元.23．解：令xy ＝a ，x ＋y ＝b ，则原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋2b ＝133，b 4＋2a 2＝51. 整理，得⎩⎨⎧5a 2＋2b ＝133，①16a 2＋2b ＝408.② ②－①，得11a 2＝275.解得a 2＝25.代入②可得b ＝4. ∴方程组的解为⎩⎨⎧a ＝5，b ＝4，或⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝4.当a ＝5时，x ＋y ＝4，③ xy ＝5，④ 由③得x ＝4－y .将x ＝4－y 代入④，得y 2－4y ＋5＝0，该方程无实数解. ∴a ＝5不符合题意.当a ＝－5时，y 2－4y －5＝0，有解.∴x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝b 2－2a ＝42－2×(－5)＝26. 综上，x 2＋y 2的值为26.24．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＋2＝0有两个实数根，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(k ＋2)≥0.解得k ≤－1.(2)存在实数k ＝－6，使得等式1x 1＋1x 2＝k －2成立．理由如下：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＋k ＋2＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2. ∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋2.又∵1x 1＋1x 2＝k －2，∴2k ＋2＝k －2. ∴k 2－6＝0.解得k 1＝－6，k 2＝ 6. 又∵k ≤－1，∴k ＝－ 6.∴存在这样的实数k ，使得等式1x 1＋1x 2＝k －2成立，且k 的值为－ 6.25．解：(1)设两动点运动t s 时，四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49(0＜t ＜3).根据题意，得BP ＝(6－2t )cm ，CQ ＝t cm ，矩形ABCD 的面积是6×2＝12 cm 2. ∵四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的49，∴12(t＋6－2t)×2＝12×49.解得t＝2 3.答：两动点运动23s时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49.(2)存在．第73s或53s时，点P与点Q之间的距离为 5 cm.理由如下：设两动点经过m秒时，点P与点Q之间的距离为 5 cm.①当0＜m≤3时，如图1过点Q作QE⊥AB且交AB于点E，则有(6－2m－m)2＋22＝(5)2，解得m＝73或53.②当3＜m≤4时，如图2.则有(8－2m)2＋m2＝(5)2.得方程5m2－32m＋59＝0.此时b2－4ac＜0，此方程无解，舍去.综上所述，当m＝73s或53s时，点P与点Q之间的距离 5 cm.。
2022秋北师广东九年级数学上册 典中点 第三章综合素质评价
第三章综合素质评价一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是()A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率是随机的，与频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．一个盒子内装有大小、形状都相同的4个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是()A．12B．14C．16D．1123．小鸡孵化场孵化出1 000只小鸡，在其中60只上做记号，将这60只小鸡放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出50只小鸡，其中有记号的大约有()A．40只B．25只C．15只D．3只4．小明、小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为()A．16B．13C．12D．235．小明把如图所示的3×3的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在阴影区域(四个全等的直角三角形的每个顶点都在格点上)的概率是()A．12B．23C．49D．596．两个正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，若同时投掷这两个骰子，则两个骰子着地的面上所标数字之和等于5的概率为()A．14B．316C．34D．387．为了估计暗箱里白球的数量(暗箱内只有白球)，将6个红球放进去，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为()A．15个B．10个C．9个D．4个8．A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．三次传球后，球恰好在A手中的概率是()A．14B．18C．13D．169．学校失物招领处收到学生捡到的4张校园卡，其中来自七年级的有1张，八年级的有2张，九年级的有1张，随机抽取2张校园卡，全部来自八年级的概率为()A．112B．16C．14D．1210．如图是两个可以自由转动的转盘，转盘一被等分成三个扇形，转盘二被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字．如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后(指针指在分界线时重转)，指针指向的数字之和为偶数的概率是()A．12B．29C．49D．1311．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字－1，1，2．随机摸出一个小球(不放回)，将其数字记为p ，再随机摸出另一个小球，将其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数根的概率是( )A ．12B ．13C ．23D ．5612．如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为( )A ．14B ．25C ．23D ．59二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．13．有三辆车按1，2，3编号，小明和小华两人都可任意乘坐一辆车．则两人都乘坐3号车的概率为________．14．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路，为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时的情况，统计如下：据此估计，早高峰期间乘坐B 线路上的公交车，用时不超过35分钟到达学校的概率为________；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐________(填“A ”或“B ”)线路上的公交车．15．有三张正面分别标有数－1，1，2的不透明卡片，它们除正面上的数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为a ；再从余下的两张卡片中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为b ，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －22<x ＋32，ax >b有且只有2个非负整数解的概率为________．16．有四张不透明的卡片，正面分别标有1，2，－1，－3四个数，这四张卡片除标有的数不同外其余均相同．将这四张卡片背面朝上，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片上标有的数作为一次函数y＝kx＋b中的k 的值；第二次从余下的三张卡片中随机抽取一张，将这张卡片上标有的数作为b的值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为________．17．如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，不能点亮灯泡的概率为________．18．如图，4×2的正方形网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个，能够组成等腰三角形的概率为________．三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．19．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种的盒装粽子．(1)利用画树状图或列表的方法表示出所有的选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档盒装粽子被选中的概率是多少？20．某数学活动小组进行投针试验：在同一个平面上画一组平行线(5条直线)，相邻两条平行线间的距离均为4 cm，将一根长度为3 cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．根据小组成员记录的数据得下表，补全表格(保留两位小数)，并估计针与直线相交的概率(保留一位小数)．四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．21．某小区为了改善生态环境，促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分三类：厨余、可回收和其他，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．(1)若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共1 000 t生活垃圾，数据统计如下(单位：t)：A B Ca400 100 100b30 240 30c20 20 60试估计“厨余垃圾”投放正确的概率．22．某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，将学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如图所示的不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)参加知识竞赛的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中，m＝________，n＝________，C等级对应的圆心角为________度；(3)小明是4名成绩为A等级的学生中的一名，学校将从成绩为A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求小明被选中参加区举办的知识竞赛的概率．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．23．甲、乙两人玩游戏，他们准备了一个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子(如图)，转盘被分成面积相等的3个扇形，3个扇形内分别标上数－1，－2，－3；袋子中装有除数不同，其他均相同的3个乒乓球，3个乒乓球上分别标有数1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指扇形内的数与随机从袋子中摸出的1个乒乓球上标有的数之和为0时，甲获胜，其他情况乙获胜．(转动转盘时，如果指针恰好指向分界线，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止)(1)用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率；(2)这个游戏规则对甲、乙两人公平吗？请说明理由．24．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在正方形网格中，对每一个小正方形涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小正方形，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．(1)用画树状图的方法，求图③可表示不同信息的总个数(图中标号1，2表示两个不同位置的小正方形，下同)．(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为________．(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共有492人，则n的最小值为________．答案一、1．D2．C3．D4．B5．C6．A7．C8．A9．B10．C 11．A12．B点拨：如图，连接点A，B，C，D，E，F中的任意两点可得15条线段，其中AC，AE，BD，BF，CE，DF这6条线段的长度为3，∴所求概率为615＝25．二、13．1914．15；A15．1616．1317．1318．12三、19．解：(1)画树状图如下：共有6种选购方案：(高档，精装)，(高档，简装)，(中档，精装)，(中档，简装)，(低档，精装)，(低档，简装)．(2)由(1)中树状图可知甲厂家的高档盒装粽子被选中的有(高档，精装)，(高档，简装)，共2种，∴甲厂家的高档盒装粽子被选中的概率是26＝13．20．解：0.32；0.32；0.47；0.48；0.45；0.40；0.40；0.39；0.37；0.38估计针与直线相交的概率为0.4．四、21．解：(1)画树状图如图所示．由树状图可知，垃圾投放正确的概率为39＝13．(2)估计“厨余垃圾”投放正确的概率为400400＋100＋100＝2 3．22．解：(1)4040×20%＝8，补全条形统计图如图所示：(2)10；40；144(3)将除小明外的三个人记作E，F，G，列表如下：小明E F G小明E，小明F，小明G，小明E小明，E F，E G，EF小明，F E，F G，FG小明，G E，G F，G共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中参加区举办的知识竞赛的情况有6种，所以小明被选中参加区举办的知识竞赛的概率为6 12＝1 2．五、23．解：(1)列表如下：晨鸟教育Earlybird共有9种等可能的情况，其中指针所指扇形内的数与随机从袋子中摸出的1个乒乓球上标有的数之和为0的有3种，∴P (甲获胜)＝39＝13． (2)不公平．理由如下：由(1)中表格可知P (乙获胜)＝69＝23．∵P (甲获胜)＝13，∴P (甲获胜)≠P (乙获胜)，∴这个游戏规则对甲、乙两人不公平．24．解：(1)画树状图如图所示．共4种等可能的结果．∴题图③可表示不同信息的总个数为4．(2)16 (3)3。
2022秋浙教B 九年级数学上册 典中点 第3章 习题课件
夯实基础·巩固练
6 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若 AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为__1_3_π．
夯实基础·巩固练
7 如图，⊙O的半径为6 cm，将圆沿着弦AB折叠，圆弧 AB正好经过圆心O，则弦AB的长度为__6___3__c_m．
夯实基础·巩固练
8 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一 石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，求桥拱所在圆的半径．
夯实基础·巩固练
4 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.已知CD＝16， OE＝6，则⊙O的直径为( ) D A．8 B．10 C．16 D．20
夯实基础·巩固练
5 如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 两点均在圆上，其中 OD⊥AC，垂足为 E.若 DE＝1，BC＝6，则 AC 的长度 为( D ) A．3 B．2 6 C．5 D．2 7
探究培优·拓展练
(1)求证：AP＝AO. 证明：∵射线PG平分∠EPF， ∴∠DPO＝∠BPO. ∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA， ∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.
探究培优·拓展练
(2)若弦AB＝12，求OP的长． 解：如图，过点 O 作 OH⊥AB 于点 H， 则 AH＝12AB. ∵AB＝12，∴AH＝6.
夯实基础·巩固练
9 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，这个三角形外接圆 直径的长是_____1_0_或_．8 【点拨】 需分BC是斜边和AC是斜边两种情况讨论．
整合方法·提升练
10 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC 25
外接圆的半径为________． 4
整合方法·提升练
夯实基础·巩固练
23.3课题学习 图案设计-2020秋人教版九年级数学上册典中点习题课件(共24张PPT)
【点拨】试着作出图中阴影部分关于某条直线轴对称且不 与原图重叠的图形，若这两个正方形组成的图形是中心对 称图形，则是满足题意的作法，试着找出所有满足题意的 图形． 【答案】C
5．【中考·绍兴】一块竹条编织物，先将其按如图所示绕 直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°， 所得的竹条编织物是( B )
请在图③中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两 个方格涂黑(每个3×3的正方形方格画一种，例图除外)
解：如图所示．(答案不唯一)
12．如图所示的图案是由7个正六边形组成的，下面是三名同学对该图 案的形成过程的不同见解． 甲：该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的． 乙：该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的． 丙：该图案可看成是由图案的一半经过中心对称变换而形成的． 你认为上述观点都正确吗？
【点拨】答案不唯一． 解：如图所示．
R版九年级上
第二十三章 旋转
23．3 课题学习 图案设计
提示：点击 进入习题
1B 2A 3B 4C
5B
答案显示
6C
7 见习题
8 见习题
提示：点击 进入习题
9C
10 C
11 见习题
答案显是一个镶边的模板，该图案是由基本图形( B )通 过一次平移得到的．
2．如图，若要使这个图案与自身重合，则至少绕它的中 心旋转( A )
6．抗击新型冠状病毒，停课不停学，开启网络直播模式， 在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求 同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中， 是中心对称图形但不是轴对称图形的是( C )
7．以给出的图形“
数学九年级典中点
数学九年级典中点摘要：一、数学建模竞赛概述二、2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题概述三、Matlab 代码在数学建模中的应用四、结论正文：一、数学建模竞赛概述数学建模竞赛是一项面向全球高校大学生的竞技活动，旨在通过对现实问题进行抽象、建模和求解，培养学生的数学应用能力、创新思维和团队协作精神。
竞赛题目一般具有现实意义、跨学科特点，参赛选手需要运用自己所学的数学、物理、计算机等多方面知识来解决实际问题。
二、2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题概述2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题要求参赛选手针对一个具有实际背景的问题进行数学建模，并使用Matlab 编程语言进行求解。
题目具体内容涉及抢渡长江时的最优路径选择，需要参赛选手运用优化方法、微分方程等数学知识进行求解。
此题具有较高的挑战性，需要参赛选手具备较强的数学建模能力和编程技能。
三、Matlab 代码在数学建模中的应用Matlab 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的编程语言，其强大的数值计算和数据分析功能为数学建模提供了便捷的工具。
在解决实际问题时，参赛选手需要运用Matlab 进行数据预处理、建立数学模型、求解方程组、绘制图形等操作，以得出最终的建模结果。
以2003 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题为例，参赛选手需要运用Matlab 进行以下操作：1.根据题目描述，建立抢渡长江的最优路径选择问题的数学模型；2.利用Matlab 求解模型中的微分方程，得到最优路径；3.使用Matlab 绘制最优路径的图形，直观地展示求解结果。
四、结论数学建模竞赛是一项对参赛选手具有较高挑战性的活动，需要选手具备较强的数学建模能力和编程技能。
在解决实际问题时，选手需要运用Matlab 等编程语言进行数据处理、建立模型、求解方程组等操作，以得出最终的建模结果。
2022秋浙教A 九年级数学上册 典中点 第1章 习题课件
探究培优·拓展练
当 y＝0 时，－116(x－8)2＋4＝0， 解得 x＝0 或 x＝16. 答：足球第一次落地之前的运动路线对应的函数表达 式为 y＝－116(x－8)2＋4，第一次落地点 B 和守门员(点 O)之间的距离为 16 米．
探究培优·拓展练
(2)点A处的运动员要抢到第二个落地点C，他应向前跑多 少米？(假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留 根号) 解：设足球第一次落地之后的运动路线对应的函数 表达式为 y＝－116(x－m)2＋2，将(16，0)代入，得 0 ＝－116(16－m)2＋2， 解得 m＝16＋4 2或 m＝16－4 2(舍去)．
整合方法·提升练
(2)请问能否围成总面积为81 m2的羊圈？若能，请求出AB 的长；若不能，请说明理由． 解：不能围成总面积为81 m2的羊圈．理由如下： 当y＝81时，－3x2＋30x＝81，则3x2－30x＋81＝ 0.∵b2－4ac＝(－30)2－4×3×81＝－72＜0， ∴方程无解．∴不能围成总面积为81 m2的羊圈．
夯实基础·巩固练
4 抛物线y＝2(x－1)2＋4的对称轴和顶点坐标分别是( ) A．B直线x＝1，(1，－4) B．直线 x＝1，(1，4) C．直线x＝－1，(－1，4) D．直线 x＝－1，(－1，－4)
夯实基础·巩固练
5 直线y＝ax＋b(a≠0)不经过第三象限，则二次函数y ＝－(x－a)2＋b的图象可能是( ) D
1D 2 16 3B 4 5C
6 12.5 7 35；3 8D 9 10
答案呈现
夯实基础·巩固练
1 已知二次函数 y＝－14x2＋x.下列说法正确的是( D ) A．该函数的最小值是 2 B．该函数的最小值是 1 C．该函数的最大值是 2 D．该函数的最大值是 1
人教版九年级数学上典中点第二十二章阶段强化专训四(含答案)
阶段强化专训四：用二次函数解决问题的三种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．建立平面直角坐标系解决实际问题题型1 拱桥(隧道)问题1．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线的解析式为( )A ．y ＝125x 2＋58xB ．y ＝－58x 2－125xC ．y ＝－125x 2＋85xD ．y ＝－125x 2＋85x ＋16(第1题)(第2题)2．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h 是________米．3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A 和A 1、点B 和B 1分别关于y 轴对称．隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8 m ，点B 离路面AA 1的距离为6 m ，隧道宽AA 1为16 m .(1)求隧道拱部分BCB 1对应的函数解析式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4 m ，装载设备的顶部离路面均为7 m ，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．(第3题)题型2 建筑物问题4．如图所示，某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面4 m 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高约为(精确到0.1 m ，水泥建筑物的厚度忽略不计)( )A ．9.2 mB ．9.1 mC ．9.0 mD ．8.9 m(第4题)(第5题)5．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m 题型3 物体运动类问题(第6题)6．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－18x 2＋12x ＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．7．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？(第7题)建立二次函数模型解决几何最值问题题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题8.某人从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球的运动时间t(单位：秒)之间的关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度为________．(第9题)9．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________米．题型2 利用二次函数解决图形面积的最值问题(第10题)10用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A .6425 m 2B .43m 2C .83m 2 D ．4 m 2 11．如图所示，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E ，F 分别从顶点B ，C 同时开始以相同速度沿边BC ，CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，B ，E ，C ，G 在一条直线上．(1)若BE ＝a ，求DH 的长．(2)当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．(第11题)建立二次函数模型解决动点探究问题12．如图所示，直线y ＝12x －2与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，抛物线过点A ，C 和点B(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上方的抛物线上有一动点D ，当D 与直线AC 的距离DE 最大时，求出点D 的坐标，并求出最大距离．(第12题)阶段强化专训四 1．C 2.9(第3题)3．解：(1)由已知得OA ＝OA 1＝8 m ，OC ＝8 m ．故C(0，8)，B(－8，6)．设抛物线BCB 1对应的函数解析式为y ＝ax 2＋8，将B 点坐标代入，得a·(－8)2＋8＝6，解得a ＝－132，所以y ＝－132x 2＋8(－8≤x≤8)． (2)能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y 轴的距离为2 m ．如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D ，过点D 作DE ⊥AA 1于点E.当x ＝2时，y ＝－132×22＋8＝778，即D ⎝⎛⎭⎫2，778，所以DE ＝778m . 因为778＞7，所以该货车能安全通过这个隧道．4．B 5.C 6.2(第7题)7．解：(1)以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立如图的直角坐标系，则有M(0，5)，B(2，0)，C(1，0)，D ⎝⎛⎭⎫32，0.设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，由抛物线过点M 和点B ，可得a ＝－54，c ＝5.故抛物线的解析式为y ＝－54x 2＋5.当x ＝1时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝3516.故P ⎝⎛⎭⎫1，154，Q ⎝⎛⎭⎫32，3516两点在抛物线上．当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为0.3×5＝1.5＝32(米)．∵32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内．(2)设竖直摆放m 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．由题意，得3516≤0.3m≤154，解得7724≤m≤1212.∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12.∴当竖直摆放8，9，10，11或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．8．4.9米 9.0.5 10.C11．解：(1)连接FH ，∵△EGH ≌△BCF ，∴HG ＝FC ，∠G ＝∠BCF ，∴HG ∥FC ，∴四边形FCGH 是平行四边形，∴FH 綊CG ，∴∠DFH ＝∠DCG ＝90°.由题意可知，CF ＝BE ＝a.在Rt △DFH 中，DF ＝3a －a ＝2a ，FH ＝a ，∴DH ＝DF 2＋FH 2＝5a. (2)设BE ＝x ，△DHE 的面积为y.依题意，得y ＝S △CDE ＋S 梯形CDHG －S △EGH ＝12×3a×(3a －x)＋12(3a ＋x)x －12×3a×x ，∴y ＝12x 2－32ax ＋92a 2，即y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋278a 2.∴当x ＝32a ，即E 是BC 的中点时，y 取得最小值，即△DHE 的面积取得最小值，最小值是278a 2.12．解：(1)在y ＝12x －2中，令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4，∴A(4，0)，C(0，－2)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∵点A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，c ＝－2.∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋52x －2.(第12题)(2)设点D 的坐标为(x ，y)，则y ＝－12x 2＋52x －2(1＜x ＜4)．在Rt △AOC 中，OA ＝4，OC ＝2，由勾股定理得AC ＝2 5.如图所示，连接CD ，AD.过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，过点A 作AG ⊥FD 交FD 的延长线于点G ，则FD ＝x ，DG ＝4－x ，OF ＝AG ＝y ，FC ＝y ＋2.S △ACD ＝S梯形AGFC －S △CDF －S △ADG＝12(AG ＋FC)·FG －12FC·FD －12DG·AG ＝12(y ＋y ＋2)×4－12(y ＋2)·x －12(4－x)·y ＝2y －x ＋4.将y ＝－12x 2＋52x －2代入，得S △ACD ＝2y －x ＋4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x ＝2时，y ＝1，此时S △ACD 最大，∴D(2，1)．∵S △ACD ＝12AC·DE ，AC ＝25，∴当△ACD 的面积最大时，高DE 最大，则DE 的最大值为412AC ＝412×25＝455.∴当D 与直45线AC的距离DE最大时，点D的坐标为(2，1)，最大距离为5.。
人教版九年级数学上典中点第二十三章解码专训二(含答案)
解码专训二：几种常见的热门考点名师点金：通过对近几年全国各地的中考试题研究发现，对有关图形的平移、旋转与中心对称等知识点的考查呈增加趋势．对于图形的识别，根据图形变换作图以及图形变换性质的有关计算是热门考点，并且与所学的函数、以后将学的相似等知识点融合在一起综合考查．图形的识别1．(2015·佛山)在下列四个图案中，不是．．中心对称图形的是()2．(2015·哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3．在圆、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是__________________．图形变换的作图4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.(第4题)5．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标分别是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．(第5题)关于原点对称的点的坐标的运用6．已知|2a＋b|＋(b－3)2＝0，则点A(a，b)关于原点对称的点的坐标是__________．7．已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为2和3，则以a为横坐标，b为纵坐标的点A关于原点对称的点A′的坐标是多少？平移、轴对称和旋转变换的综合应用8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴、y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象沿x轴正方向平移1个单位得到△CDO.(1)写出A，C两点的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．(第8题)9．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别为(0，3)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求OB′所在直线的解析式．(第9题)应用图形变换的性质进行计算或证明10.(2015·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是()A．32°B．64°C．77°D．87°(第10题)(第11题)11．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图②)，此时AB与CD1交于点O，与D1E1相交于点F，则线段AD1的长为()A．32B．5C．4D.3112．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将▱OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是()A．y＝x＋1B．y＝13x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x－1(第12题)(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，2)，点C的坐标为(－3，0)，将点C绕点A逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，此时点C的对应点的坐标为________．(第14题)14．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE＝________．15．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF＝MF；(2)当AE＝1时，求EF的长．(第15题)16．(2014·黔南州)两个长为2 cm，宽为1 cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE ＝2 cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AE，CG(如图②)，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．(第16题)解码专训二 1．B 2.D 3．平行四边形4．解：(1)(2)如图所示．(第4题)5．解：(1)将线段AC 先向右平移6个单位，再向下平移8个单位(其他平移的方式也可)； (2)F(－1，－1) (3)图略． 6.⎝⎛⎭⎫32，－3 7．解：∵2和3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴由根与系数的关系得2＋3＝－a ，2×3＝b ，则a ＝－5，b ＝6.所以点A(－5，6)关于原点对称的点A′的坐标是(5，－6)．8．解：(1)∵△CDO 是由△AOB 经过旋转、平移后得到的，∴△CDO ≌△AOB.∴OD ＝OB ＝1，CD ＝OA ＝2，∠ODC ＝∠AOB ＝90°，∴A(－2，0)，C(1，2)．(2)连接AC ，在Rt △ADC 中，CD ＝2，AD ＝OA ＋OD ＝3，∴AC ＝CD 2＋AD 2＝13. 点拨：在平面直角坐标系中图形的平移、轴对称和旋转变换中，应注意点所在的位置及长度相等的对应线段．9．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由抛物线过C(－1，0)，A(0，3)，A′(3，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由四边形ABOC 为平行四边形及A(0，3)，C(－1，0)可知B(1，3)．∵四边形A′B′OC′是▱ABOC 绕点O 旋转得到的，∴A′B′＝AB ＝1，OA′＝OA ＝3，∠OA′B′＝∠OAB ＝90°.∴点B′的坐标为(3，－1)．于是易求得OB′所在直线的解析式为y ＝－13x.10．C 11.B 12.D 13.(1，－3) 14.2815．(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴DE ＝DM ，∠ADE ＝∠CDM.又∵∠ADC ＝90°，∴∠EDM ＝90°，即∠EDF ＋∠FDM ＝90°.∵∠EDF ＝45°，∴∠FDM ＝45°.又∵DF ＝DF ，∴△DEF ≌△DMF ，∴EF ＝MF.(2)解：设EF ＝x.∵AE ＝CM ＝1，∴EB ＝2，BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x.在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝52，即EF 的长为52.16．证明：(1)由题意知AD ＝GD ，ED ＝CD ，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ＋∠CDE ＝∠GDE ＋∠CDE ，即∠ADE ＝∠GDC.在△AED 和△GCD 中，AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，ED ＝CD ，∴△AED ≌△GCD.(2)由α＝45°，易知BC ∥EH ，EF ∥CD ，∴∠NCE ＝∠NEC ＝45°，∴CN ＝NE ，∠CNE ＝90°，∴∠DNH ＝90°.∵∠D ＝∠H ＝90°，∴四边形MHND 是矩形．∵CN ＝NE ，DC ＝HE ，∴DN ＝HN ，∴矩形MHND 是正方形．。
23.1.3旋转作图-2020秋人教版九年级数学上册典中点习题课件(共13张PPT)
(2)将△ABC绕点(0，3)旋转180°，得到△A2B2C2，画出 旋转后的△A2B2C2； 解：如图所示，△A2B2C2为所求作的三角形．
(3)求(2)中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长(结果保 留π)． 解：连接 CC2，如图，点 C 经过的路径
是以点(0，3)为圆心，以 CC2 为直径的半
圆，由勾股定理得 CC2＝ 42＋42＝4 2， ∴点 C 经过的路径长为12×π×4 2＝2 2π.
3．【2019·河南】如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A (－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形
绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D的坐标为( ) D A．(10，3) B．(－3，10) C．(10，－3) D．(3，－10)
4．【2019·淮安】如图，方格纸上每个小正方形的边长均 为1个单位长度，点A，B都在格点上(两条网格线的交 点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移2个单位长度，点A的对应点为点A1， 点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1； 解：如图所示．
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应 点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2； 解：如图所示．
(3)连接AB2，BB2，求△ABB2的面积． 解：如图，S△ ABB2 ＝4×4－12×2×4－2018·阜新】如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶 点的坐标分别为A(－4，4)，B(－2，5)，C(－2，1)．
(1)平移△ABC，使点C移到点C1(－2，－4)，画出平移后 的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标； 解：如图所示，△A1B1C1为 所求作的三角形，
A1(－4，－1)，B1(－2，0)．
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数学九年级典中点
典中点是数学中一个重要的概念，它在几何图形和向量运算中都
有广泛的应用。
在初中数学九年级的学习中，我们将会深入探讨典中
点的概念和性质。
我们来定义什么是典中点。
在平面几何中，给定一条线段AB，如
果存在一点C，使得AC和CB的长度相等，则我们称C为线段AB的典
中点。
即AC = CB。
在直线上，如果有两个点M、N，使得AM = MN = NB，我们称M为点N的典中点。
典中点的存在和唯一性是显而易见的。
典中点不仅存在于线段和直线上，还存在于更复杂的几何图形中。
例如，三角形的每条边上都存在一个典中点，我们可以称之为三角形
的边上的典中点。
而且，任意两条对边的典中点连成的直线也将经过
三角形的重心。
这是因为典中点恰好是所有点到对边距离和最小的点。
典中点还有一些有趣的性质。
首先，如果两个点是另一条线段的
典中点，那么这两个点之间的距离是这条线段的两倍。
例如，如果D
是线段AB的典中点，那么AD = BD = AB/2。
利用这个性质，我们可以简单快速地求得线段的长度。
其次，如果有n个点构成一个几何图形
的典中点，那么它们的几何中心也是典中点。
例如，一个四边形的四
个顶点的典中点连成的直线将经过四边形的重心。
最后，典中点的坐
标可以通过坐标平移得到。
设A(x1, y1)和B(x2, y2)是一条线段的两
个端点，则线段的典中点C的坐标可以通过下面的公式得到：
C((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
典中点的概念也在向量运算中有应用。
在向量中，典中点可以用
来表示平移变换的起始点和终点之间的位置关系。
例如，如果一个向
量的起始点是A，终点是B，则这个向量的典中点是C，C是A和B连
线上的一点。
而且，起始点A、典中点C和终点B构成一个向量的平移变换。
这个向量的方向和大小可以通过起始点A和典中点C之间的向
量得到。
在九年级的数学学习中，我们需要熟练掌握典中点的概念和性质。
它不仅仅是一种几何图形的构造方法，更是一种思维方式和解题技巧
的体现。
通过研究典中点，我们可以更深入地理解几何图形的特性，
并且在解决问题的过程中灵活运用。
总之，典中点是数学中一个重要的概念，它在几何图形和向量运
算中有广泛的应用。
我们应该对典中点的定义、存在性和唯一性有清
晰的认识，同时研究典中点的性质和运用，以便能够更好地解决与典中点相关的问题。
掌握典中点的概念和技巧，将会对我们的数学学习和解题能力有很大的帮助。