线性规划在运筹学中的应用
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
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线性规划的数学模型
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解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
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配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
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2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
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3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于求解最优化问题。
在实际应用中，线性规划的标准形式是一种常见的数学表达方式，能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
本文将对线性规划的标准形式进行详细介绍，包括定义、特点、转换方法等内容，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性规划方法。
一、定义。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种特定的数学表达形式，以便于利用现有的数学工具进行求解。
一般来说，线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量，a11, a12, ..., amn为约束条件的系数，b1,b2, ..., bm为约束条件的常数，m和n分别为约束条件和决策变量的个数。
通过这种形式的表示，线性规划问题可以被更方便地求解。
二、特点。
线性规划的标准形式具有以下几个特点：1. 目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式。
这种形式的表示使得问题具有了良好的数学性质，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解。
2. 决策变量为非负数。
这一特点使得问题的解空间被限制在第一象限，简化了问题的求解过程。
3. 约束条件为≤型不等式。
这种形式的约束条件使得问题的可行域为一个凸集，便于进行几何和数学分析。
三、转换方法。
对于一般的线性规划问题，可能并不总是处于标准形式。
因此，需要将问题转化为标准形式，以便于求解。
常见的转换方法包括：1. 将最小化问题转化为最大化问题。
这可以通过将目标函数的系数取相反数来实现。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
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线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
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线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
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对偶价格的概念
线性规划
• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做 法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的 目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的 系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。 （1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量， 且取值不为0，此时原问题无可行解。 （2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得 到了原问题的一个基本可行解。 （3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时， 只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工 变量替换出来，则情形同（2）。 第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单 纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题 目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初 始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个 销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货 量、各收点（销售点）的收货量以及 到 的单位运 费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。 设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要 求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可 以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数 量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式 上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量 ，称为决策变量，表示某一方案。通 常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性 不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最 小值。
利用线性规划解决集装箱调运问题
利用线性规划解决集装箱调运问题在现代物流中，集装箱运输是相当重要的货物运输方式。
管理好集装箱的调度，可以大大节省运输成本，提高物流企业的利润。
本文通过线性规划方法，对集装箱调运问题进行数学建模，并通过实例计算，得出利润最大的集装箱调运方案。
标签：集装箱调运线性规划空箱调运一、前提假设1.集装箱大小均视为一致，且空箱不计重量。
2.任意两个港口间COC空箱调度的成本是固定的。
3.如果一个港口需要从别处调运空箱，必须是在本处所有COC已经用完且还不能满足需求的情况下，且只调运所缺数量的集装箱。
4.集装箱运量必须满足需求。
二、建模1.变量选取Qijs：从i港运往j港的SOC数量Qijc：从i港运往j港的装有货物的COC数量，这个变量是指由其余港口发货到本港，卸货后再装货运走的COC数量Xijc：由其他港口调剂到i港再装货运到j港的COC空箱数量Eijc：从i港调剂到j港的COC空箱数量Dijs,Dijc：分别为i港到j港的SOC与COC需求N,W：分别为船只的载货数量与重量限制C：任意两个港口间COC空箱调度的成本Gijc,Gijs：分别为从i港到j港的COC与SOC重量Rijs,Rijc：分別为从i港到j港的SOC与COC运费Cijs,Cijc：分别为从i港到j港的SOC与COC运输成本2.目标函数采用利润最大化原则：maxZ=[(Rijc-Cijc)(Qijc+Xijc)]+(Rijs-Cijs)Qijs-C*Eijc；i≠j3.约束条件从i港到j港的SOC、COC数量不超过船的载运数量限制，COC包括从其他港调剂来的空箱装货后发出的数量和要调剂到其他港的空箱数量：Qijs+Qijc+Xijc+Eijc<=N；i,j=1,2,3…n，j≠i从i港到j港的SOC、COC数量不超过船的载运重量限制，COC包括从其他港调剂来的空箱装货后发出的数量：QijsGijs+(Qijc+Xijc)Gijc<=W；i,j=1,2,3…n，j≠ii港的、从其他港调剂来的空箱装货后发出的COC数量必须等于其他港调剂来i港的空箱数量：Xijc=Eijc；i,j=1,2,3…n,j≠i从i港到其他港的COC总数量和从i港调剂到其他港的空箱数量之和不超过其他港发货到i港的COC数量：(Qijc+Eijc)<=(Qjic+Xjic)；i,j=1,2,3…n,j≠i从i港发货到j港的COC数量满足i港j港的COC需求：Qijc+Xijc=Dijc；i,j=1,2,3…n,j≠i从i港发货到j港的SOC数量满足i港j港的SOC需求：Qijs=Dijs；i,j=1,2,3…n，j≠i三、实例求解某货运公司拥有两种集装箱运输服务，分别针对COC（Carrier owned Container）集装箱和SOC（Shipper Owend Container）集装箱，SOC集装箱占用运输成本，但不算在空箱调运之中。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
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3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
[讲解]运筹学应用例题
线性规划在工商管理中的应用一、人力资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？二、生产计划问题例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司有甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。
有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000小时和装配10000小时。
为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？四、配料问题例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所示：问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？五、投资问题例6某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最大投资额不能超过80万元；项目D：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最大投资额不能超过100万元。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于在给定约束条件下寻找最优解。
在实际应用中，线性规划模型往往需要进行标准化处理，以便于使用各种算法进行求解。
本文将介绍线性规划标准化的基本概念、方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用线性规划模型。
1. 基本概念。
线性规划标准化是指将线性规划模型转化为标准形式的过程。
标准形式是指目标函数为最大化，约束条件为等式的线性规划模型。
通过标准化，可以使得线性规划模型更易于求解，同时也方便了对模型的分析和比较。
2. 标准化方法。
线性规划标准化的方法主要包括两种，转换为标准型和转换为松弛型。
转换为标准型是将原始线性规划模型转化为目标函数为最大化，约束条件为等式的标准形式；转换为松弛型则是通过引入松弛变量，将原始线性规划模型转化为标准形式。
这两种方法各有优缺点，需要根据具体情况进行选择。
3. 标准化步骤。
线性规划标准化的步骤可以总结为以下几点，确定最优化问题的目标函数和约束条件；将不等式约束转化为等式约束；引入松弛变量或人工变量；将目标函数转化为最大化形式；最后得到标准形式的线性规划模型。
4. 标准化实例。
为了更好地理解线性规划标准化的过程，我们以一个具体的实例来说明。
假设有如下线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 ≤ 10。
x1 + 3x2 ≥ 15。
x1, x2 ≥ 0。
首先，我们将不等式约束转化为等式约束，得到：2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
然后，引入松弛变量或人工变量，将目标函数转化为最大化形式，得到标准形式的线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
x1, x2, s1, s2 ≥ 0。
通过以上步骤，我们成功将原始线性规划模型转化为标准形式，为接下来的求解和分析奠定了基础。
5. 结语。
线性规划标准化是线性规划模型求解的重要准备工作，通过标准化可以使得模型更易于求解和分析。
线性规划论文线性规划 论文
数学建模论文摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。
本文讨论了在企业的各项管理活动如计划、生产、运输、技术等方面各种限制条件的组合选择出最为合理的一般计算方法。
重在通过MATLAB程序设计来实现，建立线性规划模型求得最佳结果。
关键词：MATLAB 线性规划编程线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。
简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。
从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。
MATLAB自身并没有提供整数线性规划的函数，但可以使用荷兰Eindhoven 科技大学Michel Berkelaer等人开发的LP_Solve包中的MATLAB支持的mex 文件。
此程序可求解多达30000个变量，50000个约束条件的整数线性规划问题，经编译后该函数的调用格式为[x，how]=ipslv_mex(A，B，f，intlist，Xm，xm，ctype)其中，B，B表示线性等式和不等式约束。
和最优化工具箱所提供的函数不同，这里不要求用多个矩阵分别表示等式和不等式，而可以使用这两个矩阵表不等式、大于式和小于式。
如我们在对线性规划求解中可以看出，其目标函数可以用其系数向量f=[-2，-1，-4，-3，-1]T 来表示，另外，由于没有等式约束，故可以定义Aep和Bep为空矩阵。
由给出的数学问题还可以看出，x的下界可以定义为xm=[0，0，3.32，0.678，2.57]T，且对上界没有限制，故可以将其写成空矩阵此分析可以给出如下的MATLAB命令来求解线性规划问题，并立即得出结果为x=[19.785，0，3.32，11.385，2.57]T，fopt=-89.5750。
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线性规划在运筹学中的应用在现代运筹学中，线性规划是一种重要的数学工具，广泛应用于大量实际问题的求解。
线性规划利用线性数学模型来解决最优化问题，其中包括确定一组决策变量的取值，以使得线性目标函数达到最大或最小值的问题。
本文将探讨线性规划在运筹学领域的应用。
一、生产与物流规划
线性规划在生产与物流规划方面应用广泛。
通过合理安排生产和物流过程中的各项资源，如人力、机器设备、原材料等，可以实现生产过程的优化与效率提升。
例如，生产调度问题是一个典型的线性规划问题，可以通过线性规划模型来确定最佳的生产计划和工序安排，以最大化产量或最小化生产成本。
二、投资组合与金融风险管理
在金融领域，线性规划可以用于投资组合的优化。
通过将投资组合问题转化为线性规划模型，可以确定最佳的资产配置方案，以最大化收益或最小化风险。
在金融风险管理中，线性规划也可以用于确定最佳的投资组合，以实现风险的有效分散与管理。
三、资源分配与调度
线性规划在资源分配与调度问题中有着广泛的应用。
例如，在人力资源管理中，通过线性规划模型可以确定最佳的岗位安排和员工调度计划，以实现工作效率的最大化或成本的最小化。
在交通运输领域，
线性规划可以用于优化运输调度，如货物装载问题、车辆路径规划等，以实现运输成本的最小化和物流效率的提高。
四、网络流与最短路径问题
线性规划在网络流与最短路径问题中也有重要应用。
网络流模型可
以用于解决各种资源分配问题，如最大流问题、最小费用流问题等。
最短路径问题是运筹学中的一类经典问题，可以通过线性规划方法求
解最短路径，并应用于交通路线规划、物流路径优化等领域。
五、供应链管理与库存控制
在供应链管理和库存控制领域，线性规划是一个强大的工具。
通过
合理调控供应链中的各个环节，可以实现库存成本的降低和供应链效
率的提高。
线性规划模型可以用于确定最佳的订单量、补充策略以及
货物调配方案，以最大化供应链的利润或最小化总成本。
综上所述，线性规划在运筹学中具有广泛的应用。
通过合理使用线
性规划模型，可以解决许多实际问题，并实现最优解。
线性规划的应
用领域包括生产与物流规划、投资组合与金融风险管理、资源分配与
调度、网络流与最短路径问题、供应链管理与库存控制等。
随着运筹
学的发展和线性规划方法的不断完善，相信线性规划在实践中的应用
将会更加广泛，并为各行各业带来更大的效益。