巧用线性规划思想解题
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
巧用线性规划思想解题
巧用线性规划思想解题当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．一、 函数问题转化为线性规划问题例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值范围．解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.x y x y x y +-⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩，，，≤≤≥≥将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2t-表示直线在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2t-的最大值．当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2t-取得最大值；当0a <时，依题意，12a-≥，易得20a -<≤．综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)，取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题例2 已知a b +∈R ，，若方程220x ax b ++=与方程220x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值．解：由题意，得220,0,80440a b a b b a >⎧⎪>⎪⎨-⎪⎪-⎩，，≥≥即220,0,8.a b a b b a >⎧⎪>⎪⎨⎪⎪⎩，≥≥画出其可行域为如图2所示阴影部分．令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域内的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐标．由图知，A 点即为所求．由228.a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．三、 不等式问题转化为线性规划问题例3 已知()3f x x y =-，且11x y -+≤≤，13x y -≤≤，求()f x 的取值范围．解：如图3，作出不等式组1113x y x y -+⎧⎨-⎩，，≤≤≤≤所表示的平面区域，即可行域．作直线:30l x y -=，把直线l 向右下方平移过(01)B -，，即直线10x y --=与10x y ++=的交点时，min ()3011f x =⨯+=；再把直线l 向右下方平移过(21)A -，即直线30x y --=与10x y +-=的交点时，max ()2317f x =⨯+=，1()7f x ∴≤≤．说明：本题还可运用整体代换法，先用x y +与x y -的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．四、 多元问题转化为线性规划问题例4 已知ABC △的三边长a b c ，，满足2b c a +≤，2a c b +≤，求ba的取值范围． 解：由题意，应用22000a b c a b a c b c a b a b c <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>>⎩，，，，，，≤≤令b c x y a a==，，上述不等式可化为1212100.x y x y x y x x y <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，，，，≤≤求出x 的范围即可．作出可行域如图4，易得2332x <<，于是b a 的范围为2332⎛⎫⎪⎝⎭，．五．几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8）简单的线性规划和实际应用一、选择题1.已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1y x y x x 则x+y 的最大值是( )A.2B.5C.6D.8 解析：由题可知可行域如下:显然,B(3,3)使(x+y)取得最大值6. 答案：C2.在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式组⎩⎨⎧<≤1|||,|||x y x 的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：若0<x<1,当y>0时,要使|y|≥|x|,则y≥x;当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤-x;若-1<x<0,当y>0时,要使|y|≥|x|,则y≥-x; 当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤x. 答案：C3.若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.43B.1C.47D.2解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD=472222212221=⨯⨯-⨯⨯.答案：C4.设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+142,08,0192yxyxyx所表示的平面区域为M,则使函数y=a x(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )A.［1,3］B.［2,10］C.［2,9］D.［10,9］解析：平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).由图可知,欲满足条件必有a>1且图象在过B、C两点的图象之间.当图象过B时,a1=9,∴a=9.当图象过C时,a3=8,∴a=2.故a的取值范围为［2,9］.故选C.答案：C二、填空题5.若变量x,y满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,502,402yxyxyx则z=3x+2y的最大值是___________.解析：由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,502,402y x y x y x 画出的可行域如图,结合图形,由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+.20,10502402y x y x y x 于是z max =3×10+2×20=70.答案：706.已知M={(x,y)||x|+|y|≤1},则M 的面积为__________. 解析：如图,作出M 表示的平面区域,其面积为2.答案：27.若a≥0,b≥0,且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有ax+by≤1,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是__________.解析：ax+by≤1恒成立,当x=0时,by≤1恒成立,可得y≤b1(b≠0)恒成立,所以0≤b≤1;同理0≤a≤1.所以点P(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1. 答案：1 三、解答题8.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,042,022y x y x y x 求z=x 2+y 2的最值,并求出z 取得最值时x 、y 的值.解：z=x 2+y 2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x 2+y 2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值应在区域的边界上取得.作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点C 到原点O 的距离最远,即z 的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过O 点作直线AB:x+2y=1的垂线,垂足)52,54(D ,在点D 处z 有最小值|OD|2=54,此时x=54,y=52. 9.若函数)2()2()(2++++=a bx x a x f 的定义域是R ,求3a+b 的取值范围. 解：∵)2()2()(2++++=a bx x a x f 的定义域是R ,∴⎩⎨⎧≤+->+⎩⎨⎧==+,0)2(4,020,0222a b a b a 或 即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤++>+⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++>+⎩⎨⎧=-=.042,042,02042,042,020,2a b a b a a b a b a b a 或或 可行域为下图中阴影部分.∵3a+b=0的斜率为-3,∴最优解为A(-2,0),此时(3a+b)min =-6. ∴3a+b 的取值范围为［-6,+∞).。
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。
本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。
三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。
3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。
4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。
5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。
四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。
通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。
2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。
通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。
3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。
通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。
高中数学线性规划解题技巧
高中数学线性规划解题技巧在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
线性规划是一种优化问题，通过建立数学模型，找出使目标函数达到最优值的变量取值。
在解题过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，下面就来具体介绍一下。
一、确定变量和目标函数在解线性规划问题时，首先要明确变量和目标函数。
变量是我们要求解的未知数，而目标函数则是我们要优化的目标。
例如，假设我们要求解一个生产问题，生产两种产品A和B，我们可以将A的产量表示为x，B的产量表示为y，目标函数可以是总利润或总成本。
二、列出约束条件约束条件是限制变量取值范围的条件，也是我们解题的关键。
要列出准确的约束条件，需要仔细分析题目并进行逻辑推理。
约束条件可以是生产能力、资源限制、市场需求等各种限制条件。
例如，假设某工厂生产产品A和B，A的生产需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，B的生产需要4个单位的资源1和1个单位的资源2。
工厂拥有资源1的总量为10个单位，资源2的总量为12个单位。
那么我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12三、确定可行域可行域是指满足所有约束条件的变量取值范围。
在解线性规划问题时，我们需要确定可行域的范围，以便找到最优解。
为了确定可行域，我们可以将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系中。
通过求解这些不等式的交集，我们可以确定可行域的范围。
以前面的例子为例，我们可以将约束条件绘制在坐标系中，得到以下图形：[图1]根据图中的交集部分，我们可以确定可行域的范围。
四、确定最优解确定最优解是线性规划的核心问题。
我们需要找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
在确定最优解时，有两种常用的方法：图形法和单纯形法。
图形法通过绘制等高线图来找到最优解，而单纯形法通过迭代计算来逐步逼近最优解。
以目标函数为总利润的例子为例，我们可以通过图形法找到最优解。
在可行域中，我们需要找到使总利润最大化的点。
通过绘制等高线图，我们可以找到目标函数的等高线与可行域的交点，从而确定最优解。
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题论文
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题线性规划是高中数学中的新增内容,也是初等与高等数学的衔接内容,是高考的重点热点.线性规划思想在高中数学各个章节中都有应用,尤其在求有关二元函数的最值问题时，以下举几例说明，供参考：一、在解析几何中的应用1.到点的距离问题例1 已知x,y满足y≤x,x+2y≤4,y≥-2,则s=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.解析 s=(x+1）2+（y-1)2表示可行域内的点到点(-1,1)的距离的平方,由图可知当点取(0,0)时s的最小值为2.2.到直线的距离问题例2 已知x,y满足不等式组x+y-4≥0,x-y+2≥0,2x-y-5≤0,则ω=|x+2y-4|的最大值为.解析作出可行域,设p(x,y)是区域内任一点,则|x+2y-4|[]5表示点p到直线x+2y-4=0的距离,解x-y+2=0,2x-y-5=0,得q(7,9),由图可知,当取点q(7,9)时，ω的最大值为21.3.两点连线的斜率问题例3 已知x,y满足不等式组y≥0,x-y≥0,2x-y-2≥0，则ω=y-1[]x+1的取值范围是.解析作出可行域,设p(x,y)为可行域内任一点,而ω=y-1[]x+1表示点p和点q(－1,1)连线的斜率,且ωmin=k qm=-1[]2,又由图知ω<1,所以ω-1[]2,1.点评 (1)解线性规划问题要先正确画出满足条件的可行域.(2)要善于联想目标函数所表示的几何意义,如距离、斜率等.二、在函数、方程与不等式中的应用例4 已知函数f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立,则a+b的最大值为.解析由题意得f(0)≤2,f(1)≤2,解得b-2a≤2,2a+b≤5,令z=a+b,作图令横轴为a轴,纵轴为b轴,由线性规划知识可得在点3[]4,7[]2处z取得最大值17[]4.三、在概率问题中的应用例5 甲乙二人互相约定6：00~6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开,求甲乙二人能会面的概率.（假定他们在6：00~6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.）解析设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x，y.则由题意知0≤x≤30,0≤y≤30,由“二人会面”可得|x-y|<10，在直角坐标系中画出0≤x≤300≤y≤30的对应平面区域为正方形，且面积为302=900；画出|x-y|<10的对应平面区域为区域a，且面积为302-2×1[]2×(30-10)2=500.所以由几何概型可得所求概率为p=500[]900=5[]9.答两人能见面的概率为5[]9.从以上几例看出，在求有关二元函数的最值问题时，注意利用线性规划思想,联想目标函数的几何意义,合理恰当转化将使问题解决简洁明了.。
高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧
高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧线性规划问题是最简单的优化问题，是高二数学学习的重点。
下面WTT给高二学生带的数学期望与随机变量知识要点，希望对你有帮助。
高二数学线性规划问题解题步骤高二数学线性规划问题教学反思线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。
也是高中数学教材的新增知识点，在近两年高考中属于必考知识。
线性规划问题，高考主要以选择填空题的形式出现，常考两种类型：一类是求目标函数的最值问题(或取值范围)，另一类是考查可行域的作法。
下面我们结合教材和各地高考及模拟题举例说明。
第一大类：求目标函数的最值问题，解答此类题型时，关键是要正确理解目标函数的几何意义，再数形结合求出目标函数的最值，而目标函数的几何意义是由其解析式确定的，常见的目标函数有三类。
1、截距式(目标函数为二元一次型)，即，这也是最常见的类型，目标函数值的几何意义是与直线的纵截距有关。
2、距离式(目标函数为二元二次型)，目标函数值的几何意义与距离有关。
3、斜率式(目标函数为分式型)，目标函数值的几何意义与直线的斜率有关。
反思该节线性规划的教学，认为应注意如下几个问题1.线性规划应用题条，数据较多，梳理已知数据至关重要(以线定界，以点定面)2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。
(用尺作图直观)3.借用线性规划思想解题能力不强，某些目标函数的几何意义理解不透。
(三组形式)4.高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。
总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和看出目标函数的几何意义是解题关键。
高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
高考数学中的线性规划算法解题技巧
高考数学中的线性规划算法解题技巧高考数学中的线性规划是一种非常重要的问题类型，在考试中经常被考查，对于学生来说是必须掌握的一项技能。
而在线性规划中，解题的算法是关键，正确运用算法不仅能够提高解题效率，还能避免不必要的错误。
本文将介绍一些线性规划解题的算法和技巧，帮助学生在考试中取得更好的成绩。
一、线性规划的基本概念在解题之前，我们需要熟悉线性规划的一些基本概念。
线性规划是指在一定的限制条件下，求解一个线性函数的最大或最小值。
在这个过程中，我们需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围。
通常情况下，我们可以将线性规划问题表示为标准型或非标准型。
标准型的形式如下：$$\max(z)=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$$$$s.t.\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2\\...\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\\end{cases}$$变量取值范围为$x_i\ge0(i=1,2,...,n)$而非标准型的形式则可以被转化为标准型。
二、单纯形法的原理和步骤单纯形法是解决线性规划问题的一种经典算法，其基本原理是通过不断地构造可行解和寻找可行解中的最优解来达到最终的优化目标。
其具体步骤如下：1、将标准型问题中的目标函数系数、约束条件系数和右端项系数分别组成一个矩阵。
2、选择其中一个非基变量（即取值为0的变量）作为入基变量，计算出使目标函数增大的最大步长。
3、选择其中一个基变量（即取值不为0的变量）作为出基变量，计算出使目标函数增大的最小步长。
4、通过第2步和第3步计算出的步长来更新目标函数和约束条件，得到一个新的可行解。
5、使用新的可行解重复进行第2-4步的计算，直到找到最优解。
需要注意的是，单纯形法有两种可能的结果：一是存在最优解，二是存在无穷多个最优解。
线性规划问题的四种求解方法
2x +3y ≥160 ∴ 3x -y ≥130
x ≥0 y ≥0 成本 c =400 +7x +5y
令 7x +5y =λ(2 x +3y )+μ(3x -y)(λ、
μ是待定系数)
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即 可行域 .可行域为一五边形 , 五个顶点对应的 z 值如下表
(x , y) (0, 0)(4, 0)(4, 2)(2, 3)(0 , 3) z = 200x +300y 0 800 1400 1300 900
乙地
5
9
6
10x +20y ≤130
则 4000 x +1000y ≤24000
x ≥0 y ≥0 x +2y ≤13
即 4x +y ≤24 x ≥0 ,y ≥0 总年利润 z =12x +18y
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即
可行域 .由 z =12x +18y 得y =-23 x +1z8 , 则
美元 .但政府核准的外汇是 130 万美元 , 并要求 该种产品分别为 200 吨 、450 吨和 400 吨 .每吨
总维护费不得超过人民币 24000 元 .问每种机 运费如下表(单位 :元):
器应购买多少台时 , 才能使工厂获得的年利润 最大 ?
解 :设购买第一种机 器
A
B
C
甲地
6
3
5
x 台 , 购买第二种机器 y上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
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巧用线性规划思想解题当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力．一、 函数问题转化为线性规划问题例1 如图1，x y ，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数2t ax y =-在 点(05)，取得最小值，求a 的取值围．解：由图1易得x y ，满足的约束条件为5026000.x y x y x y +-⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩，，，≤≤≥≥将目标函数2t ax y =-改为斜截式22a t y x =-，2t-表示直线在y 轴上的截距，欲求t 的最小值，可转化为求2t-的最大值．当0a ≥时，显然直线在点(05)，处，2t-取得最大值；当0a <时，依题意，12a-≥，易得20a -<≤．综上所述，2a -≥时，函数2t ax y =-在点(05)，取得最小值． 二、 方程问题转化为线性规划问题例2 已知a b +∈R ，，若方程220x ax b ++=与方程220x bx a ++=都有实数根， 求a b +的最小值．解：由题意，得220,0,80440a b a b b a >⎧⎪>⎪⎨-⎪⎪-⎩，，≥≥即220,0,8.a b a b b a >⎧⎪>⎪⎨⎪⎪⎩，≥≥画出其可行域为如图2所示阴影部分．令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域的点，使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐标．由图知，A 点即为所求．由228.a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b ==，． a b ∴+的最小值为6．三、 不等式问题转化为线性规划问题例3 已知()3f x x y =-，且11x y -+≤≤，13x y -≤≤，求()f x 的取值围．解：如图3，作出不等式组1113x y x y -+⎧⎨-⎩，，≤≤≤≤所表示的平面区域，即可行域．作直线:30l x y -=，把直线l 向右下方平移过(01)B -，，即直线10x y --=与10x y ++=的交点时，min ()3011f x =⨯+=；再把直线l 向右下方平移过(21)A -，即直线30x y --=与10x y +-=的交点时，max ()2317f x =⨯+=，1()7f x ∴≤≤．说明：本题还可运用整体代换法，先用x y +与x y -的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决．四、 多元问题转化为线性规划问题例4 已知ABC △的三边长a b c ，，满足2b c a +≤，2a c b +≤，求ba的取值围． 解：由题意，应用22000a b c a b a c b c a b a b c <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>>⎩，，，，，，≤≤令b c x y a a==，，上述不等式可化为1212100.x y x y x y x x y <+⎧⎪<+⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，，，，≤≤求出x 的围即可．作出可行域如图4，易得2332x <<，于是b a 的围为2332⎛⎫⎪⎝⎭，． 五．几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8）简单的线性规划和实际应用一、选择题1.已知变量x、y满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1yxyxx则x+y的最大值是( )A.2B.5C.6D.8解析：由题可知可行域如下:显然,B(3,3)使(x+y)取得最大值6.答案：C2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组⎩⎨⎧<≤1|||,|||xyx的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( )解析：若0<x<1,当y>0时,要使|y|≥|x|,则y≥x;当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤-x;若-1<x<0,当y>0时,要使|y|≥|x|,则y≥-x; 当y<0时,要使|y|≥|x|,则y≤x.答案：C3.若A为不等式组0,0,2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为( )A.43B.1C.47D.2解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC.∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD=472222212221=⨯⨯-⨯⨯.答案：C4.设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+142,08,0192yxyxyx所表示的平面区域为M,则使函数y=a x(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值围是( )A.［1,3］B.［2,10］C.［2,9］D.［10,9］解析：平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9).由图可知,欲满足条件必有a>1且图象在过B、C两点的图象之间.当图象过B时,a1=9,∴a=9.当图象过C时,a3=8,∴a=2.故a的取值围为［2,9］.故选C.答案：C二、填空题5.若变量x,y满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,502,402yxyxyx则z=3x+2y的最大值是___________.解析：由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,502,402y x y x y x 画出的可行域如图,结合图形,由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+.20,10502402y x y x y x 于是z max =3×10+2×20=70.答案：706.已知M={(x,y)||x|+|y|≤1},则M 的面积为__________. 解析：如图,作出M 表示的平面区域,其面积为2.答案：27.若a≥0,b≥0,且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有ax+by≤1,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是__________.解析：ax+by≤1恒成立,当x=0时,by≤1恒成立,可得y≤b1(b≠0)恒成立,所以0≤b≤1;同理0≤a≤1.所以点P(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1. 答案：1 三、解答题8.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,042,022y x y x y x 求z=x 2+y 2的最值,并求出z 取得最值时x 、y 的值.解：z=x2+y2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值应在区域的边界上取得.作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点C到原点O的距离最远,即z的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过O点作直线AB:x+2y=1的垂线,垂足)52,54(D,在点D处z有最小值|OD|2=54,此时x=54,y=52.9.若函数)2()2()(2++++=abxxaxf的定义域是R,求3a+b的取值围.解：∵)2()2()(2++++=abxxaxf的定义域是R,∴⎩⎨⎧≤+->+⎩⎨⎧==+,0)2(4,02,0222ababa或即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤++>+⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++>+⎩⎨⎧=-=.042,042,0242,042,02,2ababaabababa或或可行域为下图中阴影部分.∵3a+b=0的斜率为-3,∴最优解为A(-2,0),此时(3a+b)min=-6.∴3a+b的取值围为［-6,+∞).。