均值不等式常见题型整理
均值不等式习题大全
均值不等式题型汇总 杨社锋均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b ++≥2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222b c a a b c a b c++≥++4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()a b c a b c+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求112x y+的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值。
均值不等式常考题型精编版
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证： ；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则 ；(2)若 ，则 ；
(3)若a＝2，b＝3，则 ；(4)若a＝1，b＝5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式总结
2x+5
5求y x2 +5 的最大值.
x2 4
利用基本不等式求最值常见类型
类型三：定值“自造”型.
已知x 0, y 0, 且3xy x y 1则
1 x y的最小值是_________; 2 x y的最小值是_________;
利用基本不等式求最值常见类型
（2）变形应用
（1）已知a,b R ,且满足2a b 4,则a b的最大值为 _____
（2）已知x, y R ,且满足 x y 1,则x y的最大值为 ________ 34
(3)已知a 0,b 0,且满足a2 b2 1,则a 1 b2的最大值为 _____ 2
(4)若a,b,c 0且2a b c 6，求aa b c+bc的最大值
2已知 a b =1(x, y, a,b R )，求mx ny(m, n 0)的最小值._______
xy
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（4）“上二下一，或上一下二的分式“型
x 0, 求 x2 x 4 的最小值 x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（1）直接利用型
(1) y sin x 2 sin x
利用基本不等式求最值常见类型
类型二：定值天然型（对勾结构）.
（2）配、凑系数或常数用型
(1)已知x 2，求y x＋ 4 的最小值； x2
2已知x 5 ,求函数y=4x 2 1 的最大值。
变式：
(1)已知0 x 1,则y 4 9 的最小值为 ________ x 1 x
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。
通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。
通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总一．均值不等式：（一正，二定，三相等， 积定和最小，和定积最大） 1.原始形式：（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2) 若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. 二维形式：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 三维形式：(1)若*,,R c b a ∈，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）(2)若*,,R c b a ∈，则33⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤c b a abc (当且仅当c b a ==时取“=”） 方法一：凑项 1. 求函数1x 16x 4)x (f 22++=的最小值。
解：原函数化为41x 16)1x (4)x (f 22-+++= 因为1x 16)1x (422+++161x 16)1x (4222=+⋅+≥ 所以12416)x (f =-≥。
当且仅当1x 16)1x (422+=+即x=1，x=－1时，12)x (f min =。
2. 设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。
解：因为1x -<，即01x <+，所以0)1x (>+-，则])1(4)1([14)1(+-++--=+++x x x x 4)1(4)]1([2-=+-⋅+--≤x x 。
当且仅当)1x (4)1x (+-=+-，即3x -=时，y 有最大值，且154y max =+-=，y 无最小值。
3. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式的常见题型
均值不等式的常见题型一、基本练习 1、已知：b n m a yx =+=+2222,且ba ≠，则nymx+的最大值为( )(A)ab(B)2b a + (C)222ba + (D)222b a +2、若+∈R y x a ,,，且yx a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22(B)2(C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++ba b a (B)ababba 222≥+(C)21≥+abab (D)abba ab ≤+25、设+∈R b a ,且2242,12ba ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+6、若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)4327、已知0,0,0a b c >>>且1a b c ++=则14a bc++的最小值是（ ）A 13.5B 12C 10D 98、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是（ ） A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞-9、较难：设0a b c >>>，则221121025()a ac caba ab ++-+-的最小值是（ ）10、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx11+的最小值为 .11、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则abb a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .A ．2B ．4C ．25D ．512、若正数b a ,满足3++=b a ab，则ab的取值范围是 .13、已知:x > 0, y > 0,且,191=+yx求 x + y的最小值14、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba11+的最小值15、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值16、已知：x > 0,y > 0,134=+y x 求x + 3y 的最小值二、典型例题分析1、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a2、是否存在常数c ，使得不等式yx y yx x c yx y yx x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论. 注：考虑y x =的特殊情况.【课外作业】：1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyx2、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求425)1)(1(≥++bb aa .3、证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy yx +≥+4、若a > b > 0,求)(162b a b a -+的最小值5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值6、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值。
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均值不等式
一、 基本知识梳理
1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.
2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值
3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”)
均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2
a b +≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为：
4．变式变形：
()()
()()()()
22
221;2
2;230;425a b ab a b b a ab a b
a b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；
5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；
（3）各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、 常见题型：
1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)
()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例：求函数)01(1
12>->+++=a x x x ax y 且的最小值。
解：1
)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211
)1(=-+≥-++++=a a a x a x a
当1
)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立，1min =∴y 2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例：已知191,0,0=+>>b
a b a 且
，求b a +的最小值。
解法一：169210991=+≥+++=+b
a a
b b a 思路二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形。
解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。
此类题型可扩展为：
设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，求3
21111a a a S ++=的最小值。
)111)((13
21321a a a a a a m S ++++= )]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=
m
m 9)2223(1=+++≥，等号成立的条件是321a a a ==。
3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。
例：求函数]3,2
1[,37∈-=x x x y 的最小值。
思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间]3,2
1
[∈x 入手，可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当2
1<
x 或3=x 时取等号），展开此式讨论即可。
解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x
x x -≤∴> 得2m in =y 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab
b a 222≥+
同时除以ab 得2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。
例：已知a,b,
c 均为，求证：c b a a
c c b b a ++≥++2
22。
证明：c b a ,, 均为正数，a c a
c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,22
22， c b a a c c b b a a
c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(2
22 总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。
在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。
【巩固练习】
1、若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=
2最值。
答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1
32<++=x x x x y 的值域。
答案：[-3，0] 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求y
x 11+的最小值。
答案：223+ 4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，求2111++=
y x S 的最小值。
答案：29 5、若)0](,1
[>∈a b a x ，求x
b x ab y -+=)1(的最小值。
答案：a 6、设
c b a ,,为整数，求证：2
222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++。
三、利用不等式解题的典型例题解析：
题型一：利用均值不等式求最值（值域）
例1、（1）已知0>x ，求x x
x f 312)(+=
的最小值 （2）已知3<x ，求x x x f +-=3
4)(的最大值 变式1： 1、若R x ∈，求x x x f +-=34)(的值域 2、函数()022>-=x x x y 的最大值为
变式2：1、已知0,0>>y x 且191=+y
x ，求y x +的最小值 2、R x ∈，求1
sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值 3、当b a x ,,10<<为正常数时，求x
b x a y -+=12
2的最小值 变式3：1、函数)1,0(1)3(lo g ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点，若点A 在直线
01=++ny mx 上，其中0>mn ，则
n m 21+的最小值为 2、求2)
3(222++=x x y 的最小值为
3、已知x
x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π
的最小值为 变式4：1、已知y x ,都是正实数，且053=+-+xy y x
（1）求xy 的最小值
（2）求y x +的最小值
题型二：利用均值不等式证明不等式
例2、已知R c b a ∈,,，求证：
（1）ca bc ab c b a ++≥++222
（2）()c b a a c c b b a ++≥
+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444
变式5：1、已知,,,+
∈R c b a 且,,,c b a 不全相等，求证：c b a c
ab b ac a bc ++>++ 2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ，求证：31222≥++c b a 3、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：91111≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+b a 题型三：利用基本不等式解应用题
例3、某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元。
（1） 该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2） 若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享 受9折优惠（即原价的90%），该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由。