浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 第1讲(矩形与菱形)培优讲义(含解析)

特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）

命题点一：利用性质解决相关问题

例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.

例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )

A．6.5 B．6 C．5.5 D．5

命题点二：根据相应的判定方法解题

例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )

A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°

C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°

例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD

例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.

(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．

(2)填空：

①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，

∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .

在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧

∠NDE ＝∠MAE ，

∠DNE ＝∠AME ，

DE ＝AE ，

∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．

命题点三：利用图形的轴对称性解题

例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )

A ．60°

B ．80°

C ．100°

D ．120°

例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠

EAF ＝30°，则AB

AE ＝

6＋2

2

. 命题点四：利用图形的中心对称性解题

例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠

FPC 的大小为( D )

A．35° B．45° C．50° D．55°

例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .

命题点五：用旋转的方法解决问题

例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .

例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .

命题点六：巧用公式解决面积有关的问题

例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )

A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm

例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE

＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为25

5

.

命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题

例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)

A．① B．② C．③ D．④

例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )

A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3

课后练习

1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则

AM

MD

等于( C )

A ．38

B ．23

C ．35

D ．45

3．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )

A ．310

B ．4 5

C ．8

D ．10

4．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )

A ．1＋ 2

B ． 6

C ．23－1

D ．1＋ 3

5．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )