三角函数值域
三角函数求值域方法小结
三角函数求值域方法小结冯樊 （襄阳市第二十四中学）在高中数学中，三角函数的值域或最值问题是非常重要的内容之一，也是近几年来高考的一个热点问题，所以本文就其求值域的方法归纳如下：一、转化为利用正、余弦函数的有界性求解的最值问题。
例1. 求函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域。
解一：2sin 1sin 2x y x +=-=2 +5sin 2x -∵1sin 1x -≤≤∴555sin 23x -≤≤--∴133y -≤≤解二：由2sin 1sin 2x y x +=-得21sin 2y x y +=-∵|sin |1x ≤ ∴21||12y y +≤- ∴133y -≤≤∴函数的值域为[3-，13]例2. 求函数y =的值域。
解：由2sin xy x=+得sin 2y x x y =-)2(x y ϕϕ+=-为辅助角） ∴sin()x ϕ+=∵1sin()1x ϕ-≤+≤得11-≤≤由此解得11y -≤≤∴函数的值域为[1,1-]例3. 已知函数2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++定义域是[0,]2π，值域是[5-，1]，求,a b 的值。
分析：本例为求参数的逆向问题，需先用倍角公式降次再利用利用正、余弦函数的有界性求解。
解：2()2sin sin cos f x a x x x a b =-++=1cos 22sin 22xa x ab -⋅-++sin 2cos22x a x a b =-++2sin(2)26a x ab π=-+++∵02x π≤≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤∴当0a >时， ()3b f x a b ≤≤+ ∴5b =-，31a b += 此时2a =，5b =-；当0a <时 ，3()a b f x b +≤≤ ∴35a b +=-，1b = 此时2a =-，1b =。
二、转化为求二次函数2y at bt c =++在闭区间[1,1]-上的最值问题。
高一数学三角函数值域的求法
小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
三角函数定义域和值域公式大全
三角函数定义域和值域公式大全三角函数是一类重要的数学函数，它们一般以三角形周长与其边长中间的比例作为函数变量。
在这个意义上，它们本质上是对三角形的一种抽象。
三角函数的定义域和值域是数学学习的重要课题，它们是三角函数的基础概念。
由于三角函数定义域和值域一般不能用一般形式来描述，所以有必要通过一些具体的公式将其定义出来并相互表达。
首先，要解释三角函数定义域，我们必须先了解它们的定义。
它们都是由一个给定角度的三角形周长和角度边长之间的比例来定义的。
比如，正弦函数sine（θ）可以表示为三角形的角度θ和其相应的角度边长之间的比，即sinθ=y/1。
既然已经知道了三角函数的定义，那么它们的定义域也就可以明确了。
三角函数的定义域就是它们被定义的范围。
比如，正弦函数的定义域就是-π/2到π/2，这个范围内的所有角度都可以用正弦函数的定义进行计算。
此外，三角函数还有另一个重要的概念就是值域。
值域是指三角函数计算出来的结果所在的范围。
比如，正弦函数的值域就是-1到1，所有角度在定义域内的正弦函数计算结果都在-1到1这个范围内。
接下来，我们就要给出具体的表达式来表示三角函数定义域和值域的公式。
首先，正弦函数的定义域和值域可以分别表示为：定义域：-π/2/2值域：-1 sinθ 1其次，余弦函数的定义域和值域也可以表示为：定义域：-π值域：-1 cosθ 1此外，正切函数也有其特定的定义域和值域，它们可以表示为：定义域：-π/2/2值域：-∞ tanθ最后，反正弦函数也具有定义域和值域，它们可以表示为：定义域：-1 x1值域：-π/2 arcsinx/2以上就是三角函数定义域和值域的公式大全，它们可以根据不同的函数类型进行更加精确的表述。
以上的公式都是通用的，但在实际应用中也会有少量的不同，所以在使用时应该注意比较。
在进行三角函数计算时，了解三角函数定义域和值域的公式是非常重要的，它们可以作为计算的基础，使得计算更加准确可靠。
三角函数的定义域值域与单调性
三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。
本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。
1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。
正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。
2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。
与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。
3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。
正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。
总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。
余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。
正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。
值域是全体实数。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。
通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。
三角函数的值域与最值
课题：三角函数的值域与最值学习目标：1（知识目标）掌握几种常见类型三角函数值域的求法2（能力目标）灵活掌握三角函数值域的各种求法3（情感目标）培养学生的应变能力教学重点：几种常见类型三角函数值域的求法教学难点：灵活运用三角函数值域的各种求法教学过程：一 简单三角函数的值域例1 求下列三角函数的值域（1）x y sin =（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=32,6,sin ππx x y小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像。
二 与三角函数有关的复合函数的值域1 )cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 型函数的值域例2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,0),42sin(2ππx x y例3 求函数],0[,cos sin π∈-=x x x y 的值域小结：对于h x A y ++=)s i n (ϕω的最大值为h A +，最小值为h A +-，若h x A y ++=)sin(ϕω，],[b a x ∈，先由],[b a x ∈求出ϕω+x 的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域2 二次型函数的值域例4.求函数x x y sin 22cos +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的值域例5.求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域练习：求函数)2)(cos 2(sin --=x x y 的值域小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数c bt at y ++=2，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围 3 形如d x c bx a y ++=sin sin 或d x c bx a y ++=cos cos 的值域例6 求函数1cos 2cos +=x x y 的值域形如d x c b x a y ++=sin sin 的值域，可解出x sin ，利用正弦函数的有界性求得，也可用分离常数法来求4 形如d x c bx a y ++=cos sin 的值域例7 求函数xx y cos 3sin 1++=的值域小结：形如d x c bx a y ++=cos sin 的函数求值域可转化为x x cos ,sin 的方程c x b x a =+c o s s i n 形式，然后该类方程有界条件122≤+b a c求出y 范围 5 对勾型函数的值域如x cx a y sin sin += 例8 求函数x x y sin 2sin +=。
求三角函数值域的常见类型
图$
6 P7 O 6 R 7 O 5Q O $Q O 3 5Q O $: O 3 6 S 7 O 6 T 7 O 5: O $Q O 3 5: O $: O 3 解 设一间民房的底面面积为 O* 按题 意并利用 6 =7式得 G ; < !% :
O O O 由于 * ; < ! % : * ; < ! % : * O O O 3 $ 5 为常量 * 所以 O 故应选 T O与 % * . 3: O $: O 5 例U 6 年全国高考试题 7 已知斜三 3 , , V 棱柱 BC C D BD D D2 B3 3 3 的侧面 B 3 3 与底面 BC D 垂 直* WBC D: , ) M * C D: $ * BD : 且 BB3 F B3 $ K 5* D * BB3 : B3 D . 与底面 略 求侧面 BC D 6 3 7 H 6 $ 7 B3 BC C 3 所成的二面角 % 的大小 . 解 6 $ 7如 图 过 B3 点 作 底 面 5 * 由已 BC D的 垂 线 * 知条件知垂足 X 在 且 BX: X BD上 * D : K 5* JX BC 是 JB3 BC 在 底 面
; 58的值域 例 V 求函数 !" F% : 0 $( 5 6 78 解析 原函数变形得 ! 5 6 78( : ; 5 8"
$ 即 ’! F% $ ! , (& 5 6 7 ) 8( W /" F% $ ! , & 其中 X 而2 S 7W " 0 5 6 7 ) 8( W / 23 & , ! $ $ $ 所以 ! ( & 得F K) F %$ ! /, !% & $ !
例 F ! 5 $ $ $年 全 国 卷 %若 函 数 *+ C# ( 5 求函数 *的 3 4 - 01 . /0 3 4 -01 ( & 5 5 最大值 ’ 解析 5 01 (+ *+
三角函数的值域和最值问题
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）x x y cos sin 32⋅= （2）x y sin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y （4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈- 解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ） A ．212- B ．221+- C ．－1 D ．221- 3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π) 解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π ∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xxy sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y.（2）21sin3yxy+=-，而sinx∈[-1,1]于是－1≤213yy+-≤1所以－4≤y≤23即y的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
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三角函数值域
三角函数是数学中重要的一部分，它与角度有关，可以计算出角度对应的正弦、余弦和正切值。
三角函数的定义域是角度的值域，即角度的取值范围。
首先，三角函数的定义域是以角度的取值范围来表示的，可以分为极角和三角角。
极角的取值范围是从零度到360度，而三角角的取值范围是从-90度到90度。
因此，三角函数的值域也就是以上两种角度的取值范围。
其次，在三角函数的值域中，正弦函数、余弦函数和正切函数的取值范围是不同的。
正弦函数的取值范围是-1到1之间，余弦函数的取值范围是-1到1之间，而正切函数的取值范围是无穷大到无穷小之间。
最后，三角函数的值域也可以以弧度来表示，弧度是一种度量单位，其取值范围从零弧度到2π弧度，而正弦函数、余
弦函数和正切函数的取值范围则是-1到1之间。
总之，三角函数的值域是以角度或弧度为基础的，正弦函数、余弦函数和正切函数的取值范围则不尽相同。
需要注意的是，三角函数的值域不仅仅限于角度，它还可以使用弧度来表示。