微积分中的微分方程和常微分方程
大一下学期微积分微分方程定义
微分方程定义概念: 微分方程、常微分方程、常微分方程、偏微分方程、阶、解、通解、特解、奇解、定解条件、初值条件微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程：未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程阶:微分方程中,未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数解:如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等,则称此函数为该方程的解通解(general solution):如果微分方程的解所包含独立的任意常数的个数等于方程的阶数,则称此解为方程的通解.（通解并不一定包含方程所有的解）特解(particular solution)：微分方程任一确定的解奇解：不包含在通解中的解定解条件：用来确定微分方程特解的条件。
（微分方程一般具有无数个解，为了确定微分方程的一个特解，必须给出这个解所满足的条件。
）初值条件：如果定解条件是由系统在初始时刻所处的状态给出，则也称这种定解条件为初值条件。
In general,a differential equation is an equation that contains an unknown function and one or more of its derivatives.The order of a differential equation is the order of the highest derivative that occurs in the equation.A function f is called a solution of a differential equation if the equation is satisfied when y=f(x) and its derivatives are substituded into the equation.An nth-order equation has an nth-parameter family of solution.A separable equation is a first-order differential equation in which the expression for dy/dx can be factored as a function of x times a funtion of y. In other words,it can be written in the form dy/dx=g(x)f(y)Homogeneous Equations:The first-order differential equation is homogeous if it can be put in the form y′=f(y/x)(x≠0)A first-order linear differential equation is one that can be put into the form dy/dx+P(x)y=Q(x)To solve the linear differential equation y′+P(x)y=Q(x),multiply both sides by the intergrating factor I(x)=e dx x p)( and integrate both sides.。
微分方程的分类
微分方程的分类微分方程是数学领域中最重要的基础理论之一，它在不同学科领域中都有着广泛的应用，如物理、化学、天文学等。
微分方程就是研究函数与其导数之间的关系的方程，它可以用于预测各种自然现象，如生物发展、大气环境等。
根据方程中的变量和函数的属性，微分方程可以分为几种类型。
1. 常微分方程常微分方程是微积分中一个最基本的分支。
它只包括某一自变量的导数，比如dy/dx=f(x),这是一种典型的一阶常微分方程。
常微分方程可以分为齐次与非齐次方程。
齐次常微分方程有形如y′=F(y/x)、y′=F(y/x,y/x′)的等式，异次方程是指其不是齐次方程，係数和方程的项都是常数。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含多个自变量的方程，它的未知函数是多个变量的函数，而且方程中包含这个函数的偏导数。
偏微分方程的求解往往需要一些特殊的技巧和数学工具。
偏微分方程可以分为线性与非线性方程，线性偏微分方程中函数的次数是1，而非线性偏微分方程中函数的次数是2或更高。
3. 非线性微分方程非线性微分方程中，被看作自变量的函数被放在一个非线性函数中，这会使得方程变得更加复杂、难以求解。
非线性微分方程通常具有难以求解解析解的特性，需要借助计算机算法或者寻求各种近似解来解决。
4. 常微分方程组常微分方程组由两个或多个常微分方程联立而成。
常微分方程组具有许多应用，例如在计算机模拟和控制理论中。
常微分方程组可以分为线性与非线性方程组，与线性微分方程类似，线性微分方程组的求解相对简单，但是非线性微分方程组的求解难度更高，需要依靠数值计算和近似法。
总之，微分方程是一门非常重要的数学分支，用来描述自然界中的各种现象。
基于不同的模型，可以将微分方程分为几种类型。
对于研究者来说，选择适合自己的微分方程类型是很关键的，它将决定研究者的求解方法和技巧。
微积分中的微分方程
微分方程是微积分的一个重要应用领域，研究的是含有未知函数的导数或微分的方程。
微分方程在物理学、经济学、生物学以及工程学等领域中都有广泛的应用，在求解实际问题中起着重要的作用。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有一个自变量的方程，而偏微分方程是含有多个自变量的方程。
本文将主要讨论常微分方程中的微分方程。
微分方程的基本形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$这个方程可以理解为函数y对自变量x的变化率就是f(x,y)。
微分方程的求解过程可以分为两个步骤：1）求解齐次方程；2）求解非齐次方程。
对于齐次微分方程$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$通过变量代换，令y = vx，可以将齐次方程转化为可分离变量方程$$v\frac{dv}{dx}+v=f(v)$$其中，在得到v的解后，将v代入y = vx，可以得到原齐次微分方程的解。
对于非齐次微分方程，又可以分为两种情况。
1）线性微分方程$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，p(x)和q(x)都是已知函数。
线性微分方程可以通过常数变易法进行求解。
先求解对应的齐次方程，然后再求解非齐次方程。
根据线性微分方程的齐次方程可以得到一组线性无关的解，将其线性组合并加上非齐次方程的一个特解，就可以得到原方程的通解。
2）可化为线性微分方程的方程$$\frac{dy}{dx} = p(x)y^2+q(x)y+r(x)$$这类方程可以通过变量代换将其化为线性微分方程进行求解。
微分方程的求解方法还有很多种，比如分离变量法、恒等变换法、参数法等等，每种方法都有其适用的问题类型。
除了求解微分方程的方法，微分方程还有一些重要的概念和定理。
比如初值问题，就是给定了一个初值条件，要求求解满足初值条件的微分方程的解。
而皮卡-林德勒夫定理则保证了微分方程在一定条件下具有唯一解的存在性。
常微分方程的随机微积分方程
常微分方程的随机微积分方程随机微积分方程是随机过程的演化分析工具，它将随机过程模型和微积分理论、常微分方程的解析解结合起来，为我们提供了一种新的研究随机现象的方法。
而其中的常微分方程则作为数学分析基础，为我们提供了对于随机过程演化的分析框架。
那什么是常微分方程呢？简单来说，它是一些未知函数的导数与自变量之间的关系式，最基本的形式是$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$。
它是数学分析的重要理论工具，可以用于描述很多自然现象。
比如，牛顿第二定律描述了力对质点的加速度的作用关系，可以转化为形如 $\frac{d^2 x}{dt^2} = f(x, t)$ 的常微分方程。
自然科学中，常微分方程的应用范畴非常广泛，从牛顿经典力学的运动定律，到爱因斯坦的广义相对论，都涉及到了常微分方程的使用。
随机微积分方程是在一个包含随机因素的常微分方程基础上，引入随机噪声项，更好地描述现实中的随机现象。
最基本的随机微分方程形式可以表示为：$$dX_t = f(X_t, t)dt + g(X_t, t)dW_t$$其中，$X_t$ 是随机过程，$f(X_t, t)$ 和 $g(X_t, t)$ 是函数，$W_t$ 是维纳过程或布朗运动，$dt$ 表示时间的微小变化量。
这个方程描述了 $X_t$ 随机演化的过程，第一项是漂移项，描述了演化的趋势；第二项是扰动项，描述了随机震荡或噪声的影响。
随机微积分方程的求解并不像常微分方程那么简单。
我们可以采用随机微积分方程的伊藤形式，即伊藤引理，来求解这个方程。
伊藤引理是随机微积分理论中的重要工具，使用伊藤引理的求解方法也称为伊藤计算法。
伊藤引理所描述的是随机微积分方程的微分过程，它规定了维纳过程的二次变差的微分过程的表达式。
我们可以利用伊藤引理，通过对方程两边求微分，求出 $dX_t$ 的差分形式 $dX_t =X_t^{(i)}-X_t^{(i-1)}$，然后在整个时间区间上面将其积分，得到最终的解析解。
经济数学基础微积分课件 常微分方程
例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解 求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页 后页 结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页 后页 结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
经济数学第8章 常微分方程
8.1 微分方程的基本概念 定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方 程，叫做微分方程． 定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程 中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微 分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独 立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解． 而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程 的特解． 通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求 出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始 条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章 常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之 一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种 自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在 很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关 系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的 知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式 ，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程 后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需 要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预 计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍， 求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化 率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方 程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时， 方程：y″+py′+qy=0称为二阶常 系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶 常系数线性非齐次微分方程.
数学中的微积分和常微分方程
数学中的微积分和常微分方程微积分和常微分方程是数学中两个重要的分支，它们涉及到许多自然科学和工程学科，如物理、化学、生物、经济、机械等。
本文将介绍微积分和常微分方程的基本概念、应用以及未来发展方向。
一、微积分微积分是数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率、极值、曲线的长度、曲面和体积等问题。
微积分包括微分和积分两个部分。
微分的基本概念是导数，表示函数在某一点的变化率。
导数的概念最初是由莱布尼茨和牛顿同时独立发明的。
我们通常用dy/dx或y'来表示函数y=f(x)在x点的导数。
导数还可用来判断函数的增减性、极值以及函数图像的几何性质等。
积分的基本概念是不定积分和定积分。
不定积分是指通过求导反向求解函数的过程。
我们通常用∫f(x)dx来表示函数f(x)的不定积分，它表示所有的导数都是f(x)的函数。
定积分是指求函数f(x)在区间[a,b]上的面积，我们通常用∫abf(x)dx表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
微积分是一种强大的数学工具，在物理学、工程学、统计学、经济学等多个学科领域都得到了广泛的应用。
例如，在物理学中，微积分可用于描述粒子的运动、力的施加和能量转化等问题。
二、常微分方程常微分方程是描述一般动态系统的一种数学工具，它描述时间变化的物理量，如速度、加速度、温度、压力等，并使用微积分概念进行分析。
常微分方程的解描述随时间变化的物理量的行为。
常微分方程主要包括一阶常微分方程、二阶常微分方程、高阶常微分方程等几类。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中f是一个已知函数。
它描述的是一个只涉及一个变量和它的导数的一元方程。
解决一阶常微分方程的基本方法是分离变量法、一阶线性微分方程、微分方程的几何意义等方法。
二阶常微分方程的一般形式为：d2y/dx2 + p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)，其中p、q和f是已知的函数。
它描述的是涉及到二阶导数的方程。
一元微分方程与常系数线性微分方程
一元微分方程与常系数线性微分方程一元微分方程是微积分中的重要概念，常系数线性微分方程是其中的一种特殊形式。
本文将首先介绍一元微分方程的基本概念和解法，然后详细讨论常系数线性微分方程及其解析解。
最后，我们将通过一个实际例子来说明这些概念和解法的应用。
一、一元微分方程的基本概念和解法一元微分方程是指只含有一个未知函数及其导数的方程。
一元微分方程的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
解一元微分方程的方法有很多种，常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法等。
这里我们主要介绍一阶线性常微分方程。
二、常系数线性微分方程及其解析解常系数线性微分方程是指未知函数的导数与其本身线性相关的微分方程。
一般形式可以表示为：dy/dx + ay = b其中，a和b是常数。
为了求解这类微分方程，我们先研究其特征方程，特征方程的解对应着齐次线性微分方程的通解。
对于一阶常系数线性微分方程，特征方程的解即为根式：r + a = 0解出r之后，我们可以根据特征方程的解，得到齐次线性微分方程的通解：y = C * e^(-ax)其中，C是常数。
接下来，我们需要找到特解来得到原方程的通解。
特解的形式可以根据b的类型来确定，若b为常数，则特解形式为：y = K将特解和齐次线性微分方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、实例应用假设某地天气预报显示，某一天的温度随时间的变化满足一元微分方程：dy/dt + y = 10其中，y表示温度，t表示时间。
这是一个一阶常系数线性微分方程。
我们可以先求解其特征方程：r + 1 = 0解得r = -1。
根据齐次线性微分方程的通解公式，我们得到：y = C * e^(-t)接下来，我们需要找到特解。
特解的形式可以设为：y = K代入方程，得到：K + K = 10解得K = 5。
将特解和齐次线性微分方程的通解相加，得到原方程的通解：y = C * e^(-t) + 5通过这个例子，我们可以看到一元微分方程的求解过程，以及常系数线性微分方程的特解和齐次线性微分方程的通解如何组合成原方程的通解。
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微积分中的微分方程和常微分方程微积分是数学的一个分支，是数学中最基础的一门课程。
它的主要内容是微积分，微积分中有很多重要的概念和方法，其中最重要的概念之一就是微分方程和常微分方程。
一、微分方程
微分方程是微积分中重要的概念之一，它是描述自然现象中变化的规律的数学语言。
它包括基本形式和常见的特殊形式，如：
$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$
其中 $y$ 为一个函数，$f(x)$ 为一些已知函数。
这个方程的意义是求出函数 $y$，使得 $y$ 对 $x$ 取导数后等于 $f(x)$。
还有另外一种形式的微分方程，称为二阶线性微分方程：
$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$
其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程
的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数（称为非齐次项）等于另一个已知的函数（称为齐
次项）。
二、常微分方程
常微分方程又称为ODE（Ordinary Differential Equation），是
微积分的一个分支，其主要研究关于未知函数 $y$ 的微分方程。
常微分方程通常分为两大类：一类是一阶线性常微分方程，如：
$$y'+p(x)y=q(x)$$
其中 $p(x),q(x)$ 为已知函数，$y$ 是未知函数。
这个方程的意
义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
还有另外一类常微分方程，称为二阶线性常微分方程，如：
$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$
其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
三、微分方程在实际问题中的应用
微分方程在实际问题中的应用非常广泛，大部分自然科学的问题都可以归结为微分方程。
例如，在生态学领域中，我们可以建立一个关于物种数量随时间变化的微分方程模型，来研究物种的数量和生态环境的关系。
在物理学中，常利用微分方程描述物理现象。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程来描述：
$$F=ma$$
其中 $F$ 为物体所受合力，$m$ 为物体质量，$a$ 为物体的加速度。
这个方程可以简化为：
$$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F}{m}$$
其中 $x$ 为物体的位移，$t$ 为时间。
在化学和工程学中，微分方程也是非常重要的。
例如，我们可以建立一个关于化学反应中反应物浓度随时间的变化规律的微分方程模型，来研究化学反应的过程。
因此，微分方程是一个非常重要的数学工具，它在各个领域中都有着广泛的应用。
通过研究微分方程，我们可以更好地理解自然规律，解决现实问题。